Cardanische Formeln

Die Cardanischen Formeln oder auch Cardanoschen Formeln sind Formeln zur Lösung kubischer Gleichungen (Gleichungen dritten Grades) bzw. zur Berechnung der Nullstellen eines kubischen Polynoms. Die Formeln wurden, zusammen mit Lösungsformeln für quartische Gleichungen (Gleichungen vierten Grades), erstmals 1545 vom italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro. Von Cardano selbst stammt die Methode zur Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades auf den Spezialfall, dass der Koeffizient beim quadratischen Glied Null ist, das heißt, dass die Summe der Wurzeln des Polynoms verschwindet.

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Die cardanischen Formeln bildeten einen wichtigen Impuls für die zunehmende Beschäftigung mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen, die viel später als imaginäre Zahlen bezeichnet und im Körper der komplexen Zahlen heimisch wurden: Cardanos Zeit konnte solchen Ausdrücken keinen Sinn beimessen, denn sie haftete noch der antiken Vorstellung an, dass eine Zahl eine Größe (lat.: quantitas) ist, die eine geometrische Länge, Fläche oder ein Volumen misst. Doch Cardano konnte zeigen, dass seine Formel im casus irreducibilis (lat.: „nicht zurückführbarer Fall“) drei Ausdrücke liefert, in denen Quadratwurzeln negativer Zahlen unausweichlich schienen, obschon Cardano die ganzzahligen Lösungen der Gleichung kannte, und dass diese unwirklichen Ausdrücke die Gleichung tatsächlich lösen, wenn man mit ihnen auf formal korrekte Art rechnete. Anders gewendet: Die Cardanische Formel führte über rätselhaft unwirkliche Zahlen auf Ausdrücke, die formal korrekte Lösungen waren, und daher mit den bekannten reellen Lösungen übereinstimmen mussten. Cardano selbst beschrieb diese Größe als eine „quantitas sophisticata“ und die Lösung als „nutzlos“, doch immerhin war sie ihm eine Veröffentlichung wert. Die Frage, wie sich all dies verstehen und veranschaulichen ließ, war folgenden Generationen ein starker Antrieb, für diese „imaginären“ Ausdrücke ein anschauliches Verständnis zu entwickeln und sie schließlich als komplexe Zahlen mathematisch zu begründen, zumal es in der Folge immer mehr Indizien dafür gab, dass sie so nutz- und sinnlos gar nicht waren.

Franciscus Vieta gab um 1600 eine Lösung des casus irreducibilis, die anstelle der „sophistischen“ Zahlen nur reelle Zahlen enthält. Dieser Vorteil wird jedoch erkauft durch den Einsatz trigonometrischer Funktionen anstelle einfacher Radikale.

Cardano betrachtete in seiner Ars magna auch biquadratische (quartische) Gleichungen – also Gleichungen vierten Grades: Die Lösungsmethode fand sein Schüler Lodovico Ferrari, der das Problem mit Hilfe einer kubischen Resolvente auf die kubische Gleichung zurückführte.

Die cardanischen Formeln besitzen heute für eine rein numerische, d. h. angenäherte Lösung kubischer Gleichungen kaum noch praktische Bedeutung, da sich die Lösungen näherungsweise bequemer durch das Newton-Verfahren mittels elektronischer Rechner bestimmen lassen. Sie sind jedoch für die im Verlaufe der Mathematikgeschichte vorgenommenen Versuche, eine (exakte, „algebraische“) Auflösung in Form von Radikalen zu finden, von erheblicher Bedeutung und gaben so der Entwicklung der Algebra, deren Ausgangspunkt die Betrachtung „höherer Gleichungen“ war und die seit Jahrhunderten über die Lösung quadratischer Gleichungen nicht hinausgekommen war, entscheidende Impulse. Sie fand einen Höhepunkt im Nachweis, dass es – entgegen lang gehegter Erwartungen – keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höheren Grades gibt. Die für diesen Nachweis gewonnene Galoistheorie vermag denn auch den Hintergrund der „Rechentricks“ der Cardanischen Formeln zu beleuchten.

Aussage der Formeln

Die Cardanischen Formeln verallgemeinern die aus der Schulmathematik bekannte p-q-Formel, die zum Auflösen von quadratischen Gleichungen des Typs

$x^{2}+px+q=0$

verwendet wird, auf den Fall Gleichungen dritten Grades. Sie werden in der Algebra gewöhnlich über allgemeinen Körpern $K$ formuliert. In vielen Anwendungen ist aber $K=\mathbb {R}$ (reelle Zahlen) oder $K=\mathbb {C}$ (komplexe Zahlen).

Ist $K$ ein Körper der Charakteristik ungleich 2 oder 3, mit $p,q\in K$, so sind die Lösungen der Gleichung

$x^{3}+px+q=0$

gegeben durch

$x_{1}=u+v,\qquad x_{2}=\zeta ^{2}u+\zeta v,\qquad x_{3}=\zeta u+\zeta ^{2}v.$

Dabei ist $\zeta$ eine beliebige primitive, dritte Einheitswurzel im algebraischen Abschluss ${\overline {K}}$ sowie

$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}}}}},\qquad v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}}}}},$

wobei die dritten Wurzeln mit der Nebenbedingung $uv=-{\tfrac {1}{3}}p$ zu wählen sind. Diese Nebenbedingung ist wichtig, da Wurzeln ansonsten mehrdeutig sind. Für $\zeta$ kann der Ausdruck $\zeta =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {-3}}{2}}\in {\overline {K}}$ gewählt werden, wobei die Wahl der Quadratwurzel unerheblich ist (zu beachten ist, dass wegen $\mathrm {char} (K)\not =2$ durch 2 dividiert werden darf, und wegen $\mathrm {char} (K)\not =3$ bereits ${\sqrt {-3}}\not =0$ gilt).

Für die Standardsituation der reellen Zahlen ist zu beachten, dass der algebraische Abschluss in diesem Falle gegeben ist durch die komplexen Zahlen, also ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {C}$. Es kann in dieser Situation $\zeta =e^{\frac {2\pi \mathrm {i} }{3}}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i}$ gewählt werden. Dabei bezeichnet $x\mapsto e^{x}$ die (komplexe) Exponentialfunktion.

Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades

Bei der Formulierung der Cardanischen Formeln wird auf eine reduzierte kubische Gleichung verwiesen. Jedoch können alle kubischen Gleichungen durch einfache Variablenwechsel in diese Form gebracht werden. Die allgemeine Gleichung dritten Grades

$F_{A}(x):=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$		(AllgGlg)

mit reellen oder komplexen Zahlen $A$, $B$, $C$, $D$ und $A\neq 0$ kann durch Division durch $A$ zunächst in die Normalform

$F_{n}(x):=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$		(NrmGlg)

gebracht werden mit

$a={\tfrac {B}{A}}$, $b={\tfrac {C}{A}}$ und $c={\tfrac {D}{A}}$.		(Red-abc)

Mit Hilfe der Substitution $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt, und man erhält die reduzierte Form

$F_{r}(z):=z^{3}+pz+q=0,$		(RedGlg)

mit den Koeffizienten

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}={\frac {3AC-B^{2}}{3A^{2}}}$		(Red-p)

und

$q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c={\frac {-9ABC+27A^{2}D+2B^{3}}{27A^{3}}}$.		(Red-q)

Die Lösung der Gleichung zu finden ist äquivalent mit der Frage nach den Nullstellen der jeweils angegebenen Polynomfunktionen $F_{A},F_{n}$ bzw. $F_{r}$.

Formulierung als Aufgabe der modernen Algebra

Aus Sicht der modernen Algebra geht es bei der Lösung einer allgemeinen Gleichung um das Auffinden von Nullstellen eines Polynoms bzw. einer Polynomfunktion in einem geeigneten Erweiterungsring bzw. Erweiterungskörper. Die Cardanischen kubischen Formeln behandeln Polynome dritten Grades.

Ist nämlich $f(X)=\sum _{i=0}^{n}=a_{0}\,X^{n}+a_{1}\,X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\,X+a_{n}\in R[X]=R^{(\mathbb {N} _{0})}$ ein Polynom über dem Integritätsbereich $R$, so liefert der Einsetzungshomomorphismus $R[X]\to \operatorname {Abb} (S\to S)$ für einen Integritätsring $S\supset R$ eine Funktion $f\colon S\to S,\,s\mapsto f(s)$, die meist mit demselben Buchstaben benannt wird, wie das Polynom. Beispielsweise kann für $S$ der Quotientenkörper von $R$ gewählt werden oder eine Körpererweiterung desselben. Gemäß allgemeiner Körpertheorie bietet sich dafür der Zerfällungskörper des Polynoms $f$ an, der per Definition alle Nullstellen $x_{i},\;(i=1,\dots ,n)$ des Polynoms $f(X)$ und damit alle Lösungen der Gleichungen $f(x)=0$ enthält. (Seine Existenz sichert der „Fundamentalsatz von Kronecker“ zu.)

Will man den Versuch unternehmen, der mathematikhistorischen Wirklichkeit mit modernen Begriffen nahezukommen, so wäre $R=\mathbb {Z}$ zu wählen, weil Cardanos Zeit in aller Regel von ganzzahligen Polynomen ausging, und für $S$ erhoffte sich seine Zeit, die Nullstellen (Lösungen) in einer algebraische Erweiterung des Quotientenkörpers $\mathbb {Q} =\operatorname {Quot} (\mathbb {Z} )$ zu finden, die durch Adjunktion aller „sinnvollen“ quadratischen und kubischen Wurzelausdrücke (Radikale) entsteht. Cardano musste jedoch erkennen, dass seine allgemeine Formel unausweichlich „sinnlose“ Wurzelausdrücke (Radikale aus negativen Zahlen, er nannte sie radices fictae im Gegensatz zu den radices verae, den Wurzeln aus positiven Zahlen) ins Spiel brachte, und dies sogar auch in dem Falle, dass Cardano die ganzzahligen Lösungen im Voraus kannte (siehe „casus irreducibilis“). Um den Wechsel vom 18. zum 19. Jahrhundert gelang es, jene „sinnlosen, eingebildeten“ Wurzelausdrücke mit einer überzeugenden geometrischen Vorstellung zu verbinden: Die imaginäre Zahlen erschienen befreit von allem mystischen Nebel. Nur wenig später wurde der Beweis der ernüchternden Tatsache erbracht, dass für Polynome höheren als vierten Grades ein algebraischer Erweiterungskörper, der alle Wurzelausdrücke (auch die ehemals sinnlosen) adjungiert, nicht ausreicht, um die Nullstellen im Allgemeinen zu benennen.

Im Rahmen dieses Artikels genügt es, Cardanos gedankliche Ausgangssituation vereinfachend mit $R=\mathbb {R} =S$ gemäß einem intuitiven Verständnis zu umschreiben: Die axiomatischen Grundlagen der reellen Zahlen wurden erst später gelegt („Dedekindscher Schnitt“), und Begriffe aus der Mengenlehre, geschweige denn algebraische Strukturen, waren noch nicht entwickelt. Der Casus irreducibilis zeigte Cardano, dass der reelle Zahlenstrahl „irgendwie zu schmal“ ist.

Der (nach dem Fundamentalsatz der Algebra) – bis auf Isomorphie – einzig mögliche endliche Erweiterungskörper $\mathbb {C}$ von $\mathbb {R}$, der sämtliche Nullstellen eines jeden reellen Polynoms enthält, keine Ordnungsrelation zulässt und in dem Quadrate negativ sein können, erschien noch „irreal“, da es an einer Anschauung für ihn mangelte. Für Cardanos Zeit sei also vereinfachend $R=\mathbb {R} =S$ für ein Polynom dritten Grades $n=\deg f=3$ vorausgesetzt.

