Diskussion:Cardanische Formeln

Diskriminante laut Bronstein, Rücksubstitution

Also ich hab die Diskriminante zu zwei negativen Vorzeichen geändert, in Übereinstimmung mit Bronstein (der D anders definiert) und dem entsprechenden (verlinkten) Wiki-Eintrag.

Ein weiterer Fehler konnte ich nicht verbessern: Bsp: y^2 -2y +1/2 =0 D>0 aber: Die Lösung, die für D>0 angegeben ist, scheitert an einer negativen Wurzel. Dafür funktioniert die Lösung für D<0!!! Vielleicht wurden da nur die Lösungen durcheinandergebracht? Es gibt offensichtlich verschiedene Mgl. die Diskriminante D zu definieren... Grüße Dennis IP 84.172.156.112 am 1. Mai 2006, 19:15 Uhr

Wenn Du das Vorzeichen der Diskriminante ändern willst (es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie im verlinkten Artikel nachzulesen), dann solltest Du 1. dafür gute Gründe haben und 2. den Rest des Artikels anpassen. Die zweite Bemerkung verstehe ich nicht. Die Gleichung $x^{3}-2x+4=0$ hat reduzierte Diskriminante

$\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {100}{27}}>0,$

und sie hat genau eine reelle Lösung (die linke Seite lässt sich als $(x+2)(x-1-\mathrm {i} )(x-1+\mathrm {i} )$ faktorisieren). Und genau diese Lösung kann man auch mit der ersten angegebenen Formel ausrechnen. Wo ist das Problem?--Gunther 18:20, 2. Mai 2006 (CEST)

Beispiel für fehlerhafte Lösung: Polynom: x^3-2*x^2 (offensichtlich richtige Lösung doppelt 0 und -2). Es ist a=1, b=-2 und c=d=0, damit p=-4/3 und q=-16/27 => Diskriminante = 0. Da die Diskriminante == 0 ist, kann man die die hier dargestellten Formeln in diesem Fall (-3*q /(2*p) testen und die geben als doppelte Lösung -2/3 an.(nicht signierter Beitrag von 213.129.229.239 (Diskussion) 16. März 2007, 13:01 Uhr)

Rücksubstitution ergibt doppelte Lösung x=0, wo ist das Problem?(nicht signierter Beitrag von 80.136.149.242 (Diskussion) 18. März 2007, 17:55 Uhr)

Die rücksubstituierten Formeln wurden sehr wohl von dem Hobbymathematiker Christoph Hambel entwickelt. Dafür gibt es ausreichend Zeugen und von welchem Herren sollten sie ihrer Meinung nach sonst entwickelt worden sein? Aus diesem Grunde habe ich auch keine Quellenangabe in den Beitrag gesetzt, da die Formeln noch nie publiziert wurden.

Zum Sinn dieser Formeln: Rechnen Sie sie doch einfach mal nach, was eigentlich kein Problem sein sollte.

(nicht signierter Beitrag von 84.172.156.112 (Diskussion) 15:54, 9. Mai 2006)

Die Substitution stellt keine "Entwicklung" dar, die Formeln sind genau die von Tartaglia/Cardano, die Rücksubstitution kann jedes Computeralgebrasystem. Ich halte es auch für ausgeschlossen, dass das noch niemand aufgeschrieben hat, sehe aber keine Veranlassung, mich auf die Suche zu machen.--Gunther 16:08, 9. Mai 2006 (CEST)

Reell oder komplex?

Hier steht: D > 0 => 1 reelle und 2 komplexe Lösungen. Im verlinkten Diskriminantenartikel hingegen steht für kubische Polynome: D >= 0 <=> alle Nullstellen sind reell ... (JuL)

Frage, verschoben von WP:FZW

Kann das jemand bestätigen?

Im Artikel "Cardanische Formeln" (Cardanische Formeln) steht meiner Meinung nach etwas sehr unschlüssiges:

1. will man nicht die y1, y2, y3 berechnen, sondern die x1, x2, x3. Das sind ja die Nullstellen, also ist y1 = y2 = y3 = 0.

2. Man schreibt x_{2, 3}, nicht x_{2/3}

3. Einige Gleichungen sind nicht korrekt, das habe ich auch überprüft: Die Formel "Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch" ist nicht vollständig, ihr fehlt "-b/(3*a)", sie müsste also lauten

x_1 = ... - frac{b}{3\cdot a}

4. Auch bei den Fällen "D=0" und "D>0" fehlt genau diese Subtraktion

-- Libra RHR 62.47.182.240 09:39, 10. Nov. 2006 (CET)

Das zugehörige $x$ ergibt sich durch Rücksubstitution, $x=y-b/(3a)$. Die Formeln sind für $y$ angegeben, also korrekt. Dein Punkt 2 ist reine Geschmackssache, "2/3" scheint mir üblicher zu sein, "2,3" ist eher ein Doppelindex.--Gunther 09:44, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, das habe ich auch gesehen, dass das die Umformung ist, aber es erscheint mir nicht logisch, für die Nullstellen das y zu berechnen, das kenne ich ja (es ist 0). Zu $x_{2,3}$ oder $y_{2,3}$ will ich noch bemerken, dass es sich tatsächlich um einen Doppelindex handelt, es bedeutet ja: Zwei Nullstellen fallen zusammen auf einen Punkt, also ist $y_{2}=y_{3}=0$, analoges gilt für die Umformung. $y_{2/3}$ lese ich eher als identisch zu $y_{2/3}=y(2/3)=y(0.6666)$, also dem Funktionswert an der Stelle 0,6666. (nicht signierter Beitrag von 62.47.182.240 (Diskussion) 10:00, 10. Nov. 2006)

vorstehende Diskussion von WP:FZW hierher verschoben

Jetzt verstehe ich Dein Problem. "y" ist nicht die y-Koordinate von irgendetwas, sondern einfach eine neue Unbekannte, man könnte sie genausogut "u" oder "t" nennen. Der Sinn besteht lediglich darin, die Formeln etwas zu vereinfachen, indem man von den vier Parametern a,b,c,d zu den zwei Parametern p,q übergeht, dabei muss man halt die erwähnte Substitution durchführen.--Gunther 10:04, 10. Nov. 2006 (CET)

