Benutzer:R. Möws/Integraltransformation

Integraltransformationen sind spezielle Lineare Abbildungen $T:D\rightarrow \mathbb {C} ^{m}$ die auf Funktionen $f:\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m}$ aus einem Definitionsbereich $D$ angewendet werden. Das Ergebnis einer solchen Integraltransformation ist wieder eine Funktion. Typischerweise schreibt man:$(Tf)(x):=\int _{\Omega }K(t,x)f(t)\,{\rm {d}}t.$

Hierbei nennt man $K:\Omega \times D\rightarrow \mathbb {C}$ den (Integral)kern der Integraltransformation. Eine wichtige Aussage über Integralkerne in der Distributionentheorie macht der Kernsatz von Schwartz. Der Satz von Mercer trifft eine wichtige Aussage über die Darstellung des Integralkernes.

Anwendungen

Solche Transformationen sind insbesondere wichtig für die Physik. Die beiden wichtigsten Integraltransformationen sind die Fourier-Transformationen und die Laplace-Transformationen. Erwähnenswert sind in diesem Zusammenhang auch die Hankel-Transformation und die $Z$-Transformation, die eine große Bedeutung bei der analytischen Lösung partieller Differentialgleichungen haben.

In der Theorie der Signalverarbeitung spielt auch die Hilbert-Transformation eine wichtige Rolle. In der analytischen Zahlentheorie spielt die Mellin-Transformation eine wichtige Rolle.

Wichtige Sätze über Integralkerne

Kernsatz von Schwartz

Satz von Mercer

Liste einiger wichtiger Integraltransformationen

• Fourier-Transformationen
• Laplace-Transformation
• Mellin-Transformation
• Gabor-Transformation
• Hilbert-Transformation
• $Z$-Transformation
• Fourier-Integraloperator (mit dem Spezialfall des Pseudo-Differentialoperator)