Diskussion:Gefangenenparadoxon

Unverständliche Formulierungen

Ich habe den Artikel ausführlich gelesen und habe keine blassen Schimmer, worum es eigentlich gehen soll. Ich empfinde auch nichts als paradox und bin mir nicht sicher, worauf sich die Wahrscheinlichkeiten beziehen sollen. Da Wahrscheinlichkeit nicht nur eine Frage der Informationen sondern auch zu jedem Zeitpunkt abhängig vom Blickwinkel ist, muß dieser immer mit angegeben werden. Ich kann mir zwar denken, worum es gehen soll, aber der Artikel an sich scheint mir eine ganz schwache Aufbereitung eines ganz anderen Problems zu sein: die Täuschbarkeit des subjektiven Erlebens von Wahrscheinlichkeit. (nicht signierter Beitrag von Wick (Diskussion | Beiträge) 12:05, 8. Mai 2009 (CEST))

Ungenaue Herleitung der Lösung

Hallo, ich habe gerade versucht, die beschriebene Lösung zu verstehen. Dabei ist mir folgendes aufgefallen: Es soll für k != l gelten P(G = k | L = l) = 1/2 Später wird jedoch für P(G = B | L = C) mit 1 ersetzt. Dies erschien mir erst einmal sehr widersprüchlich. Auf der englischen Seite dieses Artikels werden mehr Fälle außer k == l und k != l betrachtet. Dort findet sich auch ein Fall für den diese Wahrscheinlichkeit 1 ist. Ich bin mit der Materie jedoch nicht vertraut genug, um diese korrekt zu verbessern, vermute ich.

Trotzdem wollte ich dies mal anmerken. Alex, 06.01.09

Die Lösung

Wie ist sie denn nun? Einmal heißt es 1/2 und zweimal 1/3. Ich tippe auf 1/3.

• "Wie hoch ist nun Antons Überlebenswahrscheinlichkeit? Die Lösung ist: 1/2"
• "Die Überlebenswahrscheinlichkeit für Anton ist also nach der Bayesformel: P(L = A | G = B) = P(L = A)P(G = B | L = A) / (L = A)P(G = B | L = A) + P(L = B)P(G = B | L = B) + P(L = C)P(G = B | L = C)) = 1 / 3 * 1 / 2 / (1 / 3 * 1 / 2 + 0 + 1 / 3 * 1) = 1 / 3."
• "Das Paradoxe an dieser Rechnung ist, seine Überlebenschance noch immer 1/3 ist,"

--AchimP 13:06, 8. Apr 2006 (CEST)

Das hat schon ein anderer klarer gestellt, und ich hab mal soviel TeX gelernt, wie nötig war, um den Krempulus zu setzen. Die anschauliche Auflösung wäre eventuell für den Fall von vier Gefangenen klarer, aber das mag täuschen: mir gefällt es so besser. --Richardigel 15:06, 11. Apr 2006 (CEST)

Wer hat wo klarer gestellt, was denn nun die richtige Lösung ist? Was meinst Du? Die Lösung ist sowohl 1/2 als auch 1/3? Wohl kaum. --AchimP 16:33, 11. Apr 2006 (CEST)

Ich meinte: den Fehler hat schon ein anderer im Artikel beseitigt (hatte ihn nämlich auf Anhieb nicht gesehen). Das war aber falsch, du hattest damit recht, er enthielt einen Fehler. Die richtige[tm] Lösung heißt 1/3. --Richardigel 15:40, 13. Apr 2006 (CEST)

--sach 00:14, 15. Apr 2006 (CEST)
Die Lösung 1/3 ist falsch. Die Information des Wärters, dass B sterben muss, schließt nur den Fall aus, dass B begnadigt wird. Es bleiben die Fälle (A stirbt, B stirbt, C begnadigt) und (A begnadigt, B stirbt, C stirbt) übrig. Beide gleich wahrscheinlich.

Bei der Anwendung der Bayesformel wurde folgender Wahrscheinlichkeitsbaum angenommen:

1.1. A begnadigt, Wärter nennt B (w=1/6)
1.2. A begnadigt, Wärter nennt C (w=1/6)
2. A stirbt, B begnadigt, Wärter nennt C (w=1/3)
3. A stirbt, Wärter nennt B, C begnadigt (w=1/3)

Nun wurde die Information "Wärter nennt B" logisch falsch interpretiert, nämlich, dass man nur noch die Äste 1.1. und 3. zur Verfügung hat. (Dann wäre in der Tat die Chance für A begnadigt 1/6:1/3=1/3) Der Fehler liegt aber in der logischen Interpretation der Ausssage: "Wärter nennt B". Diese Aussage schließt nur den Ast 2., sie schließt nicht 1.2 aus!

Damit ist die Chance für A begnadigt = (1/6+1/6):1/3=1/2

-)

Leider kann man die Bayesformel nicht direkt aus einem Baum ablesen. Ich verstehe auch deine Gleichung (1/6+1/6):1/3 = 1/2 nicht, wo soll das herkommen? Auf der Hauptseite des Artikels steht ein streng formaler Beweis, es sollte mich wundern, wäre er falsch. --84.184.249.33 10:54, 17. Apr 2006 (CEST)

Ich glaube, er ist falsch: P(L = A | G = B) = P(L = A)P(G = B | L = A) / (L = A)P(G = B | L = A) + P(L = B)P(G = B | L = B) + P(L = C)P(G = B | L = C)) = 1 / 3 * 1 / 2 / (1 / 3 * 1 / 2 + 0 + 1 / 3 * 1) = 1 / 3." - wieso ist P(G = B | L = C) = 1 gesetzt worden? Nach der Voraussetzung P(G = k | L = l) = 1 / 2 für k≠l müsste auch P(G = B | L = C) = 1 / 2 sein (da B≠C!) und somit P(L = A | G = B) = 1 / 2!--Vanda1 11:11, 14. Dez. 2006 (CET)

Hmm, Abschnitt "Als Teil der Aussage gilt:" ist offenbar falsch. P(G = B | L = C) = 1, denn: falls Clemens überlebt und Anton stirbt, so muss der Wärter notwendig Berta als weiteren Überlebenden nennen, darum die eins. Ich formuliere es heute abend einmal verständlich. igel+- 11:25, 14. Dez. 2006 (CET)

