Diskussion:Cardanische Formeln

Diskriminante laut Bronstein, Rücksubstitution

Also ich hab die Diskriminante zu zwei negativen Vorzeichen geändert, in Übereinstimmung mit Bronstein (der D anders definiert) und dem entsprechenden (verlinkten) Wiki-Eintrag.

Ein weiterer Fehler konnte ich nicht verbessern: Bsp: y^2 -2y +1/2 =0 D>0 aber: Die Lösung, die für D>0 angegeben ist, scheitert an einer negativen Wurzel. Dafür funktioniert die Lösung für D<0!!! Vielleicht wurden da nur die Lösungen durcheinandergebracht? Es gibt offensichtlich verschiedene Mgl. die Diskriminante D zu definieren... Grüße Dennis IP 84.172.156.112 am 1. Mai 2006, 19:15 Uhr

Wenn Du das Vorzeichen der Diskriminante ändern willst (es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie im verlinkten Artikel nachzulesen), dann solltest Du 1. dafür gute Gründe haben und 2. den Rest des Artikels anpassen. Die zweite Bemerkung verstehe ich nicht. Die Gleichung $x^{3}-2x+4=0$ hat reduzierte Diskriminante

$\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {100}{27}}>0,$

und sie hat genau eine reelle Lösung (die linke Seite lässt sich als $(x+2)(x-1-\mathrm {i} )(x-1+\mathrm {i} )$ faktorisieren). Und genau diese Lösung kann man auch mit der ersten angegebenen Formel ausrechnen. Wo ist das Problem?--Gunther 18:20, 2. Mai 2006 (CEST)

Beispiel für fehlerhafte Lösung: Polynom: x^3-2*x^2 (offensichtlich richtige Lösung doppelt 0 und -2). Es ist a=1, b=-2 und c=d=0, damit p=-4/3 und q=-16/27 => Diskriminante = 0. Da die Diskriminante == 0 ist, kann man die die hier dargestellten Formeln in diesem Fall (-3*q /(2*p) testen und die geben als doppelte Lösung -2/3 an.(nicht signierter Beitrag von 213.129.229.239 (Diskussion) 16. März 2007, 13:01 Uhr)

Rücksubstitution ergibt doppelte Lösung x=0, wo ist das Problem?(nicht signierter Beitrag von 80.136.149.242 (Diskussion) 18. März 2007, 17:55 Uhr)

Die rücksubstituierten Formeln wurden sehr wohl von dem Hobbymathematiker Christoph Hambel entwickelt. Dafür gibt es ausreichend Zeugen und von welchem Herren sollten sie ihrer Meinung nach sonst entwickelt worden sein? Aus diesem Grunde habe ich auch keine Quellenangabe in den Beitrag gesetzt, da die Formeln noch nie publiziert wurden.

Zum Sinn dieser Formeln: Rechnen Sie sie doch einfach mal nach, was eigentlich kein Problem sein sollte.

(nicht signierter Beitrag von 84.172.156.112 (Diskussion) 15:54, 9. Mai 2006)

Die Substitution stellt keine "Entwicklung" dar, die Formeln sind genau die von Tartaglia/Cardano, die Rücksubstitution kann jedes Computeralgebrasystem. Ich halte es auch für ausgeschlossen, dass das noch niemand aufgeschrieben hat, sehe aber keine Veranlassung, mich auf die Suche zu machen.--Gunther 16:08, 9. Mai 2006 (CEST)

Reell oder komplex?

Hier steht: D > 0 => 1 reelle und 2 komplexe Lösungen. Im verlinkten Diskriminantenartikel hingegen steht für kubische Polynome: D >= 0 <=> alle Nullstellen sind reell ... (JuL)

Frage, verschoben von WP:FZW

Kann das jemand bestätigen?

Im Artikel "Cardanische Formeln" (Cardanische Formeln) steht meiner Meinung nach etwas sehr unschlüssiges:

1. will man nicht die y1, y2, y3 berechnen, sondern die x1, x2, x3. Das sind ja die Nullstellen, also ist y1 = y2 = y3 = 0.

2. Man schreibt x_{2, 3}, nicht x_{2/3}

3. Einige Gleichungen sind nicht korrekt, das habe ich auch überprüft: Die Formel "Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch" ist nicht vollständig, ihr fehlt "-b/(3*a)", sie müsste also lauten

x_1 = ... - frac{b}{3\cdot a}

4. Auch bei den Fällen "D=0" und "D>0" fehlt genau diese Subtraktion

-- Libra RHR 62.47.182.240 09:39, 10. Nov. 2006 (CET)

Das zugehörige $x$ ergibt sich durch Rücksubstitution, $x=y-b/(3a)$. Die Formeln sind für $y$ angegeben, also korrekt. Dein Punkt 2 ist reine Geschmackssache, "2/3" scheint mir üblicher zu sein, "2,3" ist eher ein Doppelindex.--Gunther 09:44, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, das habe ich auch gesehen, dass das die Umformung ist, aber es erscheint mir nicht logisch, für die Nullstellen das y zu berechnen, das kenne ich ja (es ist 0). Zu $x_{2,3}$ oder $y_{2,3}$ will ich noch bemerken, dass es sich tatsächlich um einen Doppelindex handelt, es bedeutet ja: Zwei Nullstellen fallen zusammen auf einen Punkt, also ist $y_{2}=y_{3}=0$, analoges gilt für die Umformung. $y_{2/3}$ lese ich eher als identisch zu $y_{2/3}=y(2/3)=y(0.6666)$, also dem Funktionswert an der Stelle 0,6666. (nicht signierter Beitrag von 62.47.182.240 (Diskussion) 10:00, 10. Nov. 2006)

vorstehende Diskussion von WP:FZW hierher verschoben

Jetzt verstehe ich Dein Problem. "y" ist nicht die y-Koordinate von irgendetwas, sondern einfach eine neue Unbekannte, man könnte sie genausogut "u" oder "t" nennen. Der Sinn besteht lediglich darin, die Formeln etwas zu vereinfachen, indem man von den vier Parametern a,b,c,d zu den zwei Parametern p,q übergeht, dabei muss man halt die erwähnte Substitution durchführen.--Gunther 10:04, 10. Nov. 2006 (CET)

Ein Doppelindex bezeichnet eine Abhängigkeit von zwei Indizes, also wenn es $y_{1,1},y_{1,2},y_{1,3},y_{2,1}$ usw. gibt und alle diese jeweils für eine Zahl (o.ä.) stehen.--Gunther 10:09, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, jetzt verstehe ich, was du mit den Doppelindex meinst; da aber offensichtlich von den reellen Zahlen, die ein 1-dimensionaler Körper sind, bzw von komplexen Zahlen, die ein eindeutiger Punkt auf einer Ebene sind, die Rede ist, kann man das mit dem Doppelindex einer Matrix oder eines kartesischen Produktes nicht verwechseln. Ich muss zugeben, dass die Formeln stimmen, sie verwirren nur auf den ersten hinblick. Analog zu den quadratischen Gleichungen (pq-Formel, abc-Formel) liefern sie die Nullstellen, also $L=\{x:f(x)=0\}$. Will man einen nicht-null-Wert, also $L=\{x:f(x)=w\wedge w\neq 0\}$ berechnen, muss man genau wie bei den quadratischen Polynomen eine lineare Transformation mit $f(x)-w$ vornehmen und dann die Nullstellen berechnen. Will man einen expliziten Wert für ein bestimmtes y haben, muss man einfach einsetzen (wie immer, da $f(x)=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d$). Vielleicht ist mein Vorschlag auf Umformulierung des Artikels, dass $L=\{x:a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0\}$ mit den Cardanischen Formeln berechnet wird, etwas hochgegriffen oder absurd, aber er erscheint mir plausibel. (nicht signierter Beitrag von 62.47.182.240 (Diskussion) 10:24, 10. Nov. 2006)

Am Anfang des Formelteils steht doch genau diese Gleichung, abgesehen von der Dekoration mit $L=\{x\mid \ldots \}$, die mMn nicht wirklich mehr erklärt (da müsste man dann eher schon wieder sagen, dass L die Menge der Lösungen bezeichnen soll usw.).--Gunther 10:39, 10. Nov. 2006 (CET)

Sehen Sie, und genau das ist mein Kritikpunkt. Hier steht dann z.B.: "Es gibt genau eine reelle Lösung, die durch $y_{1}=...$ gegeben ist" (man beachte das Wort "Lösung"), obwohl die Lösungsmenge offensichtlich eine Menge von x-Werten ist - egal, ob man das "dekoriert" oder nicht.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Und diese Erklärung genügt nicht?--Gunther 10:52, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, das sieht jetzt schon besser aus. Ich habe mit konkreten Werten gerechnet, a=-2, b=4, c=6, d=2. Das liefert $y_{1}=2.413$. Ich frage mich zwar, woran ich das am Funktionsgraphen ablesen kann, da 3 Stellen diesen Wert haben und keine dieser einen offensichtlichen Sinn macht, auch f(2.413) nicht... Vielleicht können Sie mir das noch erklären? (nicht signierter Beitrag von 62.47.182.240 (Diskussion) 11:04, 10. Nov. 2006)

Wie gesagt: es ist keine y-Koordinate von irgendetwas, und es ist kein Wert für x. Deshalb ist auch nicht zu erwarten, dass irgendetwas von dem Genannten einen Sinn ergibt. Sinnvoll ist:

• Mit $p=-13/3$ und $q=-97/27$ ist $y_{1}^{3}+py_{1}+q=0$.
• Mit $x_{1}=y_{1}-b/(3a)\approx 3{,}080$ ist $ax_{1}^{3}+bx_{1}^{2}+cx_{1}+d=0$.

--Gunther 11:12, 10. Nov. 2006 (CET)

Okay, also, man sieht ihn nirgens, es ist ein Wert, der als Zwischenschritt entsteht. Vielleicht wäre eine Umbennung geschickt, wenn er keinen y-Wert repräsentiert, z.B. $v$, oder, weil er ein Bisschen etwas mit $x$ zu tun hat, ${\bar {x}}$.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Eine Umbenennung kann nicht schaden, also reden wir von "u" statt "y". Es gibt schon eine graphische Interpretation: man verschiebt den Graphen von $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ in horizontaler Richtung so, dass der Wendepunkt auf der y-Achse ("y" hier Koordinate) liegt. Dann sind die Nullstellen der verschobenen Funktion genau die Werte $u_{1/2/3}$.--Gunther 11:30, 10. Nov. 2006 (CET)

Ok, die von mir gezeigte Funktion hat den Wendepunkt auf $f(0.6667)$, und $-b/(3\cdot a)=0.6667$, sieht also gut aus. Ich rechne es jetzt nicht nach. Ich würde in diesem Fall auf ${\bar {x}}$ umbenennen, da es ja offensichtlich ein x-Wert ist, $f^{\prime \prime }({\bar {x}})=0$.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Man muss nicht alles "x" nennen, bloß weil es auf einer horizontalen Achse aufgetragen ist. Die ganze Sache mit Funktionen und Graphen dient ohnehin nur der Veranschaulichung, mit der Gleichung selbst hat das nichts zu tun, im ganzen Artikel kommt ja auch kein "f" vor.--Gunther 12:09, 10. Nov. 2006 (CET)

Vielleicht bin ich zu formal vorbelastet, ${\bar {x}}$ impliziert mehr als u oder t. Aber wenn die Bezeichnung nicht verwirrend ist, kann man sie verwenden - auch wenn sie didaktisch besser sein könnte. Man sieht halt dann nicht gleich, dass es sich dabei um einen x-Wert handelt. An dieser Stelle könnte man noch erwähnen, dass dieses $f(x_{1}-u)$ der Wendepunkt ist.