Ein Doppelindex bezeichnet eine Abhängigkeit von zwei Indizes, also wenn es $y_{1,1},y_{1,2},y_{1,3},y_{2,1}$ usw. gibt und alle diese jeweils für eine Zahl (o.ä.) stehen.--Gunther 10:09, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, jetzt verstehe ich, was du mit den Doppelindex meinst; da aber offensichtlich von den reellen Zahlen, die ein 1-dimensionaler Körper sind, bzw von komplexen Zahlen, die ein eindeutiger Punkt auf einer Ebene sind, die Rede ist, kann man das mit dem Doppelindex einer Matrix oder eines kartesischen Produktes nicht verwechseln. Ich muss zugeben, dass die Formeln stimmen, sie verwirren nur auf den ersten hinblick. Analog zu den quadratischen Gleichungen (pq-Formel, abc-Formel) liefern sie die Nullstellen, also $L=\{x:f(x)=0\}$. Will man einen nicht-null-Wert, also $L=\{x:f(x)=w\wedge w\neq 0\}$ berechnen, muss man genau wie bei den quadratischen Polynomen eine lineare Transformation mit $f(x)-w$ vornehmen und dann die Nullstellen berechnen. Will man einen expliziten Wert für ein bestimmtes y haben, muss man einfach einsetzen (wie immer, da $f(x)=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d$). Vielleicht ist mein Vorschlag auf Umformulierung des Artikels, dass $L=\{x:a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0\}$ mit den Cardanischen Formeln berechnet wird, etwas hochgegriffen oder absurd, aber er erscheint mir plausibel. (nicht signierter Beitrag von 62.47.182.240 (Diskussion) 10:24, 10. Nov. 2006)

Am Anfang des Formelteils steht doch genau diese Gleichung, abgesehen von der Dekoration mit $L=\{x\mid \ldots \}$, die mMn nicht wirklich mehr erklärt (da müsste man dann eher schon wieder sagen, dass L die Menge der Lösungen bezeichnen soll usw.).--Gunther 10:39, 10. Nov. 2006 (CET)

Sehen Sie, und genau das ist mein Kritikpunkt. Hier steht dann z.B.: "Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch $y_{1}=...$ gegeben ist" (man beachte das Wort "Lösung"), obwohl die Lösungsmenge offensichtlich eine Menge von x-Werten ist - egal, ob man das "dekoriert" oder nicht.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Und diese Erklärung genügt nicht?--Gunther 10:52, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, das sieht jetzt schon besser aus. Ich habe mit konkreten Werten gerechnet, a=-2, b=4, c=6, d=2. Das liefert $y_{1}=2.413$. Ich frage mich zwar, woran ich das am Funktionsgraphen ablesen kann, da 3 Stellen diesen Wert haben und keine dieser einen offensichtlichen Sinn macht, auch f(2.413) nicht... Vielleicht können Sie mir das noch erklären? (nicht signierter Beitrag von 62.47.182.240 (Diskussion) 11:04, 10. Nov. 2006)

Wie gesagt: es ist keine y-Koordinate von irgendetwas, und es ist kein Wert für x. Deshalb ist auch nicht zu erwarten, dass irgendetwas von dem Genannten einen Sinn ergibt. Sinnvoll ist:

• Mit $p=-13/3$ und $q=-97/27$ ist $y_{1}^{3}+py_{1}+q=0$.
• Mit $x_{1}=y_{1}-b/(3a)\approx 3{,}080$ ist $ax_{1}^{3}+bx_{1}^{2}+cx_{1}+d=0$.

--Gunther 11:12, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, also, man sieht ihn nirgens, es ist ein Wert, der als Zwischenschritt entsteht. Vielleicht wäre eine Umbennung geschickt, wenn er keinen y-Wert repräsentiert, z.B. $v$, oder, weil er ein Bisschen etwas mit $x$ zu tun hat, ${\bar {x}}$.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Eine Umbenennung kann nicht schaden, also reden wir von "u" statt "y". Es gibt schon eine graphische Interpretation: man verschiebt den Graphen von $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ in horizontaler Richtung so, dass der Wendepunkt auf der y-Achse ("y" hier Koordinate) liegt. Dann sind die Nullstellen der verschobenen Funktion genau die Werte $u_{1/2/3}$.--Gunther 11:30, 10. Nov. 2006 (CET)

Ok, die von mir gezeigte Funktion hat den Wendepunkt auf $f(0.6667)$, und $-b/(3\cdot a)=0.6667$, sieht also gut aus. Ich rechne es jetzt nicht nach. Ich würde in diesem Fall auf ${\bar {x}}$ umbenennen, da es ja offensichtlich ein x-Wert ist, $f^{\prime \prime }({\bar {x}})=0$.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Man muss nicht alles "x" nennen, bloß weil es auf einer horizontalen Achse aufgetragen ist. Die ganze Sache mit Funktionen und Graphen dient ohnehin nur der Veranschaulichung, mit der Gleichung selbst hat das nichts zu tun, im ganzen Artikel kommt ja auch kein "f" vor.--Gunther 12:09, 10. Nov. 2006 (CET)

Vielleicht bin ich zu formal vorbelastet, ${\bar {x}}$ impliziert mehr als u oder t. Aber wenn die Bezeichnung nicht verwirrend ist, kann man sie verwenden - auch wenn sie didaktisch besser sein könnte. Man sieht halt dann nicht gleich, dass es sich dabei um einen x-Wert handelt. An dieser Stelle könnte man noch erwähnen, dass dieses $f(x_{1}-u)$ der Wendepunkt ist.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Kommentar

Hallo, ein dickes Lob an alle, die hier mitgewirkt haben. Eine solche zugleich vollständige und gut verständliche Erklärung hatte ich noch nirgendwo gefunden. Sehr hilfreich.(nicht signierter Beitrag von 88.76.254.14 (Diskussion) 12. Sep. 2007,12:50)

Also ich versteh nur bahnhof... :D --Okumana 16:50, 18. Apr. 2008 (CEST)okumana

Sachliche Kritik ist anders, oder? --Thire 14:32, 19. Apr. 2008 (CEST)

nein nein sowas braucht man ja nicht im alltag,deshalb brauche ich es nicht zu verstehen. Und ein bisschen Spass muss doch sein:D Okumana 19:11, 22. Apr. 2008 (CEST)--okumana

Okay und jetzt? --Thire 19:17, 22. Apr. 2008 (CEST)

weiß ich nicht, aber warum schreibt man sowas auf??? des braucht man doch eh nicht im alltag--Okumana 18:41, 28. Apr. 2008 (CEST)okumamba

Das ist Ansichtssache. Der eine braucht kein Fußball im Alltag, der nächste braucht unbedingt einen Fernseher. Wenn sich alle für das gleiche interessieren würden wäre die Welt so lagweilig und weit zurückgeblieben. Aber paß auf: jedesmal wenn Du Geld mit Deiner EC-Karte abhebst, rauscht Deine PIN durch ähnliche, aber weitaus kompliziertere Formeln. Noch vor 80 Jahren ahnte iemand, dass diese Formeln einmal eine praktische Anwendung finden würden. Merke: Mathematik sieht man nicht im Alltag, aber sie ist dennoch überall unsichtbar vorhanden. Die Mathematik ist aber mit allen Unwissenden gutmütig, denn sie streikt nicht. Sonst würden sich alle sehr wundern, weil plötzlich nichts mehr funktionieren würde. Ohne Fußball würde jedoch fast alles wie bisher weiterlaufen.--Skraemer 23:33, 13. Jun. 2008 (CEST)

Ja das stimmt schon, mathematik ist überall, auch wenn man sie nicht sehen kann:D Wie? Es gehen Formeln rumm, wenn ich Geld abhebe:D cool --Okumana 17:08, 28. Sep. 2008 (CEST)

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Ja, deine PIN ist nämlich nicht auf dem Zentralrechner der Bank und auch sonst nirgendwo in Klartext-Form gespeichert (sonst würden die Bankmitarbeiter u.U. in Bedrängnis kommen können). Dies gelingt durch eine nicht-umkehrbare Verschlüsselung. Auch muß das Paßwort erstmal zum Zentralcomputer gelangen (Rohrpost war früher!). Auch hierfür ist viel Mathematik nötig.

