Diskussion:Gewöhnliche Differentialgleichung

DGL mit getrennten Variablen

Ich hab vorhin mal das Verfahren mit getrennten Variablen erklärt und ein Beispiel eingefügt.

Aber ich glaube ich überarbeite das Bsp. irgendwann noch mal, ich glaube da stimmt was nicht. Vielleicht mit cos oder sowas, das ist leichter zu rechnen.

Ansonsten weiß ich nicht ob ich das jetzt sinnvoll eingruppiert habe. Meiner Meinung nach ist es dort richtig eingefügt, falls jemand was besseres hat kann er sich ja mal melden. Gruß. --Korpsvart 15:50, 9. Apr 2005 (CEST)

Exponentialfunktion als Differentialgleichung

Hallo, könnte uns jemand bei dem Ansatz y'=y helfen, ihn knapp, richtig und vollständig darzustellen. Link: Exponentialfunktion als Differentialgleichung Kann man den Ansatz $a_{0}(x)y'+a_{1}(x)y=b(x)$ oder $\left\{a_{0}(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+a_{1}(x)\right\}y\equiv \mathrm {D} y$ etc. verständlich und nachrechenbar durchrechnen dafür? Gruß --Roomsixhu 20:38, 31. Mai 2005 (CEST)

Siehe Abschnitt "Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten" --NeoUrfahraner 09:33, 1. Jun 2005 (CEST)

Da der Wunsch nach Beispielen nicht nur bei mir, sondern auch bei anderen Benutzern vorhanden ist - anbei der Versuch die DGL y'=y einmal zu rechnen: Es handelt sich um eine "Homogene lineare DGL 1. Ordnung der Form: y'+f(x)*y=0". Zu dieser Form wird eine allgemeine Lösung: y(x)=c*e^(-F(x)) mit der Stammfunktion F(x)=Int f(x)dx angegeben. Beispiel: y'-y=0, somit f(x)=-1 und F(x)=-Int 1*dx=-x. Die Lösungsfunktion y(x)=c*e^x. Einsetzung als Probe: y'=c*e^x, also eingesetzt: c*e^x-c*e^x=0. Die Konstante c kann bestimmt werden, wenn ein Punkt (x|y) vorgegeben ist.--Gerhard Kemme 00:07, 11. Sep. 2010 (CEST)

Finde ich zu kompliziert, zumal die allgemeine Lösung vom Himmel fällt. Setze besser $z(x):=y(x)e^{-x}$. Dann folgt $z'(x)=y'(x)e^{-x}-y(x)e^{-x}=0$, also ist $z$ konstant. Der Rest ist dann relativ klar. --Tolentino 09:58, 11. Sep. 2010 (CEST)

(cross) Auch das finde ich noch zu kompliziert. Meines Erachtens gibt es zwei elementare Zugänge:

1. Man weiß, dass die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ist. In diesem Fall löst man die Gleichung $y'=y$ einfach durch Raten. Es ergibt sich sofort, dass $f(x)=ce^{x}$ eine Lösung ist. Mit Deinem (Tolentinos) Ansatz kann man dann zeigen, dass dies alle Lösungen sind (oder den Eindeutigkeitssatz bemühen).

2. Man setzt dieses Wissen nicht voraus. Dann macht man einen Potenzreihenansatz und erhält als Lösung die Potenzreihe der Funktion $c\exp(x)$. -- Digamma 10:17, 11. Sep. 2010 (CEST)

Man wird sich kaum auf den günstigsten Lösungsweg einigen können - insofern muß das Thema Rechenbeispiele vermutlich wieder vertagt werden. --Gerhard Kemme 10:09, 11. Sep. 2010 (CEST)

Man kann ja verschiedene Zugänge darstellen. -- Digamma 10:17, 11. Sep. 2010 (CEST)

Dagegen spricht sicherlich nichts, obgleich ich den Potenzreihenansatz nicht als elementar empfinde. --Tolentino 13:12, 11. Sep. 2010 (CEST)

Bahnhof? ... Probleme.

Ich vermisse bei allen Mathematischen Erklärungen und Beispiele :

Abkürzungsdefinitionen oder Abkürzungserklärungen.

e kann Elektron oder Euler Zahl bedeuten.

