Cardanische Formeln

Die Cardanische Formel oder auch Cardanosche Formel ist eine Formel zur Lösung kubischer Gleichungen (Gleichungen dritten Grades), was gleichbedeutend ist mit der Berechnung der Nullstellen eines kubischen Polynoms. Die Formel wurde erstmals 1545 vom italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht, aber in Spezialfällen bereits zuvor von Nicolo Tartaglia und Scipione del Ferro gefunden, ohne dass eine Veröffentlichung erfolgte.

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Die Cardanische Formel gab wichtige Impulse für die weitere Entwicklung der Algebra wie die spätere Einführung von negativen und komplexen Zahlen. Heute besitzt die Cardanische Formel allerdings kaum noch eine praktische Bedeutung, da für eine numerische Bestimmung inzwischen universelle und deutlich schnellere Verfahren entwickelt wurden.

Cardanische Formel im einfachsten Fall

Die Cardanische Formel liefert zunächst eine einzelne Lösung von kubischen Gleichungen der Form

$x^{3}+px+q=0$

mit reellen Koeffizienten $p$ und $q$. Die Formel für eine Lösung lautet:

$x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$

Im Fall, dass der Radikand der Quadratwurzel nicht negativ ist, findet man mit der Formel problemlos eine Lösung. Die Cardanische Formel ähnelt damit der aus der Schulmathematik bekannten p-q-Formel, die zum Auflösen von quadratischen Gleichungen des Typs

$x^{2}+px+q=0$

verwendet wird.

Zwei Beispiele zur Cardanischen Formel

Eine Lösung zur Gleichung

$x^{3}-6x-6=0$

ist gemäß der Cardanischen Formel

$x={\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}=2,847\dots$

Analog findet man zur Gleichung

$x^{3}-3x-4=0$

die Lösung

$x={\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}=2,196\dots$

Die ergänzten Dezimaldarstellungen der Lösungen dienen primär zur leichten Überprüfung. Die Cardanische Formel wird in der Regel nicht verwendet, wenn für eine praktische Anwendung nur eine Dezimaldarstellung gesucht wird, weil für diesen Zweck universelle, iterative Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren besser geeignet sind.

Notwendig ist die Cardanische Formel aber bei der Suche nach dem „exakten“ Wert, das heißt, wenn eine Zurückführung der Lösung auf Gleichungen der Form $z^{n}-a=0$ angestrebt wird, wobei bei kubischen Gleichungen $n=2$ und $n=3$ ausreicht.

Allgemeine Aussage der Cardanischen Formel

Allgemein geht man davon aus, dass die Koeffizienten der kubischen Gleichung $p$ und $q$ in einem Körper $K$ liegen. In vielen Anwendungen ist $K=\mathbb {R}$ (reelle Zahlen) oder $K=\mathbb {C}$ (komplexe Zahlen).

Ist $K$ ein Körper der Charakteristik ungleich 2 oder 3, mit $p,q\in K$, so sind die Lösungen der Gleichung

$x^{3}+px+q=0$

gegeben durch

$x_{1}=u+v,\qquad x_{2}=\zeta ^{2}u+\zeta v,\qquad x_{3}=\zeta u+\zeta ^{2}v.$

Dabei ist $\zeta$ eine beliebige primitive, dritte Einheitswurzel im algebraischen Abschluss ${\overline {K}}$ sowie

$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}},\qquad v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}},$

wobei die dritten Wurzeln mit der Nebenbedingung $uv=-{\tfrac {1}{3}}p$ zu wählen sind. Diese Nebenbedingung ist wichtig, da Wurzeln ansonsten mehrdeutig sind. Für $\zeta$ kann der Ausdruck $\zeta =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {-3}}{2}}\in {\overline {K}}$ gewählt werden, wobei die Wahl der Quadratwurzel unerheblich ist. Zu beachten ist, dass wegen $\mathrm {char} (K)\not =2,3$ durch 2 bzw. 3 dividiert werden darf, und bereits ${\sqrt {-3}}\not =0$ gilt.

Für die Standardsituation der reellen Zahlen ist zu beachten, dass der algebraische Abschluss in diesem Falle gegeben ist durch die komplexen Zahlen, also ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {C}$. Es kann in dieser Situation $\zeta =e^{\frac {2\pi \mathrm {i} }{3}}=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i}$ gewählt werden. Dabei bezeichnet $x\mapsto e^{x}$ die (komplexe) Exponentialfunktion.

Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades

Die Cardanische Formel eignet sich nur dazu, reduzierte kubische Gleichungen zu lösen, das heißt Gleichungen ohne quadratisches Glied. Jedoch können alle kubischen Gleichungen durch eine lineare Transformation der Variablen in die reduzierte Form gebracht werden: Die allgemeine Gleichung dritten Grades

$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$		(AllgGlg)

mit reellen oder komplexen Zahlen $A$, $B$, $C$, $D$ und $A\neq 0$ kann durch Division durch $A$ zunächst in die Normalform

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$		(NrmGlg)

gebracht werden.

Mit Hilfe der Substitution $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ erhält man aus der Normalform eine Gleichung für die Variable $z$ in reduzierter Form, bei der das quadratische Glied fehlt

$z^{3}+pz+q=0,$		(RedGlg)

mit den Koeffizienten

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$		(Red-p)

und

$q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c$.		(Red-q)

Geschichte

Titelseite der Ars Magna von Cardano

Die Cardanische Formel wurde, zusammen mit Lösungsformeln für quartische Gleichungen (Gleichungen vierten Grades), erstmals 1545 vom italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro, ohne dass eine Veröffentlichung erfolgte. Von Cardano selbst stammt die Methode zur Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades auf den Spezialfall, dass der Koeffizient beim quadratischen Glied gleich null ist. Zwischen Cardano und Tartaglia entbrannte nach der Veröffentlichung ein heftiger Disput darüber, ob Cardano überhaupt berechtigt gewesen sei, die von Tartaglia gefundene und unter Zusicherung der Verschwiegenheit Cardano mitgeteilte Formel zu publizieren. Cardano verwies zu seiner Verteidigung darauf, dass bereits del Ferro die Formel gefunden habe.

Cardano verwendete noch nicht die uns heute vertraute Formelschreibweise, sondern nur Abkürzungen für mathematische Operationen. Da negative Zahlen noch unbekannt waren, musste er verschiedene Formen von kubischen Gleichungen unterscheiden wie zum Beispiel $x^{3}+px=q$ und $x^{3}=px+q$, die wir heute mittels negativer Koeffizienten als einen gemeinsamen Fall ansehen. Positive Koeffizienten musste Cardano insbesondere deshalb voraussetzen, weil er teilweise geometrisch argumentierte, wie in al-Chwarizmis Buch Hisab al-dschabr wa-l-muqabala bei quadratischen Gleichungen und in Euklids Elementen bei dazu ähnlichen Sachverhalten.

Seite aus der Ars Magna: Lösung von Gleichungen der Form $x^{3}=px+q$. Die Graphik zeigt die Zer­legung der Kantenlänge eines Würfels in zwei Teile (in einer nicht per­spek­tivischen Dar­stellung).

Cardanos geometrischer Ausgangspunkt war ein Würfel, dessen Kantenlänge in zwei Teile $u$ und $v$ zerlegt wird, wie es das Faksimile rechts zeigt. Bei dieser Zerlegung ergeben sich zwei Teilwürfel und drei in ihren Abmessungen übereinstimmende Quader, was in heutiger Formelschreibweise der Identität

$(u+v)^{3}=3uv(u+v)+(u^{3}+v^{3})$

entspricht. Die in ihrer Form dazu ähnliche kubische Gleichung $x^{3}=px+q$ kann also gelöst werden, wenn man eine entsprechende Zerlegung der Unbekannten $x=u+v$ findet. Dazu müssen die dritten Potenzen $u^{3}$ und $v^{3}$ die Bedingung $u^{3}v^{3}=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$ und $u^{3}+v^{3}=q$ erfüllen, womit die beiden dritten Potenzen $u^{3}$ und $v^{3}$ aufgrund des Satzes von Vieta aus einer quadratischen Gleichung berechnet werden können.

Die Cardanische Formel gab wichtige Impulse für die weitere Entwicklung der Algebra wie die spätere Einführung von negativen und komplexen Zahlen. Dafür ursächlich war insbesondere, dass die Cardanische Formel scheinbar versagt, wenn der Radikand der Quadratwurzel negativ ist, selbst wenn eine Lösung bekannt ist. Cardano selbst gab zum Beispiel in der Ars magna für die Gleichung $x^{3}=8x+3$ die Lösung $3$ an, verzichtete aber darauf, diese Lösung mit seiner Formel herzuleiten, was zur damaligen Zeit auch gar nicht möglich gewesen wäre, weil es sich bei den Zwischenergebnissen um nicht reelle, komplexe Zahlen handelt. Solche kubische Gleichungen, die zu einem negativen Radikanden bei der Quadratwurzel führen, werden als casus irreducibilis (lat.: „nicht zurückführbarer Fall“) bezeichnet. Immerhin experimentierte Cardano in anderen Teilen seines Buches bereits mit negativen und komplexen Zahlen.