Noch interessanter ist es beim Hören von Musik aus dem MP3-Format. Hier "rauschen" pro Sekunde sehr viele Daten durch recht komplexe Formeln. Würde die Mathematik hier "streiken", wäre ab diesem Zeitpunkt absolut nichts mehr zu hören. Die Daten sind nämlich nicht in Tönen gespeichert (wie z.B. einer Schallplatte), sondern in einer mathematisch transformierten Form. Die schönen Formeln kannst Du hier sehen: Fourier-Transformation.

Oder überlege wie viel Mathematik nötig ist, um die riesigen Datenmengen durch wenige Glasfaser-Adern eines Unterseekabels hindurchzuschieben. Und das pausenlos in beide Richtungen ohne Störungen und Unfälle.

Also die Aussage "Mathematik ist überall" ist noch viel zu schwach. Es ist wie bei den Bäumen: die stehen nicht einfach so da und ruhen sondern spielen sie eine wesentliche Rolle bei der Sauerstoff-Rückgewinnung. Aber wie oft denken wir am Tag daran? Die Mathematik vollbringt jeden Tag Höchstleistung ohne jemals zu irren. --Skraemer 22:31, 28. Sep. 2008 (CEST)

ja:D magst du mathematik? --Okumana 17:36, 29. Sep. 2008 (CEST)

Kritik: Der Artikel ist für mich unverständlich

Ich habe mich über den Artikel geärgert. Folgendes ist meiner - zugegebener Maßen laienhafter - Meinung unklar geblieben: Es wird beschrieben, wie man durch Substitution zu einen Polynom der Form z^3 + pz + q = 0 kommt. Soweit alles nachvollziehbar, aber dann wird einfach eine Diskriminante aus den Hut gezaubert. Ist sie Teil der von Tartaglia, Scipione del Ferro oder Gerolamo Cardano erbrachten Leistung, eine allgemeine Lösung für Kubische Gleichung gefunden zu haben, oder wo kommt die her? Das dies nicht erklärt wird, scheint mir jegliche Chance zu nehmen, das weitere verstehen zu können. Um es noch schlimmer zu machen, wird die (unbegründet bleibende) Behauptung aufgestellt: "..wobei die 3. Wurzeln u und v so gewählt werden müssen, dass die Nebenbedingung u*v = -p/3 erfüllt ist." Wie soll ich u und v wählen können, wenn sie doch durch die vorherigen Gleichungen (3.Wurzel aus..) bestimmt sind? Wieso muss im weiteren mit Komplexen Zahlen gerechnet werden? Ich dachte erst Cardano hat die eingeführt. Wie konnte Scipione del Ferro ohne diese auskommen? Gehe ich richtig in der Annahme, das komplexe Lösungen nur sinnvoll sind, um damit weiter Rechnen zu können? Als Endergebnis sind sie doch keine Lösung mit praktischer Bedeutung - oder irre ich mich da? Ein von Anfang bis zum Ende durchgerechnetes und kommentiertes Beispiel, vielleicht sogar aus der Praxis entnommen, würde den Artikel auf jeden Fall aufwerten.

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Da würde ich auf Youtube gucken. Wikipedia ist ein Zusammenfassung, kein Lehrbuch.

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Mir ist klar, daß der Artikel nur mit gewissen Grundkenntnissen verständlich ist. Deine Fragen sind sehr interessant, da diese sich jeder stellt der mit der Formel das erste Mal in Berührung kommt. Dennoch muß ein Enzyklopädischer Artikel gewisse Grundkenntnisse voraussetzen, da nicht jder mathematische Artikel ein Lehrbuch sein kann. Zunächst mußt du mit Komplexen Zahlen vertraut werden und dabei die Mehrdeutigkeit von Wurzeln verstehen, dies zieht dann eben eine geeignete Auswahl nach sich. Die Theorie der Diskriminanten gehört in die Algebra. Dies lernt man in der Regel erst in einem Mathematik-Studium und benötigt viel Hintergrundwissen. Für die Cardanische Formel ist es jedoch nicht notwendig dies zu verstehen, es reicht aus zu wissen, daß die Diskriminante der Ausdruck unter der Quadratwurzel ist. Das ist einfach so definiert. Das Vorzeichen der Diskriminante entscheidet also ob die Wurzel reell, 0 oder imaginär ist. Das wichtigste ist der Fall D=0, dann fallen immer zwei Lösungen zusammen, da $Wert\pm 0$ nur einen einzigen Wert ergibt. Man braucht ungefähr 1 Woche intensive Arbeit unter Anleitung um die Cardanische Formel vollständig zu verstehen. Du kannst nicht erwarten es sofort zu verstehen, aber Du wirst es mit etwas Fleiß schaffen! Leider gibt es kein wirklich gutes Buch. Es hat 3000 Jahre harte Arbeit gedauert bis die Mathematiker die Cardanische Formel gefunden hatten. --Skraemer 21:46, 4. Dez. 2008 (CET)

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Es mag ein allgemeiner Konsens darüber bestehen, dass Wikipedia kein Lehrbuchcharakter annehmen soll. Warum eigentlich nicht? Enzyklopädie und Lehrbuch schließen einander weniger aus, als offensichtlich von vielen angenommen wird. Einige gute Artikel hier in der Wikipedia zeigen das bereits eindrucksvoll. Einig sollte sich aber alle Beeidigten sein, dass Wikipedia Wissen zugänglich machen soll/will. Dazu ist es nötig, dass Wissen nicht nur aufgeschrieben wird, es muss auch begreifbar gemacht werden!

Lieber Skraemer, du findest meine Fragen aus genanntem Grund interessant, aber leider halfen sie bis jetzt noch nicht, den Artikel zu verbessern. Ich mache mal ein Verbesserungsvorschlag.

• Die Substitution muss besser eingeführt werden, damit das dahinter stehende Motiv - den quadratischen Term zu eliminieren - deutlicher hervorgeht.

• Den Satz

"Es sei:$D:=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$die Diskriminante."

verstehe ich nun so, dass damit das Symbol D für die Diskriminante eingeführt werden soll. Das ist weniger Bedeutung als man als Laie hinter diesen Satz vermuten könnte (ich tat es). Dadurch entsteht Verunsicherung.