-- Libra RHR 62.47.182.240

Kommentar

Hallo, ein dickes Lob an alle, die hier mitgewirkt haben. Eine solche zugleich vollständige und gut verständliche Erklärung hatte ich noch nirgendwo gefunden. Sehr hilfreich.(nicht signierter Beitrag von 88.76.254.14 (Diskussion) 12. Sep. 2007,12:50)

Also ich versteh nur bahnhof... :D --Okumana 16:50, 18. Apr. 2008 (CEST)okumana

Sachliche Kritik ist anders, oder? --Thire 14:32, 19. Apr. 2008 (CEST)

nein nein sowas braucht man ja nicht im alltag,deshalb brauche ich es nicht zu verstehen. Und ein bisschen Spass muss doch sein:D Okumana 19:11, 22. Apr. 2008 (CEST)--okumana

Okay und jetzt? --Thire 19:17, 22. Apr. 2008 (CEST)

weiß ich nicht, aber warum schreibt man sowas auf??? des braucht man doch eh nicht im alltag--Okumana 18:41, 28. Apr. 2008 (CEST)okumamba

Das ist Ansichtssache. Der eine braucht kein Fußball im Alltag, der nächste braucht unbedingt einen Fernseher. Wenn sich alle für das gleiche interessieren würden wäre die Welt so lagweilig und weit zurückgeblieben. Aber paß auf: jedesmal wenn Du Geld mit Deiner EC-Karte abhebst, rauscht Deine PIN durch ähnliche, aber weitaus kompliziertere Formeln. Noch vor 80 Jahren ahnte iemand, dass diese Formeln einmal eine praktische Anwendung finden würden. Merke: Mathematik sieht man nicht im Alltag, aber sie ist dennoch überall unsichtbar vorhanden. Die Mathematik ist aber mit allen Unwissenden gutmütig, denn sie streikt nicht. Sonst würden sich alle sehr wundern, weil plötzlich nichts mehr funktionieren würde. Ohne Fußball würde jedoch fast alles wie bisher weiterlaufen.--Skraemer 23:33, 13. Jun. 2008 (CEST)

Ja das stimmt schon, mathematik ist überall, auch wenn man sie nicht sehen kann:D Wie? Es gehen Formeln rumm, wenn ich Geld abhebe:D cool --Okumana 17:08, 28. Sep. 2008 (CEST)

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Ja, deine PIN ist nämlich nicht auf dem Zentralrechner der Bank und auch sonst nirgendwo in Klartext-Form gespeichert (sonst würden die Bankmitarbeiter u.U. in Bedrängnis kommen können). Dies gelingt durch eine nicht-umkehrbare Verschlüsselung. Auch muß das Paßwort erstmal zum Zentralcomputer gelangen (Rohrpost war früher!). Auch hierfür ist viel Mathematik nötig.

Noch interessanter ist es beim Hören von Musik aus dem MP3-Format. Hier "rauschen" pro Sekunde sehr viele Daten durch recht komplexe Formeln. Würde die Mathematik hier "streiken", wäre ab diesem Zeitpunkt absolut nichts mehr zu hören. Die Daten sind nämlich nicht in Tönen gespeichert (wie z.B. einer Schallplatte), sondern in einer mathematisch transformierten Form. Die schönen Formeln kannst Du hier sehen: Fourier-Transformation.

Oder überlege wie viel Mathematik nötig ist, um die riesigen Datenmengen durch wenige Glasfaser-Adern eines Unterseekabels hindurchzuschieben. Und das pausenlos in beide Richtungen ohne Störungen und Unfälle.

Also die Aussage "Mathematik ist überall" ist noch viel zu schwach. Es ist wie bei den Bäumen: die stehen nicht einfach so da und ruhen sondern spielen sie eine wesentliche Rolle bei der Sauerstoff-Rückgewinnung. Aber wie oft denken wir am Tag daran? Die Mathematik vollbringt jeden Tag Höchstleistung ohne jemals zu irren. --Skraemer 22:31, 28. Sep. 2008 (CEST)

ja:D magst du mathematik? --Okumana 17:36, 29. Sep. 2008 (CEST)

Kritik: Der Artikel ist für mich unverständlich

Ich habe mich über den Artikel geärgert. Folgendes ist meiner - zugegebener Maßen laienhafter - Meinung unklar geblieben: Es wird beschrieben, wie man durch Substitution zu einen Polynom der Form z^3 + pz + q = 0 kommt. Soweit alles nachvollziehbar, aber dann wird einfach eine Diskriminante aus den Hut gezaubert. Ist sie Teil der von Tartaglia, Scipione del Ferro oder Gerolamo Cardano erbrachten Leistung, eine allgemeine Lösung für Kubische Gleichung gefunden zu haben, oder wo kommt die her? Das dies nicht erklärt wird, scheint mir jegliche Chance zu nehmen, das weitere verstehen zu können. Um es noch schlimmer zu machen, wird die (unbegründet bleibende) Behauptung aufgestellt: "..wobei die 3. Wurzeln u und v so gewählt werden müssen, dass die Nebenbedingung u*v = -p/3 erfüllt ist." Wie soll ich u und v wählen können, wenn sie doch durch die vorherigen Gleichungen (3.Wurzel aus..) bestimmt sind? Wieso muss im weiteren mit Komplexen Zahlen gerechnet werden? Ich dachte erst Cardano hat die eingeführt. Wie konnte Scipione del Ferro ohne diese auskommen? Gehe ich richtig in der Annahme, das komplexe Lösungen nur sinnvoll sind, um damit weiter Rechnen zu können? Als Endergebnis sind sie doch keine Lösung mit praktischer Bedeutung - oder irre ich mich da? Ein von Anfang bis zum Ende durchgerechnetes und kommentiertes Beispiel, vielleicht sogar aus der Praxis entnommen, würde den Artikel auf jeden Fall aufwerten.

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Da würde ich auf Youtube gucken. Wikipedia ist ein Zusammenfassung, kein Lehrbuch.

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Mir ist klar, daß der Artikel nur mit gewissen Grundkenntnissen verständlich ist. Deine Fragen sind sehr interessant, da diese sich jeder stellt der mit der Formel das erste Mal in Berührung kommt. Dennoch muß ein Enzyklopädischer Artikel gewisse Grundkenntnisse voraussetzen, da nicht jder mathematische Artikel ein Lehrbuch sein kann. Zunächst mußt du mit Komplexen Zahlen vertraut werden und dabei die Mehrdeutigkeit von Wurzeln verstehen, dies zieht dann eben eine geeignete Auswahl nach sich. Die Theorie der Diskriminanten gehört in die Algebra. Dies lernt man in der Regel erst in einem Mathematik-Studium und benötigt viel Hintergrundwissen. Für die Cardanische Formel ist es jedoch nicht notwendig dies zu verstehen, es reicht aus zu wissen, daß die Diskriminante der Ausdruck unter der Quadratwurzel ist. Das ist einfach so definiert. Das Vorzeichen der Diskriminante entscheidet also ob die Wurzel reell, 0 oder imaginär ist. Das wichtigste ist der Fall D=0, dann fallen immer zwei Lösungen zusammen, da $Wert\pm 0$ nur einen einzigen Wert ergibt. Man braucht ungefähr 1 Woche intensive Arbeit unter Anleitung um die Cardanische Formel vollständig zu verstehen. Du kannst nicht erwarten es sofort zu verstehen, aber Du wirst es mit etwas Fleiß schaffen! Leider gibt es kein wirklich gutes Buch. Es hat 3000 Jahre harte Arbeit gedauert bis die Mathematiker die Cardanische Formel gefunden hatten. --Skraemer 21:46, 4. Dez. 2008 (CET)

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Es mag ein allgemeiner Konsens darüber bestehen, dass Wikipedia kein Lehrbuchcharakter annehmen soll. Warum eigentlich nicht? Enzyklopädie und Lehrbuch schließen einander weniger aus, als offensichtlich von vielen angenommen wird. Einige gute Artikel hier in der Wikipedia zeigen das bereits eindrucksvoll. Einig sollte sich aber alle Beeidigten sein, dass Wikipedia Wissen zugänglich machen soll/will. Dazu ist es nötig, dass Wissen nicht nur aufgeschrieben wird, es muss auch begreifbar gemacht werden!

Lieber Skraemer, du findest meine Fragen aus genanntem Grund interessant, aber leider halfen sie bis jetzt noch nicht, den Artikel zu verbessern. Ich mache mal ein Verbesserungsvorschlag.

• Die Substitution muss besser eingeführt werden, damit das dahinter stehende Motiv - den quadratischen Term zu eliminieren - deutlicher hervorgeht.

• Den Satz

"Es sei:$D:=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$die Diskriminante."

verstehe ich nun so, dass damit das Symbol D für die Diskriminante eingeführt werden soll. Das ist weniger Bedeutung als man als Laie hinter diesen Satz vermuten könnte (ich tat es). Dadurch entsteht Verunsicherung.

• Ab "Danach überführt die Substitution.." schlage ich vor:

Indem danach die Substitution $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ auf die Normalform angewendet wird, erhält man eine, um den quadratischen Teil reduzierte Form:

$z^{3}+pz+q=0,$

wobei

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$

und

$q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c.$

Für die reduzierte Form veröffentlichte Cardano die Lösungsformeln zum Berechnen von $z=u+v$ mit $u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}$ und $v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}$

$D$ ist die Diskriminante der reduzierten Kubischen Gleichung. Anhand ihre Größe kann man drei Lösungsverhalten unterscheiden: ... usw...

• Das weiter habe ich noch nicht Begriffen und kann deshalb keine Vorschläge machen. Ich würde aber unterscheiden, ob man nur die reellen Lösungen ermitteln will oder ob man auch an den komplexe Lösungen interessiert ist. Bei letzteren muss dann natürlich mit komplexen Zahlen gerechnet werden, ansonsten aber vermutlich nicht.
• Das mit der Nebenbedingung bedarf auf jeden Fall einer bessern Erläuterung BlueIceOnly

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Den ersten Teil deiner Verbesserungsvorschläge habe ich versucht umzusetzen. Für den zweiten Teil musst Du das Ausziehen von Kubikwurzeln aus komplexen Zahlen üben. Dies kann aber nicht in diesem Artikel erfolgen. Schau mal bei Moivrescher Satz. Deine Hoffnung erfüllt sich nicht, denn es ist so: bei 3 reellen Lösungen braucht man komplexe Zahlen. Dies nennt man auch den Durchgang durch die komplexen Zahlen. Dies lässt sich durch eine Höhle veranschaulichen, deren Zugang nur unter Wasser (komplexe Zahlen) möglich ist. Daher heißt der Fall D<0 auch casus irreducibilis (nicht zurückführbarer Fall). Wichtige Erkenntnis für dich: ein vollständiges Verständnis der reellen Zahlen ist ohne komplexe Zahlen nicht möglich. --Skraemer 23:43, 5. Dez. 2008 (CET)

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Danke Skraemer! Sehr gut formuliert. Der Informationsfluss hat sich dadurch auch verbessert. Wenn ich mehr fit auf mathematischen Gebiet wäre, könnte ich noch mehr Verbesserungen vorschlagen. Dabei geht es nicht darum, alles in diesen einen Artikel zu packen, sondern den geneigten Leser die Wege zum Verständnis zu ebnen. Zum Beispiel indem eine noch bessere Verlinkung zu den Grundlagen geschaffen wird. Voraussetzung ist natürlich, dass diese Grundlagenartikel eine brauchbare Qualität aufweisen. Beispiele in den die auftretenden Probleme bei den einzelnen Lösungsfällen aufgezeigt werden, wären auch sehr hilfreich. Dies könnte ein eigenes Praxis-Kapitel an Ende des Artikels sein. So würde es Leser, die nicht daran interessiert sind, nicht stören. Es gibt bereits Artikel in der Wikipedia, wo das so gemacht wurde.