H kann Hans oder Heinrich für einen "MatheLaien" bedeuten.

Da viele User kein Umgang mit Mathematischen Probleme pflegen, könnten "Erklärungen von Abkürzungen" sehr nützlich sein.

e = Euler Zahl oder e = elektrische Elementarladung

h = Plancksches Wirkungsquantum und nicht Höhe, wäre sogar für geübte Mathematiker eine "hilfsreiche Information"!

So könnte man wenigstens "Ahnen" von was hier die "Rede" ist.

Swert 15:37, 8. Jun 2005 (CEST)

Geht es Dir konkret um den Artikel, dann bitte konkrete Beispiele. Hier taucht beispielsweise $e^{x}$ auf, dass da das e kein Elektron ist, sollte jedem klar sein. Ansonsten ist Portal Diskussion:Mathematik der richtige Ansprechpartner, wobei ich der Allgemeinheit Deiner Kritik nicht zustimmen kann. --DaTroll 15:43, 8. Jun 2005 (CEST)

Ha! Das ist ja lustig! Ich schlug die Diskussions-Seite aus eben diesem Grund auf: Ob ich einen Kommentar zur absoluten Unverständlichkeit solcher Artikel für Laien/Einsteiger finde. Es fehlt wirklich eine Legende. Ohne Legende erscheint der Artikel als würden diejenigen, die wissen worum es geht, zu sich selbst sprechen. Ich stimme mit Swert überein. Wir brauchen eine Legende! Traurig nur, daß dieser Kommentar schon 11 Jahre alt ist und sich nichts getan hat. --2003:7A:73B:89C8:29B8:FA6E:3EB2:9C9F 12:07, 28. Aug. 2016 (CEST)

Autonome Gewöhnliche DGL

Ich bin gerade auf der Suche nach der Definition für "autonome gewöhnliche DGL"; bin in der deutschen Wikipedia nicht fündig geworden - vielleicht kann das jemand hier noch ergänzen (ich bin mir leider nicht 100% sicher, sonst würde ich es selbst machen). Saraedum 17:47, 26. Jan 2006 (CET) Kein Laie zieht sich solche Sachen rein.

Spezielle lineare DGL

Ich hatte den Artikel, Abschnitt Spezielle lineare DGl, um folgende Liste von linearen Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten erweitert. Diese wurde von P._Birken mit dem folgenden Kommentar rückgängig gemacht.
(Revert: es ist nicht sinnvoll, hier einfach Diffgleichungen anzugeben)

Meine Idee: Der Bereich nicht linearen Differentialgleichungen, eigentlich nur ein Anhang zu diesem Artikel über gewöhnliche Differentialgleichungen, enthält eine ähnliche Auflistung. Der interessierte Nutzer wird die Linkliste zu schätzen wissen und sich auf den entsprechenden Seiten weiter informieren. Der weniger interessierte Nutzer kann den Teil leicht überspringen.

Wieder entfernter Bereich:

• Hermitesche Differentialgleichung $y''-2xy'+2ny=0,n\in \mathbb {Z} \!$
• Legendresche Differentialgleichung $(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0\,\!$
• Hypergeometrische Differentialgleichung $x(x-1)y''+\left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y'+\alpha \beta y=0,\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} \!$
• Tchebysheffsche Differentialgleichung $(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y\!$
• Besselsche Differentialgleichung $x^{2}y''+xy'+(x^{2}-n^{2})y=0,n\in \mathbb {R} \!$
• Airysche Differentialgleichung $y''-\lambda xy=0\!$

--Albedo 22:24, 3. Jul 2006 (CEST)

Bestimmung des Fundamentalsystems - Komplexe Eigenwerte

Muss es bei "für komplex konjugierte Eigenwerte..." nicht $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ heißen statt $e^{\lambda x}\cos(\beta x)$?

Würde auch sagen das es $e^{\alpha _{i}x}\cos(\beta x)$ heißen sollte Wdvorak 15:59, 17. Aug 2006 (CEST)

Systeme

Ich vermisse etwas über Systeme von Differentialgleichungen (oder äquivalent: Differentialgleichungen im R^n)--Digamma 16:03, 7. Dez. 2006 (CET)

Geschichte - Newton

Der folgende Satz ist glaube ich so irreführend:

"Als Isaac Newton auch Bewegungen unter zum Betrag oder Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler Reibung betrachtete, war er genötigt, die Differentialrechnung und den heute geläufigen Formalismus der Differentialgleichungen einzuführen."