• Ab "Danach überführt die Substitution.." schlage ich vor:

Indem danach die Substitution $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ auf die Normalform angewendet wird, erhält man eine, um den quadratischen Teil reduzierte Form:

$z^{3}+pz+q=0,$

wobei

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$

und

$q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c.$

Für die reduzierte Form veröffentlichte Cardano die Lösungsformeln zum Berechnen von $z=u+v$ mit $u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}$ und $v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}$

$D$ ist die Diskriminante der reduzierten Kubischen Gleichung. Anhand ihre Größe kann man drei Lösungsverhalten unterscheiden: ... usw...

• Das weiter habe ich noch nicht Begriffen und kann deshalb keine Vorschläge machen. Ich würde aber unterscheiden, ob man nur die reellen Lösungen ermitteln will oder ob man auch an den komplexe Lösungen interessiert ist. Bei letzteren muss dann natürlich mit komplexen Zahlen gerechnet werden, ansonsten aber vermutlich nicht.
• Das mit der Nebenbedingung bedarf auf jeden Fall einer bessern Erläuterung BlueIceOnly

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Den ersten Teil deiner Verbesserungsvorschläge habe ich versucht umzusetzen. Für den zweiten Teil musst Du das Ausziehen von Kubikwurzeln aus komplexen Zahlen üben. Dies kann aber nicht in diesem Artikel erfolgen. Schau mal bei Moivrescher Satz. Deine Hoffnung erfüllt sich nicht, denn es ist so: bei 3 reellen Lösungen braucht man komplexe Zahlen. Dies nennt man auch den Durchgang durch die komplexen Zahlen. Dies lässt sich durch eine Höhle veranschaulichen, deren Zugang nur unter Wasser (komplexe Zahlen) möglich ist. Daher heißt der Fall D<0 auch casus irreducibilis (nicht zurückführbarer Fall). Wichtige Erkenntnis für dich: ein vollständiges Verständnis der reellen Zahlen ist ohne komplexe Zahlen nicht möglich. --Skraemer 23:43, 5. Dez. 2008 (CET)

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Danke Skraemer! Sehr gut formuliert. Der Informationsfluss hat sich dadurch auch verbessert. Wenn ich mehr fit auf mathematischen Gebiet wäre, könnte ich noch mehr Verbesserungen vorschlagen. Dabei geht es nicht darum, alles in diesen einen Artikel zu packen, sondern den geneigten Leser die Wege zum Verständnis zu ebnen. Zum Beispiel indem eine noch bessere Verlinkung zu den Grundlagen geschaffen wird. Voraussetzung ist natürlich, dass diese Grundlagenartikel eine brauchbare Qualität aufweisen. Beispiele in den die auftretenden Probleme bei den einzelnen Lösungsfällen aufgezeigt werden, wären auch sehr hilfreich. Dies könnte ein eigenes Praxis-Kapitel an Ende des Artikels sein. So würde es Leser, die nicht daran interessiert sind, nicht stören. Es gibt bereits Artikel in der Wikipedia, wo das so gemacht wurde.

Aber es gibt sicher genügend andere (mathematische) Artikel hier, die eine höhere Praxisrelevanz besitzen und auch noch eine Verbesserung vertragen könnten. Ich sehe hier keinen akuten Handlungsbedarf mehr. Danke Skraemer, für die fruchtbare Diskussion. BlueIceOnly 17:01, 6. Dez. 2008 (CET)

Unqualifizierte Änderungen

Am 26. Aug. 2009 hat ein Benutzer unter 87.167.195.106 heimlich eine 3 in die Substititionsgleichungen hineingemogelt. So etwas passiert häufig mit mathematischen Seiten. Zählt man die Stunden zusammen, die wissenschaftliche Mitarbeiter benötigen, um solche Taten zu erkennen und zu korrigieren, so kommt man zu dem Vorschlag, dass es wohl besser sei alle mathematisachen Seiten für unangemeldete Benutzer zu sperren. Hat jemand hierzu eine Meinung? --Skraemer 21:10, 29. Aug. 2009 (CEST)

Casus irreducibilis

Sind die negativen Vorzeichen bei z2 und z3 Druckfehler? Sowohl im Bronstein, als auch im französischen Wikipedia kommen sie nicht vor. Bei einer Aufgabe, an der ich sitze, erhalte ich für z1 einen korrekten Wert, während ich z2 und z3 mit (-1) multiplizieren müsste, damit es stimmt.-- Kosekans 03:02, 20. Nov. 2009 (CET)

Hi, irgendwas an der letzten Änderung des Artikels war doch seltsam. Jemand hatte die Phase verdoppelt, ohne die Vorzeichen wegzunehmen. Es ist

$\cos(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}})=\cos(\alpha +\pi -{\tfrac {\pi }{3}})=-\cos(\alpha -{\tfrac {\pi }{3}})$,

im Artikel steht jetzt wieder die letzte Variante, die erste ist aber auch richtig. Welche man nimmt, ist Geschmackssache, die derzeitige Variante zeigt die richtigen Vorzeichen, wenn $|\alpha |<{\tfrac {\pi }{6}}$ ist.--LutzL 10:37, 20. Nov. 2009 (CET)

Literator/Quellen: Bewersdorff

Ich moechte darauf hinweisen, dass das verlinkte Buch von Bewersdorff meiner Meinung nach nicht als Lehrbuch zu empfehlen ist. Ich habe ein Seminar geleitet, in dem dieses Buch die Vorlage war. Die Anzahl der Rechen- und Tippfehler, die Studenten aufgezeigt haben, war nicht gerade gering. Ganz abgesehen davon, dass das Buch unter mathematischen Gesichtspunkten nicht gerade gut aufgebaut ist. MfG -- 88.70.158.190 22:51, 7. Mär. 2010 (CET)

Zu: Die Cardanische Formel zur Auflösung der reduzierten Form z³ + pz + q = 0

Zitat aus dem Artikel: Es ergibt sich also das Gleichungssystem $u^{3}+v^{3}=-q$ und $u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$.

Ich mag mich täuschen, aber muss es nicht korrekterweise lauten: Es ergibt sich also das Gleichungssystem $u^{3}+v^{3}=-q$ und $u^{3}\cdot v^{3}=-{\frac {p}{3}}$.