Aber es gibt sicher genügend andere (mathematische) Artikel hier, die eine höhere Praxisrelevanz besitzen und auch noch eine Verbesserung vertragen könnten. Ich sehe hier keinen akuten Handlungsbedarf mehr. Danke Skraemer, für die fruchtbare Diskussion. BlueIceOnly 17:01, 6. Dez. 2008 (CET)

Unqualifizierte Änderungen

Am 26. Aug. 2009 hat ein Benutzer unter 87.167.195.106 heimlich eine 3 in die Substititionsgleichungen hineingemogelt. So etwas passiert häufig mit mathematischen Seiten. Zählt man die Stunden zusammen, die wissenschaftliche Mitarbeiter benötigen, um solche Taten zu erkennen und zu korrigieren, so kommt man zu dem Vorschlag, dass es wohl besser sei alle mathematisachen Seiten für unangemeldete Benutzer zu sperren. Hat jemand hierzu eine Meinung? --Skraemer 21:10, 29. Aug. 2009 (CEST)

Casus irreducibilis

Sind die negativen Vorzeichen bei z2 und z3 Druckfehler? Sowohl im Bronstein, als auch im französischen Wikipedia kommen sie nicht vor. Bei einer Aufgabe, an der ich sitze, erhalte ich für z1 einen korrekten Wert, während ich z2 und z3 mit (-1) multiplizieren müsste, damit es stimmt.-- Kosekans 03:02, 20. Nov. 2009 (CET)

Hi, irgendwas an der letzten Änderung des Artikels war doch seltsam. Jemand hatte die Phase verdoppelt, ohne die Vorzeichen wegzunehmen. Es ist

$\cos(\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}})=\cos(\alpha +\pi -{\tfrac {\pi }{3}})=-\cos(\alpha -{\tfrac {\pi }{3}})$,

im Artikel steht jetzt wieder die letzte Variante, die erste ist aber auch richtig. Welche man nimmt, ist Geschmackssache, die derzeitige Variante zeigt die richtigen Vorzeichen, wenn $|\alpha |<{\tfrac {\pi }{6}}$ ist.--LutzL 10:37, 20. Nov. 2009 (CET)

Literator/Quellen: Bewersdorff

Ich moechte darauf hinweisen, dass das verlinkte Buch von Bewersdorff meiner Meinung nach nicht als Lehrbuch zu empfehlen ist. Ich habe ein Seminar geleitet, in dem dieses Buch die Vorlage war. Die Anzahl der Rechen- und Tippfehler, die Studenten aufgezeigt haben, war nicht gerade gering. Ganz abgesehen davon, dass das Buch unter mathematischen Gesichtspunkten nicht gerade gut aufgebaut ist. MfG -- 88.70.158.190 22:51, 7. Mär. 2010 (CET)

Zu: Die Cardanische Formel zur Auflösung der reduzierten Form z³ + pz + q = 0

Zitat aus dem Artikel: Es ergibt sich also das Gleichungssystem $u^{3}+v^{3}=-q$ und $u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$.

Ich mag mich täuschen, aber muss es nicht korrekterweise lauten: Es ergibt sich also das Gleichungssystem $u^{3}+v^{3}=-q$ und $u^{3}\cdot v^{3}=-{\frac {p}{3}}$.

Die dritte Potenz von ${\frac {p}{3}}$ ist hier fehl am Platze, da bereits $u^{3}\cdot v^{3}$ den Koeffizienten von $(u+v)$ darstellen, oder liege ich da falsch? MFG--Psi81 11:58, 19. Mar. 2010 (CET)

Hi, bitte nochmal nachrechnen. Aus dem Ansatz liest man $3u\cdot v+p=0$ ab, dieses umgestellt und in die dritte Potenz erhoben ergibt die angegebene Gleichung.--LutzL 13:06, 19. Mär. 2010 (CET)

Hi, habe nix gesagt, muss natürlich heißen $u\cdot v=-{\frac {p}{3}}$, daraus ergibt sich dann das im Artikel stehende. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nimmer --Psi81 13:17, 19. Mär. 2010 (CET)

Diskriminante reloaded

Im Wikipedia-Artikel zur Diskriminante steht zum Zeitpunkt des Schreibens dieser Zeilen die auch in der Fachliteratur unstrittige Definition von D als Produkt des hochrangigsten Gleichungs- bzw. Polynom-Koeffizienten in gerader Potenz und aus allen Kombinationen von Nullstellen-Differenzen zum Quadrat. Für reelle Nullstellen und Koeffizienten ist D also zwangsläufig positiv (egal, ob quadrat., kubische oder quartische Gl.). In diesem Artikel steht "D > 0 Man wählt für u und v jeweils die reellen Wurzeln. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen". Das ist Unfug. Denn ausschließlich durch den Einfluss des Imaginärteils einer Nullstelle kann D nach Definition negativ werden. Bitte diese Inkonsistenz schnellstens beseitigen. D > 0 bedeutet n versch. reelle Nullstellen. Bei der kubischen Gleichung wird in D auch ein Faktor 108 bzw. -108 "gerne vergessen". Wer hat ein Interesse daran, durch solch inkonsistente Definitionen Nutzende zu verwirren? -Drgst 21:10, 22. Feb. 2011 (CET)

Was gewährleistet, dass ${\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}\geq |z|$ ?

Unter dem Untertitel D < 0 (casus irreducibilis) findet man folgenden Ansatz zur Vernichtung des quadratischen Terms in (2): $r={\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}$ gleichsetzen. Allerdings will man $z$ finden, und vorher wurde festgelegt, dass $z=r\cdot \cos \alpha$, was jedoch nur geht, wenn $r\geq |z|$, da $|cos\alpha |\leq 1$. Wie kann man dann denn sicher sein, dass stets ${\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}\geq |z|$ ? Wisapi 20:11, 29. Mai 2011 (CEST)

Man sollte bedenken, dass dieser Fall nur für $({\tfrac {p}{3}})^{3}+({\tfrac {q}{2}})^{2}\leq 0$ gilt, sodass auch $({\tfrac {p}{3}})^{3}\leq -({\tfrac {q}{2}})^{2}$ und damit $(-{\tfrac {p}{3}})^{3}\geq ({\tfrac {q}{2}})^{2}$ gelten muss. Betrachtet man die Herleitung der Diskriminante, wird man feststellen können, dass dann ${\sqrt {-{\tfrac {4}{3}}\,p}}\geq |z|$ gilt.--Glühbirne26394 (Diskussion) 21:32, 3. Aug. 2014 (CEST)

Herleitung der Diskriminante

Ich war so frei, zu erklären, wie man die Diskriminante herleitet. Jedoch fehlt etwas dabei, nämlich die Korretkte Setzung der Vorzeichen. Da sich diese beim Quadrieren von $(\mp {\sqrt {\left({\dfrac {-p}{3}}\right)}}$ im Falle des Minus ändern, bin ich da noch nicht aif die entsprechende Fallunterscheidung eingegangen. Dies ist auch schwierig.--Glühbirne26394 (Diskussion) 15:06, 6. Jul. 2014 (CEST)

Warum ist der Link auf Diskriminante nicht ausreichend? Und warum eine so komplizierte Diskussion des Graphen der reellen Funktion wenn die Diskriminante Aussagen über die komplexen Nullstellen macht? Die einfachste Formulierung ist, dass die Diskriminante genau dann null ist, wenn das Polynom mehrfache Nullstellen hat. Wenn also Nullstellen der Ableitung auch Nullstellen der Funktion sind. Die Ableitung von f(x)=x³+px+q ist f'(x)=3x²+p mit Wurzeln $z_{\pm }=\pm {\sqrt {-p/3}}$. Und da $f(z)\,f(-z)=q^{2}-(z^{3}+pz)^{2}$ ergibt sich durch Einsetzen

$f(z_{+})f(z_{-})=q^{2}+(p/3)^{3}-2p(p/3)^{2}+p^{2}(p/3)={\tfrac {4}{27}}p^{3}+q^{2}$

Dieser Ausdruck ist genau dann Null, wenn f und f' eine gemeinsame Nullstelle haben, ist also, bis auf einen konstanten Faktor, die Diskriminante.--LutzL (Diskussion) 13:00, 9. Jul. 2014 (CEST)

Ich wollte zeigen, warum die Diskriminante $D:=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}$ ist und nicht anders. Ich habe mich damit mal in meiner Freizeit beschäftigt und festgestellt, dass man mittels der Analysis auf diese Formel kommt. Man muss sich allerdings gut mit Mathematik auskennen und entsprechend umformen, um das Ergebnis zu erreichen.
Die gleichen Fälle fasst man zu Aussagen zusammen, die erläutern, wie viele Lösungen es gibt.--Glühbirne26394 (Diskussion) 07:52, 12. Jul. 2014 (CEST)

Wikipedia ist eine Enzyklopedie und nicht eine Seite zur Veröffentlichung von Hobby-Projekten. Insbesondere gibt es einen klaren Bias gegen Theoriefindung. Finde also bitte ein Lehrbuch oder sonstiges Algebra-Buch, in welchem dieser Ansatz enthalten ist und welches im Artikel zitiert werden kann. Ansonsten löschen, da doppelt zum spezifischen Artikel "Diskriminante" und zu geringes Platz/Informations-Verhältnis. Oder verschiebe den Inhalt zu wiki-books, welches eher für solche Detailrechnungen und Beweise gedacht ist.--LutzL (Diskussion) 15:48, 4. Aug. 2014 (CEST)

Die derzeitige herleitung der Diskriminante ist gräßlich und auch unzulänglich, da sie so im Komplexen nicht durchführbar ist. Wenn, dann solte sie durch die Variante von LutzL ersetzt werden. --Skraemer (Diskussion) 21:18, 25. Feb. 2016 (CET)

Der Abschnitt zur Herleitung der Diskriminante ist immer noch extrem umständlich, unmathematisch, problematisch, unverständlich, einfach grauenvoll. Er trägt nicht zum Verständnis, sondern zur Verwirrung bei. Leider ist er auch nach vier Jahren immer noch vorhanden. Ich plädiere für die sofortige Löschung des gesamten Abschnitts. Alternativ auch Ersetzung durch die Argumentation von LutzL. Traut sich das niemand zu von den üblichen Autoren? --Gzim75 (Diskussion) 21:20, 11. Apr. 2018 (CEST)

A. Zum Aufbau der Einleitung (des Abschnitts "Herleitung der Determinante über die Differenzialrechnung"). Ich bin bemüht, Mühe und Intention des Autors / der Autorin zu achten. ... Aber:

(Der einleitende Satz ist verzichtbar.)

Der Funktionsterm KEINER der dargestellten Parabeln ist die linke Seite einer reduzierten kubischen Gleichung, denn für solche Parabeln liegt der Wendpunkt stets auf der y-Achse (f(z) = 0 für z = 0, f'(0) = 6 <> 0).

Die Existenz echt komplexer Nullstellen ist nicht mit irgendeiner Grafik im Reellen zu begründen (sondern z.B. mit dem Fundamentalsatz der Algebra). „Rein graphisch“ ließe sich genausogut argumentieren, dass eine lineare Funktion komplexe Nullstellen hätte.

B. Einführung der Differenzialrechnung

Sinn des Abschnitts kann kaum sein, grundlegende Begriffe der Kurvendiskussion einzuführen. Dies leisten beispielsweise die Abschnitte der entsprechenden Wikipedia-Seite besser. Leider enthält die im vorliegenden Text gegebene Einführung dann auch noch Fehler, teilweise recht grundsätzliche:

Ein Sattelpunkt ist nach allgemeine eingeführter Definition KEINE Extremstelle (vgl. z.B. Wikipedia-Artikel „Extremwert“ oder ein beliebiges Schulbuch der Oberstufen-Mathematik). Sämtliche darauf aufbauenden Formulierungen sind unhaltbar.

(Die Richtung des Grenzübergang zur Definition von f'(x_1) ist falsch angegeben; richtig ist x_0 → x_1 statt x_1 → x_0)

Die angegebenen Kriterien für das Vorliegen eines Wendepunkes und eines Sattelpunktes sind notwendig, aber NICHT HINREICHEND (y = x^4 hat bei x = 0 weder Wende- noch Sattelpunkt, obwohl sämtliche Ableitungen für x = 0 den Wert 0 annehmen).