Der heutige Formalismus ist der von Leibniz eingeführte. Newton hat sich mit Differentialgleichungen beschäftigen müssen, um seine Probleme angehen zu können, aber sein Formalismus war ein anderer.

Kann das jemand mit genauer Kenntnis der Sachlage korrigieren?

Stimmt, der Satz ist nicht so gut, wenn auch aus anderen Gruenden: Heutzutage benutzen wir strenggenommen weder den leibnizschen noch den newtonschen Ableitungsformalismus, da beide aus heutigen Massstaeben ungenuegend sind. Der Satz bezieht sich aber nicht auf Differentialrechnung, sondern auf Differentialgleichungen. Und da frage ich mich, was der Satz ueberhaupt aussagen soll. --P. Birken 16:25, 4. Jun. 2007 (CEST)

Störfunktionen

ich habe nix mit Störfunktionen gefunden. ist schon recht wichtig. vielleicht kann das jemand mal ergänzen. ich kann das nicht so formal. 88.70.81.59 20:20, 9. Sep. 2007 (CEST)

Beispiel? Störfunktion ist ein recht schwammiger Begriff, da vom Kontext abhängt, was als Störung angesehen wird. Ich kann mir auch nicht so recht vorstellen, was als Ergebnis erscheinen soll.--LutzL 11:50, 10. Sep. 2007 (CEST)

In manchen öffentlichen Fachartikeln wie Vorlesungsmanuskripten versteht man unter der Störfunktion nicht die Störgröße, die an einen Regelkreis angreift, sondern eine Funktion des System-Eingangssignals, welches auf das dynamische System einwirkt. Exakt handelt es sich um den gesamten rechtsseitigen Teil der systembeschreibenden inhomogenen DGL.

Um das zu verstehen, sind aus der Sicht der Regelungstechnik und der Systemtheorie die wichtigsten Begriffe der Lösung einer gewöhnlichen DGL mit konstanten Koeffizienten wie folgt darzustellen, die aber in diesem Artikel fehlen.

1. Das Verhalten der Ausgangsgröße y(t) eines dynamischen linearen Übertragungssystems ist durch die Anzahl seiner Energiespeicher, deren Koeffizienten, des Zustandes der Energiespeicher (Anfangswerte) und der Art und Größe des Eingangssignals u(t) bestimmt.
2. Die homogene DGL beschreibt ein System mit Anfangswerten y₍₀₎, y'₍₀₎ .... y⁽ⁿ⁾₍₀₎ und dem Eingangssignal u(t) = 0.
   Das System ist zum Zeitpunkt t = 0 sich selbst überlassen. Die Lösung erfolgt durch den Exponentialansatz $y=e^{\lambda \cdot t}$ der Ausgangsgröße y(t) und deren Ableitungen. Dabei müssen etwas umständlich Integrationskonstanten ermittelt werden.
3. Die inhomogene DGL bezieht sich auf ein Eingangssignal u(t) ≠ 0 und kann Anfangswerte der Ausgangsgröße y(t) enthalten.
4. Die partikuläre Lösung einer gewöhnlichen inhomogen DGL bezieht sich immer auf ein Eingangssignal u(t) und deren Ableitungen, mit der Bedingung, dass die Anfangswerte gleich 0 sind. Die Lösung erfolgt häufig durch die Laplace-Transformation und inverse Rücktransformation in den Zeitbereich.
5. Die Gesamtlösung einer inhomogenen DGL besteht aus der Addition der homogenen und partikulären Lösung der DGL.
6. Die numerische Lösung einer inhomogen DGL mit Anfangswerten ist immer die Gesamtlösung, gleichgültig, ob Anfangswerte vorliegen oder nicht. Integrationskonstanten treten dabei nicht auf. Grundlage der Berechnung ist bei einfachen Systemen mit Anfangswerten die Funktion des Signalflussplanes des Prinzips des Analogrechners. Bei komplizierten Übertragungssystemen mit Anfangswerten wird der Signalflussplan der Regelungsnormalform benutzt. --HeinrichKü 10:02, 20. Okt. 2011 (CEST)

Einfache Beispiele zum Einstieg?