Die dritte Potenz von ${\frac {p}{3}}$ ist hier fehl am Platze, da bereits $u^{3}\cdot v^{3}$ den Koeffizienten von $(u+v)$ darstellen, oder liege ich da falsch? MFG--Psi81 11:58, 19. Mar. 2010 (CET)

Hi, bitte nochmal nachrechnen. Aus dem Ansatz liest man $3u\cdot v+p=0$ ab, dieses umgestellt und in die dritte Potenz erhoben ergibt die angegebene Gleichung.--LutzL 13:06, 19. Mär. 2010 (CET)

Hi, habe nix gesagt, muss natürlich heißen $u\cdot v=-{\frac {p}{3}}$, daraus ergibt sich dann das im Artikel stehende. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nimmer --Psi81 13:17, 19. Mär. 2010 (CET)

Diskriminante reloaded

Im Wikipedia-Artikel zur Diskriminante steht zum Zeitpunkt des Schreibens dieser Zeilen die auch in der Fachliteratur unstrittige Definition von D als Produkt des hochrangigsten Gleichungs- bzw. Polynom-Koeffizienten in gerader Potenz und aus allen Kombinationen von Nullstellen-Differenzen zum Quadrat. Für reelle Nullstellen und Koeffizienten ist D also zwangsläufig positiv (egal, ob quadrat., kubische oder quartische Gl.). In diesem Artikel steht "D > 0 Man wählt für u und v jeweils die reellen Wurzeln. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen". Das ist Unfug. Denn ausschließlich durch den Einfluss des Imaginärteils einer Nullstelle kann D nach Definition negativ werden. Bitte diese Inkonsistenz schnellstens beseitigen. D > 0 bedeutet n versch. reelle Nullstellen. Bei der kubischen Gleichung wird in D auch ein Faktor 108 bzw. -108 "gerne vergessen". Wer hat ein Interesse daran, durch solch inkonsistente Definitionen Nutzende zu verwirren? -Drgst 21:10, 22. Feb. 2011 (CET)

Was gewährleistet, dass ${\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}\geq |z|$ ?

Unter dem Untertitel D < 0 (casus irreducibilis) findet man folgenden Ansatz zur Vernichtung des quadratischen Terms in (2): $r={\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}$ gleichsetzen. Allerdings will man $z$ finden, und vorher wurde festgelegt, dass $z=r\cdot \cos \alpha$, was jedoch nur geht, wenn $r\geq |z|$, da $|cos\alpha |\leq 1$. Wie kann man dann denn sicher sein, dass stets ${\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}\geq |z|$ ? Wisapi 20:11, 29. Mai 2011 (CEST)

Man sollte bedenken, dass dieser Fall nur für $({\tfrac {p}{3}})^{3}+({\tfrac {q}{2}})^{2}\leq 0$ gilt, sodass auch $({\tfrac {p}{3}})^{3}\leq -({\tfrac {q}{2}})^{2}$ und damit $(-{\tfrac {p}{3}})^{3}\geq ({\tfrac {q}{2}})^{2}$ gelten muss. Betrachtet man die Herleitung der Diskriminante, wird man feststellen können, dass dann ${\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}\geq |z|$ gilt.--Glühbirne26394 (Diskussion) 21:32, 3. Aug. 2014 (CEST)

Herleitung der Diskriminante

Ich war so frei, zu erklären, wie man die Diskriminante herleitet. Jedoch fehlt etwas dabei, nämlich die Korretkte Setzung der Vorzeichen. Da sich diese beim Quadrieren von $(\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}}$ im Falle des Minus ändern, bin ich da noch nicht aif die entsprechende Fallunterscheidung eingegangen. Dies ist auch schwierig.--Glühbirne26394 (Diskussion) 15:06, 6. Jul. 2014 (CEST)

Warum ist der Link auf Diskriminante nicht ausreichend? Und warum eine so komplizierte Diskussion des Graphen der reellen Funktion wenn die Diskriminante Aussagen über die komplexen Nullstellen macht? Die einfachste Formulierung ist, dass die Diskriminante genau dann null ist, wenn das Polynom mehrfache Nullstellen hat. Wenn also Nullstellen der Ableitung auch Nullstellen der Funktion sind. Die Ableitung von f(x)=x³+px+q ist f'(x)=3x²+p mit Wurzeln $z_{\pm }=\pm {\sqrt {-p/3}}$. Und da $f(z)\,f(-z)=q^{2}-(z^{3}+pz)^{2}$ ergibt sich durch Einsetzen

$f(z_{+})f(z_{-})=q^{2}+(p/3)^{3}-2p(p/3)^{2}+p^{2}(p/3)={\tfrac {4}{27}}p^{3}+q^{2}$

Dieser Ausdruck ist genau dann Null, wenn f und f' eine gemeinsame Nullstelle haben, ist also, bis auf einen konstanten Faktor, die Diskriminante.--LutzL (Diskussion) 13:00, 9. Jul. 2014 (CEST)

Ich wollte zeigen, warum die Diskriminante $D:=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}$ ist und nicht anders. Ich habe mich damit mal in meiner Freizeit beschäftigt und festgestellt, dass man mittels der Analysis auf diese Formel kommt. Man muss sich allerdings gut mit Mathematik auskennen und entsprechend umformen, um das Ergebnis zu erreichen.
Die gleichen Fälle fasst man zu Aussagen zusammen, die erläutern, wie viele Lösungen es gibt.--Glühbirne26394 (Diskussion) 07:52, 12. Jul. 2014 (CEST)

Wikipedia ist eine Enzyklopedie und nicht eine Seite zur Veröffentlichung von Hobby-Projekten. Insbesondere gibt es einen klaren Bias gegen Theoriefindung. Finde also bitte ein Lehrbuch oder sonstiges Algebra-Buch, in welchem dieser Ansatz enthalten ist und welches im Artikel zitiert werden kann. Ansonsten löschen, da doppelt zum spezifischen Artikel "Diskriminante" und zu geringes Platz/Informations-Verhältnis. Oder verschiebe den Inhalt zu wiki-books, welches eher für solche Detailrechnungen und Beweise gedacht ist.--LutzL (Diskussion) 15:48, 4. Aug. 2014 (CEST)

Die derzeitige herleitung der Diskriminante ist gräßlich und auch unzulänglich, da sie so im Komplexen nicht durchführbar ist. Wenn, dann solte sie durch die Variante von LutzL ersetzt werden. --Skraemer (Diskussion) 21:18, 25. Feb. 2016 (CET)

Der Abschnitt zur Herleitung der Diskriminante ist immer noch extrem umständlich, unmathematisch, problematisch, unverständlich, einfach grauenvoll. Er trägt nicht zum Verständnis, sondern zur Verwirrung bei. Leider ist er auch nach vier Jahren immer noch vorhanden. Ich plädiere für die sofortige Löschung des gesamten Abschnitts. Alternativ auch Ersetzung durch die Argumentation von LutzL. Traut sich das niemand zu von den üblichen Autoren? --Gzim75 (Diskussion) 21:20, 11. Apr. 2018 (CEST)

A. Zum Aufbau der Einleitung (des Abschnitts "Herleitung der Determinante über die Differenzialrechnung"). Ich bin bemüht, Mühe und Intention des Autors / der Autorin zu achten. ... Aber:

(Der einleitende Satz ist verzichtbar.)

Der Funktionsterm KEINER der dargestellten Parabeln ist die linke Seite einer reduzierten kubischen Gleichung, denn für solche Parabeln liegt der Wendpunkt stets auf der y-Achse (f(z) = 0 für z = 0, f'(0) = 6 <> 0).

Die Existenz echt komplexer Nullstellen ist nicht mit irgendeiner Grafik im Reellen zu begründen (sondern z.B. mit dem Fundamentalsatz der Algebra). „Rein graphisch“ ließe sich genausogut argumentieren, dass eine lineare Funktion komplexe Nullstellen hätte.

