Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

mathematische Funktionen
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Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole bzw. , in älteren Quellen auch und [1] Die Kurve, die ein an zwei Punkten aufgehängtes Seil einheitlicher Längendichte beschreibt, ist ein Kosinus hyperbolicus. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel im Punkt , wobei für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die -Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Definitionen

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  • Sinus hyperbolicus
 
  • Kosinus hyperbolicus
 

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion

 .

Der Quotient dieser beiden Funktionen wird Tangens hyperbolicus genannt:

 

Eigenschaften

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Sinus hyperbolicus (rot) und Kosinus hyperbolicus (blau) für reelle x.
  Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus
Definitionsbereich    
Wertebereich    
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend   streng monoton fallend
  streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
   
   
Nullstellen   keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei  
Wendestellen   keine

Spezielle Werte

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  mit dem goldenen Schnitt  
 

Uneigentliche Integrale

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Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

 

Die in den geschweiften Klammern stehende Funktion wird Gudermannsche Funktion   genannt.

Außerdem gilt für die Quadratwurzel:

 

Die Bezeichnung   steht für den Lemniskatischen Arkussinus und mit dem Kürzel   wird die Lemniskatische Konstante ausgedrückt.

Für den Kehrwert des kardinalisierten Sinus Hyperbolicus gilt folgendes uneigentliches Integral:

 

Die Bezeichnung   stellt den Dilogarithmus dar.

Umkehrfunktionen

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Der Sinus hyperbolicus bildet   bijektiv auf   ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.

Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall   bijektiv auf das Intervall   und lässt sich eingeschränkt auf   also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus.

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

 .
 .

Ableitungen

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Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:

 

Stammfunktionen

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Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)

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  (Eulersche Identität)
 
 
  (Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme

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insbesondere gilt für  :

 

und für  :

 

Summenformeln

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Potenzen

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Reihenentwicklungen

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Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt   lautet:

 

Produktentwicklungen

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Multiplikationsformeln

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Sei  . Dann gilt für alle komplexen  :

 

Komplexe Argumente

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Mit   gilt:

 

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit   gilt

 

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

 

Anwendungen

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Lösung einer Differentialgleichung

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Die Funktion

  mit  

löst die Differentialgleichung

 .

Kettenlinie

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Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation

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Mit Hilfe der Rapidität   kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

 

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie

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Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch

 ,

wobei

 

eine charakteristische Zeitskala ist.   ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters,   der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:

 

Cardanische Formeln

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Die sogenannten Cardanischen Formeln dienen zum Lösen von kubischen Gleichungen. Diese Formeln wurden nach dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano benannt. Das Verdreifachungstheorem des Sinus Hyperbolicus lautet wie folgt:

 

Abgewandelt gilt somit:

 

Für den Allgemeinfall der durch kubische Ergänzung reduzierten kubischen Gleichung kann mit diesem Theorem aufgelöst werden:

Gegeben ist folgende Formel:

 
 

Substitutiv wird diese nun entstandene Form auf das Verdreifachungstheorem übertragen:

 

Falls r eine positive Zahl ist, gilt somit folgendes Paar aus Gleichung und Lösung:

   

So gilt beispielsweise für den Kehrwert der Supergoldenen Zahl dieser Ausdruck:

   

Wenn der Koeffizient des linearen Gliedes von 1 auf 2 abgeändert wird, dann entsteht folgende Gleichung mit folgender reeller Lösung:

   

Auch die quartischen Gleichungen können für den Allgemeinfall vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen gelöst werden:

Ebenso soll hierfür ein Beispiel angeführt werden:

 

 

Im Gegensatz zum Regelfall der Gleichungen dritten Grades und vierten Grades kann der Regelfall der Gleichungen fünften Grades nicht elementar dargestellt werden. Diese Tatsache wird durch den Satz von Abel-Ruffini ausgedrückt und wurde ebenso durch den Mathematiker Évariste Galois erforscht. Die Lösungen derjenigen quintischen Gleichungen aber, welche sehr wohl mit elementaren Wurzelausdrücken gelöst werden können, lassen sich stark vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen und ihren Umkehrfunktionen darstellen. Im Folgenden sollen hierfür zwei solche qunitischen Gleichungen mit ihren hyperbolisch dargestellten Lösungen gezeigt werden:

Erstes Beispiel:

 

 

Zweites Beispiel:

 

 

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.