Die obige Reduktion eines Polynoms beliebigen Grades $n=\deg f$ durch Tilgung des zweithöchsten Potenz gelingt bei beliebigem Grad aufgrund der Binomialformeln: Man substituiere $\textstyle X\rightsquigarrow Z:=X-{\frac {a_{1}}{na_{0}}}$. Diese Substitution verschiebt lediglich die Nullstellen um den konstanten Summanden $\textstyle {\frac {a_{1}}{na_{0}}}$ und lässt daher die Diskriminante unverändert, wie im folgenden Abschnitt zur Bestimmung der Diskriminante dargelegt wird. Geometrisch veranschaulicht bedeutet die Reduktion, dass die Nullstellen $x_{i}$ gleichzeitig derart um einen Betrag $\textstyle -{\frac {a_{1}}{na_{0}}}$verschoben werden, so dass der Mittelwert der verschobenen Nullstellen $\textstyle z_{i}=x_{i}-{\frac {a_{1}}{na_{0}}}$ (und mithin ihre Spur $\textstyle \sum _{i}z_{i}$) verschwindet: $\textstyle \sum _{i}z_{i}=\sum _{i}\left(x_{i}-{\frac {a_{1}}{na_{0}}}\right)=-n{\frac {a_{1}}{na_{0}}}+\sum _{i}x_{i}=0$. Denn allgemein gilt $\textstyle \sum _{i}x_{i}=-{\frac {a_{1}}{a_{0}}}$, wie man sich anhand des über dem Zerfällungskörper in Linearfaktoren zerfallenen Polynoms klarmacht; vergleiche hierzu die Gleichungen zu den elementarsymmetrischen Funktionen.

Für diese Substitution muss im Allgemeinen vorausgesetzt werden, dass die Charakteristik von $R$ kein Teiler von $n$ ist und dass $na_{0}$ in $R$ oder wenigstens in $S$ invertierbar sind. Dies ist mit er obigen Wahl $S=\mathbb {R}$ (und mithin $\mathbb {Z} \subset R\subset S$) sichergestellt. Trifft diese Voraussetzung nicht zu, so sei auf den Abschnitt über die Koeffizientenringe verwiesen.

Wenn die Charakteristik des Körpers $K$ kein Teiler von $n$ ist und alle Wurzeln eines Polynoms über $f(X)=a_{0}\,X^{n}+a_{1}\,X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\,X+a_{n}\in K[X]$ mit verschwindendem zweithöchsten Koeffizienten $a_{1}=0$ miteinander identisch sind (also in einer $n$-fache Nullstelle zusammenfallen), dann liegt diese Nullstelle notwendig im Nullpunkt.

der (potenziellen) Extremwerte. Der Fall einer doppelten Nullstelle $z'_{0}=z'_{1}$ von $F_{z}'$ liefert eine Sattelstelle und ist in dieser Formulierung enthalten. -->

Herleitung

Die cardanische Formel liefert die reellen Lösungen (oder die eine reelle Lösung) der reduzierte Gleichung. Sie lautet

$z={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$,

und wird im Folgenden hergeleitet. Die Fragen zur Bildung einer Kubikwurzel, die die Formel aufwirft, werden dabei genauer beleuchtet.

Die Koeffizienten $p,\ q$ der reduzierten und die Koeffizienten $A,\ B,\ C,\ D$ der allgemeinen Form werden als reell angenommen. (Für den komplexen Fall siehe diesen Abschnitt.) Im Unterschied zur quadratischen Lösungsformel kommen bei der kubischen Gleichung auch dann, wenn alle drei Lösungen reell sind, nicht-reelle komplexe Zahlen ins Spiel.

Ausgehend von Cardanos Formel können durch die Rücksubstitution $x=z-{\tfrac {B}{3A}}$ die Lösungen der ursprünglichen Gleichung $F_{A}(X)=0$ bestimmt werden. –

Herleitung der cardanischen Formel

Mit der Substitution

$z=u+v$		(Subst)

erhält man

$z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}\,.$

Im Vergleich mit der reduzierten Gleichung (RedGlg) (also mit $z^{3}+pz+q=0$) erkennt man, dass bei Gleichsetzung mit ihr die Unbekannten $u,v$ folgende Nebenbedingungen erfüllen müssen:

$3uv=-p$		(NB-Nrm)

und

$u^{3}+v^{3}=-q$		(NB-Sp)

Unter Beachtung dieser Nebenbedingungen löst man nun die reduzierte Gleichung, indem man zunächst bemerkt, dass die Nebenbedingungen für die Unbekannten $t_{0}:=u^{3}$ und $t_{1}:=v^{3}$ die Gleichungen

$t_{0}t_{1}=u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\tfrac {p}{3}}\right)^{3}=-{\tfrac {p^{3}}{27}}$		(Vieta-Nrm)

  und

$t_{0}+t_{1}=u^{3}+v^{3}=-q$		(Vieta-Sp)

implizieren. Beachte hierbei, dass zwar (Vieta-Sp) und (NB-Sp) äquivalente Bedingungen sind, nicht aber (Vieta-Nrm) und (NB-Nrm). Also muss im weiteren Lösungsweg stets darauf geachtet werden, dass die Nebenbedingung (NB-Nrm) gültig bleibt.

Nach dem Satz von Vieta sind daher $t_{0}$ und $t_{1}$ die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung

$L(t):=t^{2}+qt-{\tfrac {p^{3}}{27}}=0$,		(L-Res)

welche die Lagrange-Resolvente der kubischen Gleichung genannt wird.

Die quadratische Lösungsformel liefert die Lösungen der Langrange-Resolvente zu

$t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}$   mit   $\Delta _{2}:=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$ als der Diskriminante der quadratischen Resolvente gemäß (quDiscr).

Bezeichnet nun $\varepsilon$ eine primitive dritte Einheitswurzel und setzt man $\varepsilon _{i}:=\varepsilon ^{i}$ für $i=0,1,2$, so sind nun die drei (nicht notwendig verschiedenen) Lösungen $z_{i}\;(i=0,1,2)$ der kubischen Gleichung die folgenden:

${\begin{aligned}z_{i}&=u_{i}+v_{i}{\text{ mit }}{\begin{cases}u_{0,1,2}&=\varepsilon _{0,1,2}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{0}}}{\text{ und }}\\v_{0,1,2}&=\varepsilon _{0,2,1}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}\,,\end{cases}}\\\end{aligned}}$		(FormCard.1)

wobei für den Ausdruck $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ eine fest gewählte dritte Wurzel zu wählen ist, und für $v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ die aufgrund von (NB-Nrm) durch diese Wahl festgelegte dritte Wurzel $v_{0}={\frac {-p}{3u_{1}}}$ von $t_{1}$. Entsprechend müssen auch die Paare $(u_{1},v_{1})$ und $(u_{2},v_{2})$ die Nebenbedingung (NB-Nrm) erfüllen.

Man beachte also:

• Bei positiver Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}>0$ (das heißt bei $\Delta <0$) sind $t_{0},t_{1}$ reell. Man wähle dann die reellen Kubikwurzeln für $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ bzw. $v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$. Die anderen Kubikwurzeln $u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}$ sind dann imaginär, und die Nebenbedingungen erzwingen, dass sie paarweise konjugiert komplex sind: $u_{2}={\overline {u_{1}}}$ und $v_{2}={\overline {v_{1}}}$.
• Bei verschwindender Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}=0$ (das heißt bei $\Delta =0$) ist $t_{0}=t_{1}$ eine reelle doppelte Nullstelle der quadratischen Lagrangeschen Resolvente. Für $u_{i},v_{i}$ gilt dasselbe wie im vorstehenden Fall und zusätzlich $u_{0}=v_{0}$, $u_{1}=u_{0}\varepsilon =v_{0}\varepsilon =v_{2}$ und entsprechend $u_{2}=v_{1}$.
• Bei negativer Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}<0$ (das heißt bei $\Delta >0$) sind $t_{0},t_{1}$ imaginär und zueinander konjugiert komplex. Daher sind dann auch die Kubikwurzeln $u_{i},v_{i}$ imaginär, und in diesem Falle, dem „casus irreducibilis“, sind die Paare $(u_{i},v_{i})$ zueinander konjugiert komplex: $u_{i}={\overline {v_{i}}}$. Daher ist ihre jeweilige Summe $u_{i}+v_{i}$ reell.

Die drei Lösungen sind also

${\begin{array}{lclcrcrcrcr}z_{0}&=&u_{0}\varepsilon _{0}+v_{0}\varepsilon _{0}=u_{0}\varepsilon _{0}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{0}&=&{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\z_{1}&=&u_{0}\varepsilon _{1}+v_{0}\varepsilon _{2}=u_{0}\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{2}&=&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\z_{2}&=&u_{0}\varepsilon _{2}+v_{0}\varepsilon _{1}=u_{0}\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{1}&=&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\\end{array}}$		(FormCard.2)

Dabei muss für alle auftauchenden Radikale ${\sqrt[{3}]{\cdot }}$ jeweils dieselbe Wurzel ausgewählt werden und für $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}},\;v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ insbesondere zwei solche Wurzeln, mit welchen die Nebenbedingung (Vieta-Nrm) (also $u_{0}\,v_{0}=-3p$) erfüllt ist.

Der Sonderfall $p=0$

Man setze $v=0=t_{0}$ sowie $\Delta _{2}=q^{2}$ und schließlich $t_{1}=-{\tfrac {q}{2}}-{\tfrac {q}{2}}=-q$, so dass sich die drei Wurzeln $z_{i}=-\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{q}}$ für $i=0,1,2$ ergeben.

Lösung der allgemeinen (nicht notwendig normierten) Gleichung

Will man auf die allgemeine Gleichung (AllgGlg) mit dem Leitkoeffizienten $A$ zurückgehen, so sind die Substitutionsbeziehungen (Red-p), (Red-q) und (Red-abc) rückwärts einzusetzen sowie die Tatsache zu nutzen, dass in der Diskriminante der Leitkoeffizient des Ausgangspolynoms $F(X)=AX^{n}+BX^{n-1}+\dots$ in der $2(n-1)$-ten Potenz als Normierungsfaktor hinzutritt. Im kubischen Falle $n=3$ tritt also der Normierungsfaktor $A^{4}$ bei der Definition der Diskriminante hinzu: $\Delta =A^{4}\cdot {\bigl (}(z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2}){\bigr )}^{2}$. Sie bleibt dank dieser Normierung als ganzzahliges Polynom in den Koeffizienten $A,B,C,D$ des allgemeinen Polynoms $F_{A}$ darstellbar:

${\begin{aligned}\Delta (F_{A})&=-A^{4}(27q^{2}+4p^{3})\\&=18ABCD-4AC^{3}-27A^{2}D^{2}+B^{2}C^{2}-4B^{3}D\end{aligned}}$

Einzelfallbetrachtung

• Ist jede Wurzel $z_{0},z_{1},z_{2}$ reell, so kann ihr Differenzenquadrat nicht negativ sein: $\Delta :=\left((z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2})\right)^{2}\geq 0$. Umgekehrt sind bei nicht negativer Diskriminante $0\leq \Delta =-\Delta _{2}$ mit $(t_{0},t_{1})$ auch die Paare $(u_{i},v_{i})$ zueinander konjugiert komplex, ihre jeweiligen Summen $z_{i}=u_{i}+v_{i}$ somit reell.
  • Ist hierbei die Diskriminante positiv ($\Delta >0$), so müssen alle drei reellen Wurzeln verschieden sein.
  • Verschwindet hierbei die Diskriminante ($\Delta =0$), so müssen (mindestens) zwei Wurzeln übereinstimmen. Es liegt dann eine (mindestens) doppelte Nullstelle vor und (höchstens) noch eine weitere reelle Nullstelle.

