Diskussion:Goldener Schnitt/Archiv/1

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Goldener Schnitt und Eulersche Zahl

So heißt der Artikel auf meiner Webseite http://www.walter-orlov.ag.vu/

Ich versuche zu belegen, dass diese zwei Zahlen mieinander eng verwandt sind, und zwar als

tau = ~ sqrt(e)

Gruß Walter Orlov

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Sehr schön, aber dieser "Zusammenhang" ergibt sich schon direkt aus bekanntem Wissen: Wie im Artikel erwähnt, ist $\varphi =e^{arsinh{\frac {1}{2}}}$; es gilt $arsinh{\frac {1}{2}}\approx 0,4812\approx {\frac {1}{2}}$, somit $\varphi \approx e^{\frac {1}{2}}={\sqrt {e}}$. Übrigens heißt es "Eulersche Zahl".--Claen edon 09:44, 6. Aug 2004 (CEST)

Apropos Zusammenhang der beiden Zahlen:

Ich habe mal irgendwo die Behauptung gelesen, die Bedeutung des Goldenen Schnittes in der Kunst sei auch darauf zurückzuführen, dass $1-1/\varphi \approx 1/e$ ($1-1/\varphi \approx 0,38,1/e\approx 0,37$). Nun ergibt sich letzteres als Maximum der Funktion $p\log _{2}p$, die den Informationsgehalt eines "Zeichens" der Wahrscheinlichkeit $p$ angibt. Daher enthält z.B. eine Farbe, die im Anteil $1-1/\varphi$ aufgetragen wird, nahezu ein Maximum an Information und sticht dadurch gegenüber den anderen Farben besonders heraus. Zum Einfügen in den Artikel ist das vermutlich zu unsicher (zumal ich nicht einmal mehr genau sagen kann, wo ich das gelesen habe), aber für die Diskussionsseite denke ich ist das doch ganz interessant. --Ce 19:03, 6. Aug 2004 (CEST)

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Zur Zeit, als ich meine Bemerkung schrieb, gab es solches Wissen im Artikel noch nicht, wahrscheinlich war er damals noch nicht vollständig übersetzt  ;-)

Außerdem meine ich nicht so mathematischen wie physikalischen Zusammenhang: Mit Hilfe von expotentieller Funktion wird der Mechanismus des Wachstums bzw. Zerfalls beschrieben, der auch für die Bildung des Goldenen Schnittes gebraucht wird. Deshalb ist der Goldene Schnitt so treffend für die Verhältnisse in der Welt, die sich entwickelt.

Gruß

Walter Orlov

Die Definition von rho ist falsch....

Bei der Berechnung der zweiten Lösung von $x^{2}-x-1=0$ ist $\rho$ nicht $\phi -1$ sondern $1-\phi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618<0$

sollte eventuell korrigiert werden!

Ruhri 00:42, 18. Jun 2004 (CEST)

Oh, diese Bemerkung hier oben habe ich die ganze Zeit übersehen. Nach kurzem Nachdenken komme ich zu dem Schluss, dass wir auf die Erwähnung von ρ auch völlig verzichten können. Oder sieht jemand dessen Relevanz? --Wolfgangbeyer 20:45, 10. Jul 2004 (CEST)

Nö. ;-) -Hati 21:08, 10. Jul 2004 (CEST)

naja rein mathematisch ist die Zahl genauso relevant wie $\phi$, da sie weitestgehend die gleichen Eigenschaften hat. Vor allem im Zusammenhang mit den allgemeinen Fibonacci-Zahlen (da bilden beide eine Basis für den Raum der allgemeinen FZ, was sich wiederum in der Binetformel niederschlägt). Was die Anwendungen ausserhalb der Mathematik betrifft, ist natürlich die positive Lösung stärker vertreten...