Gleichungen zur Bestimmung von Nullstellen einer Ableitung sind KEINE Differenzialgleichungen im eingeführten Sinn des Begriffs. Zur Bestimmung des Wendepunkts wird im Text überhaupt keine Gleichung angegeben (sondern die Form der zweiten Ableitung).

(Die angegebenen Funktionswerte für die Extrema können von einigen überflüssigen Klammer befreit werden.)

C. Logische Struktur des Textes

(In den Fällen 2a bis 2d sind einige öffnende Klammern überflüssig.)

Da kein entsprechender Klartext formuliert ist, bleibt unklar, was letztlich geschlussfolgert wird. Anscheinend ist die Aussagen für Fall (2): Wenn an zwei Stellen der Parabel mit Steigung 0 der Funktionswert positiv ist (erste mit (2) bezeichneten Gleichungskette im Text), dann ist die Diskriminante negativ (letzte mit (2) bezeichneten Gleichungskette im Text). Das ist FALSCH, denn wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Funktion drei reelle Nullstellen und genau zwei Extrema mit unterschiedlichem Vorzeichen. Im Text selbst führt auch Teilfall (2d) zu (2) weiter unten, der Teilfall (2a) aber zu (3).

D. Ergebnis

Der Absatz ist vollständig umzuformulieren, wenn er überhaupt erhalten bleiben soll. „Zu retten“ ist möglicherweise der Nachweis mit Gleichung (1), dass die Diskriminante = 0 ist, wenn in einer Nullstelle der Funktion die Steigung = 0 ist.

Wie ich weiter oben einfügte, ergibt sich die Form der Diskriminante auch aus der Auflösung der quadratischen Resolvente nach Mittelstufen-Formel. Hierfür gab ich nun keine Quelle an, weil ich davon ausgehe, dass Leser(innen), die sich für die Cardani-Formeln interessieren, das wissen. Genannte Formel gilt für beliebige Körper, insoweit in diesen eine Quadratwurzel definiert ist, also auch für den Körper der komplexen Zahlen.

--Psychironiker (Diskussion) 13:33, 23. Okt. 2021 (CEST)

Notationelle Frage

Was bedeutet „<>“ ? Einfach „≠“ ? Dann vielleicht besser auch so.

--Nomen4Omen (Diskussion) 12:31, 12. Jan. 2015 (CET)

Formel oder Formeln

Nach den Wikipedia-Regeln sollte der Singular bevorzugt werden. Dieser Artikel wurde mit dem Plural angelegt (und für den Singular gibt es die Weiterleitung); im Inhalt des Artikels kommen beide Varianten vor. Mathematisch ist beides vertretbar; auch bei externen Links finde ich beide Varianten. Hat irgendjemand Kenntnis, was häufiger ist oder wie es historisch entstanden ist? -- Jürgen (Diskussion) 15:31, 22. Nov. 2015 (CET)

Ich habe mich ehrlich gesagt auch über den Plural gewundert. Natürlich stecken da mehrere Formeln implizit drin, aber das ist auch bei der pq-Formel so, und ich kenne niemanden, der von den "pq-Formeln" sprechen würde. Ich trage mal zusammen, was ich auf die Schnelle gefunden habe:

• Im englischsprachigen Wikipedia-Artiekl steht "cubic formula" und nicht "cubic formulas".
• Im Bronstein steht "Cardanosche Formel"
• In Arens et al.: Mathematik steht "Formel von Cardano".
• Euler: Vollständige Anleitung zur Algebra (1770): "Formel des Cardani".
• Wußing: 6000 Jahre Mathematik: "Cardanosche Lösungsformel"
• In der Encyclopedia of Mathematics steht "Cardano formula"
• Wolfram Math World: Cardano's formula.

Es ist nicht so, dass ich die Literatur mit einer Pluralform hier unterschlagen würde: Ich habe schlichtweg keine einzige Quelle gefunden, in der sie benutzt wird. Mein Vorschlag wäre deshalb, den Artikel in "Cardanische Formel" umzubenennen. Es wäre auch ganz schön, wenn sich die berühmte Formel dann auch mal im Artikel finden lassen würde. --Mathze (Diskussion) 23:36, 16. Mai 2024 (CEST)

Anwendung vs. Herleitung

Ich fände es verständlicher, wenn man die Formel(n) und ihre Anwendung getrennt von der Herleitung darstellen würde, da ja das Anwenden schon sehr komplex ist. --Digamma (Diskussion) 19:56, 25. Feb. 2016 (CET)

Extrempunkte / Sattelpunkte

Die Bedingungen an Kurven f(x)

(a) f'(x) = 0 (Extremwert)

(b) f"(x) = f'(x) = 0 (Sattelpunkt)

sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend.

Siehe z.B.:

f(x) = x^99

g(x) = x^100

Bei beiden sind für x=0 offensichtlich die 1. und die 2. Ableitung = 0. Trotzdem handelt es sich für g(x) = x^100 offensichtlich um ein Minimum und keinen Sattelpunkt.

Korrekter wäre:

Extremwert: Alle Ableitungen bis zur 2*n - ten verschwinden an der betreffenden Stelle, die 2*n+1 - te Ableitung dort ist ungleich 0.

Sattelpunkt: Alle Ableitungen bis zur 2*n-1 - ten verschwinden an der betreffenden Stelle, die 2*n - te Ableitung dort ist ungleich 0.

Für eine höchstens kubische Gleichung ist das natürlich gehupft wie gesprungen, da hier die 3. Ableitung auf jeden Fall nicht verschwindet. Es sollte aber nicht als allgemeingültige Weisheit hingestellt werden. (nicht signierter Beitrag von 85.16.36.114 (Diskussion) 13:08, 7. Sep. 2018 (CEST))

Auf welche Textstelle bezieht sich das? --Digamma (Diskussion) 20:32, 7. Sep. 2018 (CEST)

Ausziehen von verschachtelten Wurzeln

"Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen."

--> Nenne mir welche. (nicht signierter Beitrag von 217.88.239.244 (Diskussion) 15:09, 7. Sep. 2018 (CEST))

Abschnitt "reduzierte Form"

Am Ende des Abschnitts kann man noch kürzen (in der Formel für p) (nicht signierter Beitrag von 2001:4DD5:70D0:0:161:8612:199A:DD98 (Diskussion) 15:04, 7. Dez. 2021 (CET))

Koeffizientenvergleich

Im Abschnitt "Die cardanische Formel zur Auflösung .." heißt es "und Koeffizientenvergleich liefert". Das ist falsch. Dazu müßte man den Ausdruck u^3+v^3 + (3uv+p)z + q als Polynom ersten Grades in z auffassen, bei festen u, v, p und q. Wenn man 2 verschiedene z hätte, für die das gleich 0 ist, könnte man schließen, daß 3uv+p=0 und u^3+v^3+q=0, aber man hat pro u und v immer nur ein z, nämlich u+v. Hier ein einfaches Gegenbeispiel: z^3=0. Aus u+v=z ergibt sich nicht u*v=0, sondern nur u=-v. Stattdessen kann man so argumentieren: Zu jeder Lösung z aus C existieren u und v aus C mit z=u+v und u*v=-p/3. Das wird durch den Wurzelsatz von Vieta gesichert: wähle einfach die Nullstellen (in C gibt es mindestens eine) von x^2-zx-p/3. D.h., u*v = -p/3 wird nicht aus der Substitution z=u+v geschlossen, sondern man ist frei, es vorauszusetzen.

Ansonsten großes Lob für den Artikel. Ich finde ihn gut verständlich. (nicht signierter Beitrag von Kai Ramisch (Diskussion | Beiträge) 13:04, 15. Dez. 2021 (CET))

Genau das! Die Formulierung mit dem Koeffizientenvergleich findet man oft bei der Herleitung, und sie ist irreführend. Man fragt sich: Warum kann man in einem Polynom in der Variablen z Koeffizienten vergleichen, die keine Konstanten sind sondern Terme in Variablen u, v, wobei diese gar nicht unabhängig von z sind? Und wieso ergeben sich - bis auf die Reihenfolge - eindeutige Lösungen u, v beim Ansatz z = u + v, der doch für jede Lösung z offensichtlich von unendlich vielen Paare u, v erfüllt wird? Da stimmt was nicht...

Was hier eigentlich passiert ist, daß man eine zusätzliche Bedingung an u und v stellt - daß die immer erfüllbar ist, hat Kai ausgeführt - und die ist so geschickt gewählt, daß u und v dann weiters vergleichsweise leicht bestimmt werden könnnen.

Eine Darstellungsweise die ich verstehen würde (ähnlich zu dem was Kai schreibt):

Substitution z -> u+v ergibt

u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v)+q=0

[ohne "z"!]. Es existieren nun (für jede Lösung) solche u, v sodaß das häßliche Produkt in der Mitte gerade verschwindet. Übrig bleibt also die zusätzlich gewählte Bedingung

uv = -p/3

und die ursprüngliche Gleichung mit dem weggefallenen Summanden:

u^3+v^3+q=0.

Übrigens, man kann die Sache so interpretieren daß man mit einem allgemeinen Substitionsansatz z -> u + f(u) startet, wobei man am Anfang noch nicht weiß wie der Term f(u)=v aussehen muß damit man die Sache hinbekommt. Mit der Nebenbedingung 3uv+p=0 ergibt sich nämlich, wenn man nach v auflöst, genau die Substitution die im englischsprachigen Artikel angeführt wird:

z -> u - 1/3 u

Mit der kann man alternativ auch gleich starten. Die fällt dann etwas vom Himmel aber der Lösungsweg ist für den Laien vielleicht leichter nachvollziehbar wenn nur eine Variable substituiert wird.

Mag also jemand erfahrenes die irreführende "Herleitung" mit dem Koeffizientenvergleich der gar keiner ist etwas umformulieren? Danke an die- oder denjenigen. --Zeitleseschreibkopf (Diskussion) 01:56, 6. Feb. 2022 (CET)

Da habt ihr schon irgendwie recht: der Koeffizientenvergleich ist nicht der übliche und die Formulierung mit "führt zu" ist falsch. (Man könnte "Koeffizientenvergleich" vllt in Anführungszeichen setzen.)

Insgesamt ist jedoch mMn die Implikation anders herum: mit den angegebenen Setzungen (die keineswegs erzwungen sind – was soll an u und v auch erzwungen sein) kommt man zu einem Ergebnis (Lösungen), das die kubische Gleichung löst. In diese Richtung verstehe ich auch den Vorschlag von Kai.

Das Ergebnis ist übrigens so plausibel, dass man sich einen Beweis für die Korrektheit der Lösungen sparen kann. Man muss nur den umgekehrten Weg gehen und es leuchtet einem ein, dass die gefundenen Lösungen die Gleichung lösen, insbesondere, wenn man noch die Maßgabe u·v=−p beachtet.

Einen Versuch der Umformulierung habe ich gemacht.–Nomen4Omen (Diskussion) 11:47, 6. Feb. 2022 (CET)

Gefällt mir gut! Habe drübergelesen und nur zwei pingelige Anmerkungen:

1. Im Fall p, q reell und p=0 sind die dritten Wurzeln von t_1 = 0 reell (nämlich 0), na ja, mein Gott, und
2. In der Übersicht der drei Lösungen z_1,2,3 wird eines (ein beliebiges) der drei u fest ausgewählt, weiß nicht ob man das explizit nochmal sagen sollte.

Ist aber beides nicht so wichtig. Also - vielen Dank! --Zeitleseschreibkopf (Diskussion) 00:34, 7. Feb. 2022 (CET)

Warum quartische und quintische Gleichungen?