Hallo, wäre es möglich ein ganz triviales Beispiel + Berechnung anzugeben. Ich selbst studiere Informatik (3. Semester) und kann mit den Beispielen nichts anfangen. Grüße k00ni 17:11, 9. Jan. 2009 (CET)

Gute Idee, zu den gegebenen Beispielen sollte man mal teilweise die Lösungen hinzufügen. --P. Birken 18:21, 9. Jan. 2009 (CET)

Überarbeitung des Artikels "Gewöhnliche Differentialgleichung" durch den Anhang der "Lösungsverfahren von gewöhnlichen Differentialgleichungen"

Für die meisten technischen, wirtschaftlichen und biologischen Prozesse lassen sich Systembeschreibungen definieren, die durch gewöhnliche Differentialgleichungen oder deren Laplace-Transformation in den Bildbereich analytisch berechenbar oder wenigstens numerisch in guter Annäherung beschreibbar und berechenbar sind.

Der derzeitige Stand des Artikels gab wenig Hinweise, wie eine gewöhnliche Differentialgleichung zu lösen ist, sondern bezieht sich mehr auf eine Aufstellung der möglichen Formen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Ich beziehe mich auf den Kommentar auf der zu diesem Artikel zugehörigen Diskussionsseite von dem Benutzer:P. Birken vom 9.Jan.2009, ehemals Vorstandsmitglied von Wikimedia Deutschland, zu gegebenen Beispielen auch die Lösungen hinzuzufügen.

Diesem Wunsch bin ich nun nachgekommen. Um die dargestellten verschiedenen Verfahren der Lösungen verstehen zu können, bestand die Notwendigkeit, jeweils eine kurze Einführung von Übertragungsfunktionen, der numerischen Verfahren und der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung zu geben. Damit ist dieser Artikel mit den Tabellen und grafischen Darstellungen erheblich gewachsen.

Sollten einige der Verfahren oder Aufgaben Unverständlichkeiten oder Unkorrektheiten enthalten, bitte ich um Nachricht. --HeinrichKü (Diskussion) 18:17, 24. Aug. 2017 (CEST)

