Diskussion:Carlyle-Kreis

Mittelpunkt

Müsste die y-Koordinate von $M$ nicht ${\tfrac {q+1}{2}}$ statt ${\tfrac {q-1}{2}}$ lauten? Ich habe jetzt aber nicht gecheckt, ob dadurch noch andere Formeln angepasst werden müssen. -- HilberTraum (d, m) 17:52, 7. Nov. 2015 (CET)

Ja natürlich, danke für den Hinweis. Der Rest der Formeln sollte jedoch gleich bleiben und bzw. das veränderte Vorzeichen kürzt sich bei späteren Umformungen wieder raus.--Kmhkmh (Diskussion) 18:24, 7. Nov. 2015 (CET)

Notation

Warum schreibt man nicht einfach A=(0,1), was ganz normal ist in der Euklidische Geometrie, statt das merkwürdige A(0|1)? Madyno (Diskussion) 19:58, 12. Aug. 2020 (CEST)

Das merkwürdige A(0|1) ist meines Wissens nach eine Standardnotation (insbesondere in der Schule, siehe z.B. [1],[2]), zudem drückt diese Notation nicht wirklich eine Zuweisung aus, obwohl das in der Praxis keinen Unterschied macht.--Kmhkmh (Diskussion) 21:33, 12. Aug. 2020 (CEST)

Man sollte sich das schnelstens abgewöhnen. Madyno (Diskussion) 09:49, 13. Aug. 2020 (CEST)

Lücke im angegebenen Beweis

Der algebraische Beweis ist (mit einigen einfachen zu ergänzenden Umformungen) nachvollziehbar, der geometrische aber nicht:

Die (für die folgenden Beweisschritte notwendige) Aussage, dass die Seite S2C des Dreiecks S2CD die Länge x1 haben soll, ist nirgendwo bewiesen. Insbesondere folgt dies in keiner Weise aus der angegebenen Ähnlichkeit der Dreiecke. Diese Aussage könnte daraus gefolgert werden, dass die Parallele zur y-Achse durch M (= die im folgenden Bild g genannte Gerade) Symmetrieachse der Figur ist; der Gedanke wäre aber auszuformulieren.

Weiter ist die Betrachtung des Trapezes befremdlich, denn dieser Schritt ist weder erforderlich noch hinreichend für die (im Beweistext hieran angeschlossene) Aussage, dass AD der Durchmesser des Carlyle-Kreises ist; letzteres folgt vielmehr aus der weiter oben angegebenen Definition des Carlyle-Kreises. Die Punkte B und C lassen sich auch ohne Trapez betrachten.

--Psychironiker (Diskussion) 14:30, 26. Feb. 2023 (CET)

Ich erweiterte den Beweisgang entsprechend. Schön wäre, wenn nun noch jemand die Zeichnung so verändert, dass die Mittelparallele und auch der Punkt H darauf zu sehen sind; das Wort "Trapez" in der Bildunterschrift ist überflüssig; hierzu fehlen mir die Mittel.

--Psychironiker (Diskussion) 17:07, 26. Feb. 2023 (CET)

Ich mache das wieder rückgängig. Das Trapez wird im angegeben Beleg verwendet und zudem ist seine explizite Erwähnung wegen des historischen Bezugs sinnvoll (siehe Abschnitt Geschichte)

Dein obiges Argument kann ich im Moment nicht nachvollziehen, der Zusammenhang zwischen Dreiecksseiten und Nullstellen des Carlyle-Kreises ergibt aus der Definition der Dreiecke, d. h. die entsprechenden Dreieckseiten sind über die Nullstelle definiert, insofern gibt es da nichts zu beweisen.

Ein weiteres Problem ist auch, dass mit einer alternativen Beweisführung, das Ganze nun weder zu Beleg noch Grafik passt. --Kmhkmh (Diskussion) 18:49, 26. Feb. 2023 (CET)

Kürzer: Woraus genau soll denn folgen, dass die Länge der Dreiecksseite S2C ausgerechnet x1 ist? Mit dieser Aussage wird (weiter)argumentiert, sie ist aber nicht bewiesen. (Aus den angegebenen Definition folgt nur, dass x1 die Länge der Strecke BS1 ist.)