Warum gibt es in diesem Artikel die beiden Abschnitte "quartische Gleichungen" und "quintisch Gleichungen"? Geht es bei Cardano nicht nur um kubische Gleichungen? --Mathze (Diskussion) 14:42, 11. Apr. 2024 (CEST)

Nein, die Lösungs-Formeln für die quartischen (und die so lösbaren quintischen) Gleichungen werden ebenfalls Cardanisch genannt (und haben auch große Ähnlichkeit). --Nomen4Omen (Diskussion) 20:32, 11. Apr. 2024 (CEST)

Wenn das so ist, dann wäre es sinnvoll, dass in die Einleitung mit reinzunehmen. Bisher steht dort nur: "Die Cardanischen Formeln oder auch Cardanoschen Formeln sind Formeln zur Lösung kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades)." --Mathze (Diskussion) 21:23, 11. Apr. 2024 (CEST)

Literatur-Belege dafür, dass die Lösungsformeln für Gleichungen 4. und -- soweit möglich -- 5. Grades "cardansich" genannt werden? --Lefschetz (Diskussion) 17:58, 14. Feb. 2025 (CET)

Im Bosch wird nur der kubische Fall so genannt. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:18, 14. Feb. 2025 (CET)

Ich habe versucht, das Material von @Filomusa zu quartischen Gleichungen übersichtlicher darzustellen. Die langen Rechenausdrücke, die sich aus der "Mitternachtsformel" ergeben, habe ich weggelassen, weil ich sie für unnötig halte. Möglicherweise wäre dieser Abschnitt aber im Artikel Quartische Gleichung besser aufgehoben. --Wfstb (Diskussion) 11:28, 15. Feb. 2025 (CET)

Ich habe diverse Werke durchgeschaut, insbesondere solche, die den Plural "Carda(o)nische Formeln verwenden. Beispiele dafür, dass damit auch Ferraris Formeln gemeint sind, gibt es zwar vereinzelt, aber so gut wie gar nicht. Insbesondere findet man diese Interpretation in keinem der neueren Bücher (Bosch, Beutelspacher, Bewersdorf, Karpfinger/Meyberg,...) oder den Klassikern (v d Waerden, Krull, ...). Daher mein Vorschlag: Abschnitt "Quartische Gleichungen" raus bzw. verschieben. --Lefschetz (Diskussion) 17:24, 18. Feb. 2025 (CET)

+1. -- Googolplexian (Diskussion) 18:43, 18. Feb. 2025 (CET)

Wurzel aus komplexem p.

Hallo,

im Abschnitt über den Casus Irreducibiliis ist unter anderem Folgendes zu finden:

${\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\qquad \quad (2)\\&\,={\sqrt {-{\frac {4}{27}}\,p^{3}}}\cdot \cos 3\alpha +q\end{aligned}}$

Was aber wäre, wenn das p komplex wäre, dann wäre ja die normale Quadratwurzel nicht immer definiert, oder sehe ich das falsch? --2A0A:A543:46:0:C931:588:242A:522F 12:11, 3. Jul. 2024 (CEST)

Die Antwort befindet sich in einem Abschnitt "Andere, inbesondere komplexe Koeffizientenkörper". Sie besagt, dass die trigonometrische Behandlung bei komplexem Koeffizientenkörper ihren Sinn verliert. --Filomusa (Diskussion) 17:01, 28. Jan. 2025 (CET)

Überarbeitung der Artikelabschnitte, die die kubische Gleichung betreffen

Ich habe den Artikel gründlich überarbeitet und eine neue Version eingestellt. Dabei ist zunächst zu sagen, dass es nicht etwas geschah, weil der Artikel schlecht war – im Gegenteil. Kompliment an alle Beteiligten. Es gab jedoch eine Inkonsistenz bezüglich der Diskriminante: Zum einen entsprachen die errechneten Werte nicht der Normierung, die üblicherweise in der Algebra vorgenommen wird. Dazu genügt es nicht, einfach den Wert unter dem Wurzelzeichen zu nehmen, denn man kann ja verschiedene Werte unter das Wurzeldach nehmen, wie es schon die Mitternachtsformel zeigt (${\sqrt {p^{2}-4q}}$ oder $\textstyle {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$). Die Diskriminante ist jedoch ein wohldefinierter Wert, Abweichungen bzgl des Normierungsfaktors gibt es zwar, aber der Mainstream seriöser Algebra-Lehrbücher stimmt in ihren Definitionen seit Jahrzehnten überein. Für die Wahl des Normierungsfaktors gibt es auch eine Begründung, die ich ebenfalls mitgegeben habe. FAZIT: Daher habe ich alle Angaben zu den Diskriminanten im Artikel an die übliche Definition angepasst, die Formeln entsprechend leicht modifiziert. Die Inkonsistenz wurde in einer Fußnote besonders deutlich, in welcher die Diskriminante „direkt berechnet“ wurde, nämlich mit Hilfe der gewonnen Formeln für die Nullstellen: Diese Rechnung erbrachte nämlich als Endergebnis durchaus das Ergebnis, welches mit der Standard-Definition übereinstimmt – und stand aber eben deshalb auch im Widerspruch zu den Angaben im übrigen Artikel. Nun hatte diese Rechnung noch einen anderen Schönheitsfehler: Zwar ist das erste Gleichheitszeichen ihrer Gleichungskette sicherlich richtig (es muss korrekt sein), doch konnte ich es nicht auf Grundlage der Überlegungen dieses Artikels ist es nicht unmittelbar verständlich. (Nutzt man die Lagrangesche Resolvente, Galoistheorie bzw. Identitäten der elementarsymmetrischen Funktionen, so wird sich die Gleichung ergeben müssen.) Wer auch immer diese gerechnet oder in den Artikel eingefügt hat, mag es mir gerne erklären. Zu diesem Zwecke stelle ich diese Rechnung hier in der Diskussion noch einmal zur Verfügung, siehe Abschnitt #Direkte Berechnung der Diskriminante gemäß Vorgängerversion. Ich selbst habe die Rechnung ersetzt durch eine Rechnung, die meines Erachtens wesentlich natürlicher daher kommt. Zudem kommt auch sie zum richtigen Ergebnis. Ferner habe ich gleich zu Beginn des Artikels weitere Methoden zur Berechnung der Diskriminante vorgestellt, die wesentlich eleganter sind, aber auch mehr Vorwissen erfordern (insb. zu symmetrischen Polynomen und zur Resultante). – Ein weiterer wesentlicher Grund zur Überarbeitung war der Abschnitt "Herleitung der Diskriminante mit Hilfe der Differenzialrechnung". Dieser Abschnitt wurde hier ja schon von mehreren Diskutanten kritisiert, worauf ich nicht erneut eingehen will. Wesentlich ist: Die Idee dieses Abschnittes lohnte eine verbesserte Darstellung, er heißt daher nicht mehr „Herleitung … Differenzialrechnung“, denn dieser Titel ist unzutreffend, da die Diskriminante mit diesem Ansatz nicht eindeutig berechnet werden kann. Wohl aber kann sie bis auf einen Normierungsfaktor bestätigt und geometrisch (durch Kurvendiskussion nämlich) veranschaulicht werden. Damit erhält der eben erwähnte, geheimnisvolle Rechenweg mit Hilfe der Resultante eine Anschauung (für den Fall $\deg =3$). Dieser Abschnitt fügt sich deshalb nun auch unmittelbar als letzter Unterabschnitt in den Abschnitt "Bestimmung der Diskriminante" ein. Um Redundanzen zu vermeiden, sind die drei Fälle daher nur an dieser Stelle zusammengefasst, und die nähere Betrachtung der Fälle erfolgt erst, wenn die Cardanischen Formeln zur Verfügung stehen. Für diese gedankliche Anregung danke ich der "Glühbirne" und hoffe meinerseits, dass die Glühbirne sich über die gestraffte und klarere Darstellung freut. Ich habe ferner ein paar Literaturhinweise hinzugefügt und einige Formulierungen verbessert bzw. Schreibweisen modernisiert. Von all dem abgesehen ist der Artikel im Wesentlichen so geblieben, wie er war. Die Formeln, in denen die Großbuchstaben $A,B,C,D$ auftauchen, habe ich nicht verfiziert.

Direkte Berechnung der Diskriminante gemäß Vorgängerversion

Hier die "direkte Berechnung" der Diskriminante aus einer Fußnote der vorigen Version.

Die Größe

$\Delta :=-\Delta _{2}=-{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}={\frac {18ABCD-4AC^{3}-27A^{2}D^{2}+B^{2}C^{2}-4B^{3}D}{108\,A^{4}}}$

ist die Diskriminante der kubischen Gleichung. Sie ist ein rationales Vielfaches des Quadrats ${\bigl (}(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3}){\bigr )}^{2}$ des Differenzproduktes (des Produktes der Differenzen der Lösungen), und zwar der 108-te Teil. Sie kann durch direkte Rechnung erhalten werden: Das Einsetzen von

${\begin{aligned}z_{1}&=u\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{1}\\z_{2}&=u\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{3}\\z_{3}&=u\varepsilon _{3}-{\tfrac {p}{3u}}\varepsilon _{2}\end{aligned}}$

in das Differenzenproduktquadrat ergibt

${\begin{array}{lll}&{\bigl (}(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3}){\bigr )}^{2}\\{\color {red}{\stackrel {\text{?Warum?}}{=}}}&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&&/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}-q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}&/({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}-q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-p^{6}/27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}/(p^{3}/27)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-27&({\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q/2)^{2}\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}+27q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}&-27&(p^{3}/27+q^{2}/4+q{\sqrt {p^{3}/27+q^{2}/4}}+q^{2}/4)\\=&-27q^{2}/2-3p^{3}&-27&(p^{3}/27+q^{2}/4+q^{2}/4)\\=&-27q^{2}-4p^{3}\\=&108\Delta \end{array}}$

Anmerkung

Hier lag die Inkonsistenz vor: Das Ergebnis müsste ja genau gleich $\Delta$ sein, und nicht ihr 108-faches. Diese Inkonsistenz ist im Artikel nun beseitigt.

--Filomusa (Diskussion) 00:23, 10. Nov. 2024 (CET)

Charakteristik eines Körpers

user:Filomusa hat eingefügt "Wenn die Charakteristik des zugrundeliegenden Körpers $K$ kein Vielfaches von $n$ ist, ...". Etwas, was UNBEDINGT vereinfacht werden müsste, denn $n$ dürfte genau dann KEINE Primzahl sein, da die Charakteristik eines Körpers IMMER entweder 0 oder eine Primzahl ist (s. en:Characteristic (algebra)#Case of fields). --Nomen4Omen (Diskussion) 17:02, 10. Jan. 2025 (CET)

Ups, danke für den Hinweis. Es muss ja umgekehrt lauten: Wenn $n$ kein Vielfaches der Charakteristik ist. Nur so ist es richtig. --Filomusa (Diskussion) 17:50, 10. Jan. 2025 (CET) – Oder so, wie ich es jetzt korrigiert habe und wie die Voraussetzung im nachfolgenden Absatz auch schon formuliert war: „Teiler“ anstelle von „Vielfaches“.--Filomusa (Diskussion) 17:57, 10. Jan. 2025 (CET)

Die eigentliche "Cardanische Formel" fehlt

Mittlerweile wurde hier ein Kuriosum geschaffen: Ein Artikel über die Cardanische Formel, in der die Cardanische Formel fehlt! Unter der Cardanischen Formel versteht man

$x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}$,

wie man z. B. nachlesen kann in Alten et al.: 4000 Jahre Algebra, 2. Aufl. 2014, S. 278, Stillwell: Mathematics and its History, S. 74 oder van der Waerden: A History of Algebra, S. 54. Van der Waerden gibt auch eine Übersetzung der in Prosa formulierten Formel aus der Originalquelle von Cardana:

Cube one third the "number of sides" (i.e. one-third the coefficient of x). Add to it the square of one-half the constant of the equation, and take the square root of the whole. You will put this twice, and to one of the two you add one-half the number you have squared and from the other you subtract one half the same. You will then have a binomium (V 108 + 10) and its apotome (V 108 -10). Then, subtracting the cube root of the apotome from the cube root of the binomium, the remainder is the required side.

Ich plädiere dafür, diese Formel in den Artikel zu integrieren und an prominenter Stelle zu platzieren.