B. Einführung der Differenzialrechnung

Sinn des Abschnitts kann kaum sein, grundlegende Begriffe der Kurvendiskussion einzuführen. Dies leisten beispielsweise die Abschnitte der entsprechenden Wikipedia-Seite besser. Leider enthält die im vorliegenden Text gegebene Einführung dann auch noch Fehler, teilweise recht grundsätzliche:

Ein Sattelpunkt ist nach allgemeine eingeführter Definition KEINE Extremstelle (vgl. z.B. Wikipedia-Artikel „Extremwert“ oder ein beliebiges Schulbuch der Oberstufen-Mathematik). Sämtliche darauf aufbauenden Formulierungen sind unhaltbar.

(Die Richtung des Grenzübergang zur Definition von f'(x_1) ist falsch angegeben; richtig ist x_0 → x_1 statt x_1 → x_0)

Die angegebenen Kriterien für das Vorliegen eines Wendepunkes und eines Sattelpunktes sind notwendig, aber NICHT HINREICHEND (y = x^4 hat bei x = 0 weder Wende- noch Sattelpunkt, obwohl sämtliche Ableitungen für x = 0 den Wert 0 annehmen).

Gleichungen zur Bestimmung von Nullstellen einer Ableitung sind KEINE Differenzialgleichungen im eingeführten Sinn des Begriffs. Zur Bestimmung des Wendepunkts wird im Text überhaupt keine Gleichung angegeben (sondern die Form der zweiten Ableitung).

(Die angegebenen Funktionswerte für die Extrema können von einigen überflüssigen Klammer befreit werden.)

C. Logische Struktur des Textes

(In den Fällen 2a bis 2d sind einige öffnende Klammern überflüssig.)

Da kein entsprechender Klartext formuliert ist, bleibt unklar, was letztlich geschlussfolgert wird. Anscheinend ist die Aussagen für Fall (2): Wenn an zwei Stellen der Parabel mit Steigung 0 der Funktionswert positiv ist (erste mit (2) bezeichneten Gleichungskette im Text), dann ist die Diskriminante negativ (letzte mit (2) bezeichneten Gleichungskette im Text). Das ist FALSCH, denn wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Funktion drei reelle Nullstellen und genau zwei Extrema mit unterschiedlichem Vorzeichen. Im Text selbst führt auch Teilfall (2d) zu (2) weiter unten, der Teilfall (2a) aber zu (3).

D. Ergebnis

Der Absatz ist vollständig umzuformulieren, wenn er überhaupt erhalten bleiben soll. „Zu retten“ ist möglicherweise der Nachweis mit Gleichung (1), dass die Diskriminante = 0 ist, wenn in einer Nullstelle der Funktion die Steigung = 0 ist.

Wie ich weiter oben einfügte, ergibt sich die Form der Diskriminante auch aus der Auflösung der quadratischen Resolvente nach Mittelstufen-Formel. Hierfür gab ich nun keine Quelle an, weil ich davon ausgehe, dass Leser(innen), die sich für die Cardani-Formeln interessieren, das wissen. Genannte Formel gilt für beliebige Körper, insoweit in diesen eine Quadratwurzel definiert ist, also auch für den Körper der komplexen Zahlen.

--Psychironiker (Diskussion) 13:33, 23. Okt. 2021 (CEST)

Notationelle Frage

Was bedeutet „<>“ ? Einfach „≠“ ? Dann vielleicht besser auch so.

--Nomen4Omen (Diskussion) 12:31, 12. Jan. 2015 (CET)

Formel oder Formeln

Nach den Wikipedia-Regeln sollte der Singular bevorzugt werden. Dieser Artikel wurde mit dem Plural angelegt (und für den Singular gibt es die Weiterleitung); im Inhalt des Artikels kommen beide Varianten vor. Mathematisch ist beides vertretbar; auch bei externen Links finde ich beide Varianten. Hat irgendjemand Kenntnis, was häufiger ist oder wie es historisch entstanden ist? -- Jürgen (Diskussion) 15:31, 22. Nov. 2015 (CET)

Ich habe mich ehrlich gesagt auch über den Plural gewundert. Natürlich stecken da mehrere Formeln implizit drin, aber das ist auch bei der pq-Formel so, und ich kenne niemanden, der von den "pq-Formeln" sprechen würde. Ich trage mal zusammen, was ich auf die Schnelle gefunden habe:

• Im englischsprachigen Wikipedia-Artiekl steht "cubic formula" und nicht "cubic formulas".
• Im Bronstein steht "Cardanosche Formel"
• In Arens et al.: Mathematik steht "Formel von Cardano".
• Euler: Vollständige Anleitung zur Algebra (1770): "Formel des Cardani".
• Wußing: 6000 Jahre Mathematik: "Cardanosche Lösungsformel"
• In der Encyclopedia of Mathematics steht "Cardano formula"
• Wolfram Math World: Cardano's formula.

Es ist nicht so, dass ich die Literatur mit einer Pluralform hier unterschlagen würde: Ich habe schlichtweg keine einzige Quelle gefunden, in der sie benutzt wird. Mein Vorschlag wäre deshalb, den Artikel in "Cardanische Formel" umzubenennen. Es wäre auch ganz schön, wenn sich die berühmte Formel dann auch mal im Artikel finden lassen würde. --Mathze (Diskussion) 23:36, 16. Mai 2024 (CEST)

Anwendung vs. Herleitung

Ich fände es verständlicher, wenn man die Formel(n) und ihre Anwendung getrennt von der Herleitung darstellen würde, da ja das Anwenden schon sehr komplex ist. --Digamma (Diskussion) 19:56, 25. Feb. 2016 (CET)

Extrempunkte / Sattelpunkte

Die Bedingungen an Kurven f(x)

(a) f'(x) = 0 (Extremwert)

(b) f"(x) = f'(x) = 0 (Sattelpunkt)

sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend.

Siehe z.B.:

f(x) = x^99

g(x) = x^100

Bei beiden sind für x=0 offensichtlich die 1. und die 2. Ableitung = 0. Trotzdem handelt es sich für g(x) = x^100 offensichtlich um ein Minimum und keinen Sattelpunkt.

Korrekter wäre:

Extremwert: Alle Ableitungen bis zur 2*n - ten verschwinden an der betreffenden Stelle, die 2*n+1 - te Ableitung dort ist ungleich 0.

Sattelpunkt: Alle Ableitungen bis zur 2*n-1 - ten verschwinden an der betreffenden Stelle, die 2*n - te Ableitung dort ist ungleich 0.

Für eine höchstens kubische Gleichung ist das natürlich gehupft wie gesprungen, da hier die 3. Ableitung auf jeden Fall nicht verschwindet. Es sollte aber nicht als allgemeingültige Weisheit hingestellt werden. (nicht signierter Beitrag von 85.16.36.114 (Diskussion) 13:08, 7. Sep. 2018 (CEST))

Auf welche Textstelle bezieht sich das? --Digamma (Diskussion) 20:32, 7. Sep. 2018 (CEST)

Ausziehen von verschachtelten Wurzeln

"Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen."