Nein, es gilt natürlich P(G = B | L = C) = 1 und P(G = B | L = A) = 0, falls Clemens überlebt und Anton stirbt, und P(G = B | L = C) = 0 und P(G = B | L = A) = 1, falls Clemens stirbt und Anton überlebt. Da mann das aber nicht weiß, ist die gemachte Annahme korrekt: P(G = B | L = l) = 1 / 2 für l≠B.--Vanda1 13:51, 14. Dez. 2006 (CET)

Man weiß es, denn der Wärter hat ja Anton genannt. Darum ist auch P(L=A) = 0. igel+- 14:14, 14. Dez. 2006 (CET)

P(L=A) = 0???? Dann ist der Zähler 0 und die Wahrscheinlichkeit für den armen Anton zu überleben ebenfalls null! Außerdem hat der Wächter B (Berta=Brigitte) genannt...--Vanda1 14:23, 14. Dez. 2006 (CET)

Ahh, mit Anton meine ich natürlich Brigitte, nur um Missverständnisse zu vermeiden. Bin gerade nicht recht bei der Sache - aber du ahnst ja, worauf die Sache hinausläuft. Man muss diesen Voraussetzungssatz töten, mit dem ich mir den Verweis auf Laplace und seine Prinzipien sparen wollte. Man muss es aber doch erwähnen. igel+- 14:30, 14. Dez. 2006 (CET)

Mal ganz anschaulich: Das ist doch einfach bedingte Wahrscheinlichkeit. Unter dem Wissen, was B hingerichtet wird, bleiben für die Begnadigung noch 2 Personen über. Macht 50%. Anderst wäre es, wenn zwar schon gelost wurde, A aber nicht weiß, dass B hingerichtet werden wird. Dann kann er immer noch nur sagen, dass 1 von 3 Personen (p=1/3) genadigt wird. Da aber die Aufgabenstellung klar vorgibt, dass zeitlich erst der Wärter befragt wird und anschließend (mit diesen Wissen) die Wahrscheinlichkeit für das Überleben von A berechnet werden soll, ist p=0.5 Acid47 14:22, 1. Mai 2006 (CEST)

Du irrst. Aber wenn Du Dich so gut mit bedingter Wahrscheinlichkeit auskennst, dann kannst Du doch sicher den Fehler in der Bayesformel aufzeigen. "Anschaulich" finde ich neben der Bayesformel folgendes: Die Tatsache, dass der Wärter B nennt, gewährt A keinerlei neue relevante Erkenntnisse. Es zeigt ihm nur, dass es unter seinen beiden Mitgefangenen mindestens einen gibt, der nicht begnadigt wird. Das wusste er aber bei drei Kanditaten und einer Begnadigung schon vorher. Also gelten die Wahrscheinlichkeiten wie vor der Nennung. --AchimP 14:50, 1. Mai 2006 (CEST)

In der Tat muss ich meine Meinung revidieren. Das [[1]] ist im Prinzip sehr ähnlich und das hat mich zur Anderung meiner Meinung bewogen. Acid47 15:10, 1. Mai 2006 (CEST)

---Das steht doch unten beschrieben. Ursprüngliche Aufgabe: es bleibt bei 1/3! Bei Änderung der Aufgabenstellung würde sich die Wahrscheinlichkeit auf 1/2 verändern!---

Kommentare fügt man unten an. Im Text war zuvor ein Tippfehler, siehe die drei zitierten Stellen. --AchimP 18:18, 2. Mai 2006 (CEST)

Ich habe den Text der Lösung ersetzt, da die Antwort des Wärters durchaus neue Informationen liefert. Ausserdem habe ich auf das Ziegenproblem verwiesen. Dort ist ja auch die Mehr-Als-Drei-Personen-Variante besprochen. Bitte entschuldigt, dass ich nicht vorher die Diskussion fortgesetzt habe. @Acid47: Deine Anschaulichkeit dreht dir einen Strick. Deine Aussage ist zwar richtig, aber nicht die Antwort. Natürlich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gewinner unter der Menge der Gefangenen ausser dem Genannten befindet, zwei Drittel, wovon eine Hälfte auf jedes Element entfällt. Man möchte aber wissen, wie sich auswirkt, dass auch der Wärter hat wählen müssen. --FriedrichR 14:22, 8. Jun 2006 (CEST)

Weitere Ungenauigkeit

Meines Erachtens hat sich eine weitere Ungenauigkeit eingeschlichen. Nach dem Wortlaut ist es so, dass EIN Los gezogen wird, aus dem sich auf irgendeine Art das Ergebnis ablesen lässt (z.B. Name des Glückspilzes). Bei dieser Variante stellt sich jedoch folgende Frage: Für jeden ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Name auf dem Los steht genau gleich (1/3). Wenn jetzt einer wegfällt (aufgrund der Information), ändert sich das Verhältnis der übrigen nichts...man hat lediglich die Info, dass es der Genannte nicht ist. Sonst würde sich die Überlebenswahrscheinlichkeit danach richten, welcher der beiden anderen gefragt hätte. Nur weil Gefangener 1 weiß, dass Gef.3 nicht auf dem Los steht, heißt das nicht, dass "dessen Wahrscheinlichkeitsanteil" lediglich auf Gef. 2 fällt. Vielmehr verteilt sich diese auf die beiden anderen gleichmäßig.

Folgt man aber der Variante, dass JEDER ein Los zieht (und das noch möglichst gleichzeitig), dann ist man für den einzelnen wieder beim Ziegenproblem mit der Abwandlung, dass er sein Los nicht wechseln kann und daher das "Verbleiben auf dem Tor" vorprogrammiert ist. Somit erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 1/3.

Habe ich einen Denkfehler?

Ja! Wie bei so vielen Diskussionen zum Thema Stochastik kann ich dem unsignierten Einwurf überhaupt nicht folgen. Die genannte Lösung besteht aus zwei Schritten: Der Überführung in Zufallsvariablen und anschließend der Rechnung mit ihnen. Welcher Teil passt dir nicht? igel+- 01:13, 7. Okt 2006 (CEST)

Etwas fehlt...