--Mathze (Diskussion) 14:01, 25. Jan. 2025 (CET)

Guter Vorschlag. Und ich habe ihn umgesetzt. Du findest in der jüngsten Änderung die Formel gleich zu Beginn des gleichnamigen Abschnittes. Ich behaupte übrigens nicht, dass der Artikel schon in jeder Hinsicht optimiert ist. Ich habe auch noch einiges damit vor. Kann es aber auch lassen, wenn es unerwünscht ist. --Filomusa (Diskussion) 12:08, 28. Jan. 2025 (CET)

Artikel entwickelt sich in falsche Richtung

Ich habe ja schon oben darauf hingewiesen, dass der Artikel fast nichts mit den Cardanischen Formeln zu tun hat. Vielmehr geht es hier fast nur um die analytische Auflösung von kubischen Gleichungen. Vielleicht sollte man darüber nachdenken, dafür einen eigenen Artikel zu erstellen. Abgesehen davon entwickelt sich der Artikel aus meiner Sicht zu einer unleserlichen Monstrosität, entschuldigt bitte, dass ich es so nenne. Hier scheint mir mittlerweile sehr viel Theoriefindung am Werk zu sein. Ich vermute sogar mal, dass das allermeiste davon stimmt (habe dafür aber auch keine Garantie), nur entspricht es eben nicht mehr dem Wikipedia-Grundsatz, gesichertes Wissen zusammenzutragen und die Quellen zu benennen. Mal eine Herleitung einzuarbeiten ist ja in Ordnung und mache ich auch recht viel, aber was hier gemacht wird, geht doch darüber deutlich hinaus. Es wäre schön, wenn hier eine Diskussion über die Ausrichutung des Artikels stattfinden würde, ansonsten würde ich auch mal im Portal Mathematik eine Diskussion versuchen zu initiieren. --Mathze (Diskussion) 11:49, 26. Jan. 2025 (CET)

Abgesehen davon liest sich der Artikel in Teilen wie ein Lehrbuch und nicht wie eine Enzyklopädie. Beispielhaft der Abschnitt Bestimmung der Diskriminante:

"Die Diskriminante ist ein Kennzahl, anhand derer – wie das zugrundeliegende lateinische Wort besagt – Fälle unterscheidbar sind. Sie wird im Rahmen der Algebra definiert und vielfach verwendet. Im Kontext von Gleichungen einer Variablen (Polynomen in einer Unbestimmten) zeigt ihr Verschwinden an, ob alle Nullstellen einfach sind oder ob eine mehrfache Nullstelle vorliegt. Im Kontext der kubischen Gleichungen lässt sich an der Diskriminante ablesen, welcher der drei möglichen Fälle vorliegt, wie später deutlich wird."

Das könnte und sollte man meiner Meinung reduziert werden zu

"Anhand der Diskriminante einer kubischen Gleichung lässt sich ablesen, wie viele Lösungen eine kubische Gleichung hat." --Mathze (Diskussion) 11:53, 26. Jan. 2025 (CET)

Das war gemeint als Antwort auf eine Frage eines Lesers von vor einigen Jahren. Da schriebe jemand "dann wird einfach eine Diskriminante aus den Hut gezaubert." Daher habe ich mit idesem Abschnitt versucht – und das finde ich schon sinnvoll – Zusammenhänge herzustellen. Wer den Abschnitt nicht benötigt, kann ihn überspringen und direkt in den Abschnitt der Cardanischen Formel springen. Das Problem war: Die Diskriminante wurde vorher falsch berechnet, aber benutzt. Daher habe ich es für sinnvoll gehalten, an diesem Beispiel die Diskriminante einmal vernünftig darzustellen. Tatsächlich finde ich, dass es sinnvoll ist, auch an einem spektakulären historischen Ergebnis (bei sinnvoller Gliederung!) die Theorie zu skizzieren, die sich seitdem darum herum entwickelt hat. Wer das nicht lesen will, kann direkt in den Abschnitt springen, der sich mit der Cardanischen Formel befasst. Dass ein Verständnis der Diskriminante wichtig ist, erkennt man schon daran, dass auch Cardano selbst den casus irreducibilis identifiziert hat. – Gegen Deinen Vorschlag, die Formel noch einmal in dieser Form hinzuschreiben, hätte ich nichts einzuwenden. So stand sie vor meiner Bearbeitung allerdings auch nicht da -- es sei denn, man setzt für $u,v$ ein, was dort steht. Bei Cardano selbst stand sie in dieser Form allerdings auch nicht, weil seinerzeit ja noch ander Symbole verwendet wurden. Offengestanden bin ich ein wenig verwundert darüber, dass vor meiner Verbesserung monatelang explizit Falsches und Laienhaftes ("Herleitung der Diskriminante aus der Differentialrechnung") in dem Artikel stand, wie sogar manche Menschen in der Diskussion geschrieben haben. Jetzt, wo sich daran etwas tut, wird er in die QS geschoben. Das hätte mal vor Monaten geschehen sollen. Entschuldige, dass ich da ein wenig angefasst reagiere. --Filomusa (Diskussion) 11:14, 28. Jan. 2025 (CET)

Hallo @Filomusa, vielen Dank für Deine Antwort. Zunächst einmal möchte ich Dir für die viele Mühe danken, die Du in den Artikel steckst. Ich bin froh darüber, dass jemand mit fachlichem Wissen und Ahnung von der Materie diesen Artikel überarbeitet. Ich bin wie Du überrascht darüber, wie lange fehlerhafte Dinge hier stehen geblieben sind, aber das ist ein Phänomen, das die gesamte Mathematiksparte in der Wikipedia betrifft. Es zeigt sich leider, dass die Qualitätssicherung nicht gut funktioniert, was viele Gründe hat, die zu diskutieren an dieser Stelle fehl am Platz wäre. Dass der Artikel nun in die QS geschoben wurde, hast Du übrigens mir zu verdanken. Aber Du kannst es auch positiv sehen: Es herrscht echtes Interesse am Artikel, und das kann man von den meisten Wikipedia-Artikeln nicht behaupten. Vor allem aber: Nur im Team kann man einen Artikel richtig gut machen, und wir haben hier die Chance, einen richtig guten Artikel zu erstellen. Bis dahin ist es aber noch ein weiter Weg. Nun zum Inhaltlichen:

Ein Wikipedia-Artikel muss nicht "self-contained" sein, und sollte es aus meiner Sicht auch nicht sein. Denn wenn ein Leser sich hier eine genauere Darstellung der Zusammenhänge wünscht, empfindet es ein anderer als störend und möchte schnell zum Kern der Sache vordringen, ohne sich durch Hintergrundwissen zu kämpfen. Wikipedia ist kein Lehrbuch, sondern funktioniert wie ein Netzwerk. Deswegen wäre eine Verlinkung zum Artikel Diskriminante ja auch geboten, und dort wäre auch der geeignete Ort, um die Hintergründe zu erläutern.

Insgesamt sollten wir darauf achten, dass der Artikel nicht aus den Fugen gerät. Er ist jetzt schon sehr lang, enthält sehr viele Rechnungen und führt vom eigentlichen Thema weg.

Ich muss ganz ehrlich eingestehen, dass ich in diesem Video https://www.youtube.com/watch?v=N-KXStupwsc mehr über die Cardanische Formel gelernt habe, als in dem Artikel.

Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 17:12, 28. Jan. 2025 (CET)

Ich fange jetzt mal an. Meine erste Frage ist: Ist Formulierung als Aufgabe der modernen Algebra ein sinnvoller Unterpunkt von „Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades“? Dann bin ich über folgenden Absatz gestolpert: „Um den Wechsel vom 18. zum 19. Jahrhundert gelang es, jene „sinnlosen, eingebildeten“ Wurzelausdrücke mit einer überzeugenden geometrischen Vorstellung zu verbinden: Die imaginäre Zahlen erschienen befreit von allem mystischen Nebel. Nur wenig später wurde der Beweis der ernüchternden Tatsache erbracht, dass für Polynome höheren als vierten Grades ein algebraischer Erweiterungskörper, der alle Wurzelausdrücke (auch die ehemals sinnlosen) adjungiert, nicht ausreicht, um die Nullstellen im Allgemeinen zu benennen.“ Das klingt nicht wirklich enzykl. neutral; hier schwingen eigene Deutungen mit durch. Auch fehlen Einzelnachweise. Vorschlag: Formulierung der Cardanoschen Formeln gleich im ersten Abschnitt. Erst über $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$, und dann gerne über allg. Körpern mit Charakteristik $\not =2,3$. Und mir kommt der Absatz zur Herleitung völlig überlang vor. Reduziert man die Schritte auf ein Wesentliches, so sollten das max. 5 kB sein (im Bosch sind es drei Buchseiten; und das ist ein recht ausführliches Lehrbuch). Auch macht Bosch es für allgemeine Körper; diese ganzen Fallunterscheidungen hinsichtlich Ordnungsrelationen in $\mathbb {R}$ könnte man also aussparen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:37, 29. Jan. 2025 (CET)

Nein, es sind keine eigenen Deutungen. Korrigiere mich bitte, aber es ist nichts weiter als das Ergebnis der Galoistheorie: Mit Wurzelausdrücken kommt man bei Polynomen ab fünften Grades nicht zum Ziel. Bosch kenne ich nicht. In Krulls lienem Büchlein (fast halbes Postkartenformat) sind es zwei kleine Seiten. Ich bin nur verwirrt: Wollten wir nicht Schüler im Blick haben? Und ich wiederhole mich: Natürlich kann man alles ganz anders machen. Ich habe lediglich den Mist aus dem vorigen Artikel beseitigt.

Wenn man gleich alles über $\mathbb {C}$ erledigt oder gar über algebraisch abgeschlossenen Körpern geeigneter Charakteristik (ungleich 2, 3), dann mag das für eine modernes Lehrbuch angehen. Lernt der Student aber dabei eigentlich, was die unglaubliche Leistung in der Renaissance war und weshalb dieses Ergebnis für die Algebra so bedeutsam war? Verkommt es nicht zu einem (fast lächerlichen) Beispiel am Wegesrand? Der Verzicht auf die Anordnung (im Reellen) bedeut auch eine Verzicht auf Unterscheidungsvermögen: Da geht noch etwas verloren. Unter anderem der legendäre Casus irreducibilis, den nun wirklich in einem solchen Artikel hineingehört. --Filomusa (Diskussion) 09:27, 8. Feb. 2025 (CET)

Habe das Relikt von RB zu den quintischen Gleichungen aus dem Artikel entfernt. Meiner Meinung nach gehört der Abschnitt Bestimmung der Diskriminante sehr stark gekürzt oder ganz ausgelagert (und zwar zu Kubische Gleichung und Diskriminante). Er ist voller Erklärungen, Herleitungen und Theorien, die nicht zum Thema gehören. Ich werde anfangen, Abschnitte auszukommentieren. Wenn der Hauptautor @Filomusa: widerspricht, bin ich offen für fundierte Argumente. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:00, 29. Jan. 2025 (CET)

Siehe QS-Portal, mein letzter ausführlicher Kommentar, Abschnitt (D). --Filomusa (Diskussion) 09:27, 8. Feb. 2025 (CET)

Der Abschnitt Herleitung ist, wie oben schon angemerkt, extrem überladen mit Rechnungen, die eher verschleiern, als sachdienlich zu sein. Es sollte eine kurze und schnelle Rechnung gegeben werden, die schnell zum Kernpunkt vorstößt. So eine ist möglich; und man könnte an dieser Stelle auch gleich auf die Galois-Theorie hinweisen. In diesem Zuge könnte ggf. auch gleich der derzeit noch allein stehende Abschnitt Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades mit verarbeitet werden. Auch wird der Fokus sehr stark auf den Fall reeller Zahlen gelegt. Im Bosch werden die Formeln explizit auch für allgemeine Körper benannt, und behalten dabei den Namen des Lemmas. Die ganzen Fallunterscheidungen zur Art der Nullstellenverteilung im algebraischen Abschluss ist aber mMn schon off-topic; diese Kurvendiskussion zu kubischen Polynomen wäre besser im Artikel Kubische Gleichung aufgehoben. Meinungen? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:18, 29. Jan. 2025 (CET)

Ich teile Deine Meinung. Liebe Grüße --Mathze (Diskussion) 16:49, 29. Jan. 2025 (CET)

Wie gesagt: Meine laienhafte Meinung hier ist, dass die Fallunterscheidung integraler Bestandteil ist, wenn man sich überhaupt mit diesen alten Gleichungen befassen will. Wie man die Gedanken strukturiert, wie man die Geschichte erzählt - da bin ich vollkommen offen für Restrukturierungen. Ich bin aber verwirrt, dass wir einerseits davon sprachen, für Schüler verständlich zu sein, und andererseits Du nun anregst, gleich zu Beginn auf die Galois-Theorie hinzuweisen.