Fortschritte bei der Behandlung des casus irreducibilis machten erst später Rafael Bombelli, der 1572 erste Erklärungen auf algebraischer Ebene gab, und Franciscus Vieta, der 1600 eine Lösung des casus irreducibilis mit Hilfe trigonometrischer Funktionen fand.

Cardano löste in seiner Ars magna auch Gleichungen vierten Grades, öfters biquadratisch und manchmal quartisch genannt: Die Lösungsmethode hatte sein Schüler Lodovico Ferrari gefunden, der das Problem mit Hilfe einer kubischen Hilfsgleichung, oft als Resolvente bezeichnet, auf die kubische Gleichung zurückführte. Dieser zweifache Erfolg war der erste große Fortschritt bei algebraischen Methoden seit al-Chwarizmis Begründung der Algebra. In Folge wurden viele Mathematiker dazu inspiriert, Gleichungen höherer Grade auf ihre prinzipiellen Eigenschaften und im Hinblick auf Lösungsformeln zu untersuchen. Die dabei wesentlichen Ergebnisse sind der Fundamentalsatz der Algebra, der Hauptsatz über symmetrische Funktionen und die Galois-Theorie, aus der folgt, dass es keine Auflösungsformel für Gleichungen gibt mit einem Grad von mindestens fünf.

Prinzipielle Eigenschaften von kubischen Gleichungen

Aus allgemeinen Sätzen, die für Polynome eines beliebigen Grades und ihre Nullstellen gelten, ergeben sich im Fall eines kubischen Polynoms die nachfolgend aufgeführten Aussagen. Die Darlegung beschränkt sich auf kubische Gleichungen mit komplexen Koeffizienten, obwohl auch in anderen Fällen entsprechende Aussagen gelten.

Zerlegung in Linearfaktoren

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt jedes kubische Polynom mit reellen oder komplexen Koeffizienten in drei bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmte Linearfaktoren. Für eine kubische Gleichung

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

bedeutet dies

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

mit drei komplexen Zahlen $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$, die damit die Lösungen der kubischen Gleichung sind. Bei einer kubischen Gleichung gibt es demnach immer drei, nicht unbedingt voneinander verschiedene Lösungen. Zusammenfallende Lösungen werden als mehrfache Lösung bezeichnet und bei Aussagen über eine Anzahl von Lösungen mit einer bestimmten Eigenschaft einzeln gezählt. Aus der Zerlegung in Linearfaktoren ergibt sich auch, dass die Gleichungskoeffizienten $a,\,b,\,c$ bis auf das Vorzeichen den elementarsymmetrischen Polynomen entsprechen. Zum Beispiel gilt $c=-x_{1}x_{2}x_{3}$.

Im Sonderfall einer reduzierten Gleichung, das heißt bei $a=0$, ist stets

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$.

Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante Δ und der Anzahl der Nullstellen eines kubischen Polynoms der Form $x^{3}+ax^{2}+bx+c$ mit reellen Koeffizienten

Kubische Gleichungen mit reellen Koeffizienten

Da bei Polynomen mit reellen Koeffizienten unabhängig vom Grad die Nullstellen immer paarweise konjugiert komplex auftreten, hat eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten entweder eine oder drei reelle Lösungen. Unterschieden werden können die beiden Fälle mittels des Differenzenprodukts

$(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})$,

das bei drei reellen Lösungen einen reellen Wert und bei genau einer reellen Lösung einen rein imaginären Wert annimmt. In Folge erfüllt die sogenannte Diskriminante, die als Quadrat des Differenzenprodukts, das heißt durch

$\Delta =(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}$

definiert ist, die folgenden Eigenschaften:

Bei reellen Gleichungskoeffizienten gibt es

• bei $\Delta <0$ genau eine reelle Lösung,
• bei $\Delta >0$ drei reelle Lösungen und
• bei $\Delta =0$ nur reelle Lösungen, darunter eine mehrfache.

Berechnung der Diskriminante aus den Gleichungskoeffizienten

Als symmetrisches Polynom kann die Diskriminante durch einen polynomialen Ausdruck der elementarsymmetrischen Polynome und damit der Gleichungskoeffizienten berechnet werden. Konkret gilt im Fall der reduzierten kubischen Gleichung

$\Delta =-4p^{3}-27q^{2},$

das ist der $(-108)$-fache Wert des Quadratwurzelradikanden innerhalb der Cardanischen Formel.

Problematik des casus irreducibilis

Wie bereits im Abschnitt Geschichte erwähnt, erkannte schon Cardano, dass die nach ihm benannte Formel im Fall reeller Koeffizienten und eines negativen Quadratwurzelradikanden zu versagen scheint. Der Erste, der eine solche Gleichung lösen konnte, war 1572 Bombelli. In heutiger Notation erhielt er zur Gleichung

$x^{3}-15x-4=0$

die Lösung

$x={\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}={\sqrt[{3}]{2+11\mathrm {i} }}+{\sqrt[{3}]{2-11\mathrm {i} }}.$

Für das spezielle Beispiel konnte Bombelli wegen $\left(2\pm \mathrm {i} \right)^{3}=2\pm 11\mathrm {i}$ weiterrechnen:

$x=(2+\mathrm {i} )+(2-\mathrm {i} )=4$.

Allgemein lassen sich die beiden dritten Wurzeln aus komplexen Zahlen nur mit Hilfe des Moivreschen Satzes, und damit nur mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen berechnen, womit allerdings die Methoden der Algebra verlassen werden. Zwar erhält man auf diese Weise die numerischen Werte der drei reellen Lösungen, allerdings gibt es dafür, wie bereits erwähnt, universell einsetzbare und schneller zum numerischen Ergebnis führende Verfahren. Da aus algebraischer Sicht zwischen Quadratwurzeln wie ${\sqrt {-2}}$ und ${\sqrt {2}}$ kein prinzipieller Unterschied besteht, ist eine „Lösung“ des casus irreducibilis algebraisch nicht erforderlich.

Herleitung

Die cardanische Formel liefert die reellen Lösungen (oder die eine reelle Lösung) der reduzierten Gleichung. Sie lautet

$z={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$,

und wird im Folgenden hergeleitet. Die Fragen zur Bildung einer Kubikwurzel, die die Formel aufwirft, werden dabei genauer beleuchtet.

Die Koeffizienten $p,\ q$ der reduzierten und die Koeffizienten $A,\ B,\ C,\ D$ der allgemeinen Form werden als reell angenommen. (Für den komplexen Fall siehe diesen Abschnitt.) Im Unterschied zur quadratischen Lösungsformel kommen bei der kubischen Gleichung auch dann, wenn alle drei Lösungen reell sind, nicht-reelle komplexe Zahlen ins Spiel.

Ausgehend von Cardanos Formel können durch die Rücksubstitution $x=z-{\tfrac {B}{3A}}$ die Lösungen der ursprünglichen Gleichung $F_{A}(X)=0$ bestimmt werden. –

Herleitung der cardanischen Formel

Mit der Substitution

$z=u+v$		(Subst)

erhält man

$z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}\,.$

Im Vergleich mit der reduzierten Gleichung (also mit $z^{3}+pz+q=0$) erkennt man, dass bei Gleichsetzung mit ihr die Unbekannten $u,v$ folgende Nebenbedingungen erfüllen müssen:

$3uv=-p$		(NB-Nrm)

und

$u^{3}+v^{3}=-q$		(NB-Sp)

Unter Beachtung dieser Nebenbedingungen löst man nun die reduzierte Gleichung, indem man zunächst bemerkt, dass die Nebenbedingungen für die Unbekannten $t_{0}:=u^{3}$ und $t_{1}:=v^{3}$ die Gleichungen

$t_{0}t_{1}=u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\tfrac {p}{3}}\right)^{3}=-{\tfrac {p^{3}}{27}}$		(Vieta-Nrm)

  und

$t_{0}+t_{1}=u^{3}+v^{3}=-q$		(Vieta-Sp)

implizieren. Beachte hierbei, dass zwar (Vieta-Sp) und (NB-Sp) äquivalente Bedingungen sind, nicht aber (Vieta-Nrm) und (NB-Nrm). Also muss im weiteren Lösungsweg stets darauf geachtet werden, dass die Nebenbedingung (NB-Nrm) gültig bleibt.