• Liegt lediglich eine Wurzel $z_{0}=r_{0}\in \mathbb {R}$, während die anderen beiden $z_{1},z_{2}={\overline {z_{1}}}\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R}$ imaginär und zueinander konjugiert komplex sind, so müssen $u_{0},v_{0}$ reell gewählt werden, damit $z_{0}=u_{0}+v_{0}\in \mathbb {R}$ liegt, und wegen $\Im z_{1}\in \mathbb {R} ^{*}$ muss die Diskriminante negativ sein:

${\begin{aligned}\Delta &=\left((z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2})\right)^{2}\\&=\left((r_{0}-\Re z_{1}-\mathrm {i} \,\Im z_{1})(r_{0}-\Re z_{1}+\mathrm {i} \,\Im z_{1})\cdot [2\,\mathrm {i} \cdot \Im z_{1}\right])^{2}\\&=-4\,\left(\left((r_{0}-\Re z_{1})^{2}+(\Im z_{1})^{2}\right)\cdot [\Im z_{1}]\right)^{2}{\color {grey}=-4\,\left(\left(r_{0}^{2}+|z_{1}|^{2}-2r_{0}\,\Re z_{1}\right)\cdot [\Im z_{1}]\right)^{2}}\\&<0\end{aligned}}$

Mit $\Omega :=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}$ gilt $\Delta =-(4p^{3}+27q^{2})=-108\,\Omega =-27\,\Delta _{2}$.

Daher gilt die Implikation:

• $\Delta \geq 0\Longrightarrow p\leq 0$

Bei $\Delta \geq 0$ liegen drei (ggf. mit Vielfachheit gezählten) reelle Wurzeln vor, und diese lassen sich mit Hilfe der Kreisfunktionen angeben: Siehe Trigonometrische Behandlung. Diese steht im Zusammenhang mit der trigonometrischen Gleichung zur Winkeldrittelung und ist genau dann gültig, wenn es keine imgainären Wurzeln gibt, sondern (mit Vielfachheit gezählt) nur drei reelle Wurzeln.

Per Kontraposition gilt äquivalent:

• $p>0\Longrightarrow \Delta <0$

Bei $\Delta <0$ liegt eine reelle Wurzel vor und zwei imaginäre zueinander komplex konjugierte Wurzeln. Die reelle Wurzel lässt sich bei $p>0$ mit Hilfe der Hyperbelfunktionen angeben: Siehe Hyperbolische Behandlung. Diese steht im Zusammenhang mit der Gleichung zur Flächendrittelung an der Hyperbel und ist genau dann anwendbar, wenn es (zwei) imaginäre Wurzeln und nur eine reelle Wurzel gibt.

Im Folgenden sollen die drei Fälle $\Delta <0,\;\Delta =0,\;\Delta >0$ näher betrachtet werden.

Diskriminante gleich Null

Die Gleichung $0=\Delta =-27p^{3}-4q^{2}$ (äquivalent:$[2q]^{2}=-[3p]^{3}$) zeigt: Entweder verschwinden $p$ und $q$ zugleich oder keines von beiden, d. h.: $p=0\iff q=0$.

Im Falle (a) $\quad p=0=q$

handelt es sich um das Polynom $F_{r}(z)=z^{3}$, und $z=0$ ist die einzige (dreifache) Nullstelle.

Daher hat das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D$ die dreifache Nullstelle:

$x_{0,1,2}=-{\frac {B}{3A}}$

Im Falle (b) $\quad p\neq 0\neq q$

wählt man $u=v$ reell. Nach den obigen Formeln hat $F_{r}(Z)=Z(Z^{2}+p)+q=0$ dann eine einfache reelle Lösung

$z_{0}=2u={\sqrt[{3}]{-4q}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{-{\frac {q^{2}}{4}}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{\frac {p^{3}}{27}}}}={\frac {3q}{p}}$,

und eine doppelte reelle Lösung

$z_{1,2}\;=u\varepsilon _{1}+u\varepsilon _{2}\;=-u={\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}}}=-{\frac {3q}{2p}}$.

Das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D=0$ hat also die Nullstellen

${\begin{aligned}x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+{\frac {3q}{p}}={\frac {B^{3}\ -\ 4ABC\ +\ 9A^{2}D}{3A^{2}C\ -\ AB^{2}}}\\x_{1,2}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {3q}{2p}}={\frac {BC\ -\ 9AD}{6AC\ -\ 2B^{2}}}\end{aligned}}$

Diskriminante negativ

Dann ist $\Delta _{2}>0$, und die auftretenden Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}$ sind reell, mithin auch die Lösungen $t_{i}$ der Lagrangeschen Resolvente. Man wähle für $u$ und $v$ jeweils die reellen dritten Wurzeln ${\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ bzw. ${\sqrt[{3}]{t_{1}}}$. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch

${\begin{aligned}z_{0}&=u+v\\z_{1,2}&=-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}\end{aligned}}$

gegeben sind.

Für das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D$ erhält man die Nullstellen

${\begin{aligned}x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+u+v\\x_{1,2}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Diskriminante positiv (casus irreducibilis)

Die Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {-\Delta }}$ sind rein-imaginär, und die Lösungen $t_{0,1}$ der quadratischen Resolvente konjugiert komplex. Daher ergeben sich für $u_{i}=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ und $v_{j}=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ zueinander konjugiert komplexe Werte, so dass sich mit

$z_{i}=u_{i}+v_{i}=u_{i}+{\overline {u_{i}}}=2\operatorname {Re} (u_{i})$

drei unterschiedliche reelle Lösungen ergeben.

Bei der Bestimmung von $u$ oder $v$ kommen jedoch dritte Wurzeln aus nicht-reellen Zahlen vor. Obgleich solche Ausdrücke zur Zeit Cardanos als sinnlos galten, weil ihre anschauliche Bedeutung noch im Dunkeln lag, rechnete Cardano rein formal mit diesen Ausdrücken (also gemäß den üblichen Rechenregeln, ohne ihnen eine anschauliche Bedeutung beimessen zu können) und konnte die drei Lösungen angeben, von denen er wusste, dass sie reell waren. In der Lösungsformel war die „Realität“ der Lösung allerdings verschleiert, weil sie „irreale“ Zahlen involviert. Da dieser Lösungsweg also das Terrain der anschaulichen, „reellen“ Zahlen verlässt und die Lösung somit nicht auf reelle Radikale zurückführbar war, wurde dieser Fall casus irreducibilis genannt. Dennoch mögen weitblickende Zeitgenossen – wie Cardano – in diesen Umständen einen Fingerzeig erahnt haben, dass jene sinnlos erscheinenden Ausdrücke womöglich doch einen tieferen Sinn besitzen.

Trigonometrische Behandlung des Casus irreducibilis nach Vieta

Die trigonometrischen Formeln gelten

• nicht nur für den Casus irreducibilis ($\Delta >0$),
• sondern auch für den Fall $\Delta =0$, das heißt für den Fall mehrfacher reeller Nullstellen: Dieser Fall besteht aus zwei Unterfällen:
  • Fall (a) mit nur einer reellen, dreifachen Nullstelle und
  • Fall (b) mit einer reellen doppelten Nullstelle (und einer weiteren davon verschiedenen reellen Nullstelle).

Es werden zwei Herleitungen der trigonometrischen Lösungen gezeigt:

1. Die erste Herleitung betrachtet unmittelbar die Bildung der Kubikwurzeln ${\sqrt[{3}]{t_{i}}}$ aus den beiden Lösungen $t_{0},t_{1}$ der Lagrangeschen Resolvente und setzt die geometrische Interpretation von Addition und Multiplikation komplexer Zahlen voraus, indem sie die Kubikwurzel anhand der Polarkoordinaten (oder Kreiskoordinaten) bildet. Dadurch benötigt diese Argumentation die Gleichung zur Winkeldrittelung nicht.
2. Die zweite Herleitung parametrisiert die reelle Achse mit Hilfe des Cosinus und findet die Nullstellen des reduzierten Polynoms direkt und ohne Kenntnis von Cardanos Formel. Anstelle der Tatsache, dass es sich bei den gesuchten Lösungen um Kubikwurzeln aus den Lösungen der quadratischen Lagrangeschen Resolvente handelt, stützt sich diese Argumentation auf die Gleichung zur Winkeldrittelung, welche aus dem Satz von Moivre folgt.

Beide Argumentationen decken also all jene Fälle ab, in denen keine imaginären, sondern nur reelle Wurzeln in Erscheinung treten, und sie gestatten, das Diskriminantenkriterium für mehrfache Nullstellen erneut zu bestätigen.

Die Bedingungen für diese Fälle (also für den Casus irreducibilis und den Fall mehrfacher Nullstellen) lassen sich in verschiedenen äquivalenten Formulierungen ausdrücken, die hier zusammengestellt werden, weil sie später benötigt werden.

Äquivalente Formulierungen der Kriterien für den Casus irreducibilis bzw. für mehrfache Nullstellen

no	Kriterien für Casus irreducibilis	Schlagwort oder (Referenz im Text)	Kriterien für mehrfache Nullstellen (Entweder Fall (a) oder Fall (b))
(0)	$0<\Delta =-\left[4p^{3}+27q^{2}\right]=-108\left[\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}\right]$	Vorzeichen der Diskriminante $\Delta$	$\Delta =0$
(1)	$0>\Delta _{2}=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}=4\left[\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}\right]$	Vorzeichen der Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}$	$\Delta _{2}=0$
(2)	$t_{0},t_{1}\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R} ,\;t_{0}\neq t_{1}$	Lösungen der Lagrange-Resolvente	$t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} ,\;t_{0}=t_{1}=-{\frac {q}{2}}$
(3)	$-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}>\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}\geq 0$	(QuadrPos)	$-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}\geq 0$
(4)	${\sqrt {\frac {-p^{3}}{27}}}>\left\vert {\frac {q}{2}}\right\vert \geq 0$	(AbsBetrag)	${\sqrt {\frac {-p^{3}}{27}}}=\left\vert {\frac {q}{2}}\right\vert \geq 0$
(5)	$-1<{{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}}<1$	-	$p=0$	AUT	${{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}}\in \{-1,+1\}$
(6)	$\left\vert {{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}}\right\vert <1$	(CosinusArg)	$p=0=q$	AUT	$\left\vert {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right\vert =1$
(7)	$0<{\frac {-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}{-{\frac {p^{3}}{27}}}}<1$	(SinusArg)	$p=0\;(=q)$	AUT	$0={\frac {-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}{-{\frac {p^{3}}{27}}}}$

Der Fall Fall (a) ist trivial, denn er ist durch folgende äquivalente Aussagen gekennzeichnet:

• $\quad p=0=q$
• $\quad t_{0}=0=t_{1}$
• $\quad 0=z_{k}=u_{k}=v_{k}$ für $k=0,1,2$
• $\quad z_{0}=z_{1}=z_{2}$, denn: Die Wurzeln eines reduzierten reellen (oder komplexen) Polynoms müssen verschwinden, sobald sie alle gleich sind, weil ihre Wurzelsumme („Spur“) ja verschwindet.

Bei $\Delta \geq 0$ genügt sogar $p=0$ zur Kennzeichnung dieses trivialen Falles, in dem die Lösungen zusammenfallen und im Nullpunkt verschwinden. Fall (a) ist also bereits geklärt und kann daher von den nun folgenden Betrachtungen ausgeschlossen werden: Im Folgenden sei also $\Delta \geq 0\neq p$ (und mithin $0\neq pq$) angenommen. Am dritten Kriterium (QuadrPos) ist leicht abzulesen, dass dies notwendig $p<0$ erzwingt.

Die trigonometrische Darstellung der Lösungen zeigt einmal mehr: Reine Gleichungen (synonym: binomische Gleichungen) $Z^{n}-a$ empfehlen sich nicht als „Normalformen“, auf welche eine allgemeine Gleichung stets zurückführbar wäre. Das erklärt den berüchtigten Namen Casus irreducibilis. Hier deutete sich den Menschen der Renaissance zum ersten Mal an, dass die Hoffnung, Lösungen der allgemeinen Gleichung müssten sich als verschachtelte Radikalausdrücke darstellen lassen, trog. Stattdessen empfahl sich eine andere „Normalform“: Die Gleichung zur Winkeldrittelung.