Hallo, ich habe gesehen dass du im Augenblick noch am bearbeiten des neuen Abschnitts bist. Prinzipiell halte ich solche konkreten Anwendungen zwar für wünschenswert und man sieht ja auch dass du sehr viel Erfahrung damit hast, aber du solltest meiner Meinung nach deutlicher erwähnen, dass es sich durchgehend um die Lösung eines Anfangswertproblems handelt (Randwertprobleme werden im ganzen Artikel so gut wie gar nicht explizit angesprochen) und die Darstellung vom Jargon und den Methoden her (Laplacetrafo) stark aus der Systemtheorie/Regelungstechnik kommt, also aus einer ingenieurwissenschaftlichen Anwendung. An einer Stelle am Anfang schreibst du einfach "Systemtheorie der GDGL", sollte wohl umgekehrt GDGL in der Systemtheorie heissen. Mit dem Satz "Nichtlineare Differenzialgleichungen sind Unikate und können nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch gelöst werden. Wenn möglich, wird eine Linearisierung im Arbeitspunkt des Systems durchgeführt und es gelten die Bedingungen für GDGL," kann ich wenig anfangen. Man betrachtet zwar häufig oder wie du schreibst nach Möglichkeit lineare Näherungen, "Unikate" sind nichtlineare Dgl aber wie dir sicher klar ist nicht, im Gegenteil (Chaostheorie), und zugänglich sind sie über numerische Methoden, auch wenn analytisch wenig zu machen ist. "Arbeitspunkt" des Systems klingt auch zu stark nach Elektrotechnik-Jargon. Etwas allgemeiner bzw. weniger speziell aus diesem Anwendungsbereich sollte es schon formuliert werden, oder man schreibt schon in der Überschrift "Anwendungen aus der Systemtheorie". Auch der folgende Satz "Viele Anwendungen nichtlinearer Systeme können mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden in Verbindung mit logischen Definitionen wie WENN-DANN-SONST-Anweisungen annäherungsweise an die Originalfunktion gelöst werden." sollte anders formuliert werden, gemeint ist wohl dass man das System qualitativ untersucht (auf Fixpunkte, Grenzzyklen etc.) und dann in der Umgebung von Fixpunkten etc. linearisiert (es klingt im Übrigen wie das Kochrezept einer Programmieranweisung). Die Verwendung von Signalflussplänen im Folgenden in der Diskussion unterstreicht noch diesen sehr speziellen Jargon/Hintergrund, und z.B. in der Box für Dgl. 2. Ordnung taucht die eigenwillige Umschreibung "Willkürlich gewählte Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren)" auf, womit einfach die Anfangsbedingungen gemeint sind (stammt die Beschreibung noch aus der Analogrechnerzeit ?). Das setzt sich fort bei der Diskussion der inhomogenen Gleichung, du sprichst von Übertragungsverhalten, Systemverhalten, "Anfangswerte im Systemspeicher" etc. Die ganze Darstellung ist außerdem in hohem Grad redundant zu anderen Artikeln, insbesondere lineare Schwingungsprobleme sind hier schon sattsam behandelt. Da solltest du mit den schon vorhandenen Darstellungen/Artikeln in der wikipedia abgleichen, vielleicht sind Teile deiner sehr ausführlichen Darstellung da besser aufgehoben. Bei Wikipedia Artikeln setzt man im Allgemeinen auf knappe Darstellung und bewusst auf Verweise auf andere Artikel, in denen einzelne Lösungsmethoden erläutert werden. Und auch in der Systemtheorie gibt es hier schon eine Reihe Artikel, z.B. dein eigener Zustandsraumdarstellung. Auch bei der numerischen Behandlung gibts dafür eigentlich schon Spezialartikel, so dass nicht ganz klar ist warum du dass noch einmal so ausführlich darstellst. Übrigens ist Fettdruck im Text nicht erlaubt. Gruss--Claude J (Diskussion) 09:58, 27. Aug. 2017 (CEST)

Danke für deine objektiven kritischen Bemerkungen. Ich fasse den wichtigsten Inhalt deiner Bemerkungen zur besseren Übersicht zusammen:

• 1) Durchgehend handelt es sich um Anfangswertprobleme. Diese kann man deutlicher benennen. Randwertprobleme wurden nicht angesprochen.
  

$\to$ Die Beschreibungen handeln nicht nur um das Anfangswertproblem sondern auch um die partikulären Lösungen. Möchtest du das Thema Randwertprobleme im Artikel ergänzen? Siehe Artikel Randwertproblem.

• 2) Laplacetransformation gehört zu den Methoden der Systemtheorie / Regelungstechnik.

$\to$ Nach meiner Ansicht ist sie eine mathematische Methode zur Lösung der partikulären GDGL und dient dem Verständnis der dynamischen Systeme in s-Bereich.

• 3) Nichtlineare Differentialgleichungen – Linearisierung im Arbeitspunkt - unverständlich

$\to$ Linearisierung im Arbeitspunkt ist ein sehr gängiger Begriff. Die Verbindung von zeitdiskreten Beschreibungen linearer Systeme in Verbindung mit nichtlinearen logischen WENN-DANN-SONST-Anweisungen z.B. bei schaltgeregelten Systemen funktioniert recht gut. Berechnungsbeispiele sind in den Artikeln Regler, Regelkreise und Regelungstechnik zu finden.

Ich weiß nicht, ob man dieses Thema, das eigentlich nicht zu diesem Artikel gehört, weiter ausführen sollte?

• 4) Willkürlich gesetzte Werte für Anfangsbedingungen:

$\to$ Nach meiner Auffassung kann die für eine Systemuntersuchung ohne Eingangssignal mit Anfangswerten beliebiger Art durchgeführt werden. Ob diese Anfangswerte zu einem bestimmten Zeitpunkt als Folge der inneren Zustände des Systems überhaupt auftreten können, ist eine andere Frage. Kurze Überlegungen zur Wahl von Anfangswerten insbesondere bei Schwingungsgliedern sind meines Wissen in anderen Artikeln noch nicht gemacht worden. (Beispielsweise bei einer Kette von Integratoren der Regelungsnormalform).