Nach dem Satz von Vieta sind daher $t_{0}$ und $t_{1}$ die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung

$L(t):=t^{2}+qt-{\tfrac {p^{3}}{27}}=0$,		(L-Res)

welche die Lagrange-Resolvente der kubischen Gleichung genannt wird.

Die quadratische Lösungsformel liefert die Lösungen der Langrange-Resolvente zu

$t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}$   mit   $\Delta _{2}:=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$ als der Diskriminante der quadratischen Resolvente gemäß (quDiscr).

Bezeichnet nun $\varepsilon$ eine primitive dritte Einheitswurzel und setzt man $\varepsilon _{i}:=\varepsilon ^{i}$ für $i=0,1,2$, so sind nun die drei (nicht notwendig verschiedenen) Lösungen $z_{i}\;(i=0,1,2)$ der kubischen Gleichung die folgenden:

${\begin{aligned}z_{i}&=u_{i}+v_{i}{\text{ mit }}{\begin{cases}u_{0,1,2}&=\varepsilon _{0,1,2}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{0}}}{\text{ und }}\\v_{0,1,2}&=\varepsilon _{0,2,1}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}\,,\end{cases}}\\\end{aligned}}$		(FormCard.1)

wobei für den Ausdruck $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ eine fest gewählte dritte Wurzel zu wählen ist, und für $v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ die aufgrund von (NB-Nrm) durch diese Wahl festgelegte dritte Wurzel $v_{0}={\frac {-p}{3u_{1}}}$ von $t_{1}$. Entsprechend müssen auch die Paare $(u_{1},v_{1})$ und $(u_{2},v_{2})$ die Nebenbedingung (NB-Nrm) erfüllen.

Man beachte also:

• Bei positiver Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}>0$ sind $t_{0},t_{1}$ reell. Man wähle dann die reellen Kubikwurzeln für $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ bzw. $v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$. Die anderen Kubikwurzeln $u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}$ sind dann imaginär, und die Nebenbedingungen erzwingen, dass sie paarweise konjugiert komplex sind: $u_{2}={\overline {u_{1}}}$ und $v_{2}={\overline {v_{1}}}$.
• Bei verschwindender Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}=0$ ist $t_{0}=t_{1}$ eine reelle doppelte Nullstelle der quadratischen Lagrangeschen Resolvente. Für $u_{i},v_{i}$ gilt dasselbe wie im vorstehenden Fall und zusätzlich $u_{0}=v_{0}$, $u_{1}=u_{0}\varepsilon =v_{0}\varepsilon =v_{2}$ und entsprechend $u_{2}=v_{1}$.
• Bei negativer Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}<0$ sind $t_{0},t_{1}$ imaginär und zueinander konjugiert komplex. Daher sind dann auch die Kubikwurzeln $u_{i},v_{i}$ imaginär, und in diesem Falle, dem „casus irreducibilis“, sind die Paare $(u_{i},v_{i})$ zueinander konjugiert komplex: $u_{i}={\overline {v_{i}}}$. Daher ist ihre jeweilige Summe $u_{i}+v_{i}$ reell.

Die drei Lösungen sind also

${\begin{array}{lclcrcrcrcr}z_{0}&=&u_{0}\varepsilon _{0}+v_{0}\varepsilon _{0}=u_{0}\varepsilon _{0}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{0}&=&{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\z_{1}&=&u_{0}\varepsilon _{1}+v_{0}\varepsilon _{2}=u_{0}\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{2}&=&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\z_{2}&=&u_{0}\varepsilon _{2}+v_{0}\varepsilon _{1}=u_{0}\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{1}&=&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\\end{array}}$		(FormCard.2)

Dabei muss für alle auftauchenden Radikale ${\sqrt[{3}]{\cdot }}$ jeweils dieselbe Wurzel ausgewählt werden und für $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}},\;v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ insbesondere zwei solche Wurzeln, mit welchen die Nebenbedingung (Vieta-Nrm) (also $u_{0}\,v_{0}=-3p$) erfüllt ist.

Der Sonderfall $p=0$

Man setze $v=0=t_{0}$ sowie $\Delta _{2}=q^{2}$ und schließlich $t_{1}=-{\tfrac {q}{2}}-{\tfrac {q}{2}}=-q$, so dass sich die drei Wurzeln $z_{i}=-\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{q}}$ für $i=0,1,2$ ergeben.

Lösung der allgemeinen (nicht notwendig normierten) Gleichung

Will man auf die allgemeine Gleichung (AllgGlg) mit dem Leitkoeffizienten $A$ zurückgehen, so sind die Substitutionsbeziehungen (Red-p), (Red-q) und (Red-abc) rückwärts einzusetzen sowie die Tatsache zu nutzen, dass in der Diskriminante der Leitkoeffizient des Ausgangspolynoms $F(X)=AX^{n}+BX^{n-1}+\dots$ in der $2(n-1)$-ten Potenz als Normierungsfaktor hinzutritt. Im kubischen Falle $n=3$ tritt also der Normierungsfaktor $A^{4}$ bei der Definition der Diskriminante hinzu: $\Delta =A^{4}\cdot {\bigl (}(z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2}){\bigr )}^{2}$. Sie bleibt dank dieser Normierung als ganzzahliges Polynom in den Koeffizienten $A,B,C,D$ des allgemeinen Polynoms $F_{A}$ darstellbar:

${\begin{aligned}\Delta (F_{A})&=-A^{4}(27q^{2}+4p^{3})\\&=18ABCD-4AC^{3}-27A^{2}D^{2}+B^{2}C^{2}-4B^{3}D\end{aligned}}$

Einzelfallbetrachtung

• Ist jede Wurzel $z_{0},z_{1},z_{2}$ reell, so kann ihr Differenzenquadrat nicht negativ sein: $\Delta :=\left((z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2})\right)^{2}\geq 0$. Umgekehrt sind bei nicht negativer Diskriminante $0\leq \Delta =-27\,\Delta _{2}$ mit $(t_{0},t_{1})$ auch die Paare $(u_{i},v_{i})$ zueinander konjugiert komplex, ihre jeweiligen Summen $z_{i}=u_{i}+v_{i}$ somit reell.
  • Ist hierbei die Diskriminante positiv ($\Delta >0$), so müssen alle drei reellen Wurzeln verschieden sein.
  • Verschwindet hierbei die Diskriminante ($\Delta =0$), so müssen (mindestens) zwei Wurzeln übereinstimmen. Es liegt dann eine (mindestens) doppelte Nullstelle vor und (höchstens) noch eine weitere reelle Nullstelle.

• Liegt lediglich eine Wurzel $z_{0}=r_{0}\in \mathbb {R}$, während die anderen beiden $z_{1},z_{2}={\overline {z_{1}}}\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R}$ imaginär und zueinander konjugiert komplex sind, so müssen $u_{0},v_{0}$ reell gewählt werden, damit $z_{0}=u_{0}+v_{0}\in \mathbb {R}$ liegt, und wegen $\Im z_{1}\in \mathbb {R} ^{*}$ muss die Diskriminante negativ sein:

${\begin{aligned}\Delta &=\left((z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2})\right)^{2}\\&=\left((r_{0}-\Re z_{1}-\mathrm {i} \,\Im z_{1})(r_{0}-\Re z_{1}+\mathrm {i} \,\Im z_{1})\cdot [2\,\mathrm {i} \cdot \Im z_{1}\right])^{2}\\&=-4\,\left(\left((r_{0}-\Re z_{1})^{2}+(\Im z_{1})^{2}\right)\cdot [\Im z_{1}]\right)^{2}{\color {grey}=-4\,\left(\left(r_{0}^{2}+|z_{1}|^{2}-2r_{0}\,\Re z_{1}\right)\cdot [\Im z_{1}]\right)^{2}}\\&<0\end{aligned}}$

Mit $\Omega :=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}$ gilt $\Delta =-(4p^{3}+27q^{2})=-108\,\Omega =-27\,\Delta _{2}$.

Daher gilt die Implikation:

• $\Delta \geq 0\Longrightarrow p\leq 0$

Bei $\Delta \geq 0$ liegen drei (ggf. mit Vielfachheit gezählten) reelle Wurzeln vor, und diese lassen sich mit Hilfe der Kreisfunktionen angeben: Siehe Trigonometrische Behandlung. Diese steht im Zusammenhang mit der trigonometrischen Gleichung zur Winkeldrittelung und ist genau dann gültig, wenn es keine imgainären Wurzeln gibt, sondern (mit Vielfachheit gezählt) nur drei reelle Wurzeln.