Darstellung in Polarkoordinaten

Ausgangsidee ist, die beiden komplex konjugierten, ggf. sogar identischen (und dann reellen) Wurzeln $t_{0,1}\neq 0$ der Lagrange-Resolvente in Polarkoordinaten zu schreiben, um ihre Kubikwurzeln leicht angeben zu können:

$t_{0,1}=R\,(\cos \phi \pm \mathrm {i} \sin \phi )$

Hierfür sind

$R:={\sqrt {-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}\quad (\neq 0)$ und $\phi \in \;\;[0,\pi ]$ mit $\cos \phi =-{\frac {q}{2R}}\in \;\;[-1,1]$ und $\sin \phi ={\frac {\sqrt {-\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right)}}{R}}\in \;\;[0,1[$		(PolKoord)

zu wählen, wie der Abgleich mit den Wurzeln $t_{0,1}$ zeigt:

${\begin{aligned}R\left(\cos \phi \pm \mathrm {i} \,\sin \phi \right)&=t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}\\&={\frac {-q}{2}}\pm \mathrm {i} \cdot {\sqrt {-\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right)}}\;.\\\end{aligned}}$		(PolKoordAbgl)

Beachte: Weil $t_{0}$ nach Wahl des Vorzeichen seines Imaginärteils in der oberen Halbebene liegt oder reell ist, existiert ein solches $\phi \in [0,\pi ]$.

Die Kubikwurzeln berechnen sich demnach zu

$u_{k}:={\sqrt[{3}]{R}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}+\mathrm {i} \,\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right)={\overline {v_{k}}}$ bzw. zu

$v_{k}:={\sqrt[{3}]{R}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}-\mathrm {i} \,\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right)={\overline {u_{k}}}$ für $k=0,1,2$,

und folglich sind die Lösungen

$z_{k}=2\,\Re (u_{k})=2{\sqrt[{3}]{R}}\cdot \cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}=2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}$ für $k=0,1,2$ wobei $\phi =\arccos \left(-{\frac {q}{2R}}\right)\in \;[0,\pi ]$ gewählt sei.		(TrigLsg.1)

Lässt man für $k$ alle ganzen Zahlen zu, so hängt $z_{k}$, wie schon in der Gleichung zur Winkeldrittelung angemerkt, nur von der Restklasse $k+3\mathbb {Z}$ modulo $3$ ab – denn sie wiederholen sich nach drei aufeinanderfolgenden Zahlen –, so dass es genügt, dass der ganzzahlige Index $k$ lediglich ein Repräsentantensystem modulo $3$ durchläuft: $k\equiv 0,1,2{\pmod {3}}$. Beispielsweise genügen drei aufeinanderfolgende Zahlen wie $k\in \{0,1,2\}$ oder $k\in \{-1,0,1\}$. Auf der rechten Seite kann also bspw. $k=-1$ anstelle von $k=2$ gewählt werden, um $z_{2}$ zu erhalten.

Bezug zur Winkeldrittelung

Die Cosinus-Werte $\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}$ sind (bei dieser Wahl von $\phi ,R$) gemäß der Gleichung zur Winkeldrittelung die Lösungen der Gleichung

$0=4X^{3}-3X-\cos \phi =4X^{3}-3X+{\frac {q}{2R}}=4X^{3}-3X+{\frac {3q}{2}}{\sqrt {\frac {3}{-p^{3}}}}$ und der zugehörigen normierten Gleichung

$0=X^{3}-{\frac {3}{4}}X-{\frac {\cos \phi }{4}}=X^{3}-{\frac {3}{4}}X+{\frac {q}{8R}}=X^{3}-{\frac {3}{4}}X+{\frac {3q}{8}}{\sqrt {\frac {3}{-p^{3}}}}$.

Zum Vorliegen von Fall (b)

Unter der genannten Voraussetzung ($\Delta \geq 0>p$) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $\left\vert \cos \phi \right\vert =1$
• $\phi =0\lor \phi =\pi$
• $t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} ^{*}$
• $t_{0}=t_{1}\neq 0$
• $\Delta _{2}=0=\Delta$
• $\sin \phi =0$
• Genau zwei der Wurzeln stimmen überein, bilden also eine doppelte Nullstelle.
• Fall (b) liegt vor.

Parametrisierung der reellen Variable

Nach einem Additionstheorem, das sich leicht mit dem Satz von de Moivre herleiten lässt, gilt für alle $\alpha$ die Beziehung

$\cos ^{3}\alpha ={\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}$		(Moivre)

Diese Beziehung wurde in Gleichung (WinkeldrittelungGlg) für die Winkel $\phi =3\alpha$ und ${\frac {\phi }{3}}=\alpha$ formuliert (also anstelle von $3\alpha$ bzw. $\alpha$).

Parametrisiert man die reelle Variable $z$ durch die (surjektive, aber nicht injektive) Abbildung

${\begin{array}{cccl}\rho \colon &\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} ,\\&(r,\alpha )&\mapsto &z:=r\cdot \cos \alpha \end{array}}$,

so nimmt die zu lösende reduzierte kubische Gleichung

$0=z^{3}+p\cdot z+q$		(KubGlg)

diese Gestalt an:

$0=r^{3}\cdot \cos ^{3}\alpha +p\cdot r\cdot \cos \alpha +q$.

Nutzt man hierin die obige Gleichung (Moivre), so erhält man

${\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\end{aligned}}$

Wählt man für $r$ den festen (und aufgrund des Kriteriums (AbsBetrag) positiven) Wert $r_{0}:=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\quad (>0)$, so verschwindet der Klammerausdruck, und es bleibt diese Hilfsgleichung zu lösen:

$0=2\,{\sqrt {-{\frac {p^{3}}{27}}}}\cdot \cos 3\alpha +q$.		(ArgRes.1)

Allerdings ist zunächst offen, ob diese Gleichung für den Winkel $\alpha$ lösbar ist, und wenn ja, ob sie alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung liefert. Dazu muss nachgewiesen werden, dass durch die Beschränkung auf das Intervall $\rho \left(\{0\}\times \mathbb {R} \right)=[-r_{0},r_{0}]$ keine reelle Lösung der ursprünglichen Gleichung (KubGlg) aus dem Blickfeld gerät.

Abschätzung für diesen Nachweis

Zu diesem Nachweis schätze für $\textstyle \vert z\vert >r_{0}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ nach dem Kriterium (AbsBetrag) ab: ${\begin{aligned}|z^{3}+pz+q|&=|z(z^{2}+p)+q|\\&\geq \left\vert \,\vert z(z^{2}+p)\vert -|q|\,\right\vert \\&>\left\vert \,r_{0}(r_{0}^{2}+p)-|q|\,\right\vert \\&=\left\vert 2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\left(4{\frac {-p}{3}}+p\right)-|q|\right\vert \\&=\left\vert 2\cdot {\frac {-p}{3}}{\sqrt {\frac {-p}{3}}}-|q|\right\vert \\&{\stackrel {\text{(AbsBetrag)}}{\geq }}0\end{aligned}}$ Also bedeutet die Festlegung auf $r_{0}$ keinen Wurzelverlust, und daher genügt es, die Lösungen der Gleichung (ArgRes.1) zu finden.

Wie eingangs erwähnt, lässt sich unter den getroffenen Annahmen an den obigen Kriterien ablesen, dass $p<0<r_{0}$, so dass nunmehr die folgende äquivalente Hilfsgleichung für den Winkel $\alpha$ zu lösen ist:

$-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}=\cos 3\alpha$		(ArgRes.2)

Mit Hilfe des Zweiges des Arcus-Cosinus $\arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]$ setze man zunächst

$\textstyle \phi :=\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\in [0,\pi ]$

Da die periodische Funktion $\cos$ die Periode(nlänge) $2\pi$ besitzt, lässt sich nun für jedes $k\in \mathbb {Z}$ eine Lösung

$\alpha _{k}:={\frac {\phi +2k\,\pi }{3}}\in \mathbb {R}$ der Gleichung (ArgRes.2)

definieren. Aus demselben Grund besteht die Menge $\{\alpha _{k}|k\in \mathbb {Z} \}$ dieser Lösungen aus höchstens drei Elementen $\{\alpha _{i},\alpha _{j},\alpha _{k}\}$, und um alle diese Werte darzustellen, genügt es, mit $\{i,j,k\}$ ein Repräsentantensystem der Restklassen modulo $3$ zu wählen, also zum Beispiel drei unmittelbar aufeinanderfolgende ganzen Zahlen wie $\{-1,0,1\}$ oder $\{0,1,2\}$.

Die drei gefundenen Lösungen der Gleichung $Z^{3}+pZ+q=0$ haben also die Form

$z_{k}=r_{0}\cdot \cos \alpha _{k}$ mit dem gewählten $r_{0}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ und $k\equiv 0,1,2{\pmod {3}}$		(TrigLsg.2)

Kriterium für Doppelwurzel

Eine doppelte Nullstelle tritt genau gemäß dem Abschnitt zur Bestimmung der Diskriminante genau dann auf, wenn die Diskriminte verschwindet (und $p\neq 0\neq q$, also Fall (b) vorliegt). Es ist möglich, dieses Ergebnis ohne Kenntnis der Diskriminante und ihrer Bedeutung unmittelbar aus der trigonometrischen Darstellung abzuleiten.

Behauptung

Für ein Repräsentantensystem $\{i,j,k\}$ der Restklassen modulo 3 ($\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$) sind die Werte $z_{i},z_{j},z_{k}$ genau dann paarweise verschieden, wenn $\Omega :=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0$ (also im Casus irreducibilis). Im „Falle (b)“ $\Omega =0>p$ stimmen genau zwei überein und liefern eine doppelte Nullstelle. Zusatz: Im trivialen „Fall (a)“ $\Omega =0=p=q$, der nicht Gegenstand dieser Betrachtung ist, stimmen sogar alle drei überein und verschwinden im Nullpunkt, wie bereits dargelegt.

Begründung

Dass zwei Lösungen, etwa $z_{i}=z_{j}$, gleich sind, bedeutet, dass der zur dritten gehörige Winkel $\alpha _{k}\in \mathbb {Z} \pi$ liegt, wie eine Überlegung über die Drehung eines dem Einheitskreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks illustriert, dessen Eckpunkte auf den Punkten $\cos \alpha _{\nu }+\mathrm {i} \,\sin \alpha _{\nu }\;(\nu =i,j,k)$ liegen (oder, was dasselbe ist, dessen drei Seitenhalbierende (Höhen oder Winkelhalbierende) die Winkel $\alpha _{\nu }\;(\nu =i,j,k)$ mit der $x$-Achse bilden): Denn die beiden Winkel $\alpha _{i},\alpha _{j}$ müssen dann symmetrisch zur $x$-Achse liegen, so dass der zum dritten Winkel gehörige Eckpunkt auf der $x$-Achse zu liegen kommt, also Vielfaches von $\pi$ ist: $\alpha _{k}\in \mathbb {Z} \pi$. Genau dann gilt $\vert \cos \alpha _{k}\vert =1$ (Kriterium (CosinusArg)) und mithin $\Omega =0$. Umgekehrt liegen bei $\Omega >0$ drei verschiedene reelle Wurzeln vor.