Eine schnelle Rechnung ist möglich: Krull kann es noch schneller als Bosch. :-) Mein bisheriges Anliegen war lediglich, das Vorhandene zu präzisieren und zu bereinigen. Ich wiederhole mich.

Wir haben jetzt hier eine lebhafte und fragmentierte, geradezu ungesteuerte Diskussion. Und wir haben das QS-Portal, wo auch viele Leute auf einmal entdecken, wie sehr dieser Artikel auch anders aufgezogen werden könnte und wo er überall noch gar nicht optimal ist. Ich habe meine weitere Mitwirkung im QS-Portal an Bedingungen geknüpft und werde jetzt abwarten. Die Folgen der unvorsichtigen Kürzungen sind nämlich jetzt bereits spürbar, wie man an den Rückfragen von Wstbf sehen kann. --Filomusa (Diskussion) 09:37, 8. Feb. 2025 (CET)

Zwei konkrete Vorschläge zur Verbesserung der Lesbarkeit und Verständlichkeit:

• Die mit Pünktchen versehenen Formelzeilen stören (nach meiner Ansicht) den Lesefluss. Schuld ist die Voreinstellung der vielfach verwendeten Vorlage NumBlk. Durch die Option LnSty=none könnte man das vermeiden. In den Fällen, in denen die Formelzeilen nicht später gebraucht werden, könnte man auf diese Vorlage (und auf die Gleichungs-Bezeichnungen) gut verzichten.
• Mir erschließt sich nicht, warum so viele Varianten der Diskriminante vorkommen. Im Abschnitt "Herleitung der cardanischen Formel" wird zuerst $\Delta _{2}=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$ eingeführt. Wenig später ist von $\Delta$ (ohne Index, ohne Erklärung an dieser Stelle) die Rede. Später kommt $\Delta (F_{A})$ ins Spiel. Im Abschnitt "Einzelfallbetrachtung" wird $\Delta$ (das gleiche $\Delta$?) als Differenzenquadrat bezeichnet. Weiter unten wird $\Omega =\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}$ eingeführt, also $\Omega ={\frac {1}{4}}\Delta _{2}$. Zu Beginn des Unterabschnitts "Diskriminante gleich Null" heißt es dann $0=\Delta =-27p^{3}-4q^{2}$ (vermutlich eine versehentliche Vertauschung von $p$ und $q$). --Wfstb (Diskussion) 11:30, 5. Feb. 2025 (CET)

$\Delta _{2}$ ist die Diskriminante der (quadratsischen) Lagrangeschen Resolvente. (Das steht auch irgendwo). $\Delta$ diejenige der kubsichen Gleichung. Zu $\Omega$ habe ich mich schon auf der QS-Seite soeben geäußert. Es tut mir leid, ich kann auch nicht auf einmal alles, was da war, optimal gestalten. Es war und ist ein langsamer Transformationsprozess. Dazu zählten auch solche Irrgetümer bei der Schreibweise mit 27 und 4. --Filomusa (Diskussion) 18:00, 7. Feb. 2025 (CET)

Ergänzung: Die Diskriminuante ist ja das Differenzenquadrat (siehe z.B. van der Waerden, oder andere). Aber auch diese Definition ist inzwischen verlustig gegangen. Daher mein Vorschlag (siehe QS-Portal) diese Thematik anders aufzuziehen. Das geht aber nicht, wenn nun zwölf Jünger jeder auf seine Weise "korrigiert". --Filomusa (Diskussion) 18:09, 7. Feb. 2025 (CET)

• Pünktchen oder nicht: Da bin ich schmerzfrei. Können wir gerne als zu erledigen aufnehmen.
• Viele "Varianten der Diskriminante": Das kann sich Dir nun auch nciht mehr erschließen, denn der Abschnitt, in dem das erklärt wurde, ist gelöscht. Zu dieser Problematik siehe meinen letzten Beitrag im QS-Portal. Tatsächlcih war das Chaos vorher ncoh viel größer und zugleich undurchschaubar, weil nirgends erklärt oder bereccnet. Damals galt (jedenfalls für einern der Vorautoren) tatsächlich $\Delta =-\Delta _{2}$, wenn icn mich recht erinnere. Es ist aber falsch: Die Diskriminante der Langrangeschen Resolvente (nämlich $\Delta _{2}=\Delta (L(t))$) ist nicht betragsmäßig gleich mit der Diskirminante $\Delta =\Delta (F(X))$ der kubischen Gleichung. Das sind die einzigen beiden Diskriminanten, die im Artikel benannt wurde. Eines der Verbesserungspotenziale ist sicherlich auch, die Bezeichnungsweise zu verbessern. Aber ganz ehrlich: Es gab in der Vergangenheit andere Prioritäten. Dass nun Dutzende Leute auf einmal auf diesen Artikel aufmerksam werden und feststellen, dass er ja noch gar nicht gut sei, ist aus meiner -- tja, was soll ich sagen? Wo wart Ihr vorher?

--Filomusa (Diskussion) 09:17, 8. Feb. 2025 (CET)

Einleitung und Gliederung

Ich zitiere aus Wie schreibe ich gute Artikel:

Unmittelbar nach der Definition [=erster Satz] sollte eine kurze Einleitung mit einer Zusammenfassung [!] der wichtigsten Aspekte des Artikelinhalts folgen. Die Einleitung soll einen kurzen Überblick über das Thema ermöglichen und das Lemma in Grundzügen erklären. Es empfiehlt sich (vor allem bei Personenartikeln), bereits an dieser Stelle die Bedeutung hervorzuheben.

Derzeit geht die Einführung inhaltlich weit über eine Zusammenfassung hinaus. Die betreffenden Teil müssen aus der Einleitung in andere Abschnitte (z.B. in Abschnitte "Geschichte der Cardanischen Formeln" und "Bedeutung für die Entwicklung der Algebra") verschoben (oder gelöscht) werden. --Lefschetz (Diskussion) 16:41, 5. Feb. 2025 (CET)

Die geänderte, sehr knappe Einleitung finde ich prinzipiell gut; allerdings stört mich der Wechsel zwischen Singular (Formel) und Plural (Formeln). Auch sollte – entsprechend der historischen Reihenfolge – Scipione del Ferro vor Nicolo (Niccolò?) Tartaglia genannt werden. --Wfstb (Diskussion) 10:02, 8. Feb. 2025 (CET)

General trattato de' numeri et misure, 1556

Die parallele Nutzung von Singular und Plural ist natürlich Mist. Ich habe, wenn ich nichts übersehen habe, bei neuen und bearbeiteten (aber nicht bei verschobenen) Texten den Singular verwendet. Der Plural ist, siehe Ngram-Viewer m.E. nicht genügend nachweisbar. Er sollte überall rausgenommen werden.

Die chronologische Reihenfolge ist in der Tat anders, aber ich habe mich in der Einleitung an den (in meinen Augen) völlig korrekten, späteren Text "Entdeckt wurde die Lösungsformel für die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro." gehalten. Meines Wissens hat man nie etwas von del Ferro gefunden. Cardano verweist auf ihn in der Ars Magna, um nicht mehr an seinen Schwur gegenüber Tartaglia gebunden zu sein.

Zum richtigen Namen Tartaglias hat der Österreicher Katscher in seinem Buch einiges bemerkt. Kein Akzent auf dem "o". Siehe auch das Cover rechts. VG --Lefschetz (Diskussion) 17:51, 8. Feb. 2025 (CET)

Inkonsistenzen

Folgende Inkonsistenzen sind mir aufgefallen:

• Primitive dritte Einheitswurzel: Im Abschnitt "Aussage der Formeln" mit $\zeta$ bezeichnet, im Abschnitt "Herleitung der cardanischen Formel" mit $\varepsilon$ bzw. $\varepsilon _{1,2}$
• Diskriminante: Im Abschnitt "Herleitung der cardanischen Formel" wird $\Delta _{2}=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$ eingeführt (später "Lagrange-Diskriminante" genannt). Später ist von $\Delta =A^{4}((z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2}))^{2}$ bzw. $\Delta (F_{A})$ die Rede. Anscheinend gilt $\Delta =-27\Delta _{2}$, es wird aber hier nicht erwähnt. Im Abschnitt "Einzelfallbetrachtung" fehlt der Faktor $A^{4}$ wieder; auch wird $\Delta =-\Delta _{2}$ behauptet. Außerdem wird noch $\Omega =\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}$ eingeführt, für mich völlig unnötig. Bezüglich der "Hauptvarianten" $\Delta$ und $\Delta _{2}$ (mit entgegengesetzten Vorzeichen) wäre es für die Fallunterscheidung wichtig, sich für eine der Varianten zu entscheiden.
• Koeffizientenbereich: Im Abschnitt "Aussage der Formeln" kommen die Koeffizienten aus einem Körper (bevorzugt $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$). Im Abschnitt "Formulierung als Aufgabe der modernen Algebra" sind die Koeffizienten aus einem Integritätsbereich. Im Abschnitt "Abspaltung eines reellen Linearfaktors und Beispiele" heißt es dann überraschend: "Man beachte weiterhin, dass die Koeffizienten ... als reell angenommen werden."

--Wfstb (Diskussion) 14:01, 7. Feb. 2025 (CET)

• Das liegt nun an den vielen Köchen. :). – Vielleicht sollte ich ergänzen: Natürlich ist mir auch klar, dass in heutiger Literator die Einheitswurzeln typischerweise mit $\zeta$, mglw. in Anlehnung an den Begriff "zyklotomisch" (Kreisteilung) bezeichnet werden. Ich habe auch einen Moment überlegt, ob ich die Bezeichnungsweise ändere. Ich habe mich aber erst einmal dagegen entschieden, weil es andere Prioritäten gab. Zudem benutzt ältere, klassische Literatur durchaus gern den Buchstaben $\epsilon ,\varepsilon$, da lagen die Vorautoren gar nicht falsch. Es ist am Ende gleichgültig, aber ich habe auch Freude daran, in einem Artikel, der m.E. ganz klar vor allem von mathematikhistorischen Interesse ist, dies auch in der Darstellungsweise anklingen zu lassen. In einem heutigen Lehrbuch kann man das natürlich anders halten. Und am Ende soll auch hier mir alles Recht sein. Nur einheitlich sollte es sein, ganz recht.
• Ja es gilt $\Delta =-27\Delta _{2}$ -- und das ist inzwischen aus dem Artikel gelöscht worden. Es stand vermutlich im gelöschten Abschnitt zur Diskriminante. Dort stand auch die Defintion (Differenzenquadrat) und weitere Zusmmenhänge. Wenn in der Einzelfallbetrachtung $\Delta =-\Delta _{2}$ behauptet wird, so ist das falsch und mir entgangen. Es dürfte noch Hinterlassenschaft aus dem Diskriminanten-Chaos der ursprünglichen Version sein. Bei der Gelegenheitheit: Ich habe keine der Lösungsformeln für die Gleichung mit den Koeffizienten $A,B,C,D$ überprüft. Denn ich finde sie sowieso lästig, wie ich schon andernorts angemerkt habe. Aber der Vorautor war auf sie anscheinend sehr stolz, weil es noch nirgendwo stünde, wie er oben in der Diskussion vermerkt hat.
• Ja, das ist korrekt. Auch in dieser Hinsicht bedarf der Artikel noch besserer Konsistenz. Ich habe nie behauptet, dass ich schon fertig war. Deshalb nehmt Ihr mich auch zu Recht als misslaunig wahr, weil ich noch mitten bei der Arbeit war, einen schlechten Artikel zu korrigieren. – Natürlich kann man auch, wie @Googolplexian angeregt, nach Bosch gleich auf den komplexen Fall gehen. Damit aber, so meine ich, beraubt man sich der historischen Pointe: Seit dem Fundamentalsatz der Algebra ist trivial, dass jedes komplexe Polynom vollständig zerfällt, und natürlich gilt dann Cardanos Formel. Dass die Formel auch für (fast) beliebige Körper geeigneter Charakteristik gilt, ist ebenso klar – aber wäre für Schüler meines Erachtens kaum mehr nachvollziehbar. Ich weiß nicht so recht, wo jetzt unsere Zielrichtung liegen soll. – Ich wiederhole mich: Aus meiner Sicht liegt die Bedeutung dieser Formel nicht in ihrer Existenz und Anwendung (kein Mensch tut das heute), sondern darin, was sie in der Mathematikentwicklung bewirkt hat, genauer gesagt: Weshalb versagt sie aus Sicht der damaligen Mathematik trotz ihrer „Wahrheit“ ausgerechnet im casus irreducibilis, in dem sie doch directement reelle Zahlen ausspucken müsste – und es bestenfalls aber nur über einen seinerzeit unerklärlichen, von Nebel veschleierten Umweg tut? Dieser Umstand ist es, der die Mathematik vorangebracht hat, und dies ist dieser Formel zu verdanken – und hat sie zugleich in den mathematischen Ruhestand versetzt.