Ich finde die Beweisführung an sich recht elegant und schwinge mich zu keiner Alternative auf, nur hat sie eine unübersehbare Lücke (die ich zu schließen versuchte). --Psychironiker (Diskussion) 22:41, 26. Feb. 2023 (CET)

OK jetzt habe ich verstanden, wo das Problem lag. Das folgt natürlich aus dem Symmetrieeigenschaften des Kreises, was ohne eine detalliertere Erklärung für eine formale Herleitung wohl zu vage ist. Kaenders hat dazu weiter nichts geschrieben und ich weiß nicht mehr, ob ich mir damals selbst einen formalen Weg überlegt oder es Kaenders einfach abgekauft hatte ohne Symmetrienutzung explizit zu formulieren. Ich habe deine Ergänzung dementsprechend jetzt erst einmal wieder eingesetzt und die Grafik angepasst. --Kmhkmh (Diskussion) 01:31, 27. Feb. 2023 (CET)

Dankesehr. - Weitere Bearbeitung: In meine eigene Veränderung fügte ich die geläufige Bezeichnung für die Länge von Strecken ein, das macht das z.B. schülerfreundlicher. Auch sind einige Bezeichnungen in den vorgefundenen insgesamt Text eingefügt, kleine Fehler (Wortwiederholung, fehlende Wörter oder Endungen) beseitigt. --Psychironiker (Diskussion) 10:46, 1. Mär. 2023 (CET)

Geschichte: Carlyles Lösung von Leslies Problem

Die Aufgabenstellung vermittelt m. E., dass das vorgegebene Rechteck frei wählbar ist. Dem ist leider nicht so. Das vorgegebene Rechteck bestimmt den Radius |MD| des Carlyle-Kreises. Wählt man unwissend ein Rechteck bei dem sich ein Radius |MD| kleiner als der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt M des Carlyle-Kreises zur gegebenen Strecke BC ergibt, führt dies zu keiner Lösung.

Die Beispielkonstruktion in GeoGebra zeigt dies, wenn man den Punkte D oder E des vorgegebenen Rechtecks verändert.

Meiner Meinung nach könnte ein entsprechender Hinweis in der Beschreibung eine Fehlinterpretation vermeiden. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 12:36, 27. Feb. 2023 (CET)

Ich habe jetzt etwas dazu ergänzt. Das Carlyles Idee in bestimmten Konfigurationen keine Lösung liefert, liegt daran das in diesen Fällen prinzipiell keine Lösung existiert, d. h. eine vorgebene Strecke kann man nicht intern so teilen, dass man ein Rechteck beliebiger Fläche erhält, sondern die Fläche darf höchstens die quadrierte halbierte Streckenlänge betragen. Oder wenn man das Rechteck bzw. dessen Fläche vorgibt, ergibt sich eine entspreche Mindestlänge für die zu teilende Strecke.--Kmhkmh (Diskussion) 17:56, 27. Feb. 2023 (CET)

Danke für die gut nachvollziehbare Erklärung.--Petrus3743 (Diskussion) 23:50, 27. Feb. 2023 (CET)

Zur Bestimmung komplexer Lösungen

Ich habe die Aussagen zum Tangentenabschnitt SR und zum Hilfskreis um T getrennt (und den Text entsprechend umgestaltet), weil die entsprechenden Konstruktionen voneinander unabhängig sind; insbesondere wird zur Ermittlung von b über den Tangentenabschnitt der Hilfskreis überhaupt nicht benötigt. Entsprechend ist die (einfacher formulierbare) Überlegung zum Tangentenabschnitt vorangestellt.

Diese Veränderung ist ein Abfallprodukt des angefügten Beweises, der bis auf erforderliche Grundkenntnisse über komplexe Zahlen möglichst kurz, elementar und mittelstufentauglich gestaltet ist. Allerdings ist er „Marke Eigenbau“; wenn er daher trotz der einfachen Struktur besser ins Beweisarchiv passt, kann ich ihn auch dort unterbringen.

Wenn der Beweis bleibt, könnte vielleicht der Berührpunkt P der Kreise noch in die Zeichnung eingefügt werden. --Psychironiker (Diskussion) 11:23, 1. Mär. 2023 (CET)

Umgestaltung der zweiten Hälfte des Abschnitts "Polygonkonstruktionen"

(1) Zum vorgefundenen Text:

(1.1) Die Wahl des Parameters „i“ in der Darstellung der Einheitswurzel verwirrt etwas, da das Zeichen gewöhnlich die imaginäre Einheit bezeichnet (und „exp“ für die Exponentialfunktion mit komplexem Exponent manchmal, aber nicht immer den Faktor i des Arguments schon inkludiert).

(1.2) Das Argument „Mittelsenkrechte“ zur Identifikation der konstruierten Punkte mit den gesuchten Einheitswurzeln zeigt nicht, dass die konstruierten Punkte konjugiert komplex sind (das ist nicht für alle Zahlen auf einer Mittelsenkrechten der Fall). Die neu in den Text eingeführte Betrachtung der Raute bietet hinreichende Bedingungen hierfür.