Ist klar, dass der Wärter im Falle von Antons Überleben mit gleicher Wahrscheinlichkeit Brigitte oder Clemens benennt? --Scherben 17:52, 9. Okt. 2006 (CEST)

Öhh, falls nicht, kann man nicht mehr gescheit rechnen, man könnte dann mit dem Laplace'schen Grundsatz rechnen, oder aber naserümpfend verkünden, es gäbe keine Lösung. So scheint mir die Aufgabe nicht gemeint zu sein. Wie auch immer, du weißt so viel wie ich, denn der Originaltext der Aufgabe wird zitiert. igel+- 19:22, 16. Okt. 2006 (CEST)

Zum Abschnitt: Korrektur der obigen Überlegungen

„Nachdem also Anton die Antwort des Wärters bekommen hat, besucht der Wärter Clemens. Clemens fragt den Wärter was dieser bei Anton gemacht habe. Der Wärter erzählt ihm die Geschichte. Worauf nun Clemens antwortet: Gott sei Dank habe ich nicht zuerst gefragt!“ Mit anderen Worten: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit tatsächlich, dass Anton begnadigt wurde? Nun, die beschriebene Geschichte lässt sich in der Frage formulieren: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Anton begnadigt wurde unter der Bedingung, dass Brigitte nicht begnadigt wurde?"

Meiner Meinung nach ist die Umformulierung falsch. Sie müsste lauten:

"Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Anton begnadigt wurde unter den Bedingungen, dass Brigitte nicht begnadigt wurde und dass Anton gefragt hat?" Das Paradoxe an der Geschichte ist, dass es zwei verschiedene Arten der Wahrscheinlichkeit gibt: 1. Wer gehängt wird und wer nicht, steht vorher fest. Nur das Wissen darüber steht nicht fest. Die Lösung ist analog zum Ziegenproblem, nur dass man keine Wahl hat. Wenn nicht berücksichtigt wird, wer fragt, dann scheidet auch der entsprechende Strang an Wahrscheinlichkeiten aus. --Hutschi 11:03, 6. Nov. 2006 (CET)

Ist der Artikel nicht überflüssig?

Die Problemstellung wird bereits im Ziegenproblem ausführlichst diskutiert. Dort sind die Wahrscheinlichkeitsberechnungen auch und gerade deswegen relevant, weil der Kandidat aufgrund dieser Berechnungen sein Wahl ändern bzw. eine Strategie zur Gewinnoptimierung finden kann. Hier dagegen hat keiner der "Spieler" irgendeine Wahl und die Rechnung ist eigentlich für die Katz. Deswegen halte ich den Artikel Gefangenenparadoxon für überflüssig. Er bringt auch absolut nichts Neues und Interessantes bzgl. der Bayesformel. Wie wäre es mit Löschen? --89.51.63.240 17:29, 6. Dez. 2006 (CET)

Ich sehe hier schon einen wesentlichen Unterschied - und außerdem ist die Diskussion über das Gefangenenparadoxon beim Ziegenproblem nicht beendet worden (Gunther ist für 1 / 2, MichaelP für 2 / 3), gehört dort auch nicht hin. Nach meinem obigen Einwand wäre hier die Lösung auch 1 / 2, deshalb doch ein anderes Problem, eben weil, wie du richtig sagst, die Randbedingungen anders sind (die Gefangenen haben keine Wahl, brauchen/können deshalb auch keine unterschiedlichen Strategien anwenden). Also, Artikel drinlassen und korrigieren.--Vanda1 11:22, 14. Dez. 2006 (CET)

Ich habe mal auf der englischen Seite (Three Prisoner Problem) nachgeschaut: Hier steht noch die Ergänzung "if A could switch fates with C now", also wenn A nach der Antwort des Wächters noch wählen kann, ob er sein Schicksal mit C tauschen will oder nicht - dann ist das Problem identisch mit dem Ziegenproblem!--Vanda1 14:30, 14. Dez. 2006 (CET)

Zusatz zu den Überlegungen

Also, jemand der sich damit auskennt: Was ist, wenn zwei Wächter wüssten, wer begnadigt wird und der eine wird dann von Anton und der andere von Clemes (aber beide unabhängig) befragt? Ehrlich gesagt ich habe irgendwie ein Problem damit, dass die Wahrscheinlichkeit, wer stirbt davon abhängen soll, wer zuerst fragt, das erscheint mir wirklich paradox und ich finde es auch nicht hilfreich, wenn einem dann Formeln um die Ohren geknallt werden (auch wenn ich prinzipiell formale Ansätze bevorzuge). Also wenn jemand da eine anschauliche Erklärung hinzufügen würde, wäre das Prima, wie gesagt, ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass das richtig sein soll ^^ --Axel Wagner 00:20, 14. Jul. 2007 (CEST)

Interessante Frage. Die Wahrscheinlichkeit, wer stirbt, hängt nicht davon ab, wer zuerst fragt. Es betrifft die Interpretation von Wahrscheinlichkeit. Bevor die Zipiere antworten steht fest wer begnadigt worden ist. In der gegeben Situation steht nach den Antworten der Zipiere alles fest. Wahrscheinlichkeit interpretiert man in solche Fälle als relative Häufigkeit bei Wiederholungen. Wiederholt man dieses "Experiment", dann ist jeder in 1 von 3 Fällen begnadigt. Betrachtet man bur die Wiederholungen in denen 'B' die Antwort an A ist, dann ist auch in diesen Fällen A in 1 von 3 begnadigt. Aber unter den Fällen gibt es auch welche worin C die Antwort 'B' bekommen hatund nicht 'A', wie in der Ausgangssituation. Betrachtet man die Wiederholungen in denen sowohl 'B' die Antwort an A ist, als 'A' die Antwort an C, dann sind das wieder weiter eingeschränkte Fälle. Und in diesen Fällen ist C begnadigt worden. Nijdam 16:59, 26. Feb. 2009 (CET)

Ich glaube die Frage ist ganz einfach zu beantworten: Anton befragt Wärter A, Clemens Wärter C unabhängig. Wenn Anton nun mit seinem Wissensstand die Überlebenswahrscheinlichkeiten errechnet, so wird er auf 1/3 für sich und 2/3 für Clemens kommen. Clemens mit seinem Wissensstand auf 1/3 für sich und 2/3 für Anton. Die beiden wissen ja verschiedene Dinge und kommen daher auf verschiedene Ergebnisse. Gesetzt den Fall, Anton und Clemens sprechen sich nun nach der Befragung der Wärter und teilen sich gegenseitig ihren Wissensstand mit, so gelangen sie zu dem gleichen Ergebnis wie der Allwissende Beobachter (wir), nämlich daß beide die Wahrscheinlichkeit von 50% haben, zu überleben. Man bemerke: Die beiden befinden sich -- nachdem sie miteinander ihr Wissen ausgetauscht haben -- nicht mehr in der Situation des Gefangenenparadox, da ja nun über mehr Information verfügen. --Sulai

