Diskussion:σ-Algebra

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Ist σ ein Hüllenoperator?

In 'Mengentheoretische Topologie' (B.v.Querenburg, Springer 2001) wird von einem Hüllenoperator zusätzlich gefordert, dass er die leere Menge auf sich selbst abbildet. Es ist aber $\sigma (\emptyset )=\{\emptyset ,\Omega \}$, da das die kleinste mögliche σ-Algebra über Ω ist. (nicht signierter Beitrag von Sielenk (Diskussion | Beiträge) 22:46, 12. Mär. 2005 (CET))

Diese eigenschaft erfüllt σ in der tat nicht. Allerdings halte ich das auch nicht für eine standardforderung. Danach wäre z.b. die Lineare Hülle auch kein Hüllenoperator.--Benson.by 23:19, 14. Mär 2005 (CET)

Wohl wahr... Ich glaube, die Hüllenoperator-Seite ist noch nicht endgültig. --Sielenk 22:18, 15. Mär 2005 (CET)

Die kleinste mögliche sigma-Algebra ist meiner Meinung nach $\{\emptyset \}$ - in dem Falle, dass $\Omega =\emptyset$; vergleiche Absatz auf dieser Seite: 'Omega kann auch leer sein'. --Mouhandwoulp 21:03, 16. Dez. 2011 (CET)

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Monotonieeigenschaft nicht erfüllt ist. Zum Beispiel sei Omega = {1, 2, 3} dann gilt $\sigma (\{1,2\})=\{\emptyset ,\Omega ,\{1,2\},\{3\}\}$. Es ist {1} eine Teilmenge von {1,2} aber $\sigma (\{1\})=\{\emptyset ,\Omega ,\{1\},\{2,3\}\}$ keine Teilmenge von $\sigma (\{1,2\})$ ?? 93.210.219.197 22:44, 4. Dez. 2010 (CET)

$\sigma$ operiert auf ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\Omega ))$, nicht auf ${\mathcal {P}}(\Omega )$. --91.32.127.214 23:15, 4. Dez. 2010 (CET)

Verständlichkeit

kann jemand ein einfaches Zahlenbeispiel für eine Sigma-Algebra geben? --qwqch 13:52, 11. Sep. 2007 (CEST)

Mit Hilfe der endlichen Dreiecktopologie: Grundmenge ist $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ und ${\mathcal {A}}$ besteht aus den Teilmengen $\{4,2,3,7\},\{5,1,3,7\},\{6,1,2,7\},\{1,7\},\{2,7\},\{3,7\},\{7\}$ plus die Vereinigungen, Durchschnitte und Komplemente dieser Mengen. Ich glaube, dass dann $|{\mathcal {P}}(\Omega )|=512$ und $|{\mathcal {A}}|=256$. Das müsste man aber schon überprüfen. Wer möchte es ausrechen? --Alexandar.R. 14:59, 11. Sep. 2007 (CEST)

P.S.: Es geht einfacher: $\Omega =\{1,2,3,4\}$u. ${\mathcal {A}}=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}$. --Alexandar.R. 18:19, 11. Sep. 2007 (CEST)

und was heißt das in Worten? Kann jemand ein Beispiel mit Äpfeln (oder Birnen) geben? --source 11:55, 21. Jan. 2009 (CET)

Ω = { Apfel, Birne } und A = { leere Menge, { Apfel, Birne } }. --80.129.90.220 12:34, 21. Jan. 2009 (CET)

Danke, das hilft mir aber noch nicht wirklich weiter. Ich dachte an etwas wie ... ist eine Kiste Äpfel. ... ist eine Stichprobe ... . Poasst sowas hier? Ist doch ein Stochastischer Begriff oder? Und was in dem Beispiel ist die Sigmaalgebra, was die Potenzmenge und was Omega? --source 13:18, 21. Jan. 2009 (CET)

Beispiel Würfel: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } und A = P(Ω) = Potenzmenge von Ω = Menge aller Teilmengen von Ω. Das A ist die Sigmaalgebra und enthält alle Ereignisse, zum Beispiel ist { 1, 3, 5 } das Ereignis, eine ungerade Zahl zu würfeln. Wenn man nur gesagt bekommt, ob das Würfelergebnis kleiner ist als 4 oder nicht, dann ist die Sigmaalgebra A = { leere Menge, { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6 }, Ω }. Die leere Menge ist das Ereignis, das nie eintritt, und Ω ist das Ereignis, das immer eintritt. --80.129.90.220 14:17, 21. Jan. 2009 (CET)

Das ist doch gut verständlich. Das sollte in den Artikel, finde ich. --source 11:13, 22. Jan. 2009 (CET)

Das Würfelbeispiel ist besser, aber noch immer versteh ich nicht ganz wofür man das jetzt braucht. Es sollte zu den Hoch-Mathematischen Artikeln auch immer ein Praxistaugliches beispiel dabei sein. Dann weiß man wofür es da ist und wie man e snutzen kann.--Kontrollbedarf (Diskussion) 22:04, 25. Sep. 2013 (CEST)

Hilft dir der Artikel Ereignisraum weiter? --Erzbischof 11:13, 26. Sep. 2013 (CEST)

Gemeint ist Ereignissystem.--Sigma^2 (Diskussion) 13:43, 26. Dez. 2023 (CET)

Englische Einleitung definiert viel besser

Könnten wir die Einleitung von dort einfach übernehmen? Ich finde bei der deutschen Version wird nicht auf den Punkt benannt, was eine Sigma-Algebra denn nun sein soll. Der erste Absatz setzt zu einer kurzen Beschreibung an, verfällt dann aber direkt in eine nebelige Ausführung, wo man Sigmalgebren benötigt. Ich bin mutig und übernehme die Einleitung Mal aus der englischen Wikipedia biggerj1 (Diskussion) 19:12, 27. Dez. 2023 (CET)

Mich überzeugt die englische Zusammenfassung nicht. Der dort verwendete Begriff collection ist schwammig. Er kann im Englischen je nach Kontext fachsprachlich für einen der mathematischen Fachbegriffe Menge (set), Klasse (class) oder Familie (family) stehen oder aber allgemeinsprachlich für eine Zusammenfassung (von Objekten), vgl. en:collection. Die wörtliche Übersetzung als Sammlung geht ins Leere, da Sammlung im Deutschen nicht für einen der mathematischen Fachbegriffe Menge, Klasse oder Familie stehen kann. Der ursprüngliche deutsche Text war exakter: "Menge von Teilmengen von $\Omega$" oder "Teilmenge der Potenzmenge von $\Omega$". --Sigma^2 (Diskussion) 20:17, 27. Dez. 2023 (CET)

+1 biggerj1 (Diskussion) 21:44, 27. Dez. 2023 (CET)