--> Nenne mir welche. (nicht signierter Beitrag von 217.88.239.244 (Diskussion) 15:09, 7. Sep. 2018 (CEST))

Abschnitt "reduzierte Form"

Am Ende des Abschnitts kann man noch kürzen (in der Formel für p) (nicht signierter Beitrag von 2001:4DD5:70D0:0:161:8612:199A:DD98 (Diskussion) 15:04, 7. Dez. 2021 (CET))

Koeffizientenvergleich

Im Abschnitt "Die cardanische Formel zur Auflösung .." heißt es "und Koeffizientenvergleich liefert". Das ist falsch. Dazu müßte man den Ausdruck u^3+v^3 + (3uv+p)z + q als Polynom ersten Grades in z auffassen, bei festen u, v, p und q. Wenn man 2 verschiedene z hätte, für die das gleich 0 ist, könnte man schließen, daß 3uv+p=0 und u^3+v^3+q=0, aber man hat pro u und v immer nur ein z, nämlich u+v. Hier ein einfaches Gegenbeispiel: z^3=0. Aus u+v=z ergibt sich nicht u*v=0, sondern nur u=-v. Stattdessen kann man so argumentieren: Zu jeder Lösung z aus C existieren u und v aus C mit z=u+v und u*v=-p/3. Das wird durch den Wurzelsatz von Vieta gesichert: wähle einfach die Nullstellen (in C gibt es mindestens eine) von x^2-zx-p/3. D.h., u*v = -p/3 wird nicht aus der Substitution z=u+v geschlossen, sondern man ist frei, es vorauszusetzen.

Ansonsten großes Lob für den Artikel. Ich finde ihn gut verständlich. (nicht signierter Beitrag von Kai Ramisch (Diskussion | Beiträge) 13:04, 15. Dez. 2021 (CET))

Genau das! Die Formulierung mit dem Koeffizientenvergleich findet man oft bei der Herleitung, und sie ist irreführend. Man fragt sich: Warum kann man in einem Polynom in der Variablen z Koeffizienten vergleichen, die keine Konstanten sind sondern Terme in Variablen u, v, wobei diese gar nicht unabhängig von z sind? Und wieso ergeben sich - bis auf die Reihenfolge - eindeutige Lösungen u, v beim Ansatz z = u + v, der doch für jede Lösung z offensichtlich von unendlich vielen Paare u, v erfüllt wird? Da stimmt was nicht...

Was hier eigentlich passiert ist, daß man eine zusätzliche Bedingung an u und v stellt - daß die immer erfüllbar ist, hat Kai ausgeführt - und die ist so geschickt gewählt, daß u und v dann weiters vergleichsweise leicht bestimmt werden könnnen.

Eine Darstellungsweise die ich verstehen würde (ähnlich zu dem was Kai schreibt):

Substitution z -> u+v ergibt

u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v)+q=0

[ohne "z"!]. Es existieren nun (für jede Lösung) solche u, v sodaß das häßliche Produkt in der Mitte gerade verschwindet. Übrig bleibt also die zusätzlich gewählte Bedingung

uv = -p/3

und die ursprüngliche Gleichung mit dem weggefallenen Summanden:

u^3+v^3+q=0.

Übrigens, man kann die Sache so interpretieren daß man mit einem allgemeinen Substitionsansatz z -> u + f(u) startet, wobei man am Anfang noch nicht weiß wie der Term f(u)=v aussehen muß damit man die Sache hinbekommt. Mit der Nebenbedingung 3uv+p=0 ergibt sich nämlich, wenn man nach v auflöst, genau die Substitution die im englischsprachigen Artikel angeführt wird:

z -> u - 1/3 u

Mit der kann man alternativ auch gleich starten. Die fällt dann etwas vom Himmel aber der Lösungsweg ist für den Laien vielleicht leichter nachvollziehbar wenn nur eine Variable substituiert wird.

Mag also jemand erfahrenes die irreführende "Herleitung" mit dem Koeffizientenvergleich der gar keiner ist etwas umformulieren? Danke an die- oder denjenigen. --Zeitleseschreibkopf (Diskussion) 01:56, 6. Feb. 2022 (CET)

Da habt ihr schon irgendwie recht: der Koeffizientenvergleich ist nicht der übliche und die Formulierung mit "führt zu" ist falsch. (Man könnte "Koeffizientenvergleich" vllt in Anführungszeichen setzen.)

Insgesamt ist jedoch mMn die Implikation anders herum: mit den angegebenen Setzungen (die keineswegs erzwungen sind – was soll an u und v auch erzwungen sein) kommt man zu einem Ergebnis (Lösungen), das die kubische Gleichung löst. In diese Richtung verstehe ich auch den Vorschlag von Kai.

Das Ergebnis ist übrigens so plausibel, dass man sich einen Beweis für die Korrektheit der Lösungen sparen kann. Man muss nur den umgekehrten Weg gehen und es leuchtet einem ein, dass die gefundenen Lösungen die Gleichung lösen, insbesondere, wenn man noch die Maßgabe u·v=−p beachtet.

Einen Versuch der Umformulierung habe ich gemacht.–Nomen4Omen (Diskussion) 11:47, 6. Feb. 2022 (CET)

Gefällt mir gut! Habe drübergelesen und nur zwei pingelige Anmerkungen:

1. Im Fall p, q reell und p=0 sind die dritten Wurzeln von t_1 = 0 reell (nämlich 0), na ja, mein Gott, und
2. In der Übersicht der drei Lösungen z_1,2,3 wird eines (ein beliebiges) der drei u fest ausgewählt, weiß nicht ob man das explizit nochmal sagen sollte.

Ist aber beides nicht so wichtig. Also - vielen Dank! --Zeitleseschreibkopf (Diskussion) 00:34, 7. Feb. 2022 (CET)

Warum quartische und quintische Gleichungen?

Warum gibt es in diesem Artikel die beiden Abschnitte "quartische Gleichungen" und "quintisch Gleichungen"? Geht es bei Cardano nicht nur um kubische Gleichungen? --Mathze (Diskussion) 14:42, 11. Apr. 2024 (CEST)

Nein, die Lösungs-Formeln für die quartischen (und die so lösbaren quintischen) Gleichungen werden ebenfalls Cardanisch genannt (und haben auch große Ähnlichkeit). --Nomen4Omen (Diskussion) 20:32, 11. Apr. 2024 (CEST)

Wenn das so ist, dann wäre es sinnvoll, dass in die Einleitung mit reinzunehmen. Bisher steht dort nur: "Die Cardanischen Formeln oder auch Cardanoschen Formeln sind Formeln zur Lösung kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades)." --Mathze (Diskussion) 21:23, 11. Apr. 2024 (CEST)

Wurzel aus komplexem p.