Der allwissende Beobachter weiß soviel wie die Wächter, also wer vorgesehen ist. Für ihn ist die Wahrscheinlichkeit 1,0,0 - wobei 1 für den zu exekutierenden steht. Wenn allwissend ist, kann er sogar wissen, wer tatsächlich hingerichtet wird. Der allwissende Beobachter hilft also kaum. --Hutschi 22:12, 26. Feb. 2009 (CET)

Du hast recht. Ich hoffe du bist damit einverstanden, daß ich meine obige Aussage korrigiere :) --Sulai 08:48, 27. Feb. 2009 (CET)

Formulierungsfehler

Das einzige Problem im Artikel ist m.E. die Formulierung im Absatz "Paradox": Die Überlebenschance von Clemens und Anton ist nach der Information des Wärters 1/2, die Überlebenswahrscheinlichkeit ist nach der Anwendung der Formel bei Anton immer noch 1/3, bei Clemens aber 2/3. Das ist doch, was hier eigentlich gezeigt werden sollte, daß die Formel bei der Anwendung auf dieses reale Problem ein Paradox erzeugt. Das wird aus dem Artikel aber nicht klar, so wie er jetzt formuliert ist. Warum werden hier Chance und Wahrscheinlichkeit synonym verwendet?--Sedmikrasky 09:52, 17. Jul. 2007 (CEST)

darüber bin ich auch gestolpert. ob x überlebt oder nicht ändert sich nicht mehr, wer stirbt und wer nicht ist ja schon entschieden. nur die gefangenen wurden noch nicht informiert. Elvis untot 14:52, 26. Aug. 2008 (CEST)

Ein solches Paradoxon entsteht nur durch Formulierungsfehler. Ohne Formulierungsfehler und Mehrdeutigkeiten der Formulierung entstehen nicht zwei Möglichkeiten. Die Auflösung des Paradoxons besteht darin, die Fehler zu zeigen. (Es gibt natürlich auch andere Arten von Paradoxien.) Zum Beispiel wird hier nicht gesagt, ob der Wärter antworten muss und ob der Wärter auch den Fragenden nennen darf. Es gibt noch weitere Ungenauigkeiten. Eine davon ist, dass man die Wahrscheinlichkeit, die sich durch Unwissen ergibt, mit dem tatsächlichen Fall verwechselt.--Hutschi 17:36, 26. Feb. 2009 (CET)

Verwendung der Bayes-Formel hier zweifelhaft

Es gibt mehrere Gründe zu der Vermutung, dass die komplette Rechnung mit bedingter Wahrscheinlichkeit hier fehl am Platz ist.

1. Der Wärter kann lügen

2. Der Wärter kann die Frage von Anton falsch verstehen und ihm unabsichtlich fälschlicherweise die Person nennen, die begnadigt wurde (psychologische Fehlleistung).

3. Durch Einführung einer neuen Zufallsvariablen G hätten wir es nun mit zwei verknüpften verschiedenen Zufallsexperimenten zu tun. Die Bayes-Formel gilt aber m.E. nur im Fall eines Zufallsexperiments mit einer Zufallsvariablen.

4. Außerdem kann G m.E. keine Zufallsvariable sein, weil die Nennung eines Namens durch den Wärter keinem Zufallsexperiment entspricht. Ein Zufallsexperiment muss nach bestimmten Vorschriften beliebig oft wiederholbar sein. Der Wärter unterliegt aber keinen im Text genannten Vorschriften. Daraus folgt, dass die angegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten falsch sein können. Selbst wenn sich der Wärter an Antons Instruktion hält und nur den Namen eines Nichtbegnadigten nennt, kann diese Namensnennung durch den Wärter nur dann zufällig geschehen, wenn sowohl Brigitte als auch Clemens nicht begnadigt wurden. Im Fall, dass Clemens begnadigt wird, ist die Nennung von "Brigitte" aus Sicht des Wärtes nicht zufällig. Das widerspricht der Eigenschaft eines Zufallsexperiments, dass dessen Ergebnis bei (aus Sicht von Anton) mehreren Möglichkeiten vorher nicht feststehen darf.

Eine Auflösung des scheinbaren Paradoxons müsste also auf anderer (mathematischer) Grundlage gefunden werden. --89.50.32.2 12:23, 21. Jun. 2009 (CEST)

Nein, die hier angebene Lösung ist korrekt und auch so in der Fachliteratur zu finden (siehe Ergänzung im Artikel). Die Standardbeschreibung des Problems kommt ohne den Begriff der Zufallsvariablen aus und verwendet nur Ereignisse. Die anderen angesprochenen Probleme sind nicht falsch, stellen aber nicht das eigentliche Gefangenparadoxon dar, sondern Variationen des Problems.--Kmhkmh 03:09, 6. Sep. 2010 (CEST)

alternative Lösung mit dem Bayestheorem

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gefangenenparadoxon&action=historysubmit&diff=78283383&oldid=77334770 Leider ohne Quellen. Daher vorerst revertiert. Wenn richtig und belegbar oder von vertrauenswürdigem Benutzer bestätigt, dann bitte in den Artikel damit. Viele Grüße --Saibo (Δ) 04:17, 4. Sep. 2010 (CEST)

Ich habe den Abschnitt um eine Quelle ergänzt, die aufgrund der Verwandtschaft mit dem Ziegenproblem hier ebenfalls ihre Relevanz entfalten kann. --149.225.130.20 19:04, 7. Sep. 2010 (CEST)

Dankeschön. Viele Grüße --Saibo (Δ) 19:23, 7. Sep. 2010 (CEST)

Das ist zwar mathematisch korrekt, aber leider aus anderen Gründen so nicht ausreichend bzw. nicht zielführend (siehe im nächsten abschnitt)--Kmhkmh 20:04, 7. Sep. 2010 (CEST)

Generalüberholung

Der Artikel sollte general überholt werden, insbesondere ist auch die neue Ergänzung zwar mathematisch richtig, aber in dieser Form nicht angebracht, dazu folgende Punkte:

