Benutzer:Hagman/Standardbasis

Als Standardbasis, natürliche Basis oder kanonische Basis bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Linearen Algebra eine spezielle Basis, die gewisse Vektorräume aufgrund ihrer Konstruktion haben.

Basis allgemein

Hauptartikel: Basis (Vektorraum)

Allgemein ist eine Basis eines Vektorraums eine Familie von Vektoren mit der Eigenschaft, dass sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination dieser darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor.

Jeder Vektorraum hat eine Basis, im allgemeinen sogar zahlreiche Basen, unter denen jedoch keine ausgezeichnet ist.

Beispiel

Diejenigen reellwertigen Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, die zweimal differenzierbar sind und für alle $x\in \mathbb {R}$ die Gleichung $f(x)+f''(x)=0$ erfüllen, bilden einen reellen Vektorraum $V$ der Dimension zwei. Eine mögliche Basis wird von der Sinus- sowie der Cosinus-Funktion gebildet. Diese Basis zu wählen, mag zwar naheliegen, sie ist jedoch nicht besonders vor anderen Auswahlen ausgezeichnet.

Standardbasis von $\mathbb {R} ^{n}$ und $K^{n}$

Die meist als erstes eingeführten Vektorräume sind die $\mathbb {R} ^{n}$ mit $n\in \mathbb {N}$. Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ sind alle $n$-Tupel reeller Zahlen. Man kann unter allen Basen des $\mathbb {R} ^{n}$ diejenige auszeichnen, bezüglich der die Koordinaten eines Vektors genau mit seinen Tupel-Komponenten übereinstimmen. Die Basis besteht also aus $e_{1},\ldots ,e_{n}$ wobei

${\begin{matrix}e_{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0),\\e_{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0),\\&\vdots &\\e_{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}$

und wird als die Standardbasis des $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet.

Dasselbe gilt für den Vektorraum $K^{n}$ über einem beliebigen Körper $K$, d.h. auch hier gibt es die Standard-Basisvektoren $e_{1}=(1,0,\ldots ,0),\ldots ,e_{n}=(0,\ldots ,0,1)$.

Beispiel

Die Standardbasis des $\mathbb {R} ^{2}$ besteht aus $e_{1}=(1,0)$ und $e_{2}=(0,1)$. Der Vektorraum $V$ aus obigem Beispiel ist zwar isomorph zu $\mathbb {R} ^{2}$, besitzt jedoch keine Standardbasis. Infolgedessen ist auch unter den Isomorphismen zwischen $V$ und $\mathbb {R} ^{2}$ keiner ausgezeichnet.

Bezeichnung

Die Bezeichnung $e_{1},e_{2},\ldots$ für die Standard-Basisvektoren ist weit verbreitet. Die drei Standard-Basisvektoren des dreidimensionalen Vektorraums $\mathbb {R} ^{3}$ werden in den angewandten Naturwissenschaften jedoch manchmal mit $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k}$ bezeichnet:

$\mathbf {i} =e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} =e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} =e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Standardbasis in unendlichdimensionalen Räumen

Ist $K$ ein Körper und $M$ eine beliebige Menge, so bilden die formalen endlichen Linearkombinationen von Elementen aus $M$ einen Vektorraum. Dann ist $M$ selbst Basis dieses Vektorraumes und wird als dessen Standardbasis bezeichnet.

Anstelle formaler Linearkombinationen betrachtet man auch alternativ den Vektorraum derjenigen Abbildungen $f:M\to K$ mit der Eigenschaft, dass $f(x)=0$ für fast alle $x\in M$ gilt. Zu $m\in M$ sei $e_{m}\colon M\to K$ die durch

$e_{m}(x)={\begin{cases}1,&{\text{falls }}x=m\\0,&{\text{falls }}x\neq m\end{cases}}$

gegebene Abbildung $M\to K$. Dann bildet die Familie $\{e_{m}\}_{m\in M}$ eine Basis des Vektorraums, die in diesem Fall ebenfalls als die Standardbasis bezeichnet wird.

Der Vektorraum aller Abbildungen $f:M\to K$ besitzt hingegen, sofern $M$ unendlich ist, keine Standardbasis.

Zusammenhang mit universellen Eigenschaften

Der Begriff kanonisch wird allgemein bei Konstruktionen über eine universelle Eigenschaft verwendet. So ergibt sich auch ein Zusammenhang zwischen Standardbasen und folgender Konstruktion (sog. adjungierter Funktor zum Vergissfunktor):

Sei $K$ ein Körper und $M$ eine beliebige Menge. Gesucht ist ein $K$-Vektorraum $U$ zusammen mit einer Abbildung $f\colon M\to U$ in dessen zugrunde liegende Menge, so dass zu jedem anderen $K$-Vektorraum $X$ und jeder Abbildung $g\colon M\to X$ genau eine lineare Abbildung $h\colon X\to U$ existiert mit $f=h\circ g$. In solch einem Paar $(U,f)$ wird dann $f$ als kanonische Abbildung bezeichnet.

Die oben angegebenen Vektorräume mit Standardbasis haben genau diese universelle Eigenschaft. Das Bild von $M$ unter der kanonischen Abbildung sind genau die Vektoren der kanonischen Basis bzw. die kanonische Abbildung als Familie aufgefasst ist die kanonische Basis.

Weitere Eigenschaften

Der $\mathbb {R} ^{n}$ hat über die Vektorraum-Eigenschaft hinaus noch weitere Eigenschaften. Auch hinsichtlich dieser erfüllen die Standard-Basisvektoren oft besondere Bedingungen. So ist die Standardbasis ist eine Orthonormalbasis bezüglich des Standard-Skalarprodukts.

Quelle

[[Kategorie:Lineare Algebra]] [[en:Standard basis]] [[nl:Standaardbasis]] [[pl:Baza standardowa]]