Formal nachgerechnet

Die Identität $r_{0}\cos \alpha _{i}=z_{i}=z_{j}=r_{0}\cos \alpha _{j}$ bedeutet wegen $r_{0}\neq 0$ die Identität $\cos \alpha _{i}=\cos \alpha _{j}$. Der Nachweis besteht in der Äquivalenz der folgenden Aussagen: Fall (b) liegt vor, das heißt, genau zwei Wurzeln fallen in einer doppelten Nullstelle zusammen. $\cos \alpha _{i}=\cos \alpha _{j}$ $\sin \alpha _{i}=-\sin \alpha _{j}$. Denn der andere grundsätzlich mögliche Fall ($\sin \alpha _{i}=\sin \alpha _{j}$), scheidet aus, da $i\not \equiv j{\bmod {3}}$. $\cos(\alpha _{i}+\alpha _{j})=\cos \alpha _{i}\cos \alpha _{j}-\sin \alpha _{i}\sin \alpha _{j}=\cos ^{2}\alpha _{i}+\sin ^{2}\alpha _{i}=1$ ${\frac {2}{3}}\left(\phi +(i+j)\pi \right)=\alpha _{i}+\alpha _{j}\in 2\mathbb {Z} \pi$ $\phi +(i+j)\pi \in 3\mathbb {Z} \pi$ $\phi \in \mathbb {Z} \pi \cap [0,\pi ]=\{0,\pi \}$ $|\cos \phi |=1$ $\left\vert {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right\vert =1$ (Kriterium (CosinusArg)) $q\neq 0=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=\Omega$ Wegen $\alpha _{i}+\alpha _{j}+\alpha _{k}=\phi +{\frac {i+j+k}{3}}2\pi \in \phi +2\mathbb {Z} \pi$ sind ferner äquivalent: $\alpha _{k}-\phi \in 2\mathbb {Z} \pi \quad$ (m. a. W.: $\alpha _{k}\equiv \phi {\bmod {2\pi }}$ $\alpha _{k}\in \mathbb {Z} \pi$ Daher sind schließlich auch die folgenden Aussagen äquivalent: $\vert \cos \alpha _{k}\vert =1$ $z_{k}=r_{0}\cos \alpha _{k}=\pm r_{0}$ $\textstyle z_{i}=z_{j}=\mp r_{0}\cos {\frac {2\pi }{3}}=\mp {\frac {1}{2}}r_{0}=-{\frac {1}{2}}z_{k}$

Wegen $\Delta =-108\,\Omega$ ist hiermit insgesamt bestätigt, dass das Verschwinden der Diskriminante mit dem Vorliegen einer doppelten Nullstelle äquivalent ist und ihre Negativität mit dem Vorliegen dreier verschiedener reeller Wurzeln, wie behauptet.

Dieselbe Überlegung lässt sich analog anhand der Formel (TrigLsg.1) durchführen; dazu muss lediglich $2\,{\sqrt[{3}]{R}}$ an die Stelle von $r_{0}$ treten. Allerdings ließ sich dort bereits dasselbe Ergebnis mit Hilfe der Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten einfacher begründen.

Variante Schreibweise der Lösung

Der Cosinus besitzt die folgenden Symmetrie- und Antisymmetrie-Eigenschafen

$\textstyle \cos \left(\alpha -{\frac {2\pi }{3}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi }{3}}-\alpha \right)=-\cos \left(\pi -\left({\frac {2\pi }{3}}-\alpha \right)\right)=-\cos \left(\alpha +{\frac {\pi }{3}}\right)$ und

$\textstyle \cos \left(\alpha +{\frac {2\pi }{3}}\right)=-\cos \left(\pi -\left({\frac {2\pi }{3}}+\alpha \right)\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)=-\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{3}}\right)$

Angewandt auf die $\alpha _{\pm 1}$ ergibt sich damit die folgenden Darstellung der Lösungen:

${\begin{aligned}z_{1}&=-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]z_{0}&=\quad 2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]z_{2}&=-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$		(TrigLsg.3)

Die allgemeine Gleichung $F_{A}(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$ hat also die folgenden drei Lösungen:

${\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]x_{2}&=-{\frac {B}{3A}}-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$

Für reelle Werte $r\in \mathbb {R}$ gilt mit der hyperbolische Funktion des Cosinus hyperbolicus und ihrer Umkehrfunktionen (Areafunktion) folgende Beziehung:

$\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (r)\right]={\frac {1}{2}}\left[{\sqrt[{3}]{{\sqrt {r^{2}+1}}+r}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {r^{2}+1}}-r}}\right]$

Die rechte Seite ähnelt in verblüffender Weise dem Wurzelausdruck aus der Formel von Cardano.

Tatsächlich ist bei positivem Koeffizienten $p>0$ die Diskriminante $\Delta$ negativ, und für die eine reelle Wurzel $z_{0}$ von $F_{r}(Z)=Z^{3}+pZ+q$ gilt – in Analogie zur trigonometrischen Behandlung des Casus irreducibilis – die Identität:

${\begin{aligned}z_{0}&={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}\\&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right)\right]\end{aligned}}$		(HyperbLsg)

Bestätigung durch Nachrechnen

Denn mit $\Omega :=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$ gilt zunächst nach der Cardanischen Formel ${\begin{aligned}z_{0}&=u_{0}+v_{0}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}-{\frac {q}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\sqrt {\Omega }}-{\frac {q}{2}}}}\\&=\underbrace {\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}-{\frac {q}{2}}}} _{=:\Phi _{+}}-\underbrace {\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}+{\frac {q}{2}}}} _{=:\Phi _{-}}\end{aligned}}$ Dabei lassen sich für $p>0$ reelle Quadrat- und Kubikwurzeln aus $\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$ziehen und der Kehrwert bilden, so dass folgende Identitäten gelten: ${\begin{aligned}\Phi _{\mp }&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}\cdot {\sqrt {\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}\cdot \left[{\sqrt {\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right]}}\\&={\sqrt {\frac {p}{3}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right]}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[r^{2}+1\right]}}\pm r\right]}}\\\end{aligned}}$ mit $r={\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\in \mathbb {R}$ . Also lässt sich Cardanos Formel bei positivem $p>0$ so schreiben: ${\begin{aligned}z_{0}&=\Phi _{+}-\Phi _{-}\\&=2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left[{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[r^{2}+1\right]}}-r\right]}}-{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[r^{2}+1\right]}}+r\right]}}\right]\\&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left(r\right)\right]\\&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right)\right]\end{aligned}}$

Dies ist die Darstellung der Cardanischen Formeln mit Hilfe der hyperbolischen Funktionen bei $p>0$.

Man vergleiche die trigonometrische Darstellung mit Kreisfunktionen bei $\Delta \geq 0$.

Wie dieser Abschnitt zum Cosinus hyperbolicus zeigt, lässt sich diese Darstellung auch aus dem hyperbolischen Analogon zu Winkeldreiteilung für die Hyperfunktionen ableiten, also mit der Drittelung der Fläche „unter“ der Einheitshyperbel.

Abspaltung eines reellen Linearfaktors und Beispiele

Man beachte weiterhin, dass die Koeffizienten $A,B,C,D,a,b,c,d,p,q$ als reell angenommen werden.

Vorab ist eine Überlegung zur Abspaltung reeller Linearfaktoren nützlich. Der obigen Theorie nach ist mindestens eine Nullstelle des reduzierten Polynoms $F_{r}(Z)=Z^{3}+pZ+q$ reell. Sie sei mit $z_{0}$ bezeichnet. Dann spaltet das Polynom den reellen Linearfaktor $Z-z_{0}$ ab, und zwar in folgender Weise:

Aus $Z^{3}+pZ+q=(Z-z_{0})(Z^{2}+PZ+Q)=Z^{3}+(P-z_{0})Z^{2}+(Q-z_{0}P)Z-Qz_{0})$ folgt, wenn $z_{1},z_{2}$ die beiden anderen (ggf. komplexen) Nullstellen sind:

• $-(z_{1}+z_{2})=P=z_{0}$
• $p=Q-z_{0}P=Q-z_{0}^{2}$, also $Q=p+z_{0}^{2}$.
• $-z_{0}z_{1}z_{2}=q=-Qz_{0}=-QP=-(p+z_{0}^{2})z_{0}=-(pz_{0}+z_{0}^{3})$.

Also lautet die Spaltung:

$Z^{3}+pZ+q=(Z-z_{0})(Z^{2}+z_{0}Z+p+z_{0}^{2})$,

wobei (nach dem Satz von Vieta)

• $z_{1}z_{2}=Q=p+z_{0}^{2}$ und
• $-(z_{1}+z_{2})=P=z_{0}$.

Die Diskriminante des quadratischen Polynomfaktors $Z^{2}+z_{0}Z+p+z_{0}^{2}$ ist

$z_{0}^{2}-4(p+z_{0}^{2})=-4p-3z_{0}^{2}$

und seine Nullstellen sind

$z_{1,2}=-{\frac {z_{0}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {z_{0}}{2}}\right)^{2}-(p+z_{0}^{2})}}={\frac {-z_{0}\pm {\sqrt {-4p-3z_{0}^{2}}}}{2}}$

Beispiel mit negativer Diskriminante

Cardano führt als Beispiel an:

$z^{3}+6z-20=(z-2)(z^{2}+2z+10)=0$.

Für dieses kubische Polynom ist

${\begin{aligned}\Delta &=-4p^{3}-27q^{2}\\&=-2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 3^{3}-3^{3}\cdot 2^{4}\cdot 5^{2}\\&=-2^{4}\cdot 3^{3}(2+5^{2})\\&=-\left(2^{2}\cdot 3^{3}\right)^{2}\\&=-\left(6^{2}\cdot 3\right)^{2}\\&=-108^{2}\\\end{aligned}}$

Wegen $\Delta =-27\Delta _{2}$ ist $\Delta _{2}=2^{4}\cdot 3^{3}=12^{2}\cdot 3=432\,,$ und man erhält

$t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}={\frac {20\pm 12{\sqrt {3}}}{2}}=10\pm 6{\sqrt {3}}={1\pm 3{\sqrt {3}}+3\cdot 3\pm 3{\sqrt {3}}}={(1\pm {\sqrt {3}})^{3}}$.

Man wähle (beim Gleichheitszeichen „${\stackrel {?!}{=}}$“) die reellen Kubikwurzeln

$\textstyle u={\sqrt[{3}]{t_{0}}}\;\;{\stackrel {?!}{=}}\;\;1+{\sqrt {3}}$ und

$\textstyle v={\sqrt[{3}]{t_{1}}}\;\;{\stackrel {?!}{=}}\;\;1-{\sqrt {3}}\,.$

Die Nebenbedingungen sind damit erfüllt! Somit ergibt sich $z_{0}=2$ und $z_{1,2}=-1\pm 3\mathrm {i}$. Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen.

Beispiel mit positiver Diskriminante

Cardano betrachtet die Gleichung

$z^{3}-6z+4=0$.

Für dieses kubische Polynom ist

${\begin{aligned}\Delta &=-4p^{3}-27q^{2}\\&=+2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 3^{3}-3^{3}\cdot 2^{4}\\&=+2^{4}\cdot 3^{3}\cdot (2-1)\\&=16\cdot 27\\&=432\\\end{aligned}}$

Wegen $\Delta =-27\Delta _{2}$ ist $\Delta _{2}=-16$ und man erhält

$t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}=-2\pm {\sqrt {-4}}=2\cdot (-1\pm {\sqrt {-1}})\,.$

Man setze

$u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}={\sqrt[{3}]{2\cdot (-1+{\sqrt {-1}})}}$ und

$v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}={\sqrt[{3}]{2\cdot (-1-{\sqrt {-1}})}}$.

Damit gilt $3uv=3\cdot {\sqrt[{3}]{2^{2}\cdot \left(1-{\sqrt {-1}}^{2}\right)}}=3\cdot {\sqrt[{3}]{2^{3}}}=3\cdot 2=-p$, das heißt: Die Nebenbedingung NB-Nrm ist erfüllt. Auch Nebenbedingung NB-Spur ist erfüllt:

$u^{3}+v^{3}=t_{0}+t_{1}=-4=-q$.