• 5) Stammt der der Signalflussplan aus der Analogrechnerzeit?

$\to$ Es handelt sich um die Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung, die in der vereinfachten Form (keine Differentiale der Eingangsgröße) dem Signalflussplan der Analogrechner entspricht.

• 6) Redundanz zu anderen Artikeln.

$\to$ Die gibt es. Aber wenn das Thema „Lösen von GDGL“ heißt, bringt es nicht viel, wenn man auf einen Artikel verweist, der alles Mögliche beinhaltet, und man einen Begriff suchen muss. GDGL für Systeme mit Schwingungsanteilen und konjugiert komplexen Polen sind in jedem Fall komplizierter zu lösen.

• 7) Wikipedia setzt auf knappe Darstellung!

$\to$ Für meine Begriffe war die bisherige Darstellung des Artikels weniger als knapp und unzureichend, weil weder das Zustandekommen (relativ einfach) noch das Lösen einer GDGL dargestellt worden ist. Sollen interessierte Berufsgruppen die mathematische Behandlung von dynamischen Systemen, die uns in allen fachlichen Ebenen zwischen Himmel und Erde begegnen, verstehen und berechnen können, dann ist eine ausreichende Information notwendig.

Du stimmst doch mit mir überein: zuerst existiert in der Realität das dynamische System bzw. die Problemstellung, dann wird die zugehörige Differentialgleichung definiert, dann die Lösung.

• 8) $\to$ Die kleinen hier nicht aufgeführten Unkorrektheiten werde ich noch verbessern.

Gruß --HeinrichKü (Diskussion) 13:14, 28. Aug. 2017 (CEST)

Will hier jemand ein Buch schreiben. 1 Artikel soll ein Lemma erklären. Aber hier wird über Übertragungsfunktion, Laplace-Transformation, Differenzengleichungen und was sonst noch schwadroniert. Natürlich weitgehend ohne Quellen. Der Artikel sollte imo deutlich gekürzt werden und auf das wesentliche eingedampft werden.--Wruedt (Diskussion) 19:21, 13. Mär. 2020 (CET)

Der Artikel kann sich nicht zwischen mathematischem "Kauderwelsch" ("heißt vollständig, wenn zu jedem Anfangswert $y_{0}$ die globale Lösung auf ganz $\mathbb {R}$ definiert und eindeutig ist. Dies ist z. B. der Fall, wenn $f\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ linear beschränkt und Lipschitz-stetig ist. Es bezeichne $\varphi (\cdot ,y_{0})$ diese (eindeutig bestimmte globale) Lösung. Dann nennt man $\varphi :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ den Fluss der Differentialgleichung $y'=f(y)$, und $(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{m},\varphi )$ bildet dann ein dynamisches System.")

und einer "Einführung in die Regelungstechnik" entscheiden. Es sollte doch ein Zwischenweg möglich sein, bei dem 1 oder 2 Beispiele genügen. Zustandsraumdarstellung oder Regelungsnormalform braucht hier imo niemand. Die analytischen Lösungen nehmen viel zu viel Raum ein. Welche praktische Relevanz hat denn heut noch eine lineare geschlossene Lösung.--Wruedt (Diskussion) 09:50, 14. Mär. 2020 (CET)

Der Benutzer @Wruedt: hat das Kunststück fertiggebracht, in 5 Tagen diesen Artikel um ca. 32 kB (mit großem Abschnitt der „Numerischen Berechnung“ zu erleichtern.

Mathematisches Kauderwelsch: kann ich mir nicht vorstellen bei Prof. Dr. May-Britt Kallenrode, Fachbereich Physik, Uni Osnabrück.

Redundanz in den Artikeln ist nicht erlaubt. Die genannte Redundanz dieses Artikels für die numerische Berechnung von linearen und bestimmten nichtlinearen dynamischen Systemen war nicht Teil dieses Artikels, sondern in einer stark gekürzten Form im Artikel „Dynamisches System (Systemtheorie)“. Letzteren habe ich für das Berechnungsbeispiel vervollständigt. Die Links zu „Differenzengleichung“ und „Dynamisches System (Systemtheorie)“ werde ich mit einer kurzen Beschreibung versehen. Diskussion „ja“, löschen „nein“.