• Das Originalproblem von Gardner gibt explizit an, das der wärter per Münzwurf entscheidet, wenn er die Auswahl zwischen 2 Namen hat. Damit wird die aktuelle Ergänzung falsch und auch die aktuelle Problemstellung muss angepasst werden. Quelle hierfür ist neben der Originalpublikation von Gardner auch das Buch von Rosenhouse.
• Obwohl das Ziegenproblem von einem gewissen Standpunkt aus als äquivalent zum Gefangegenparadox betrachtet, ist es zunächst ein anderes Problem und man sollte deswegen Literatur verwenden die sich direkt auf Gefangenenparadox bezieht anstatt unter Umständen wackelige Analogiebrücken als Belege zu verwenden.
• Richtig ist das spätere Publikationen zum Gefangenenparadox, die bei Gardner explizite Bedingung nur noch implizit beinhalten (wie auch bei der aktuellen Problemformulierung im Lemma). In diesen Fall ist alternative Lösung der IP zwar wieder möglich, allerdings nicht trotzdem zweckmäßig, da sie nur einer von unendlich vielen Alternativlösungen ist. So erweckt man jedoch zumindest bei flüchtigen Lesern den Eindruck es gäbe 2 Lösungvarianten (1/3 und 1/2) anstatt unendlich vielen. Wenn man also schon eine Alternative zur Standardlösung anbieten möchte, so sollte man dann die komplette Verallgemeinerung (1/(1+p)) erläutern, anstatt nur eine ihrer Spezialfälle anzugeben. In der momentan zitierten Quelle (Rosenthal) ist das für das Ziegenproblem unter dem Stichwort Monty Small Problem zu finden. Besser noch, man findet dies auch direkt bezogenen auf das Gefangenenparadox bei Isaac.

--Kmhkmh 20:04, 7. Sep. 2010 (CEST)

Paradox wo? ( Passierschein A 38 )

Zitat:

Das Paradoxe an dem Ergebnis ist, dass Antons Überlebenschance noch immer 1/3 ist, obwohl jetzt nur noch er und Clemens zur Debatte stehen. Die Überlebenswahrscheinlichkeit von Clemens ist jedoch auf 2/3 gestiegen.

Gegeben:

Das Stellen der Frage steht in direktem Zusammenhang mit der Warscheinlichkeit begnadigt zu werden.

=> Das stellen der Frage verschlechtert die Überlebenschancen.

Der Leser bekommt den Eindruck Fragen zu stellen würde das "Universum" bestrafen!! ( Manipulatives Theorem, analog dazu auch das Ziegenproblem )

---

Oder ist Anton nur im "Nachteil" weil er chronologisch der erste Name/die erste Variable ist?

Hypothese:

Was passiert wenn Anton die Frage anders formuliert z.b. fragt er nicht danach wer von den anderen beiden Sterben muss, sondern wer von den anderen beiden Überlebt.

Ist dann die Warscheinlichkeit auf 2/3 gestiegen, dass er begnadigt wird?

Ist nicht nur relevant, wer die Frage stellt, sondern auch wie die Frage formuliert ist? ( und vielleicht noch weiter Faktoren, wie Tonfall, Wetter, Gesichtsausdruck) ? (nicht signierter Beitrag von 92.229.19.128 (Diskussion) 08:32, 7. Jul 2011 (CEST))

In der Tat wird hier ein scheinbarer Widerspruch garnicht gezeigt. Hier wird einfach nur die Frage gestellt und eine Antwort präsentiert, die dann richtig sein soll. Die richtige Antwort wird einfach als paradox dargestellt, nur weil es irgendwie komisch sein soll oder was auch immer daran paradox sein soll. Was soll an der Antwort jetzt paradox sein? Es geht doch hier darum zu zeigen, dass der leichtfertige Umgang mit Wahrscheinlichkeiten zu einem Widerspruch führt. Also z.B. wenn Anton etwas leichtfertig die neue Wahrscheinlichkeit auf 50% festgelegt (weil nur noch 2 Möglichkeiten übrigbleiben), dann würde diese leichtferige Vorgehensweise aber auch dazuführen, dass er egal welcher Name genannt wird, die Wahrscheinlichkeit auf 50% steigt. Da die Antwort eh egal ist, hätte er garnicht erst Fragen brauchen und trotzdem steigt die Überlebenswahrscheiblichkeit. Hätten sich vielleicht dann alle drei die gleiche Überlegungen anstellen können und alle wissen, ihre Überlebenschance ist auf 50% gestiegen. Also irgendwie passt das alles nicht. Und dann gehts halt los, wer fragt genau was, was antwortet der Wächter unter welchen Bedingungen und wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dann unter den jeweiligen Vorrausetzungen.--88.128.8.152 19:21, 19. Dez. 2011 (CET)

Ich verstehe auch nciht warum das "Paradox" genannt wird. Ist es nicht sinnvoller es wie in Englisch "Problem" zu nennen, oder hat sich das in der dt. Fachliteratur (blöderweise) schon als "Paradoxon" eingebürgert? --ElTirion (Diskussion) 03:55, 13. Jan. 2013 (CET)

Unwiderlegbare Fakten

Fakt ist, es hängt von den verschiedenen Variablen ab da diese nicht statisch sind, ist auch keine genaue aussage möglich. Als Beispiel: Fall 1: Die Information dass es eine Begnadigung geben wird ist falsch Fall 2: Clemens oder Brigitte erzählen Anton dass es eine Begnadigung geben wird, im Vorfeld ist jedoch bereits Clemens oder Brigitte je nachdem wer die Info zuerst bekommt bekannt dass Anton nicht begnadigt wurde, Clemens oder Brigitte bezwecken dadurch dass Anton den 2. erfährt der nicht begnadigt wurde somit weiss Clemens oder Brigitte dass Sie begnadigt werden. Fall 3: Der Wärter lügt Fall 4: Mimik/ Gestik (Anton kann dies deuten oder deutet es falsch) Fall 5: Anton lügt und sagt nachdem Clemens nicht begnadigt wurde das Brigitte nicht begnadigt wurde Fall 6: einer der 3 bringt die anderen beiden um keiner wird begnadigt und so weiter, da könnt ich noch bis morgen früh spinnen und immer würde es neue wahrscheinlichkeiten geben, diese dürft ihr gerne ausrechnen euch schonmal viel spaß. TS (nicht signierter Beitrag von 195.14.218.60 (Diskussion) 02:18, 31. Aug. 2011 (CEST))