Tatsächlich erfüllt $z_{0}:=u_{0}+v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}+{\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ die Gleichung, denn:

${\begin{array}{ccccccc}(u_{0}+v_{0})^{3}&=&\left({\sqrt[{3}]{t_{0}}}+{\sqrt[{3}]{t_{1}}}\right)^{3}&&&&\\&=&t_{0}+t_{1}&+&3\left({\sqrt[{3}]{4\cdot (-1+{\sqrt {-1}})^{2}}}{\sqrt[{3}]{2\cdot (-1-{\sqrt {-1}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cdot (-1+{\sqrt {-1}})}}{\sqrt[{3}]{4\cdot (-1-{\sqrt {-1}})^{2}}}\right)\\&=&t_{0}+t_{1}&+&3\left({\sqrt[{3}]{4\cdot (1-2{\sqrt {-1}}-1)\cdot 2\cdot (-1-{\sqrt {-1}})}}+{\sqrt[{3}]{2\cdot (-1+{\sqrt {-1}})\cdot 4\cdot (1+2{\sqrt {-1}}-1)}}\right)\\&=&t_{0}+t_{1}&+&3\left({\sqrt[{3}]{8\cdot (1-2{\sqrt {-1}}-1)\cdot (-1-{\sqrt {-1}})}}+{\sqrt[{3}]{8\cdot (-1+{\sqrt {-1}})\cdot (1+2{\sqrt {-1}}-1)}}\right)\\&=&-4&+&3\cdot 2\left({\sqrt[{3}]{2\cdot {\sqrt {-1}}\cdot (1+{\sqrt {-1}})}}+{\sqrt[{3}]{(-1+{\sqrt {-1}})\cdot 2\cdot {\sqrt {-1}}}}\right)\\&=&-4&+&3\cdot 2\left({\sqrt[{3}]{2\cdot ({\sqrt {-1}}-1)}}+{\sqrt[{3}]{2\cdot (-{\sqrt {-1}}-1)}}\right)\\&=&-4&+&6\cdot \left(v_{0}+u_{0}\right)\end{array}}$

Also erhält man die Lösungen:

$z_{0}=u_{0}+v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}+{\sqrt[{3}]{t_{1}}}={\sqrt[{3}]{2}}\left[{\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {-1}}}}\right]$

$z_{1}=u_{0}\varepsilon +v_{0}\varepsilon _{2}$

$z_{2}=u_{0}\varepsilon _{2}+v_{0}\varepsilon$

Nun ist aber offenbar $2$ eine Lösung, also zerfällt $Z^{3}-6Z+4=(Z-2)(Z^{2}+2Z\underbrace {-2} _{=-6+2^{2}})$.

Die beiden weiteren Nullstellen sind demnach $-1\pm {\sqrt {3}}$.

Da es (gemäß Körpertheorie) nur drei Nullstellen geben kann, muss es sich um dieselben handeln: $\{z_{0},z_{1},z_{2}\}=\{2,-1+{\sqrt {3}},-1-{\sqrt {3}}\}$. Wegen der kryptischen Notation der Lösungen $z_{j}$, die Kubikwurzeln von imaginären Größen enthalten, bleibt – einem Menschen der Renaissance allzumal – zunächst verborgen, weshalb diese Mengen identisch sein können und wie die „kryptischen Lösungen“ $z_{j}$ den reellen Lösungen der rechten Mengen zuzuordnen sind. Dies soll nun durch eine „formale Rechnung“ geklärt werden:

Wegen

${t_{0,1}}={2\cdot (-1\pm {\sqrt {-1}})}={-2\pm 2{\sqrt {-1}}}={(1\pm 1{\sqrt {-1}})^{3}}$

gilt mit der folgenden Auswahl der Kubikwurzeln

$u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}:=1+{\sqrt {-1}}$ und

$v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}:=1-{\sqrt {-1}}$

die Identität $z_{0}=u_{0}+v_{0}=2\cdot \Re u_{0}=2\cdot \Re {\sqrt[{3}]{t_{0}}}=2$.

Dabei sind auch die Nebenbedingungen erfüllt:

• (NB-Nrm): $u_{0}v_{0}=1-{\sqrt {-1}}^{2}=2=-{\frac {p}{3}}$ und
• (NB-Spur) bleibt unverändert: $u_{0}^{3}+v_{0}^{3}=t_{0}+t_{1}=-4=-q$

Wenn als primitive dritte Einheitswurzel $\textstyle \varepsilon =\varepsilon _{1}={\frac {1}{2}}(-1+{\sqrt {-3}})$ gewählt wurde, so dass $\arg \varepsilon ={\frac {2\pi }{3}}$, dann gilt überdies

$\textstyle u_{0}\varepsilon _{1,2}={\frac {1}{2}}(-1\mp {\sqrt {3}})+{\frac {\mathrm {i} }{2}}(-1\pm {\sqrt {3}})$, so dass tatsächlich $z_{1,2}=-1\mp {\sqrt {3}}$.

In der trigonometrischen Lösung sind für das besprochene Beispiel zu wählen:

$R:=2{\sqrt {2}}$ und $\phi =\pm {\frac {3}{4}}\pi$, so dass ${\sqrt[{3}]{R}}={\sqrt {2}}=:{\frac {r_{0}}{2}}$.

Die Lösungen gemäß der trigonometrischen Lösung lassen sich so schreiben: $z_{k}=2{\sqrt {2}}\cos \left({\frac {2k\pi }{3}}+{\frac {\pi }{4}}\right)={\begin{cases}2{\sqrt {2}}\cos 45^{\circ }=2\cdot \operatorname {\Re } (1+{\sqrt {-1}})=2&{\text{ für }}k=0\\2{\sqrt {2}}\cos 165^{\circ }=2\cdot \operatorname {\Re } (\varepsilon _{1}(1+{\sqrt {-1}}))=-1-{\sqrt {3}}&{\text{ für }}k=1\\2{\sqrt {2}}\cos 285^{\circ }=2\cdot \operatorname {\Re } (\varepsilon _{2}(1+{\sqrt {-1}}))=-1+{\sqrt {3}}&{\text{ für }}k=2\end{cases}}$

Beispiel aus der Trigonometrie

Im regulären Vierzehneck entspricht das Verhältnis der Seite $s$ zum Umkreisradius $r$ dem Wert $x:=2\sin \!{\tfrac {\pi }{14}}$, der die folgende kubische Gleichung erfüllt:

$x^{3}-x^{2}-2x+1=0$

Durch kubische Ergänzung entsteht:

$(3x-1)^{3}-21(3x-1)+7=0$

Mit der Cardanoschen Formel ergibt sich im Casus irreduzibilis das folgende reelle Lösungstriplett

$x_{0}=2\sin({\tfrac {1}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\sin[{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\,\;\;\;\approx 0{,}445041868$

$x_{1}=-2\sin({\tfrac {3}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\approx -1{,}246979604$

$x_{2}=2\cos({\tfrac {1}{7}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos(-{\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\;\approx 1{,}801937736$

mit $x_{0}$ als dem $s/r$-Verhältnis im regulären Vierzehneck.

Cardanos Formel in der Formulierung durch Arthur Cayley

Man mag es als einen Mangel empfinden, dass die Formel von Cardano stets die Nebenbedingungen im Auge behalten muss. Diesem Umstand hat Arthur Cayley abgeholfen.

Für zwei neue Unbekannte $\xi ,\eta$ setze man

$u=\xi ^{2}\eta \quad$ und $\quad v=\xi \eta ^{2}$		(CayleyParam)

Dann folgt mit Nebenbedingung (NB-Nrm) bzw. (Vieta-Nrm) $\xi \eta ={\sqrt[{3}]{\frac {-p}{3}}}\,.$ Setzt man diesen Wert in die Gleichungen (CayleyParam) ein, ersetzt $u$ bzw. $v$ durch die Werte aus der Cardanoschen Formel (CardForm.1) und löst nach $\xi$ bzw. $\eta$ auf, so erhält man

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {3q}{2p}}+{\sqrt {\left({\frac {3q}{2p}}\right)^{2}+{\frac {p}{3}}}}}}\quad {\text{ für }}i=0,1,2\\\eta _{j}&=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {3q}{2p}}-{\sqrt {\left({\frac {3q}{2p}}\right)^{2}+{\frac {p}{3}}}}}}\quad {\text{ für }}j=0,1,2\\\end{aligned}}$		(CayleysForm.1)

Damit erhält man nun die Lösungen in Cayleys Formulierung.

$z_{(i,j)}=\xi _{i}\cdot \eta _{j}\cdot \left(\xi _{i}+\eta _{j}\right)$ für $0\leq i,j\leq 2$.		(CayleysForm.2)

Zwar gibt es neun Doppelindizes $(i,j)$, doch die Menge $\{z_{(i,j)}|0\leq i,j\leq 2\}$ besteht lediglich aus den drei Lösungen

${\begin{array}{rcr}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\varepsilon _{1}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\varepsilon _{2}\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\varepsilon _{2}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\varepsilon _{1}\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\end{array}}$		(CayleysForm.3)

Charakteristik 2 und 3

Hat der Ring $R$ der Koeffizienten die Charakteristik $\operatorname {char} (R)=2$ oder $\operatorname {char} (R)=3~,$ dann lassen sich die angegebenen Formeln wegen der Divisionen durch $\operatorname {char} (R)$ nicht anwenden. Näheres dazu im Artikel über kubische Gleichungen.

Andere, insbesondere komplexe Koeffizientenkörper

Für Koeffizientenkörper $K=R$ anderer Charakteristiken und für komplexes $R=K\subset \mathbb {C}$ gilt die cardanische Formel unverändert und führt nötigenfalls zu einem Erweiterungskörper $L\supset K$, der den Zerfällungskörper des betrachteten Polynoms enthält. Am bequemsten ist es, sich hierfür auf den maximal möglichen Falle des algebraischen Abschlusses von $\mathbb {R}$, das heißt auf $K=\mathbb {C}$ zu beschränken.

Im Falle eines nicht geordneten Körpers $K\;(\mathbb {R} \subsetneqq K\subset \mathbb {C} )$ bleiben nur zwei Fälle unterscheidbar:

• $\Delta =0$: Dies ist allgemein das Kriterium für mehrfache Nullstellen, wie bei der Bestimmung der Diskriminante beschrieben.
• $\Delta \neq 0$: Dies ist allgemein das Kriterium für paarweise verschiedene Nullstellen. Die beiden „Unterfälle“
  • $\Delta <0$ (drei verschiedene reelle Wurzeln) bzw.
  • $\Delta >0$ (nur eine reelle und zwei verschiedene komplex konjugierte Wurzeln),

die bei $K\subset \mathbb {R}$ im Rahmen obiger Fallunterscheidung noch unterschieden werden konnten, werden ohne eine Ordnung „$<$“ ununterscheidbar und verschmelzen zu nur einem Fall, in dem sich lediglich feststellen lässt, dass es sich um drei verschiedene komplexe Wurzeln handelt.

Die trigonometrische Behandlung des Falles $\Delta >0$, dem „casus irreducibilis“, gemäß der ersten Herleitung beruht lediglich – wie oben erläutert – darauf, die Kubikwurzel komplexer Zahlen in Polarkoordinaten darzustellen, also mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen. Die Darstellung in Polarkoordinaten bleibt natürlich auch bei $\mathbb {R} \subsetneq K\subset \mathbb {C}$ möglich, wird jedoch ihres Sinnes beraubt, bestand dieser doch darin, in einem wohlunterscheidbaren Fall ($\Delta >0$) für die drei reellen Wurzeln einen „rein reellen“ Ausdruck zu finden. Dies gelang, indem ein analytischer Ausdruck in Kauf genommen wurde.

Nun, da im Regelfall alle drei Wurzeln komplex sind und einen nicht verschwindenden Imaginärteil haben, bedeutet die Darstellung in Polarkoordinaten in dieser Hinsicht keinen „Gewinn“. Dass der Imaginärteil bei reellem Koeffizientenkörper verschwindet, liegt darin begründet, dass das Paar $(t_{0},t_{1})$ der Lösungen der Lagrange-Resolvente und somit auch die Paare $(u_{i},v_{i})$ komplex konjugiert sind.