• In den letzten Korrekturen vom 18.3.2020 des Benutzers Wruedt ist mir aufgefallen, dass bei den Ableitungen des Lösungsansatzes von GDGL aus der ursprünglichen Form:

${\dot {y}}=\lambda \cdot e^{\lambda \cdot t}=\lambda \cdot y;\qquad {\ddot {y}}={\lambda }^{2}\cdot e^{\lambda \cdot t}=\lambda ^{2}\cdot y;\qquad y^{(n)}={\lambda }^{(n)}\cdot e^{\lambda \cdot t}={\lambda }^{n}\cdot y$

Werden diese Ableitungen in die oben stehende homogene GDGL eingesetzt, entsteht die charakteristische Gleichung als Polynom n-ter Ordnung:

Total gelöscht wurden und jetzt als Korrektur dargestellt wurde.

• Korrektur: ein Radikand hat keine Nullstellen: Mit Radikand ist gemeint, was unter dem Wurzelzeichen steht. Das ist auch die Ausdrucksweise in den Vorlesungsskripten zu diesem Thema. --HeinrichKü (Diskussion) 15:12, 18. Mär. 2020 (CET)

Was hat denn der Regelung-Jargon mit dem Artikel zu tun? Kostprobe: Bereits die Anwendung des Differenzenverfahrens für GDGL 2. Ordnung erfordert einen beträchtlichen algebraischen Aufwand. Anfangswerte $y_{0}>0$ können nicht verarbeitet werden.

Mit üblichen numerischen Lösungsverfahren für ODE's können selbstverständlich Anfangswerte y_0>0 verarbeitet werden. Wenn das beim Differenzenverfahren nicht der Fall sein sollte, wäre ein geeigneteres Verfahren vorzuziehen. ODE's 2. Ordnung erfordern auch keinen "beträchtlichen Aufwand", denn sie können einfach in 2 DGL's 1. Ordnung zerlegt werden. Übliche Integrationsverfahren für ODE's gehen sowieso davon aus. Diese geheimnisvoll klingenden Formulierungen tragen zum Verständnis des Artikels nichts bei, sondern nur zum Platzbedarf in WP.--Wruedt (Diskussion) 19:36, 5. Okt. 2021 (CEST)

Anmerkungen zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen (GDGL) 2. O. mit konstanten Koeffizienten

• Zerlegung von GDGL in 2 DGL 1. O.

Hat die GDGL 2. O. nur negative Pole, kann sie in 2 unabhängige Differenzialgleichungen (bzw. 2 Übertragungsfunktionen 1. O.) zerlegt werden.

• Zerlegung von GDGL mit konjugiert komplexen Polen

Hat die GDGL 2. O. 1 konjugiert komplexes Polpaar, kann sie nicht in 2 unabhängige Systeme 1. O. zerlegt werden. Sie kann aber über Zustandsvariablen (Zustandsraumdarstellung) in 2 gekoppelte DGL 1. O. zerlegt werden.

• Lösung einer GDGL 2. O. durch die Laplace-Transformation

Eine Methode der Lösung einer GDGL 2. O. kann z. B. durch die Laplace-transformierte Übertragungsfunktion der GDGL mit Anwendung von Laplace-Transformationstabellen erfolgen. Diese Anwendung erfordert bei schwingfähigen Systemen gute algebraische und trigonometrische Kenntnisse.

• Numerische Lösung einer GDGL 2. O.

Die numerische Lösung einer GDGL 2. O. nach dem Differenzenverfahren erfordert die Erstellung von einer Differenzengleichung mit Differenzenquotienten 1. und 2. Ordnung. Die Lösung dieser Differenzengleichung mit 2 Differenzenquotienten erfordert viel algebraische Rechenarbeit.

• Lösung einer GDGL über Zustandsvariablen (Zustandsraumdarstellung)

Die einfachste Lösung dieser GDGL 2. oder höherer O. ist die Zerlegung über Zustandsvariablen in 2 oder mehr gekoppelte DGL-en 1. O., die sich leicht numerisch lösen lassen. Siehe Artikel Differenzengleichung (Differenzenverfahren). --HeinrichKü (Diskussion) 09:41, 2. Apr. 2022 (CEST)