Gemäß Kontraposition gilt äquivalent:

• $p>0\Longrightarrow \Delta <0$

Bei $\Delta <0$ liegt eine reelle Wurzel vor und zwei imaginäre zueinander komplex konjugierte Wurzeln. Die reelle Wurzel lässt sich bei $p>0$ mit Hilfe der Hyperbelfunktionen angeben: Siehe Hyperbolische Behandlung. Diese steht im Zusammenhang mit der Gleichung zur Flächendrittelung an der Hyperbel und ist genau dann anwendbar, wenn es (zwei) imaginäre Wurzeln und nur eine reelle Wurzel gibt.

Im Folgenden sollen die drei Fälle $\Delta <0,\;\Delta =0,\;\Delta >0$ näher betrachtet werden.

Diskriminante gleich null

Die Gleichung $0=\Delta =-4p^{3}-27q^{2}$ zeigt: Entweder verschwinden $p$ und $q$ zugleich oder keines von beiden, d. h.: $p=0\iff q=0$.

Im Falle (a) $\quad p=0=q$

handelt es sich um das Polynom $F_{r}(z)=z^{3}$, und $z=0$ ist die einzige (dreifache) Nullstelle.

Daher hat das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D$ die dreifache Nullstelle:

$x_{0,1,2}=-{\frac {B}{3A}}$

Im Falle (b) $\quad p\neq 0,q\neq 0$

wählt man $u=v$ reell. Nach den obigen Formeln hat $F_{r}(Z)=Z(Z^{2}+p)+q=0$ dann eine einfache reelle Lösung

$z_{0}=2u={\sqrt[{3}]{-4q}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{-{\frac {q^{2}}{4}}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{\frac {p^{3}}{27}}}}={\frac {3q}{p}}$,

und eine doppelte reelle Lösung

$z_{1,2}\;=u\varepsilon _{1}+u\varepsilon _{2}\;=-u={\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}}}=-{\frac {3q}{2p}}$.

Das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D=0$ hat also die Nullstellen

${\begin{aligned}x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+{\frac {3q}{p}}={\frac {B^{3}\ -\ 4ABC\ +\ 9A^{2}D}{3A^{2}C\ -\ AB^{2}}}\\x_{1,2}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {3q}{2p}}={\frac {BC\ -\ 9AD}{6AC\ -\ 2B^{2}}}\end{aligned}}$

Diskriminante negativ

Dann ist $\Delta _{2}>0$, und die auftretenden Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}$ sind reell, mithin auch die Lösungen $t_{i}$ der Lagrangeschen Resolvente. Man wähle für $u$ und $v$ jeweils die reellen dritten Wurzeln ${\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ bzw. ${\sqrt[{3}]{t_{1}}}$. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch

${\begin{aligned}z_{0}&=u+v\\z_{1,2}&=-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}\end{aligned}}$

gegeben sind.

Für das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D$ erhält man die Nullstellen

${\begin{aligned}x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+u+v\\x_{1,2}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Diskriminante positiv (casus irreducibilis)

Die Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {-\Delta }}$ sind rein-imaginär, und die Lösungen $t_{0,1}$ der quadratischen Resolvente konjugiert komplex. Daher ergeben sich für $u_{i}=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ und $v_{j}=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ zueinander konjugiert komplexe Werte, so dass sich mit

$z_{i}=u_{i}+v_{i}=u_{i}+{\overline {u_{i}}}=2\operatorname {Re} (u_{i})$

drei unterschiedliche reelle Lösungen ergeben.

Bei der Bestimmung von $u$ oder $v$ kommen jedoch dritte Wurzeln aus nicht-reellen Zahlen vor. Obgleich solche Ausdrücke zur Zeit Cardanos als sinnlos galten, weil ihre anschauliche Bedeutung noch im Dunkeln lag, rechnete Cardano rein formal mit diesen Ausdrücken (also gemäß den üblichen Rechenregeln, ohne ihnen eine anschauliche Bedeutung beimessen zu können) und konnte die drei Lösungen angeben, von denen er wusste, dass sie reell waren. In der Lösungsformel war die „Realität“ der Lösung allerdings verschleiert, weil sie „irreale“ Zahlen involviert. Da dieser Lösungsweg also das Terrain der anschaulichen, „reellen“ Zahlen verlässt und die Lösung somit nicht auf reelle Radikale zurückführbar war, wurde dieser Fall casus irreducibilis genannt. Dennoch mögen weitblickende Zeitgenossen – wie Cardano – in diesen Umständen einen Fingerzeig erahnt haben, dass jene sinnlos erscheinenden Ausdrücke womöglich doch einen tieferen Sinn besitzen.

Trigonometrische Behandlung des Casus irreducibilis nach Vieta

Die trigonometrischen Formeln gelten

• nicht nur für den Casus irreducibilis ($\Delta >0$),
• sondern auch für den Fall $\Delta =0$, das heißt für den Fall mehrfacher reeller Nullstellen: Dieser Fall besteht aus zwei Unterfällen:
  • Fall (a) mit nur einer reellen, dreifachen Nullstelle und
  • Fall (b) mit einer reellen doppelten Nullstelle (und einer weiteren davon verschiedenen reellen Nullstelle).

Es werden zwei Herleitungen der trigonometrischen Lösungen gezeigt:

1. Die erste Herleitung betrachtet unmittelbar die Bildung der Kubikwurzeln ${\sqrt[{3}]{t_{i}}}$ aus den beiden Lösungen $t_{0},t_{1}$ der Lagrangeschen Resolvente und setzt die geometrische Interpretation von Addition und Multiplikation komplexer Zahlen voraus, indem sie die Kubikwurzel anhand der Polarkoordinaten (oder Kreiskoordinaten) bildet. Dadurch benötigt diese Argumentation die Gleichung zur Winkeldrittelung nicht.
2. Die zweite Herleitung parametrisiert die reelle Achse mit Hilfe des Cosinus und findet die Nullstellen des reduzierten Polynoms direkt und ohne Kenntnis von Cardanos Formel. Anstelle der Tatsache, dass es sich bei den gesuchten Lösungen um Kubikwurzeln aus den Lösungen der quadratischen Lagrangeschen Resolvente handelt, stützt sich diese Argumentation auf die Gleichung zur Winkeldrittelung, welche aus dem Satz von Moivre folgt.

Beide Argumentationen decken also all jene Fälle ab, in denen keine imaginären, sondern nur reelle Wurzeln in Erscheinung treten, und sie gestatten, das Diskriminantenkriterium für mehrfache Nullstellen erneut zu bestätigen.

Die Bedingungen für diese Fälle (also für den Casus irreducibilis und den Fall mehrfacher Nullstellen) lassen sich in verschiedenen äquivalenten Formulierungen ausdrücken, die hier zusammengestellt werden, weil sie später benötigt werden.

Äquivalente Formulierungen der Kriterien für den Casus irreducibilis bzw. für mehrfache Nullstellen

no	Kriterien für Casus irreducibilis	Schlagwort oder (Referenz im Text)	Kriterien für mehrfache Nullstellen (Entweder Fall (a) oder Fall (b))
(0)	$0<\Delta =-\left[4p^{3}+27q^{2}\right]=-108\left[\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}\right]$	Vorzeichen der Diskriminante $\Delta$	$\Delta =0$
(1)	$0>\Delta _{2}=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}=4\left[\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}\right]$	Vorzeichen der Lagrange-Diskriminante $\Delta _{2}$	$\Delta _{2}=0$
(2)	$t_{0},t_{1}\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R} ,\;t_{0}\neq t_{1}$	Lösungen der Lagrange-Resolvente	$t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} ,\;t_{0}=t_{1}=-{\frac {q}{2}}$
(3)	$-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}>\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}\geq 0$	(QuadrPos)	$-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}\geq 0$
(4)	${\sqrt {\frac {-p^{3}}{27}}}>\left\vert {\frac {q}{2}}\right\vert \geq 0$	(AbsBetrag)	${\sqrt {\frac {-p^{3}}{27}}}=\left\vert {\frac {q}{2}}\right\vert \geq 0$
(5)	$-1<{{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}}<1$	-	$p=0$	AUT	${{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}}\in \{-1,+1\}$
(6)	$\left\vert {{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}}\right\vert <1$	(CosinusArg)	$p=0=q$	AUT	$\left\vert {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right\vert =1$
(7)	$0<{\frac {-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}{-{\frac {p^{3}}{27}}}}<1$	(SinusArg)	$p=0\;(=q)$	AUT	$0={\frac {-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}{-{\frac {p^{3}}{27}}}}$

Der Fall Fall (a) ist trivial, denn er ist durch folgende äquivalente Aussagen gekennzeichnet:

• $\quad p=0=q$
• $\quad t_{0}=0=t_{1}$
• $\quad 0=z_{k}=u_{k}=v_{k}$ für $k=0,1,2$
• $\quad z_{0}=z_{1}=z_{2}$, denn: Die Wurzeln eines reduzierten reellen (oder komplexen) Polynoms müssen verschwinden, sobald sie alle gleich sind, weil ihre Wurzelsumme („Spur“) ja verschwindet.