Irgendwas stimmt hier nicht

Ich muss zugeben, dass mir diese Gedankenakrobatik nicht sonderlich leicht fällt, aber ein Fehler scheint mir recht sicher im Artikel zu sein:

• „Am nächsten Morgen teilt er Anton mit, dass Bernd hingerichtet wird.“
• „Das Paradoxe an dem Ergebnis ist, dass Antons Überlebenschance noch immer 1⁄3 ist, da sowohl Anton als auch Clemens oder Bernd begnadigt werden können“

Also wenn Bernd hingerichtet wird, kann er doch nicht begnadigt werden – oder? Gruß, Kronf @ 01:36, 3. Apr. 2012 (CEST)

Hallo; da hatte eine IP am 5.Januar eine Änderung vorgenommen, die ich heute rückgängig gemacht habe... Danke für den Hinweis! Gruß. --Geodel (Diskussion) 23:28, 4. Apr. 2012 (CEST)

Kene Überlebenschance für Anton

Im Artikel steht:

„Dann nenne mir“, sagt Anton, „den Namen eines der anderen, die hingerichtet werden. Wenn Bernd begnadigt wird, nenne mir Clemens; falls Clemens begnadigt wird, nenne mir Bernd. Wenn ich begnadigt werde, dann wirf eine Münze, um zwischen Bernds und Clemens’ Nennung zu entscheiden.“

Mit der Antwort "Bernd" muss nach dem Zitat "falls Clemens begnadigt wird, nenne mir Bernd" Anton hingerichtet werden. Seine Überlebenschance sind bei 0. (nicht signierter Beitrag von 84.170.0.213 (Diskussion) 17:08, 12. Sep. 2012 (CEST))

Ich kann dir nicht folgen. Wieso soll es nicht Bernd sein, der hingerichtet wird? --Kronf @ 21:36, 13. Sep. 2012 (CEST)

Bernd wird natürlich auch hingerichtet, das sagt ja der Wärter. Die Frage ist ja ob Clemens oder Anton hingerichtet werden. Und wenn Clemens genadigt wird, wenn der Wärter sagt das Bernd hingerichet wird -"falls Clemens begnadigt wird, nenne mir Bernd"-, muss Anton (und natürlich Bernd) hingerichtet werden. (nicht signierter Beitrag von 84.170.5.47 (Diskussion) 16:55, 21. Sep. 2012 (CEST))

Entschuldige, war nicht ganz bei der Sache, falsche Gegenfrage meinerseits. Du vergisst aber den letzten Satz: Wenn ich begnadigt werde, dann wirf eine Münze, um zwischen Bernds und Clemens’ Nennung zu entscheiden. Bei der Nennung beider Namen gibt es also jeweils die Möglichkeit, dass Anton begnadigt wird. --Kronf @ 04:57, 22. Sep. 2012 (CEST)

Lösung mit größerer Grundmenge

Die erwaehnte Argumentation ist Fehlerhaft:

Da Anton von vornherein bei der Aufzählung ausgeschlossen war, hat sich an seiner Überlebenschance nichts geändert.

ist zwar richtig, aber das trifft auch zu auf Clemens, auch sein Überlebenschance ist noch immer 1/100. Überlebenschancen aendern sich ueberhaupt nicht. Was gemeint wird ist dass die bedingte Überlebenschance fuer Clemens in dieser Situation 99/100 ist. Aber das kann erst bewiesen werden nachdem bewiesen sei das die bedingte Überlebenschance fuer August 1/100 ist , d.h. genau so gross wie seine anfaengliche Überlebenschance. Nijdam (Diskussion) 09:35, 27. Aug. 2014 (CEST)

Abschnitt "Das Paradoxon"

Der Abschnitt faengt an mit:

Das Paradoxe an dem Ergebnis ist, dass Antons Überlebenschance noch immer ¹⁄₃ ist, obwohl jetzt nur noch er oder Clemens begnadigt werden können.

Das ist leider nich (ganz) korrekt. Man kann nicht sagen: Antons Überlebenschance sei noch immer 1/3. Antons Überlebenschance hat sich geandert von unbedingt in bedingt, mit dergleichen Wert 1/3. Viele Leute haben Schwierigkeiten das zu verstehen. Sowie Clemens' Überlebenschance sich geaendert hat, so hat auch Antons Überlebenschance sich geaendert. Nur nicht im Wert. Nijdam (Diskussion) 23:06, 27. Aug. 2014 (CEST)

Die Problemformulierung ist unnötig kompliziert

Um nur mal einen Aspekt zu nennen: Warum muss der Gouverneur den zu Begnadigenden zufällig auswählen? Für das Problem, um das es hier geht, ist doch völlig unwichtig, warum der Gouverneur einen der drei Gefangenen begnadigt und warum einen bestimmten – vielleicht findet er ihn sympathisch? Eine zufällige Auswahl durch die begnadigende Stelle ist doch nicht Voraussetzung für das Entstehen des Paradoxons. Entscheidend ist, dass der Wärter weiß, welcher Gefangene begnadigt wird, und die Gefangenen (noch) nicht. Motiv und Vorgehensweise bei der Entscheidungsfindung für die Begnadigung sind irrelevant.
Warum wird diese Geschichte so kompliziert erzählt? Soll das absichtlich verwirren?
Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   18:41, 16. Feb. 2015 (CET)

Das soll sicherlich die A-priori-Wahrscheinlichkeit $P(L=A)=P(L=B)=P(L=C)={\tfrac {1}{3}}$ eindeutig festlegen. Ohne die zufällige Auswahl des Gouverneurs müsste sich Anton auf das (unmathematische) Indifferenzprinzip berufen oder könnte sogar versuchen, eine rationale Entscheidung des Gouverneurs zu berücksichtigen. Beim Ziegenproblem entspricht die Wahl des Gouverneurs der Platzierung des Autos hinter einer Tür. -- HilberTraum (d, m) 20:12, 16. Feb. 2015 (CET)