(2) Der Absatz wird sicher nicht schlechter lesbar, wenn die Herleitung etwas ausführlicher gestaltet wird. --Psychironiker (Diskussion) 15:27, 5. Mär. 2023 (CET)

Der Parameter „i“ war in der Darstellung offensichtlicher Unsinn, bin ehrlich gesagt erstaunt, dass dies (mir) nicht schon vorher aufgefallen ist. Die Mittelsenkrechte (oder genauer die Mittelsenkrechtenkonstruktion durch gegebenen Kreise, nicht die Mittelsenkrechte als gebene unendliche Gerade) reicht aber schon aus, denn die Kreise sind ja symmetrisch zur x-Achse. Die Konstruktion der Mittelsenkrechten entspricht ohnehin der Rautenkonstruktion nur dass man die Seiten nicht einzeichnet.--Kmhkmh (Diskussion) 19:12, 5. Mär. 2023 (CET)

Erweiterung des Abschnitts "Geschichte"

Um den Text für „niedere Weihen“ ( = nichtprofessionelle Mathematiker) wie mich selbst zugänglicher zu machen, führte ich eine Verbindung zwischen Leslie und Carlyle mit den Mitteln der Schulmathematik ein. Sie ist dem Textteil zu Lill nicht deswegen vorangestellt, weil ich sie für wichtiger hielte, sondern weil sie geeignet ist, die Darstellung von Lill vorzubereiten (nicht aber umgekehrt).

Im vorgefundenen Text ist lediglich das Wort „Strecke“ ergänzt und zur Steigerung des Aha-Effektes das Wort „ebenfalls“ eingefügt, die Schreibweise der Streckenlänge ist der im restlichen Text des Artikels (und laut Wikipedia insgesamt häufiger) verwendeten angeglichen. --Psychironiker (Diskussion) 13:14, 8. Mär. 2023 (CET)

Eigentlich war/ist das jetzt eine Doppelung bzw. genau deswegen wurde ursprünglich auf das Trapez bereits im Abschnitt Definition und Eigenschaften hingewiesen.--Kmhkmh (Diskussion) 14:32, 8. Mär. 2023 (CET)

(1) Da nun auch eine Rechnung zur Erläuterung von $r\geq m$ angegeben ist, ist die Überlegung zur Diskriminante in keiner Weise „algebraischer“ als eine andere. Ich kürzte (meinen) Text entsprechend.

(2) Der neu eingefügte Textteil führt ausschließlich von Leslie zum weiter oben dargestellten Carlyle-Kreis (siehe Einleitungssatz des Textteils). Der Weg von Lill über Miller zum Carlyle-Kreis ist ein ganz anderer; aus der (französischsprachigen) Originalquelle zu Lill, die im Wikipedia-Artikel zu Lills Methode zitiert ist („Résolution graphique des équations numériques de tous les degrés à une seule inconnue, (...)“) geht auch nicht hervor, dass Lill von Leslie ausgegangen wäre. Das erscheint auch insoweit unwahrscheinlich, als in der angegebenen Darstellung von Leslie gerade keine Gleichung betrachtet wird.

Der ältere Textteil behält also seinen Wert als von der Einfügung unabhängige Information (deswegen Einfügung des Wortes „ebenfalls“, siehe oben.) --Psychironiker (Diskussion) 13:07, 12. Mär. 2023 (CET)

Leslie und Lill haben nichts miteinander zu tun und sind unabhängig voneinander von unterschiedlichen Problemstellungen ausgehend bei einen ähnlichen Fall gelandet. Die Bezeichnung Lill-Kreis existiert meines Wissens nach auch nur im deutschsprachigen Raum, im englischsprachigen Raum wird ausschließlich Carlyle circle verwendet (abgesehen von namenslosen Verwendungen die es auch gibt)

Was die explizite aus der geometrischen Aufgabenstellung konstruiertew quadratische Funkrion betrifft, ist es vermutlich sinnvoller darauf hinzuweisen, dass es sich um eine nach unten geöffenete Parabel handelt anstatt die Diskriminate zu betrachten. Denn damit hat man sofort, dass zu einer gegebenen Strecke eine maximal erreichbare Fläche existiert und man diese durch Halbierung der Strecke erhält. Also Existenzbedingung aus sicht einer gegeben Strecke (anstatt aus Sicht einer gegeben Fläche formuliert).--Kmhkmh (Diskussion) 17:50, 12. Mär. 2023 (CET)