Bei $\Delta \geq 0$ genügt sogar $p=0$ zur Kennzeichnung dieses trivialen Falles, in dem die Lösungen zusammenfallen und im Nullpunkt verschwinden. Fall (a) ist also bereits geklärt und kann daher von den nun folgenden Betrachtungen ausgeschlossen werden: Im Folgenden sei also $\Delta \geq 0\neq p$ (und mithin $0\neq pq$) angenommen. Am dritten Kriterium (QuadrPos) ist leicht abzulesen, dass dies notwendig $p<0$ erzwingt.

Die trigonometrische Darstellung der Lösungen zeigt einmal mehr: Reine Gleichungen (synonym: binomische Gleichungen) $Z^{n}-a$ empfehlen sich nicht als „Normalformen“, auf welche eine allgemeine Gleichung stets zurückführbar wäre. Das erklärt den berüchtigten Namen Casus irreducibilis. Hier deutete sich den Menschen der Renaissance zum ersten Mal an, dass die Hoffnung, Lösungen der allgemeinen Gleichung müssten sich als verschachtelte Radikalausdrücke darstellen lassen, trog. Stattdessen empfahl sich eine andere „Normalform“: Die Gleichung zur Winkeldrittelung.

Darstellung in Polarkoordinaten

Ausgangsidee ist, die beiden komplex konjugierten, ggf. sogar identischen (und dann reellen) Wurzeln $t_{0,1}\neq 0$ der Lagrange-Resolvente in Polarkoordinaten zu schreiben, um ihre Kubikwurzeln leicht angeben zu können:

$t_{0,1}=R\,(\cos \phi \pm \mathrm {i} \sin \phi )$

Hierfür sind

$R:={\sqrt {-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}\quad (\neq 0)$ und $\phi \in \;\;[0,\pi ]$ mit $\cos \phi =-{\frac {q}{2R}}\in \;\;[-1,1]$ und $\sin \phi ={\frac {\sqrt {-\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right)}}{R}}\in \;\;[0,1[$		(PolKoord)

zu wählen, wie der Abgleich mit den Wurzeln $t_{0,1}$ zeigt:

${\begin{aligned}R\left(\cos \phi \pm \mathrm {i} \,\sin \phi \right)&=t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}\\&={\frac {-q}{2}}\pm \mathrm {i} \cdot {\sqrt {-\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right)}}\;.\\\end{aligned}}$		(PolKoordAbgl)

Beachte: Weil $t_{0}$ nach Wahl des Vorzeichen seines Imaginärteils in der oberen Halbebene liegt oder reell ist, existiert ein solches $\phi \in [0,\pi ]$.

Die Kubikwurzeln berechnen sich demnach zu

$u_{k}:={\sqrt[{3}]{R}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}+\mathrm {i} \,\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right)={\overline {v_{k}}}$ bzw. zu

$v_{k}:={\sqrt[{3}]{R}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}-\mathrm {i} \,\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right)={\overline {u_{k}}}$ für $k=0,1,2$,

und folglich sind die Lösungen

$z_{k}=2\,\Re (u_{k})=2{\sqrt[{3}]{R}}\cdot \cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}=2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}$ für $k=0,1,2$ wobei $\phi =\arccos \left(-{\frac {q}{2R}}\right)\in \;[0,\pi ]$ gewählt sei.		(TrigLsg.1)

Lässt man für $k$ alle ganzen Zahlen zu, so hängt $z_{k}$, wie schon in der Gleichung zur Winkeldrittelung angemerkt, nur von der Restklasse $k+3\mathbb {Z}$ modulo $3$ ab – denn sie wiederholen sich nach drei aufeinanderfolgenden Zahlen –, so dass es genügt, dass der ganzzahlige Index $k$ lediglich ein Repräsentantensystem modulo $3$ durchläuft: $k\equiv 0,1,2{\pmod {3}}$. Beispielsweise genügen drei aufeinanderfolgende Zahlen wie $k\in \{0,1,2\}$ oder $k\in \{-1,0,1\}$. Auf der rechten Seite kann also bspw. $k=-1$ anstelle von $k=2$ gewählt werden, um $z_{2}$ zu erhalten.

Bezug zur Winkeldrittelung

Die Cosinus-Werte $\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}$ sind (bei dieser Wahl von $\phi ,R$) gemäß der Gleichung zur Winkeldrittelung die Lösungen der Gleichung

$0=4X^{3}-3X-\cos \phi =4X^{3}-3X+{\frac {q}{2R}}=4X^{3}-3X+{\frac {3q}{2}}{\sqrt {\frac {3}{-p^{3}}}}$ und der zugehörigen normierten Gleichung

$0=X^{3}-{\frac {3}{4}}X-{\frac {\cos \phi }{4}}=X^{3}-{\frac {3}{4}}X+{\frac {q}{8R}}=X^{3}-{\frac {3}{4}}X+{\frac {3q}{8}}{\sqrt {\frac {3}{-p^{3}}}}$.

Zum Vorliegen von Fall (b)

Unter der genannten Voraussetzung ($\Delta \geq 0>p$) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $\left\vert \cos \phi \right\vert =1$
• $\phi =0\lor \phi =\pi$
• $t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} ^{*}$
• $t_{0}=t_{1}\neq 0$
• $\Delta _{2}=0=\Delta$
• $\sin \phi =0$
• Genau zwei der Wurzeln stimmen überein, bilden also eine doppelte Nullstelle.
• Fall (b) liegt vor.

Parametrisierung der reellen Variable

Nach einem Additionstheorem, das sich leicht mit dem Satz von de Moivre herleiten lässt, gilt für alle $\alpha$ die Beziehung

$\cos ^{3}\alpha ={\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}$		(Moivre)

Diese Beziehung wurde in Gleichung (WinkeldrittelungGlg) für die Winkel $\phi =3\alpha$ und ${\frac {\phi }{3}}=\alpha$ formuliert (also anstelle von $3\alpha$ bzw. $\alpha$).

Parametrisiert man die reelle Variable $z$ durch die (surjektive, aber nicht injektive) Abbildung

${\begin{array}{cccl}\rho \colon &\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} ,\\&(r,\alpha )&\mapsto &z:=r\cdot \cos \alpha \end{array}}$,

so nimmt die zu lösende reduzierte kubische Gleichung

$0=z^{3}+p\cdot z+q$		(KubGlg)

diese Gestalt an:

$0=r^{3}\cdot \cos ^{3}\alpha +p\cdot r\cdot \cos \alpha +q$.

Nutzt man hierin die obige Gleichung (Moivre), so erhält man

${\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\end{aligned}}$

Wählt man für $r$ den festen (und aufgrund des Kriteriums (AbsBetrag) positiven) Wert $r_{0}:=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\quad (>0)$, so verschwindet der Klammerausdruck, und es bleibt diese Hilfsgleichung zu lösen:

$0=2\,{\sqrt {-{\frac {p^{3}}{27}}}}\cdot \cos 3\alpha +q$.		(ArgRes.1)

Allerdings ist zunächst offen, ob diese Gleichung für den Winkel $\alpha$ lösbar ist, und wenn ja, ob sie alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung liefert. Dazu muss nachgewiesen werden, dass durch die Beschränkung auf das Intervall $\rho \left(\{0\}\times \mathbb {R} \right)=[-r_{0},r_{0}]$ keine reelle Lösung der ursprünglichen Gleichung (KubGlg) aus dem Blickfeld gerät.

Abschätzung für diesen Nachweis

Zu diesem Nachweis schätze für $\textstyle \vert z\vert >r_{0}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ nach dem Kriterium (AbsBetrag) ab: ${\begin{aligned}|z^{3}+pz+q|&=|z(z^{2}+p)+q|\\&\geq \left\vert \,\vert z(z^{2}+p)\vert -|q|\,\right\vert \\&>\left\vert \,r_{0}(r_{0}^{2}+p)-|q|\,\right\vert \\&=\left\vert 2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\left(4{\frac {-p}{3}}+p\right)-|q|\right\vert \\&=\left\vert 2\cdot {\frac {-p}{3}}{\sqrt {\frac {-p}{3}}}-|q|\right\vert \\&{\stackrel {\text{(AbsBetrag)}}{\geq }}0\end{aligned}}$ Also bedeutet die Festlegung auf $r_{0}$ keinen Wurzelverlust, und daher genügt es, die Lösungen der Gleichung (ArgRes.1) zu finden.