Dieses Argument wäre nur dann stichhaltig, wenn Anton *wüsste*, dass der Gouverneur den Begnadigten zufällig ausgewählt hat. Da er das nicht weiß (weil es ihm nicht gesagt wird und nach allgemeiner Lebenserfahrung auch eher nicht so erwartet werden kann), könnte Anton natürlich trotzdem versucht sein, „eine rationale Entscheidung des Gouverneurs zu berücksichtigen“. Anton bleibt doch auch so nichts anderes übrig, als das Indifferenzprinzip zugrunde zu legen. Dass der Gouverneur zufällig gewählt hat, nutzt Anton nichts, solange er das nicht weiß.
Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   21:59, 16. Feb. 2015 (CET)

Das soll wohl das – zugegeben sprachlich etwas unbeholfene – „Weil der Gouverneur den Namen zufällig aus drei Namenszetteln ausgewählt und Anton gerüchteweise von diesem Verfahren gehört hat, kann dieser ansetzen“ im Abschnitt „Die Lösung“ bewirken. Mir wäre allerdings auch etwas wohler, wenn der Artikel hier belegte Formulierungen des Paradoxons aus der Literatur aufgreifen würde; das klingt doch, so wie es beschrieben wird, alles sehr „fantasievoll“ … -- HilberTraum (d, m) 22:35, 16. Feb. 2015 (CET)

Zunächst einmal wäre es ein recht großer Schritt für Anton, die Gleichverteilung der Ausgangschancen anzunehmen, nur weil er „gerüchteweise von diesem Verfahren gehört“ hat. Würde er nicht versuchen, auch diese Information vom Wärter bestätigt zu bekommen („Stimmt es, dass der Begnadigte vom Gouverneur zufällig ausgewählt wurde?“), wenn das Auswahlverfahren Teil des Gerüchts wäre?
Viel wichtiger aber ist: Diese in der Lösung unterstellte Annahme, dass das Auswahlverfahren Teil des Gerüchts gewesen ist, gibt die Aufgabenstellung nicht her. In der Problemschilderung heißt es:

„[Der Gouverneur] schreibt ihre Namen auf drei Papierzettel, schüttelt die Zettel in einem Hut durcheinander, zieht einen heraus und teilt den Namen des Glücklichen dem Gefängniswärter telefonisch mit, diesen darum bittend, diese Information noch mehrere Tage geheim zu halten. Gerüchte davon erreichen Anton.“

Nirgendwo steht, dass der Gouverneur dem Wärter die Details des Auswahlverfahrens mitgeteilt hätte – warum sollte er das Auswahlverfahren, das ohnehin bereits abgeschlossen war, auch nachträglich mit dem Wärter diskutieren, der diese Information für seine Arbeit gar nicht braucht? Mitgeteilt hat der Gouverneur den Namen des Begnadigten – mehr gibt der Wortlaut der Aufgabenstellung nicht her. Wie in aller Welt soll nun das vom Gouverneur verwendete Auswahlverfahren Teil des Gerüchts im Gefängnis gewesen sein, wenn es keinen Hinweis darauf gibt, dass der Gouverneur dieses Verfahren dem Wärter mitgeteilt hätte und deshalb nur angenommen werden kann, dass nicht einmal der Wärter diese Information hatte? Aus der Aufgabenstellung lässt sich beim besten Willen nicht herauslesen, dass die Details des Auswahlverfahrens Teil der kursierenden Gerüchte gewesen wären. Nein, das Gerücht, von dem Anton gehört hat, ist, dass eine Person begnadigt wurde, nicht mehr und nicht weniger.
Hier hat man in der Lösung eine Annahme unterstellt, die von der Aufgabenstellung absolut nicht gedeckt war.
Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   10:42, 17. Feb. 2015 (CET)

Ja, das sehe ich im Prinzip genauso. Vor allem sollten im Lösungsabschnitt keine Voraussetzungen eingeführt werden, die nicht aus der Formulierung des Problems hervorgehen. Kennst du eine Literaturstelle, aus der man eine entsprechend formulierte Aufgabenstellung entnehmen könnte? -- HilberTraum (d, m) 12:43, 17. Feb. 2015 (CET)

Die Formulierung im Artikel ist nahezu die Eins-zu-Eins-Übersetzung von Gardners Originaltext (A wonderfully confusing little problem ...) und hat somit schon eine gewisse Berechtigung. Damit sind wir aber wieder beim leidigen Thema. Ich wäre auch stark dafür, eine wasserdichte Formulierung an den Anfang des Artikels zu stellen. Die Unschärfe der Originalformulierung kann man dann bei Bedarf in einem eigenen Abschnitt gegen Ende des Artikels diskutieren. Analog natürlich auch beim Ziegenproblem (seufz). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:18, 17. Feb. 2015 (CET)

@HilberTraum, Quartl: Bei der Brachistochrone beginnen wir nicht mit der Originalformulierung von Bernoulli, und bei der speziellen Relativitätstheorie zitieren wir nicht als Erstes die „Elektrodynamik bewegter Körper“. Auch Hilberts Jahrhundertprobleme diskutieren wir nicht mehr in ihrer Originalfassung von 1900. Vielmehr ist es doch so, dass aufgrund der Überlegungen zur Lösung einer einmal gestellten Aufgabe sich weitere Fragen ergeben und Ungenauigkeiten in der ursprünglichen Aufgabenstellung entdeckt werden, die dem „Erfinder“ des Problems zunächst nicht bewusst waren. Dann wird nach und nach der Formulierung eine optimale Form gegeben, die die Essenz des Problems möglichst präzise auf den Punkt bringt.
Natürlich kann man in einem „historischen“ Abschnitt die Entwicklung der Fragestellung samt der sich aus Ungenauigkeiten ergebenden Diskussionen darstellen, wenn das interessant genug ist. Aufgabe des Artikels hier sollte aber sein, dem Leser ein möglichst großes Verständnis des Problems und der korrekten Lösung zu vermitteln, und nicht primär eine wissenschaftshistorische Darstellung aller Irrungen und Wirrungen. Insofern stimme ich Quartl absolut zu.
Beim Ziegenproblem hätte die Welt sich 95+ Prozent der Diskussionen sparen können, wenn man sich nicht auf die Originalformulierung(en) versteift hätte.
Mein Vorschlag:

• Präzise Formulierung des Problems
• „Analytische“ Lösung durch Überlegen
• „Rechnerische“ Lösung (Bayes)
• „Historische“ Anmerkungen (Originalformulierung von Gardner und anderen samt Diskussion von Ungenauigkeiten etc.)

Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   21:18, 19. Feb. 2015 (CET)

+1, sieht für mich gut aus. Der erste Punkt klingt schwierig, aber wenn du da schon was im Auge hast … :) -- HilberTraum (d, m) 12:08, 20. Feb. 2015 (CET)

+1, keine Einwände. --Quartl (Diskussion) 14:22, 20. Feb. 2015 (CET)

Die Formulierung des Problems haben wir im Laufe der Zeit kaputtverbessert

Wenn ich die Original-Formulierung mit dem Artikelverlauf und dieser Diskussion vergleiche, stelle ich fest:

• Der Formulierung des Problems haben wir manches hinzugefügt; vieles davon war schwammig formuliert, und wir haben es im laufe der Zeit zurechtgezimmert.
• Wie wir auf dieser Diskussionsseite nachlesen können, hat die Qualität der Problemformulierung immer wieder ab- und wieder zugenommen.
• Die ursprünliche Formulierung ist vollständig, exakt und unmissverständlich.

Aus diesen Gründen setze ich den Abschnitt Formulierung des Problems bis auf einige marginale Anpassungen zurück und passe den Rest des Artikels entsprechend an. --Wiwa1 (Diskussion) 15:49, 11. Okt. 2018 (CEST)

Erledigt. Es war im restlichen Artikel erstaunlich wenig zu ändern. So gut wie alles ist weiterhin korrekt und passt auch zur verkürzten Problemstellung. --Wiwa1 (Diskussion) 15:54, 11. Okt. 2018 (CEST)

Lieber Wiwa1,

ich kann Deinen Wunsch zur Vereinfachung der Problemstellung nachvollziehen, halte sie aber dennoch für keine gute Idee.

Beim Lesen der so sehr stark verkürzten Formulierung erschließt sich beispielsweise zunächst nicht unbedingt auf Anhieb, dass sich durch die Nennung des Namens die Wahrscheinlichkeiten geändert haben könnten. Es bleibt somit unklar, worin das Paradoxon eigentlich besteht.

Wie Quartl oben anmerkt, entsprach die vorherige, ausführliche Version der Übersetzung des Originaltextes und sollte schon aus diesem Grund beibehalten werden.

Ich könnte mir vorstellen, wie von Troubled @sset (und HilberTraum) vorgeschlagen wurde, den Kurztext zusätzlich zur Langversion dem Artikel als Zusammenfassung voranzustellen.

nette Grüße,

Kai Kemmann (Diskussion) - Verbessern statt löschen. - 00:14, 12. Okt. 2018 (CEST)

Das sehe ich genauso. In der Problemstellung sollte der Text stehen, welcher eher dem Original entspricht. Leider habe ich keinen Zugang zu diesem. Am 3. Oktober 2011 hat Geodel den Zitat-Tag aus der Problemstellung entfernt und diese ausgeschmückt mit der Zusammenfassung "Formulierung des Problems: Detailreichere Darstellung des Problems". Deshalb nehme ich an, die kurze Version entspricht Martin Gardners Original und die lange stammt von Geodel. Kann das jemand mit Zugang zum Original überprüfen? --Wiwa1 (Diskussion) 14:11, 12. Okt. 2018 (CEST)

Na, Quartl hatte die Fundstelle doch oben angegeben. Zitat:

“Die Formulierung im Artikel ist nahezu die Eins-zu-Eins-Übersetzung von Gardners Originaltext (A wonderfully confusing little problem ...) und hat somit schon eine gewisse Berechtigung.“

nette Grüße, Kai Kemmann (Diskussion) - Verbessern statt löschen. - 23:07, 12. Okt. 2018 (CEST)

Ups, das habe ich übersehen, hab den Text angepasst. Danke für den Hinweis. --Wiwa1 (Diskussion) 15:45, 13. Okt. 2018 (CEST)

Zusatz zu den obigen Überlegungen - Antwortmöglichkeiten

Es sollte vielleicht erwähnt werden, dass die Antwort, wenn Clemens fragt, nicht zwangsläufig "Bernd" lauten muss. Hat erst Anton die Antwort "Bernd" erhalten und erhält danach auch Clemens die Antwort "Bernd", so haben Beide eine Überlebenschance von 50%. Deshalb sollte Clemens auf die mögliche Antwort "Anton" hoffen, denn nur dann wäre er sicher gerettet. (nicht signierter Beitrag von Zakzom (Diskussion | Beiträge) 03:57, 15. Mär. 2021 (CET))

"Die Lösung" zum Gefangenenproblem ist korrekt, aber kein Paradoxon

Die im Abschnitt "Die Lösung" angegebene Lösung des Gefangenenproblems ist übrigens korrekt, das Bayes-Theorem wird richtig angewandt.

Die Wahrscheinlichkeit für die Begnadigung von Anton bleibt bei 1/3, da er vom Wärter nicht benannt werden durfte (asymmetrisches Experiment). In der Information, dass einer der beiden anderen hingerichtet wird, liegt kein Erkenntnisgewinn im Hinblick auf eine etwaige Begnadigung von Anton, wie auch schon der Autor ausführt. Das war sowieso klar. Anders wäre es gewesen, wenn der Wärter nach dem Zufallsprinzip auch Anton als Hinzurichtenden hätte benennen dürfen, aber nicht benannt hat (symmetrisches Experiment). Nur dann wäre seine Überlebenswahrscheinlichkeit durch die Benennung von Bernd auf 1/2 gestiegen.

Genau das passiert aber bei der Auswahl zwischen Bernd und Clemens als Hinzurichtender, nachdem klar war, dass Anton nicht benannt werden durfte. Die (wahrheitsgemäße) Benennung von Bernd im Falle der Begnadigung von Clemens, erhöht die Überlebenswahrscheinlichkeit von Clemens auf 2/3. Würde der Wärter lügen und Bernd oder Clemens immer nur rein zufällig benennen, bliebe sie bei 1/3. Alles mit Bayes nachrechenbar.

Allerdings handelt es sich hier m.E. nicht um ein Paradoxon, sondern um eine korrekte wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung bzw. Berechnung im Gegensatz zu einer intuitiven, oberflächlichen Einschätzung, die zum falschen Ergebnis 50% : 50% führt.

Etwa so ähnlich wie bei einer optischen Täuschung.

Viele Grüße --Alfred2022 (Diskussion) 00:31, 19. Apr. 2022 (CEST)