Freilich ist es auch im komplexen Fall denkbar, die Lösungen in Polarkoordinaten mit Hilfe des Sinus (Imaginärteil) und Cosinus (Realteil) darzustellen, doch gelingt die Bestimmung von Real- und Imaginärteil nicht so einfach wie in der ersten Herleitung der trigonometrischen Behandlung, denn das Ablesen der Polarkoordinaten anhand der Formel (PolKoordAbgl) scheitert daran, dass die Wurzel auf der rechten Seite nicht mehr notwendig reell ist: Sie könnte einen Imaginärteil enthalten (ebenso wie der vordere Summand $-{\frac {q}{2}}$). Es lässt sich also nicht mehr folgern, dass für den Realteil $\Re (t_{0,1})=-{\frac {q}{2}}$ gilt. Ebenso wenig lässt sich der Imaginärteil ablesen.

Quartische Gleichungen

Gerolamo Cardanos Schüler Lodovico Ferrari war es gelungen, die Lösung der Gleichung vierten Grades auf diejenige dritten Grades zurückzuführen, indem er eine kubische Resolvente („Hilfsgleichung“) fand. Diesen Lösungsweg veröffentlichte Cardano in seiner Ars magna unter Hinweis auf seinen Schüler.

Reelle Polynome vierten Grades zerfallen reell biquadratisch

Behauptung

Jedes reelle Polynom vierten Grades $F(X)=X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ kann als Differenz zweier Quadrate dargestellt werden, nämlich der Quadrate

1. eines quadratischen reellen Polynoms $Q(X)$ und
2. eines linearen reellen Polynoms $L(X)$.

Also ist $F(X)=[Q(X)]^{2}-[L(X)]^{2}=[Q(X)+L(X)]\cdot [Q(X)-L(X)]=Q_{-}(X)\cdot Q_{+}(X)$ ein Produkt zweier quadratischer reeller Polynome $Q_{\pm }(X)=Q(X)\pm L(X)=X^{2}+(t\pm v)X+(u\pm w)=[X^{2}+t+u]\pm [vX+w]$.

Dabei ist $u$ eine (oder die eine) reelle Lösung der kubischen Resolventengleichung

$C(u):=u^{3}-{\frac {b}{2}}u^{2}+{\frac {ac-4d}{4}}u+{\frac {d(4b-a^{2})-c^{2}}{8}}=0\,,$ bei reduziertem Polynom $F(X)$ (das heißt bei $a=0$) also $C(u):=u^{3}-{\frac {b}{2}}u^{2}-du+{\frac {4db-c^{2}}{8}}=0\,,$		(kubRes)

und die weiteren Koeffizienten zur Faktorisierung

$F(X)=Q_{-}(X)\cdot Q_{+}(X)=\left[X^{2}+(t-v)X+(u-w)\right]\cdot \left[X^{2}+(t+v)X+(u+w)\right]$		(Faktorisierung)

ergeben sich aus folgenden Identitäten:

${\begin{array}{ccc}t&=&{\frac {a}{2}}\\v^{2}&=&2u+{\frac {a^{2}}{4}}-b\\2vw&=&au-c\\w^{2}&=&u^{2}-d\end{array}}$		(FaktKoeff)

Daher sind die Lösungen Gleichungen vierten Grades stets biquadratische Radikale der Lösungen kubischer Gleichungen.

Begründung

Begründung Die geforderte Gleichsetzung am Gleichheitszeichen „${\stackrel {(!)}{=}}$“ ${\begin{array}{ccc}F(X):=X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+cX+d\quad &{\stackrel {!}{=}}&(\underbrace {X^{2}+tX+u} _{=:Q(X)})^{2}-(\underbrace {vX+w} _{=:L(X)})^{2}\\&=&(X^{4}+2tX^{3}+(2u+t^{2})X^{2}+2tuX+u^{2})-v^{2}X^{2}-2wvX-w^{2}\\&=&X^{4}+2tX^{3}+(2u+t^{2}-v^{2})X^{2}+2(tu-wv)X+(u^{2}-w^{2})\\\end{array}}$ impliziert durch Koeffizientenvergleich der Reihe nach die Forderungen am kubischen Glied $t={\frac {1}{2}}a$, am quadratischen Glied $b=2u+t^{2}-v^{2}$, das heißt $4v^{2}=8u+a^{2}-4b$, am linearen Glied $c=2(tu-vw)$, das heißt $2vw=2tu-c=au-c$, sowie im absoluten Glied $d=u^{2}-w^{2}$, das heißt $w^{2}=u^{2}-d$. Wegen $4v^{2}\cdot w^{2}=(2vw)^{2}$ implizieren diese Forderungen (mit dem Gleichsetzungsverfahren) die Gültigkeit der folgenden äquivalenten, in $u$ kubischen Gleichungen: $(a^{2}-4b+8u)(u^{2}-d)=(au-c)^{2}$ $(a^{2}u^{2}-4bu^{2}+8u^{3})-(da^{2}-d4b+8du)=(au)^{2}-2acu+c^{2}$ $8u^{3}+(a^{2}-4b)u^{2}-8du+d(4b-a^{2})=(au)^{2}-2acu+c^{2}$ $8\,C(u):=8u^{3}-4bu^{2}+2(ac-4d)u+d(4b-a^{2})-c^{2}=0$ Die Lösungen $u_{0,1,2}$ dieser kubischen Gleichung in $u$ liefert Cardanos Formel für kubische Gleichungen. – Das kubische Polynom $C(u)=u^{3}-{\frac {b}{2}}u^{2}+{\frac {ac-4d}{4}}u+{\frac {d(4b-a^{2})-c^{2}}{8}}$ in $u$ heißt in diesem Zusammenhang die kubische Resolvente und wurde von Cardanos Schüler Lodovico Ferrari gefunden. – Anschließend lassen sich durch $w^{2}=u^{2}-d$ die Lösungen für $w$ und durch $2vw=au-c$ die Lösungen für $v$ ermitteln, die alle bisherigen Forderungen erfüllen, womit die geforderte Gleichheit $F(X)=[Q(X)]^{2}-[L(X)]^{2}$ hergestellt ist. Anmerkung Es gilt offenbar $t=0\Leftrightarrow a=0$. Also ist $F(X)$ genau dann reduziert, wenn es auch $Q(X)$ ist. Damit lässt sich das quartische Polynom nach der dritten binomischen Formel als Produkt zweier quadratischer Polynome $Q_{+}(X),Q_{-}(X)$ schreiben, deren Lösungen die Mitternachtsformel liefert: ${\begin{aligned}F(X)&=&[Q(X)]^{2}-[L(X)]^{2}\\&=&[Q(X)+L(X)]\cdot [Q(X)-L(X)]\\&=&[(X^{2}+tX+u)+(vX+w)]\cdot [(X^{2}+tX+u)-(vX+w)]\\&=&[X^{2}+(t+v)X+(u+w)]\cdot [X^{2}+(t-v)X+(u-w)]\\&=&Q_{+}(X)\cdot Q_{-}(X)\,,\end{aligned}}$ wobei $Q_{\pm }(X)=X^{2}+(t\pm v)X+(u\pm w)=[X^{2}+t+u]\pm [vX+w]$

Sind also $u_{0}\in \mathbb {R}$ eine reelle Lösung der kubischen Resolvente $C(u)$ und $t_{0},v_{0},w_{0}$ Lösungen der Gleichungen (FaktKoeff), so ist die Nullstellenmenge von $F(X)$ gleich der Vereinigungsmenge der Nullstellenmengen von $Q_{+}(X)$ und $Q_{-}(X)$, enthält also die folgenden höchstens vier Elemente:

$\left\{-{\frac {t_{0}+v_{0}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {t_{0}+v_{0}}{2}}\right)^{2}-(u_{0}+w_{0})}}\right\}\cup \left\{-{\frac {t_{0}-v_{0}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {t_{0}-v_{0}}{2}}\right)^{2}-(u_{0}-w_{0})}}\right\}$

Mit anderen Worten: Die Lösung der Gleichung

$F(X)=0$ vierten Grades

ist auf die Lösung der beiden quadratischen Gleichungen

$Q_{+}(X)=0$ und $Q_{-}(X)=0$ zurückgeführt, die mit Hilfe der kubischen Resolvente $C(u)$ und den Beziehungen (FaktKoeff) bestimmt werden.

Dabei besitzt

• $Q_{-}(X)=(X-x_{00})(X-x_{01})$ die Lösungen $x_{0j}=-{\frac {t_{0}-v_{0}}{2}}+(-1)^{j}{\sqrt {\left({\frac {t_{0}-v_{0}}{2}}\right)^{2}-(u_{0}-w_{0})}}$, und
• $Q_{+}(X)=(X-x_{10})(X-x_{11})$ die Lösungen $x_{1j}=-{\frac {t_{0}+v_{0}}{2}}+(-1)^{j}{\sqrt {\left({\frac {t_{0}+v_{0}}{2}}\right)^{2}-(u_{0}+w_{0})}}$.

Notabene

Es genügt, eine (oder die eine) reelle Lösung $u_{0}\in \mathbb {R}$ der kubischen Resolvente zu wählen, so dass dann auch $v_{0},w_{0}$ reell sind: Denn es kommt nur auf eine Faktorisierung $F(X)=Q_{+}(X)\cdot Q_{-}(X)$ an. Es bedeutet also keine Einschränkung, hierbei im Reellen zu bleiben. Hieraus folgen auch einfache Aussagen über die Nullstellen: Beispielsweise kann biquadratisches Polynom nicht eine ungerade Anzahl imaginärer Nullstellen und im übrigen noch eine reelle Nullstelle besitzen.

Dies ist der Hintergrund, weshalb Gleichungen vierten Grades auch als biquadratische Gleichungen bezeichnet werden.

Dass ein reelles Polynom vierten Grades über $\mathbb {C}$ eine „quaterlineare“ Darstellung bestitzt, das heißt, in vier Linearfaktoren zerfällt, ist aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra klar. Bemerkenswert ist, dass es über $\mathbb {R}$ eine biquadratische Darstellung besitzt, also in das Produkt zweier quadratischer reeller Polynomfaktoren zerfällt, wenn man denn die Wurzeln in geeigneter Weise kombiniert: $(X-x_{00})(X-x_{01})$ und $(X-x_{10})(X-x_{11})$. Paart man sie auf andere Weise, so erhält man komplexe Polynomfaktoren.

Beispielgleichung

Nach der positiven reellen Lösung soll folgende Gleichung aufgelöst werden:

${\color {blue}F(x)=x^{4}-x-1=0}$

In der Darstellung

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}$

gelten also die Werte $a=0,\ b=0,\ c=-1$ und $d=-1$ und folglich die Identitäten:

• $t={\frac {1}{2}}a=0$
• $4v^{2}=8u+a^{2}-4b=8u$, das heißt $v^{2}=2u$
• $2vw=2tu-c=au-c=1$, das heißt $w={\frac {1}{2v}}$
• $w^{2}=u^{2}-d=u^{2}+1={\frac {v^{2}}{4}}+1$

Die kubische Resolvente lautet

$C(u)=u^{3}-{\frac {b}{2}}u^{2}+{\frac {ac-4d}{4}}u+{\frac {d(4b-a^{2})-c^{2}}{8}}=u^{3}+u-{\frac {1}{8}}=u(u^{2}+1)-{\frac {1}{8}}$

Die Diskriminante ist negativ: $\Delta _{3}=-4p^{3}-27q^{2}=-4-{\frac {27}{64}}<0$. Also gibt es nur eine reelle Lösung für $u$ und zwei konjugiert komplexe imaginäre Lösungen.