Wie eingangs erwähnt, lässt sich unter den getroffenen Annahmen an den obigen Kriterien ablesen, dass $p<0<r_{0}$, so dass nunmehr die folgende äquivalente Hilfsgleichung für den Winkel $\alpha$ zu lösen ist:

$-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}=\cos 3\alpha$		(ArgRes.2)

Mit Hilfe des Zweiges des Arcus-Cosinus $\arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]$ setze man zunächst

$\textstyle \phi :=\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\in [0,\pi ]$

Da die periodische Funktion $\cos$ die Periode(nlänge) $2\pi$ besitzt, lässt sich nun für jedes $k\in \mathbb {Z}$ eine Lösung

$\alpha _{k}:={\frac {\phi +2k\,\pi }{3}}\in \mathbb {R}$ der Gleichung (ArgRes.2)

definieren. Aus demselben Grund besteht die Menge $\{\alpha _{k}|k\in \mathbb {Z} \}$ dieser Lösungen aus höchstens drei Elementen $\{\alpha _{i},\alpha _{j},\alpha _{k}\}$, und um alle diese Werte darzustellen, genügt es, mit $\{i,j,k\}$ ein Repräsentantensystem der Restklassen modulo $3$ zu wählen, also zum Beispiel drei unmittelbar aufeinanderfolgende ganzen Zahlen wie $\{-1,0,1\}$ oder $\{0,1,2\}$.

Die drei gefundenen Lösungen der Gleichung $Z^{3}+pZ+q=0$ haben also die Form

$z_{k}=r_{0}\cdot \cos \alpha _{k}$ mit dem gewählten $r_{0}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ und $k\equiv 0,1,2{\pmod {3}}$		(TrigLsg.2)

Kriterium für Doppelwurzel

Eine doppelte Nullstelle tritt genau gemäß dem Abschnitt zur Bestimmung der Diskriminante genau dann auf, wenn die Diskriminante verschwindet (und $p\neq 0\neq q$, also Fall (b) vorliegt). Es ist möglich, dieses Ergebnis ohne Kenntnis der Diskriminante und ihrer Bedeutung unmittelbar aus der trigonometrischen Darstellung abzuleiten.

Behauptung

Für ein Repräsentantensystem $\{i,j,k\}$ der Restklassen modulo 3 ($\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$) sind die Werte $z_{i},z_{j},z_{k}$ genau dann paarweise verschieden, wenn $\Omega :=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0$ (also im Casus irreducibilis). Im „Falle (b)“ $\Omega =0>p$ stimmen genau zwei überein und liefern eine doppelte Nullstelle. Zusatz: Im trivialen „Fall (a)“ $\Omega =0=p=q$, der nicht Gegenstand dieser Betrachtung ist, stimmen sogar alle drei überein und verschwinden im Nullpunkt, wie bereits dargelegt.

Begründung

Dass zwei Lösungen, etwa $z_{i}=z_{j}$, gleich sind, bedeutet, dass der zur dritten gehörige Winkel $\alpha _{k}\in \mathbb {Z} \pi$ liegt, wie eine Überlegung über die Drehung eines dem Einheitskreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks illustriert, dessen Eckpunkte auf den Punkten $\cos \alpha _{\nu }+\mathrm {i} \,\sin \alpha _{\nu }\;(\nu =i,j,k)$ liegen (oder, was dasselbe ist, dessen drei Seitenhalbierende (Höhen oder Winkelhalbierende) die Winkel $\alpha _{\nu }\;(\nu =i,j,k)$ mit der $x$-Achse bilden): Denn die beiden Winkel $\alpha _{i},\alpha _{j}$ müssen dann symmetrisch zur $x$-Achse liegen, so dass der zum dritten Winkel gehörige Eckpunkt auf der $x$-Achse zu liegen kommt, also Vielfaches von $\pi$ ist: $\alpha _{k}\in \mathbb {Z} \pi$. Genau dann gilt $\vert \cos \alpha _{k}\vert =1$ (Kriterium (CosinusArg)) und mithin $\Omega =0$. Umgekehrt liegen bei $\Omega >0$ drei verschiedene reelle Wurzeln vor.

Formal nachgerechnet

Die Identität $r_{0}\cos \alpha _{i}=z_{i}=z_{j}=r_{0}\cos \alpha _{j}$ bedeutet wegen $r_{0}\neq 0$ die Identität $\cos \alpha _{i}=\cos \alpha _{j}$. Der Nachweis besteht in der Äquivalenz der folgenden Aussagen: Fall (b) liegt vor, das heißt, genau zwei Wurzeln fallen in einer doppelten Nullstelle zusammen. $\cos \alpha _{i}=\cos \alpha _{j}$ $\sin \alpha _{i}=-\sin \alpha _{j}$. Denn der andere grundsätzlich mögliche Fall ($\sin \alpha _{i}=\sin \alpha _{j}$), scheidet aus, da $i\not \equiv j{\bmod {3}}$. $\cos(\alpha _{i}+\alpha _{j})=\cos \alpha _{i}\cos \alpha _{j}-\sin \alpha _{i}\sin \alpha _{j}=\cos ^{2}\alpha _{i}+\sin ^{2}\alpha _{i}=1$ ${\frac {2}{3}}\left(\phi +(i+j)\pi \right)=\alpha _{i}+\alpha _{j}\in 2\mathbb {Z} \pi$ $\phi +(i+j)\pi \in 3\mathbb {Z} \pi$ $\phi \in \mathbb {Z} \pi \cap [0,\pi ]=\{0,\pi \}$ $|\cos \phi |=1$ $\left\vert {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right\vert =1$ (Kriterium (CosinusArg)) $q\neq 0=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=\Omega$ Wegen $\alpha _{i}+\alpha _{j}+\alpha _{k}=\phi +{\frac {i+j+k}{3}}2\pi \in \phi +2\mathbb {Z} \pi$ sind ferner äquivalent: $\alpha _{k}-\phi \in 2\mathbb {Z} \pi \quad$ (m. a. W.: $\alpha _{k}\equiv \phi {\bmod {2\pi }}$) $\alpha _{k}\in \mathbb {Z} \pi$ Daher sind schließlich auch die folgenden Aussagen äquivalent: $\vert \cos \alpha _{k}\vert =1$ $z_{k}=r_{0}\cos \alpha _{k}=\pm r_{0}$ $\textstyle z_{i}=z_{j}=\mp r_{0}\cos {\frac {2\pi }{3}}=\mp {\frac {1}{2}}r_{0}=-{\frac {1}{2}}z_{k}$

Wegen $\Delta =-108\,\Omega$ ist hiermit insgesamt bestätigt, dass das Verschwinden der Diskriminante mit dem Vorliegen einer doppelten Nullstelle äquivalent ist und ihre Negativität mit dem Vorliegen dreier verschiedener reeller Wurzeln, wie behauptet.

Dieselbe Überlegung lässt sich analog anhand der Formel (TrigLsg.1) durchführen; dazu muss lediglich $2\,{\sqrt[{3}]{R}}$ an die Stelle von $r_{0}$ treten. Allerdings ließ sich dort bereits dasselbe Ergebnis mit Hilfe der Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten einfacher begründen.

Variante Schreibweise der trigonometrischen Lösung

Der Cosinus besitzt die folgenden Symmetrie- und Antisymmetrie-Eigenschaften

$\textstyle \cos \left(\alpha -{\frac {2\pi }{3}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi }{3}}-\alpha \right)=-\cos \left(\pi -\left({\frac {2\pi }{3}}-\alpha \right)\right)=-\cos \left(\alpha +{\frac {\pi }{3}}\right)$ und

$\textstyle \cos \left(\alpha +{\frac {2\pi }{3}}\right)=-\cos \left(\pi -\left({\frac {2\pi }{3}}+\alpha \right)\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)=-\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{3}}\right)$

Angewandt auf die $\alpha _{\pm 1}$ ergibt sich damit die folgende Darstellung der Lösungen:

${\begin{aligned}z_{1}&=-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]z_{0}&=\quad 2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]z_{2}&=-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$		(TrigLsg.3)

Die allgemeine Gleichung $F_{A}(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$ hat also die folgenden drei Lösungen:

${\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]x_{2}&=-{\frac {B}{3A}}-\,2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$

Hyperbolische Behandlung bei positivem Linearkoeffizient

Für reelle Werte $r$ gilt mit der hyperbolische Funktion des Sinus hyperbolicus und ihrer Umkehrfunktion (Areafunktion) folgende Beziehung:

$\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (r)\right]={\frac {1}{2}}\left[{\sqrt[{3}]{{\sqrt {r^{2}+1}}+r}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {r^{2}+1}}-r}}\right]$

Die rechte Seite ähnelt in verblüffender Weise dem Wurzelausdruck aus der Formel von Cardano.