--Filomusa (Diskussion) 18:06, 7. Feb. 2025 (CET)

• Mich irritiert die Verwendung des Wortes "imaginär" an vielen Stellen des Artikels. Nach heutigem Sprachgebrauch versteht man unter "imaginären Zahlen" komplexe Zahlen mit Realteil 0. Das ist aber an etlichen Stellen offensichtlich nicht gemeint. Vorschlag: "nicht-reelle Zahl" oder ausführlicher "nicht-reelle komplexe Zahl". --Wfstb (Diskussion) 12:28, 11. Feb. 2025 (CET)

+1. -- Googolplexian (Diskussion) 18:40, 12. Feb. 2025 (CET)

+1: Beim Abschnitt Geschichte habe ich bereits einmal "weil es sich bei den Zwischenergebnissen um nicht reelle, komplexe Zahlen handelt." formuliert. Mit Bindestrich und ohne Komma geht natürlich auch ... --Lefschetz (Diskussion) 19:30, 12. Feb. 2025 (CET)

Interessant. Dann muss man es natürlich ändern. Ich meinte verstanden zu haben, dass "imaginär" bedeutet, dass der Imaginärteil nicht verschwindet. Realteil gleich Null, heißt, so dachte ich, rein imaginär. --Filomusa (Diskussion) 12:10, 16. Feb. 2025 (CET)

Reelle Polynome vierten Grades zerfallen reell biquadratisch

Vielleicht verstehe ich etwas falsch, aber nach meiner Ansicht funktioniert die angegebene Zerlegung im Reellen nur eingeschränkt.

Beispiel: $x^{4}-2x^{2}+2=0\quad (a=0,\quad b=-2,\quad c=0,\quad d=2)$

Komplexe Lösungen: $\pm {\sqrt {1\pm \mathrm {i} }}$

Kubische Resolvente: $C(u)=u^{3}+u^{2}-2u-2$

Lösungen dazu: $-1,\quad \pm {\sqrt {2}}$

$u=-1$ führt zu $w^{2}=u^{2}-d=(-1)^{2}-2=-1$, also $w=\pm \mathrm {i}$.

$u=\pm {\sqrt {2}}$ führt zu $w^{2}=u^{2}-d=({\sqrt {2}})^{2}-2=0$, also $w=0$.

Es gibt hier also keine Zerlegung des reellen Polynoms $X^{4}-2X^{2}+2$ in zwei reelle quadratische Polynome $Q_{+}(X)$ und $Q_{-}(X)$.--Wfstb (Diskussion) 16:23, 12. Feb. 2025 (CET)

Doch, denn es gilt:

$X^{4}-2X^{2}+2=\left(X^{2}+{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}}}\cdot X+{\sqrt {2}}\right)\cdot \left(X^{2}-{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}}}\cdot X+{\sqrt {2}}\right)$

Dabei haben die quadratischen Faktoren je zwei konjugiert komplexe Lösungen. Gruß, --Engcobo (Diskussion) 04:53, 13. Feb. 2025 (CET)

Danke für die präzise Antwort! Aufgrund des derzeitigen Textes (teilweise in der ausklappbaren Begründung) hatte man den Eindruck, dass die Koeffizienten $t,u,v,w$ alle reell sind. Anscheinend funktioniert der dargestellte Ansatz nur, wenn die Lösung $u$ der kubischen Resolventengleichung die Bedingung $u^{2}-d\geq 0$ erfüllt. --Wfstb (Diskussion) 10:08, 13. Feb. 2025 (CET)

Da hast Du recht, @Benutzer:Wfstb! Es betrifft aber m.E. die Schlussfolgerung außerhalb des ausklappbaren Textes und damit auch die Überschrift des Abschnittes und den einleitenden Satz. Weshalb ich glaubte, dass die beiden Polynome $Q_{\pm }$ stets reell ausfallen, weiß ich nicht. Vorher war diese Passage äußerst kryptisch. Jedenfalls habe ich an der Stelle, $w$ bestimmt wird, nicht ordentlich hingeschaut. Damit die es reell ist, muss natürlich Deine Bedingung erfüllt sein, was in dem Beispiel bei $u=\pm {\sqrt {2}}$ ja der Fall ist. Deshalb muss da also eine Menge Text weg. Das habe ich mal (durch Auskommentieren) erledigt. Überschrift und einleitender Text sind enstprechend korrigiert. --Filomusa (Diskussion) 22:10, 15. Feb. 2025 (CET)

Falls ich nichts übersehen habe, stimmt die ursprüngliche Behauptung (Zerlegung in zwei quadratische Polynome mit reellen Koeffizienten). Vermutlich genügt es, den Wert von $u$ (Lösung der kubischen Resolventengleichung) so zu wählen, dass $u^{2}-d\geq 0$ gilt. Ob das immer möglich ist, wäre anhand der Fachliteratur zu klären. Für $u^{2}-d=0$ funktioniert allerdings $2vw=au-c$ nicht ($0=0$). Stattdessen muss man $v^{2}=2u+{\frac {a^{2}}{4}}-b$ nehmen; das habe ich inzwischen eingefügt. --Wfstb (Diskussion) 08:15, 16. Feb. 2025 (CET)

Das wäre zu prüfen, ob man stets ein solches reelle Nullstelle $u_{0}$ der Ferrarischen Resolvente $C(u)$ mit $u^{2}\geq d$ finden kann. Mein Fehler war jedenfalls, das gar nicht gefragt zu haben. -- Man könnte folgenden Passus sinngemäß hinzufügen: Wenn, falls existent, eine reelle Nullstelle $u_{0}$ der kubischen Resolvente $C(u)$ mit $u^{2}\geq d$ gewählt wird, so sin die (von der Wahl von $u_{0}$ abhängigen) Koeffizienten $v,w$ reell und mithin die beiden quadratischen Polynome $Q_{\pm }$ (unter Einschluss der Regel für den Sonderfall $u^{2}=d$). Ich weiß nun aber nicht, ob der Artikel (abseits des geschichtlichen Abrisses) eigentlich noch einen Augenmerk auf die Fallunterscheidung „reell“ versus „komplex und nicht reell“ richten soll. --Filomusa (Diskussion) 12:23, 16. Feb. 2025 (CET)

Die Einschränkung "falls existent" ist nach meiner Ansicht unnötig. Wenn die Gleichung 4. Grades reelle Koeffizienten hat, ist die Zerlegung in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten gesichert. Als Lösungen in $\mathbb {C}$ kommen nämlich nur reelle Zahlen und Paare von konjugiert komplexen Zahlen in Frage. Das Produkt von zwei zugehörigen Linearfaktoren hat reelle Koeffizienten, sowohl bei zwei reellen Lösungen als auch bei zwei konjugiert komplexen Lösungen. Nennt man diese Faktoren $Q_{+}(X)$ und $Q_{-}(X)$, so folgt $Q(X)={\frac {1}{2}}(Q_{+}(X)+Q_{-}(X))$ und $L(X)={\frac {1}{2}}(Q_{+}(X)-Q_{-}(X))$, d.h. auch $Q(X)$ und $L(X)$ haben reelle Koeffizienten. Also muss das beschriebene Verfahren zur Bestimmung von reellen Koeffizienten $t,u,v,w$ eine Lösung haben. Die einzige Einschränkung ist, dass man nicht jede Lösung $u$ der kubischen Resolventengleichung nehmen darf, sondern eine (oder die) Lösung nehmen muss, bei der $u^{2}-d\geq 0$ erfüllt ist. --Wfstb (Diskussion) 16:03, 16. Feb. 2025 (CET)

Der Abschnitt Formulierung als Aufgabe der modernen Algebra...

... ist mMn off-topic und könnte ersatzlos gestrichen werden. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 16:47, 12. Feb. 2025 (CET)

Mit meiner partiellen Überarbeitung bin ich vor diesem Abschnitt stehen geblieben, weil ich nicht wusste, was ich damit machen sollte. Eigentlich habe ich nichts Relevantes (daher +1) gefunden. Ein Abschnitt "Allgemeine Eigenschaften kubischer Gleichungen" könnte ich mir allerdings an dieser oder späterer Stelle vorstellen (Inhalt: drei Linearfaktoren/Lösungen, von denen bei reellen Koeffizienten drei oder eine reell sind, Diskriminante: Berechnung und Eigenschaften). --Lefschetz (Diskussion) 18:36, 12. Feb. 2025 (CET)

Das sehe ich genauso. Es handelt sich eher um einen allgemeinen Überblick zum Thema "Algebraische Gleichungen". Eine übersichtliche Aufstellung, wann bei reellen Koeffizienten wie viele reelle Lösungen existieren, wäre dagegen für viele Leser hilfreich. --Wfstb (Diskussion) 10:17, 13. Feb. 2025 (CET)

Diskriminante

Im Abschnitt "prinzipielle Eigenschaften ..." sind noch Änderungen nötig. $\Delta$ ist das $-108$-fache von $\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$. Wenn alle drei Lösungen reell sind, gilt $\Delta >0$. --Wfstb (Diskussion) 12:02, 14. Feb. 2025 (CET)

Das Vorzeichen habe ich geändert. Danke für den Hinweis. --Lefschetz (Diskussion) 13:01, 14. Feb. 2025 (CET)

Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades...

... kann denke ich auch in eine Box gesetzt werden, die ggf. aufgeklappt werden kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:20, 15. Feb. 2025 (CET)

Unter den ersten Abschnitten ist das sicher derjenige, bei dem das Verhältnis "Erkenntnis zu Formeln" am geringsten ist, obwohl ich bereits einige Formeldopplungen gestrichen habe. Immerhin gibt es keine ätzenden "Herleitungen". Daher entweder ohne Einklappung oder: Absatz einfügen nach "Jedoch können alle kubischen Gleichungen durch eine lineare Transformation der Variablen in die reduzierte Form gebracht werden:" und den Rest einklappbar. Unabhängig davon wäre noch ggf. interessant der Hinweis, dass die Transformation einer Taylor-Entwicklung entspricht. Raus können m.E. auch die Gleichungskennungen wie "(AllgGlg)". --Lefschetz (Diskussion) 09:25, 16. Feb. 2025 (CET)