Nach der Formel von Gerolamo Cardano lautet die reelle Lösung für $u$ wie folgt:

${\begin{aligned}u_{0}&={\frac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}\left[{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}\right]\end{aligned}}$

Berechnung in Einzelschritten

Mit $\Omega :=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=-{\frac {\Delta }{108}}$ gilt: ${\begin{aligned}u_{0}&={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\Omega }}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\Omega }}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}-{\frac {q}{2}}}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}+{\frac {q}{2}}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{3^{3}}}}}+{\frac {1}{4^{2}}}}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{3^{3}}}}}-{\frac {1}{4^{2}}}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\frac {3^{3}+4^{4}}{4^{4}\cdot 3^{3}}}}+{\frac {1}{4^{2}}}}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {\frac {3^{3}+4^{4}}{4^{4}\cdot 3^{3}}}}-{\frac {1}{4^{2}}}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\frac {3\cdot 283}{4^{4}\cdot 3^{4}}}}+{\frac {12^{2}}{4^{2}\cdot 12^{2}}}}}-{\sqrt[{3}]{\sqrt {{\frac {3\cdot 283}{4^{4}\cdot 3^{4}}}-{\frac {12^{2}}{4^{2}\cdot 12^{2}}}}}}\\&={\sqrt[{3}]{12^{2}}}\cdot \left[{\sqrt[{3}]{{\sqrt {3\cdot 283}}+{3^{2}}}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {3\cdot 283}}-{3^{2}}}}\right]\\\end{aligned}}$

Des Weiteren gilt in diesem Beispiel:

$4v^{2}=a^{2}-4b+8u_{0}=8u_{0}$ und

$2vw=au_{0}-c=1$

Insgesamt erhält man für $u,v$ und $w$ die Lösungen:

${\begin{aligned}u_{0}&={\frac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}\left[{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}\right]\\[1em]v_{0}&=\pm {\sqrt {2u_{0}}}\\[1em]w_{0}&={\frac {1}{2v_{0}}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {2u_{0}}}}}\end{aligned}}$		(BspFaktKoeff)

Der Umstand, dass in diesem Beispiel $v_{0}^{2}=2u_{0}$ gilt, hat folgende hilfreiche Beziehung zur Folge:

${\begin{aligned}Q_{\pm }(X)&=\left[X^{2}+u_{0}\right]\pm \left[v_{0}\,X+w_{0}\right]\\&=\left[X^{2}\pm v_{0}\,X\right]+\left[u_{0}\pm w_{0}\right]\\&=\left[X\pm {\frac {v_{0}}{2}}\right]^{2}+\left[u_{0}-{\frac {v_{0}^{2}}{4}}\pm w_{0}\right]\\&=\left[X\pm {\frac {v_{0}}{2}}\right]^{2}+\left[{\frac {u_{0}}{2}}\pm w_{0}\right]\\\end{aligned}}$

Folglich sind für

• $Q_{+}$ die beiden Nullstellen $x_{10},x_{11}$ gegeben durch $x_{1,j}=-{\frac {v_{0}}{2}}+(-1)^{j}{\sqrt {-w_{0}-{\frac {u_{0}}{2}}}}$ und für
• $Q_{-}$ die beiden Nullstellen $x_{00},x_{01}$ gegeben durch $x_{0,j}=+{\frac {v_{0}}{2}}+(-1)^{j}{\sqrt {+w_{0}-{\frac {u_{0}}{2}}}}$,

und diese höchstens vier Nullstellen $x_{00},x_{01},x_{10},x_{11}$ sind die Nullstellen von $F(X)=X^{4}-X-1$:

• $x_{i,j}=(-1)^{i}{\frac {v_{0}}{2}}+(-1)^{j}{\sqrt {(-1)^{i}w_{0}-{\frac {u_{0}}{2}}}}$ für $i,j\in \{0,1\}$

Die gesuchte positive Nullstelle ist demnach

${\begin{aligned}x_{00}&=+{\frac {v_{0}}{2}}+{\sqrt {w_{0}-{\frac {u_{0}}{2}}}}\\&\approx 1{,}2207440846\end{aligned}}$

Darstellung mit hyperbolischen Funktionen

Da der Linearkoeffizient der kubischen Resolvente $C(u)$ positiv ist, lässt sich die Hyperbolische Behandlung bei positivem Linearkoeffizient anwenden, und diese liefert:

${\begin{aligned}u_{0}&={\frac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}\left[{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}\right]\\&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]\\[1em]v_{0}&=\pm {\sqrt {2u_{0}}}\\&={\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}\\[1em]w_{0}&={\frac {1}{2v_{0}}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {2u_{0}}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {\operatorname {csch} \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}\end{aligned}}$		(BspFaktKoeffHyperbel)

Die gesuchte positive Nullstelle ist demnach

${\begin{aligned}x_{00}&=+{\frac {v_{0}}{2}}+{\sqrt {w_{0}-{\frac {u_{0}}{2}}}}\\&={\frac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {\operatorname {csch} \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}\\&\approx 1{,}2207440846\end{aligned}}$

Faktorisierung mit Hyperbelfunktionen

Falls die explizite Faktorisierung noch von Interesse ist, so setze man dies oben erhalten Werte und $t_{0}=0$ in die oben erhaltenen Identitäten ${\begin{array}{lcccc}F(X)&=&\left[Q(X)\right]^{2}-\left[L(X)\right]^{2}&=&\left(X^{2}+u_{0}\right)^{2}-\left(v_{0}X+w_{0}\right)^{2}\\&=&\left[Q(X)+L(X)\right]\cdot \left[Q(X)-L(X)\right]\\&=&Q_{+}(X)\cdot Q_{-}(X)\\&=&\underbrace {\left[X^{2}+(t_{0}+v_{0})X+(u_{0}+w_{0})\right]} _{=Q_{+}(X)}\cdot \underbrace {\left[X^{2}+(t_{0}-v_{0})X+(u_{0}-w_{0})\right]} _{=Q_{-}(X)}\\&=&\underbrace {\left[(X^{2}+t_{0}+u_{0})+(v_{0}X+w_{0})\right]} _{=Q_{+}(X)}\cdot \underbrace {\left[(X^{2}+t_{0}+u_{0})-(v_{0}X+w_{0})\right]} _{=Q_{-}(X)}\end{array}}$ ein und erhalte für $F(X)$ die Darstellung: ${\begin{aligned}F(X)=X^{4}-X-1&=\left[\overbrace {X^{2}+\underbrace {{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]} _{=u_{0}}} ^{=Q(X)}\right]^{2}-\left[\overbrace {\underbrace {{\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}} _{=v_{0}}\,X+\underbrace {{\frac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {\operatorname {csch} \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}} _{=w_{0}}} ^{=L(X)}\right]^{2}\\&=Q_{+}(X)\cdot Q_{-}(X)\end{aligned}}$ wobei für die Polynomfaktoren $Q_{\pm }(X)=\left(X^{2}+u_{0}\right)\pm \left(v_{0}X+w_{0}\right)$ gilt: ${\begin{aligned}Q_{\pm }(X)&=X^{2}\pm \underbrace {{\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}} _{=v_{0}}\,X+\left[\underbrace {{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]} _{=u_{0}}\pm \underbrace {{\frac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {\operatorname {csch} \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}} _{=w_{0}}\right]\\&=\left[X^{2}+\underbrace {{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]} _{=u_{0}}\right]\pm \left[\underbrace {{\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}} _{=v_{0}}\,X+\underbrace {{\frac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {\operatorname {csch} \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3}{16}}{\sqrt {3}}\right)\right]}}} _{=w_{0}}\right]\end{aligned}}$

Literatur

• Hieronymus Cardanus: [Hieronymi Cardani …] Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus : qui & totius operis de arithmetica, quod opus perfectum inscripsit, est in ordine decimus. Nürnberg [Petreius] 1545, siehe etwa Cap. XII de cubo aequli rebus & numero (S. 31 f.) und Cap. XXXVII De regula falsum ponendi Regula II (und Demonstratio) (S. 65 ff.), doi:10.3931/e-rara-9159 (ETH-Bibliothek Zürich, Shelf Mark: Rar 5506 / Public Domain Mark [PDF; 52,2 MB; abgerufen am 1. November 2024]).  – Häufig schlicht als „Ars magna“ zitiert.
• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. 6. Auflage. Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, doi:10.1007/978-3-658-26152-8 (Einführung [PDF; 319 kB]). 
• Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen. München 1948, doi:10.1515/9783486775990. 
• Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen. Leipzig 1896, Vierter Abschnitt. Directe Auflösung der Gleichungen von den ersten vier Graden durch Substitution. IV. Von der Auflösung der kubischen Gleichungen. § 127. Methode und Formel von Scipio Ferreo, Nicol. Tartaglia und Hieron. Cardano. (Capitulum cubi et rerum numero aequalium.), S. 362 ff., doi:10.3931/e-rara-78944. 
• Peter Pesic: Abels Beweis. Die Geschichte rund um die Lösungsformeln vom Grad 2 bis 4 und der komplette Beweis von Abel. Springer, 2005, ISBN 3-540-22285-5, doi:10.1007/978-3-540-27309-7. 
• Charles Hermite: Sur la résolution de l’Équation du cinquième degré Comptes rendus (= Comptes Rendus Acad. Sci. Nr. 11). Paris März 1858. 
• G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic (= American Journal of Mathematics. Band 7). 1885, S. 170–177. 
• F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquième degré (= Comptes rendus. N. 11. (Mars 1858)). 1. Dezember 1858, doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org [abgerufen am 24. Oktober 2021]). 
• Carl Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form x⁵+ux+v=0 (= Acta Mathematica. Band 7). 1885, S. 173–186, doi:10.1007/BF02402200. 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VIII Die Theorie von Galois, § 64 Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades, Satz im Kleindruck auf Seite 194. 
• Konrad Knopp: Elemente der Funktionentheorie (= Sammlung Göschen. Band 1109). Walter de Gruyter & Co, Leipzig 1937, 2. Kapitel, § 4 Geschichtliches (Seite 19) – (144 S.). 
• Wolfgang Krull: Elementare Algebra vom höheren Standpunkt (= Sammlung Göschen. Band 930). Walter de Gruyter & Co, Leipzig 1939 (143 S.). 
• Eugen Netto: Vorlesungen über Algebra. Erster Band. B. G. Teubner, Leipzig 1896, OCLC 1140714575, 9. Vorlesung (Die symmetrischen Funktionen), 12. Vorlesung (Die Resultante und ihre Darstellung), 14. Vorlesung (Die Discriminanten) und 26. Vorlesung (Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades), § 284 [beschreibt Eulers eleganten Weg zur Herleitung der Cardanischen Formel] (388 S., archive.org [PDF; 23,1 MB]). 
• Heinrich Weber: Lehrbuch der Algebra. in zwei Bänden. Erster Band. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1895, §§ 34ff., S. 114 ff. (653 S., uni-goettingen.de [PDF; 48 kB; abgerufen am 1. November 2024]). 
• Robert Fricke: Lehrbuch der Algebra. verfaßt mit Benutzung von Heinrich Webers gleichnamigem Buche (in drei Bänden). Erster Band. Friedrich Vieweg & Sohn Aktiengesellschaft, Braunschweig 1924, 6. Transformationen höheren Grades § 3 Beispiel der kubischen Gleichung., S. 174 ff. (468 S., uni-goettingen.de [PDF; 65,1 MB; abgerufen am 9. November 2024]). 
• H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, Fr. Hirzebruch, Max Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. In: Grundwissen Mathematik I. 3., verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0, Kapitel 3 Komplexe Zahlen (R. Remmert) § 1 Genesis der komplexen Zahlen 1. CARDANO (1501-1576), S. 46, doi:10.1007/978-3-642-96783-2 (Hirzebruch Collection [abgerufen am 9. November 2024]). 
• Serge Lang: Linear Algebra. 3rd edition Auflage. Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-387-96412-6. 
• Thomas de Padova: Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand. Carl Hanser Verlag, 2021, ISBN 978-3-446-26932-3. 

Weblinks

• Formeln von Cardano zur Lösung der Gleichung dritten Grades auf mathematik.ch