Tatsächlich ist bei positivem Koeffizienten $p>0$ die Diskriminante $\Delta$ negativ, und so gilt in diesem „Komplementärfalle“ des Casus irreducibilis für die eine reelle Wurzel $z_{0}$ von $F_{r}(Z)=Z^{3}+pZ+q$ – in Analogie zur Behandlung des Casus irreducibilis mit Kreisfunktionen – bei positivem Linearkoeffizienten eine Identität mit Hilfe der Hyberbelfunktionen:

${\begin{aligned}z_{0}&={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}\\&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right)\right]\end{aligned}}$		(HyperbLsg)

Bestätigung durch Nachrechnen

Denn mit $\Omega :=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$ gilt zunächst nach der Cardanischen Formel ${\begin{aligned}z_{0}&=u_{0}+v_{0}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}-{\frac {q}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\sqrt {\Omega }}-{\frac {q}{2}}}}\\&=\underbrace {\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}-{\frac {q}{2}}}} _{=:\Phi _{+}}-\underbrace {\sqrt[{3}]{{\sqrt {\Omega }}+{\frac {q}{2}}}} _{=:\Phi _{-}}\end{aligned}}$ Dabei lassen sich für $p>0$ reelle Quadrat- und Kubikwurzeln aus $\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$ziehen und der Kehrwert bilden, so dass folgende Identitäten gelten: ${\begin{aligned}\Phi _{\mp }&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}\cdot {\sqrt {\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}}}\\&={\sqrt[{3}]{{\sqrt {\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}\cdot \left[{\sqrt {\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right]}}\\&={\sqrt {\frac {p}{3}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+1\right]}}\pm {\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right]}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot 2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[r^{2}+1\right]}}\pm r\right]}}\\\end{aligned}}$ mit $r={\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\in \mathbb {R}$ . Also lässt sich Cardanos Formel bei positivem $p>0$ so schreiben: ${\begin{aligned}z_{0}&=\Phi _{+}-\Phi _{-}\\&=2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left[{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[r^{2}+1\right]}}-r\right]}}-{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {\left[r^{2}+1\right]}}+r\right]}}\right]\\&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left(r\right)\right]\\&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {\left({\frac {3}{p}}\right)^{3}}}\right)\right]\end{aligned}}$

Dies ist die Darstellung der Cardanischen Formeln mit Hilfe der Hyperbelfunktionen bei $p>0$.

Man vergleiche die trigonometrische Darstellung mit Kreisfunktionen bei $\Delta \geq 0$.

Wie dieser Abschnitt zum Sinus hyperbolicus zeigt, lässt sich diese Darstellung auch aus dem Analogon zur Winkeldreiteilung für die Hyperbelfunktionen ableiten, also mit der Drittelung der Fläche „unter“ der Einheitshyperbel.

Abspaltung eines reellen Linearfaktors und Beispiele

Man beachte weiterhin, dass die Koeffizienten $A,B,C,D,a,b,c,d,p,q$ als reell angenommen werden.

Vorab ist eine Überlegung zur Abspaltung reeller Linearfaktoren nützlich. Der obigen Theorie nach ist mindestens eine Nullstelle des reduzierten Polynoms $F_{r}(Z)=Z^{3}+pZ+q$ reell. Sie sei mit $z_{0}$ bezeichnet. Dann spaltet das Polynom den reellen Linearfaktor $Z-z_{0}$ ab, und zwar in folgender Weise:

Aus $Z^{3}+pZ+q=(Z-z_{0})(Z^{2}+PZ+Q)=Z^{3}+(P-z_{0})Z^{2}+(Q-z_{0}P)Z-Qz_{0}$ folgt, wenn $z_{1},z_{2}$ die beiden anderen (ggf. komplexen) Nullstellen sind:

• $-(z_{1}+z_{2})=P=z_{0}$
• $p=Q-z_{0}P=Q-z_{0}^{2}$, also $Q=p+z_{0}^{2}$.
• $-z_{0}z_{1}z_{2}=q=-Qz_{0}=-QP=-(p+z_{0}^{2})z_{0}=-(pz_{0}+z_{0}^{3})$.

Also lautet die Faktorisierung:

$Z^{3}+pZ+q=(Z-z_{0})(Z^{2}+z_{0}Z+p+z_{0}^{2})$,

wobei (nach dem Satz von Vieta)

• $z_{1}z_{2}=Q=p+z_{0}^{2}$ und
• $-(z_{1}+z_{2})=P=z_{0}$.

Die Diskriminante des quadratischen Polynomfaktors $Z^{2}+z_{0}Z+p+z_{0}^{2}$ ist

$z_{0}^{2}-4(p+z_{0}^{2})=-4p-3z_{0}^{2}$

und seine Nullstellen sind

$z_{1,2}={\frac {-z_{0}\pm {\sqrt {-4p-3z_{0}^{2}}}}{2}}$.

Beispiel mit negativer Diskriminante

Cardano führt als Beispiel an:

$z^{3}+6z-20=(z-2)(z^{2}+2z+10)=0$.

Mit $z_{0}=2$ und $p=6$ erhält man

$z_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {-4\cdot 6-3\cdot 2^{2}}}}{2}}={\frac {-2\pm {\sqrt {-36}}}{2}}={\frac {-2\pm 6\mathrm {i} }{2}}=-1\pm 3\mathrm {i}$.

Beispiel mit positiver Diskriminante

Cardano betrachtet die Gleichung

$z^{3}-6z+4=0$.

Die Lösung $z=z_{0}=2$ ist leicht zu erraten. Daher lässt sich der zugehörige Linearfaktor abspalten.

$Z^{3}-6Z+4=(Z-2)(Z^{2}+2Z-2)$

Aus $z_{0}=2$ und $p=-6$ folgt:

$z_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {-4\cdot (-6)-3\cdot 2^{2}}}}{2}}={\frac {-2\pm {\sqrt {12}}}{2}}=-1\pm {\sqrt {3}}$

Da es (gemäß Körpertheorie) nur drei Nullstellen geben kann, muss es sich um dieselben handeln: $\{z_{0},z_{1},z_{2}\}=\{2,-1+{\sqrt {3}},-1-{\sqrt {3}}\}$. Wegen der kryptischen Notation der Lösungen $z_{j}$, die Kubikwurzeln von imaginären Größen enthalten, bleibt – einem Menschen der Renaissance allzumal – zunächst verborgen, weshalb diese Mengen identisch sein können und wie die „kryptischen Lösungen“ $z_{j}$ den reellen Lösungen der rechten Mengen zuzuordnen sind. Dies soll nun durch eine „formale Rechnung“ geklärt werden:

Wegen

${t_{0,1}}={2\cdot (-1\pm {\sqrt {-1}})}={-2\pm 2{\sqrt {-1}}}={(1\pm 1{\sqrt {-1}})^{3}}$

gilt mit der folgenden Auswahl der Kubikwurzeln

$u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}:=1+{\sqrt {-1}}$ und

$v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}:=1-{\sqrt {-1}}$

die Identität $z_{0}=u_{0}+v_{0}=2\cdot \Re u_{0}=2\cdot \Re {\sqrt[{3}]{t_{0}}}=2$.

Dabei sind auch die Nebenbedingungen erfüllt:

• (NB-Nrm): $u_{0}v_{0}=1-{\sqrt {-1}}^{2}=2=-{\frac {p}{3}}$ und
• (NB-Spur) bleibt unverändert: $u_{0}^{3}+v_{0}^{3}=t_{0}+t_{1}=-4=-q$

Wenn als primitive dritte Einheitswurzel $\textstyle \varepsilon =\varepsilon _{1}={\frac {1}{2}}(-1+{\sqrt {-3}})$ gewählt wurde, so dass $\arg \varepsilon ={\frac {2\pi }{3}}$, dann gilt überdies

$\textstyle u_{0}\varepsilon _{1,2}={\frac {1}{2}}(-1\mp {\sqrt {3}})+{\frac {\mathrm {i} }{2}}(-1\pm {\sqrt {3}})$, so dass tatsächlich $z_{1,2}=-1\mp {\sqrt {3}}$.

In der trigonometrischen Lösung sind für das besprochene Beispiel zu wählen:

$R:=2{\sqrt {2}}$ und $\phi =\pm {\frac {3}{4}}\pi$, so dass ${\sqrt[{3}]{R}}={\sqrt {2}}=:{\frac {r_{0}}{2}}$.

