Banachscher Abbildungssatz
Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre.[1] Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem verknüpft.
Formulierung des Satzes
BearbeitenDer Satz lässt sich wie folgt formulieren:[2]
Verschärfung
BearbeitenEs lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen,[3] dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung fallen gelassen wird.
Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen:
- Gegeben seien Mengen und und dazu Abbildungen
- und .
- Dann existieren Mengen mit
- und
- sowie
- und
- derart, dass gilt:
- und
Beweis (Verschärfung)
BearbeitenBetrachte die Abbildung mit .
Da monoton ist, besitzt nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt . Es gilt also beziehungsweise äquivalent hierzu
- .
Wir setzen nun , und .
Hiermit erhalten wir wie gewünscht und .
Folgerung
BearbeitenAus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.[4][5][6]
Literatur
BearbeitenArtikel und Originalarbeiten
Bearbeiten- Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. 6. Jahrgang, 1924, S. 236–239.
- Alfred Tarski: A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications. In: Pacific Journal of Mathematics. 5. Jahrgang, 1955, S. 285–309.
- Bronislaw Knaster: Un théorème sur les fonctions d’ensembles. In: Ann. Soc. Polon. Math. 6. Jahrgang, 1928, S. 133–134.
Monographien
Bearbeiten- Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 1979.
- Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7.
- Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, S. 236–239.
- ↑ Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7, S. 65.
- ↑ Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8, S. 348–349.
- ↑ Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, Einleitung, S. 236.
- ↑ Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7, S. 66.
- ↑ Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8, S. 349.