Hallo,

im Abschnitt über den Casus Irreducibiliis ist unter anderem Folgendes zu finden:

${\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\qquad \quad (2)\\&\,={\sqrt {-{\frac {4}{27}}\,p^{3}}}\cdot \cos 3\alpha +q\end{aligned}}$

Was aber wäre, wenn das p komplex wäre, dann wäre ja die normale Quadratwurzel nicht immer definiert, oder sehe ich das falsch? --2A0A:A543:46:0:C931:588:242A:522F 12:11, 3. Jul. 2024 (CEST)

Überarbeitung der Artikelabschnitte, die die kubische Gleichung betreffen

Ich habe den Artikel gründlich überarbeitet und eine neue Version eingestellt. Dabei ist zunächst zu sagen, dass es nicht etwas geschah, weil der Artikel schlecht war – im Gegenteil. Kompliment an alle Beteiligten. Es gab jedoch eine Inkonsistenz bezüglich der Diskriminante: Zum einen entsprachen die errechneten Werte nicht der Normierung, die üblicherweise in der Algebra vorgenommen wird. Dazu genügt es nicht, einfach den Wert unter dem Wurzelzeichen zu nehmen, denn man kann ja verschiedene Werte unter das Wurzeldach nehmen, wie es schon die Mitternachtsformel zeigt (${\sqrt {p^{2}-4q}}$ oder $\textstyle {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$). Die Diskriminante ist jedoch ein wohldefinierter Wert, Abweichungen bzgl des Normierungsfaktors gibt es zwar, aber der Mainstream seriöser Algebra-Lehrbücher stimmt in ihren Definitionen seit Jahrzehnten überein. Für die Wahl des Normierungsfaktors gibt es auch eine Begründung, die ich ebenfalls mitgegeben habe. FAZIT: Daher habe ich alle Angaben zu den Diskriminanten im Artikel an die übliche Definition angepasst, die Formeln entsprechend leicht modifiziert. Die Inkonsistenz wurde in einer Fußnote besonders deutlich, in welcher die Diskriminante „direkt berechnet“ wurde, nämlich mit Hilfe der gewonnen Formeln für die Nullstellen: Diese Rechnung erbrachte nämlich als Endergebnis durchaus das Ergebnis, welches mit der Standard-Definition übereinstimmt – und stand aber eben deshalb auch im Widerspruch zu den Angaben im übrigen Artikel. Nun hatte diese Rechnung noch einen anderen Schönheitsfehler: Zwar ist das erste Gleichheitszeichen ihrer Gleichungskette sicherlich richtig (es muss korrekt sein), doch konnte ich es nicht auf Grundlage der Überlegungen dieses Artikels ist es nicht unmittelbar verständlich. (Nutzt man die Lagrangesche Resolvente, Galoistheorie bzw. Identitäten der elementarsymmetrischen Funktionen, so wird sich die Gleichung ergeben müssen.) Wer auch immer diese gerechnet oder in den Artikel eingefügt hat, mag es mir gerne erklären. Zu diesem Zwecke stelle ich diese Rechnung hier in der Diskussion noch einmal zur Verfügung, siehe Abschnitt #Direkte Berechnung der Diskriminante gemäß Vorgängerversion. Ich selbst habe die Rechnung ersetzt durch eine Rechnung, die meines Erachtens wesentlich natürlicher daher kommt. Zudem kommt auch sie zum richtigen Ergebnis. Ferner habe ich gleich zu Beginn des Artikels weitere Methoden zur Berechnung der Diskriminante vorgestellt, die wesentlich eleganter sind, aber auch mehr Vorwissen erfordern (insb. zu symmetrischen Polynomen und zur Resultante). – Ein weiterer wesentlicher Grund zur Überarbeitung war der Abschnitt "Herleitung der Diskriminante mit Hilfe der Differenzialrechnung". Dieser Abschnitt wurde hier ja schon von mehreren Diskutanten kritisiert, worauf ich nicht erneut eingehen will. Wesentlich ist: Die Idee dieses Abschnittes lohnte eine verbesserte Darstellung, er heißt daher nicht mehr „Herleitung … Differenzialrechnung“, denn dieser Titel ist unzutreffend, da die Diskriminante mit diesem Ansatz nicht eindeutig berechnet werden kann. Wohl aber kann sie bis auf einen Normierungsfaktor bestätigt und geometrisch (durch Kurvendiskussion nämlich) veranschaulicht werden. Damit erhält der eben erwähnte, geheimnisvolle Rechenweg mit Hilfe der Resultante eine Anschauung (für den Fall $\deg =3$). Dieser Abschnitt fügt sich deshalb nun auch unmittelbar als letzter Unterabschnitt in den Abschnitt "Bestimmung der Diskriminante" ein. Um Redundanzen zu vermeiden, sind die drei Fälle daher nur an dieser Stelle zusammengefasst, und die nähere Betrachtung der Fälle erfolgt erst, wenn die Cardanischen Formeln zur Verfügung stehen. Für diese gedankliche Anregung danke ich der "Glühbirne" und hoffe meinerseits, dass die Glühbirne sich über die gestraffte und klarere Darstellung freut. Ich habe ferner ein paar Literaturhinweise hinzugefügt und einige Formulierungen verbessert bzw. Schreibweisen modernisiert. Von all dem abgesehen ist der Artikel im Wesentlichen so geblieben, wie er war. Die Formeln, in denen die Großbuchstaben $A,B,C,D$ auftauchen, habe ich nicht verfiziert.

Direkte Berechnung der Diskriminante gemäß Vorgängerversion

Hier die "direkte Berechnung" der Diskriminante aus einer Fußnote der vorigen Version.

Die Größe

$\Delta :=-\Delta _{2}=-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}={\frac {18ABCD-4AC^{3}-27A^{2}D^{2}+B^{2}C^{2}-4B^{3}D}{108\,A^{4}}}$

ist die Diskriminante der kubischen Gleichung. Sie ist ein rationales Vielfaches des Quadrats ${\bigl (}(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3}){\bigr )}^{2}$ des Differenzproduktes (des Produktes der Differenzen der Lösungen), und zwar der 108-te Teil. Sie kann durch direkte Rechnung erhalten werden: Das Einsetzen von

${\begin{aligned}z_{1}&=u\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{1}\\z_{2}&=u\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{3}\\z_{3}&=u\varepsilon _{3}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{2}\end{aligned}}$

in das Differenzenproduktquadrat ergibt

${\begin{array}{lll}&{\bigl (}(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3}){\bigr )}^{2}\\{\color {red}{\stackrel {\text{?Warum?}}{=}}}&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&&/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}-q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}&/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}-q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}/(p^{3}/27)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-27&(p^{3}/27+q^{2}/4+q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q^{2}/4)\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}&-27&(p^{3}/27+q^{2}/4+q^{2}/4)\\=&-27q^{2}-4p^{3}\\=&108\Delta \end{array}}$

Anmerkung

Hier lag die Inkonsistenz vor: Das Ergebnis müsste ja genau gleich $\Delta$ sein, und nicht ihr 108-faches. Diese Inkonsistenz ist im Artikel nun beseitigt.

--Filomusa (Diskussion) 00:23, 10. Nov. 2024 (CET)