Die Lösungen gemäß der trigonometrischen Lösung lassen sich so schreiben: $z_{k}=2{\sqrt {2}}\cos \left({\frac {2k\pi }{3}}+{\frac {\pi }{4}}\right)={\begin{cases}2{\sqrt {2}}\cos 45^{\circ }=2\cdot \operatorname {\Re } (1+{\sqrt {-1}})=2&{\text{ für }}k=0\\2{\sqrt {2}}\cos 165^{\circ }=2\cdot \operatorname {\Re } (\varepsilon _{1}(1+{\sqrt {-1}}))=-1-{\sqrt {3}}&{\text{ für }}k=1\\2{\sqrt {2}}\cos 285^{\circ }=2\cdot \operatorname {\Re } (\varepsilon _{2}(1+{\sqrt {-1}}))=-1+{\sqrt {3}}&{\text{ für }}k=2\end{cases}}$

Beispiel aus der Trigonometrie

Im regulären Vierzehneck entspricht das Verhältnis der Seite $s$ zum Umkreisradius $r$ dem Wert $x:=2\sin \!{\tfrac {\pi }{14}}$, der die folgende kubische Gleichung erfüllt:

$x^{3}-x^{2}-2x+1=0$

Durch kubische Ergänzung entsteht:

$(3x-1)^{3}-21(3x-1)+7=0$

Mit der Cardanoschen Formel ergibt sich im Casus irreducibilis das folgende reelle Lösungstriplett

$x_{0}=2\sin({\tfrac {1}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\sin[{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\,\;\;\;\approx 0{,}445041868$

$x_{1}=-2\sin({\tfrac {3}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\approx -1{,}246979604$

$x_{2}=2\cos({\tfrac {1}{7}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos(-{\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\;\approx 1{,}801937736$

mit $x_{0}$ als dem $s/r$-Verhältnis im regulären Vierzehneck.

Cardanos Formel in der Formulierung durch Arthur Cayley

Man mag es als einen Mangel empfinden, dass die Formel von Cardano stets die Nebenbedingungen im Auge behalten muss. Diesem Umstand hat Arthur Cayley abgeholfen.

Für zwei neue Unbekannte $\xi ,\eta$ setze man

$u=\xi ^{2}\eta \quad$ und $\quad v=\xi \eta ^{2}$		(CayleyParam)

Dann folgt mit Nebenbedingung (NB-Nrm) bzw. (Vieta-Nrm) $\xi \eta ={\sqrt[{3}]{\frac {-p}{3}}}\,.$ Setzt man diesen Wert in die Gleichungen (CayleyParam) ein, ersetzt $u$ bzw. $v$ durch die Werte aus der Cardanoschen Formel (CardForm.1) und löst nach $\xi$ bzw. $\eta$ auf, so erhält man

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {3q}{2p}}+{\sqrt {\left({\frac {3q}{2p}}\right)^{2}+{\frac {p}{3}}}}}}\quad {\text{ für }}i=0,1,2\\\eta _{j}&=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {3q}{2p}}-{\sqrt {\left({\frac {3q}{2p}}\right)^{2}+{\frac {p}{3}}}}}}\quad {\text{ für }}j=0,1,2\\\end{aligned}}$		(CayleysForm.1)

Damit erhält man nun die Lösungen in Cayleys Formulierung.

$z_{(i,j)}=\xi _{i}\cdot \eta _{j}\cdot \left(\xi _{i}+\eta _{j}\right)$ für $0\leq i,j\leq 2$.		(CayleysForm.2)

Zwar gibt es neun Doppelindizes $(i,j)$, doch die Menge $\{z_{(i,j)}|0\leq i,j\leq 2\}$ besteht lediglich aus den drei Lösungen

${\begin{array}{rcr}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\varepsilon _{1}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\varepsilon _{2}\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\varepsilon _{2}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\varepsilon _{1}\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\end{array}}$		(CayleysForm.3)

Charakteristik 2 und 3

Hat der Ring $R$ der Koeffizienten die Charakteristik $\operatorname {char} (R)=2$ oder $\operatorname {char} (R)=3~,$ dann lassen sich die angegebenen Formeln wegen der Divisionen durch $\operatorname {char} (R)$ nicht anwenden. Näheres dazu im Artikel über kubische Gleichungen.

Andere, insbesondere komplexe Koeffizientenkörper

Für Koeffizientenkörper $K=R$ anderer Charakteristiken und für komplexes $R=K\subset \mathbb {C}$ gilt die cardanische Formel unverändert und führt nötigenfalls zu einem Erweiterungskörper $L\supset K$, der den Zerfällungskörper des betrachteten Polynoms enthält. Am bequemsten ist es, sich hierfür auf den maximal möglichen Falle des algebraischen Abschlusses von $\mathbb {R}$, das heißt auf $K=\mathbb {C}$ zu beschränken.

Im Falle eines nicht geordneten Körpers $K\;(\mathbb {R} \subsetneqq K\subset \mathbb {C} )$ bleiben nur zwei Fälle unterscheidbar:

• $\Delta =0$: Dies ist allgemein das Kriterium für mehrfache Nullstellen, wie bei der Bestimmung der Diskriminante beschrieben.
• $\Delta \neq 0$: Dies ist allgemein das Kriterium für paarweise verschiedene Nullstellen. Die beiden „Unterfälle“
  • $\Delta <0$ (drei verschiedene reelle Wurzeln) bzw.
  • $\Delta >0$ (nur eine reelle und zwei verschiedene komplex konjugierte Wurzeln),

die bei $K\subset \mathbb {R}$ im Rahmen obiger Fallunterscheidung noch unterschieden werden konnten, werden ohne eine Ordnung „$<$“ ununterscheidbar und verschmelzen zu nur einem Fall, in dem sich lediglich feststellen lässt, dass es sich um drei verschiedene komplexe Wurzeln handelt.

Die trigonometrische Behandlung des Falles $\Delta >0$, dem „casus irreducibilis“, gemäß der ersten Herleitung beruht lediglich – wie oben erläutert – darauf, die Kubikwurzel komplexer Zahlen in Polarkoordinaten darzustellen, also mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen. Die Darstellung in Polarkoordinaten bleibt natürlich auch bei $\mathbb {R} \subsetneq K\subset \mathbb {C}$ möglich, wird jedoch ihres Sinnes beraubt, bestand dieser doch darin, in einem wohlunterscheidbaren Fall ($\Delta >0$) für die drei reellen Wurzeln einen „rein reellen“ Ausdruck zu finden. Dies gelang, indem ein analytischer Ausdruck in Kauf genommen wurde.

Nun, da im Regelfall alle drei Wurzeln komplex sind und einen nicht verschwindenden Imaginärteil haben, bedeutet die Darstellung in Polarkoordinaten in dieser Hinsicht keinen „Gewinn“. Dass der Imaginärteil bei reellem Koeffizientenkörper verschwindet, liegt darin begründet, dass das Paar $(t_{0},t_{1})$ der Lösungen der Lagrange-Resolvente und somit auch die Paare $(u_{i},v_{i})$ komplex konjugiert sind.

Freilich ist es auch im komplexen Fall denkbar, die Lösungen in Polarkoordinaten mit Hilfe des Sinus (Imaginärteil) und Cosinus (Realteil) darzustellen, doch gelingt die Bestimmung von Real- und Imaginärteil nicht so einfach wie in der ersten Herleitung der trigonometrischen Behandlung, denn das Ablesen der Polarkoordinaten anhand der Formel (PolKoordAbgl) scheitert daran, dass die Wurzel auf der rechten Seite nicht mehr notwendig reell ist: Sie könnte einen Imaginärteil enthalten (ebenso wie der vordere Summand $-{\frac {q}{2}}$). Es lässt sich also nicht mehr folgern, dass für den Realteil $\Re (t_{0,1})=-{\frac {q}{2}}$ gilt. Ebenso wenig lässt sich der Imaginärteil ablesen.

Literatur

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• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. 6. Auflage. Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, doi:10.1007/978-3-658-26152-8 (Einführung [PDF; 319 kB]). 
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• Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen. Leipzig 1896, „Vierter Abschnitt. Directe Auflösung der Gleichungen von den ersten vier Graden durch Substitution.“ Darin die Unterabschnitte „IV. Von der Auflösung der kubischen Gleichungen. § 127. Methode und Formel von Scipio Ferreo, Nicol. Tartaglia und Hieron. Cardano. (Capitulum cubi et rerum numero aequalium.)“ (S. 362 ff.) und „V. Von der Auflösung der biquadratischen Gleichungen. § 199. Methode von Ludovico Ferrari“ (S. 540 ff., mit Verweis auf „Cardani, Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus. Papiae 1545. Cap. XXXIX, Regula II.“ und „Bombelli, L'algebra parte maggiore dell'aritmetica. Bologna 1572.“); insbesondere „V. § 210. Methode von Lebesgue“ (S. 569), S. 362 ff. und 540 ff., doi:10.3931/e-rara-78944. 
• Peter Pesic: Abels Beweis. Die Geschichte rund um die Lösungsformeln vom Grad 2 bis 4 und der komplette Beweis von Abel. Springer, 2005, ISBN 3-540-22285-5, doi:10.1007/978-3-540-27309-7. 
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Weblinks

• Formeln von Cardano zur Lösung der Gleichung dritten Grades auf mathematik.ch