Ruhri 21:13, 10. Jul 2004 (CEST)

Ja sicher, wegen ρ=1/φ kommt ρ natürlich die gleiche Bedeutung zu wie φ. Ich fand nur ρ gerade deswegen eigentlich redundant, so dass wir es eigentlich hier nicht erwähnen müssen. --Wolfgangbeyer 01:07, 11. Jul 2004 (CEST)

Fünfzählige Blüten und Efeublatt

Ich würde gerne den Abschnitt über fünfzählige Blüten und das Efeublatt streichen, falls niemand protestiert. Eine fünfzählige Blüte enthält zwar ein Fünfeck, aus dem man natürlich ein Pentagramm konstrieren kann und damit auch den Goldenen Schnitt, aber es gibt ja keine zwei tatsächlich vorliegenden Strecken, die in diesem Verhältnis stehen würden. Und das Efeublatt ist eins der typischen Beispiele für willkürlich zusammengestellte Größenpaare, bei denen es zufällig ungefähr klappt: Da es mit den benachbarten Blattadern nicht funktioniert, hat an einfach eine übersprungen. Wenn man auf diese Weise systematisch die ganze Botanik durchforstet, lassen für jedes beliebige Zahlenverhältnis tausende von Beispielen finden. Eine Erwähnung hier wäre höchstens dann gerechtfertigt, wenn das Efeublatt in diesem Sinne eine historische Bedeutung hat. Die müsste aber dann klar herausgestellt werden. D. h. z. B. welcher bekannte Künstler hat wann und wo das Efeublatt als bedeutendes Beispiel für den Goldenen Schnitt in die Welt gesetzt, so dass es als bekanntes Beispiel dafür gilt, sofern es wenigstens das überhaupt ist. --Wolfgangbeyer 17:07, 5. Jul 2004 (CEST)

Hi, Wolfgangbeyer, Du bist mir zu schnell. Gut, seit 5.Juli hätte ich was dazu sagen können, aber ich "kämpfe" ;-) zur Zeit an mehreren Fronten. Mit dem Efeu magst du ja recht haben (obwohl es tatsächlich in der Volkskunst seine Bedeutung hat - frag mich aber nicht wofür). Aber sonst ist die Sache nicht so beliebig. Die 5-Zähligkeit bei Blüten ist gar nicht so häufig. Sie kommt nur bei relativ "modernen" Blütenpflanzen vor neben 6- und 4-Zähligkeit. (Ein große Zahl ist spiegelsymmetrisch.) Die Ursache ist eine Konkurrenz zwischen den Anlagen der Blütenorgane auf dem Wachstumskegel der Blüte. Diese Anlagen entstehen nacheinander, je schneller sie im Vergleich zum Kegel wachsen, desto weniger Anlagen haben nebeneinander Platz. Es gibt tatsächlich relativ wenig Pflanzenfamilien mit 5-zähligen radiärsymmetrischen Blüten. -Hati 17:49, 10. Jul 2004 (CEST)

gekippte Skizzen

@Wolfgangbeyer

Goldener Schnitt Konstruktion 4

Goldener Schnitt Konstruktion 5

Datei:GS3.jpg Goldener Schnitt Konstruktion 6

Nicht dass ich meine Werke als besonders wertvoll halte oder unersetzlich. Mich hätte nur interessiert, warum sie herausgenommen wurden. Auf der Diskussionseite hätte das ruhig besprochen werden können. Hut ab vor deinen klaren und einfachen Konstruktionszeichnungen. Die alten empfinde ich nur persönlich ein bisschen spannender. Wäre es möglich die korrespondierenden Zeichnungen nebeneinanderzustellen? -Hati 18:38, 9. Jul 2004 (CEST)

Ja, entschuldige, dass ich das einfach kommentarlos rausgenommen habe. Das war wohl etwas überstürzt. Wollte niemanden verärgern. Da sie völlig kommentarlos platziert wurden, hatte ich angenommen, dass sich der Autor vielleicht nicht allzu sehr damit identifiziert ;-). Hatte schon vor, auf der Diskussionsseite darüber zu diskutieren. Werde bei Gelegenheit sowieso zu verschieden Punkten noch ein paar Fragen in den Raum stellen. Das Problem ist einfach, dass wir uns zahlenmäßig auf einige wenige der unermesslichen Fülle von Konstruktionen beschränken müssen. Ich finde, wir sollten nur solche vorstellen, zu denen es etwas besonderes zu sagen gibt. In diesem Sinne finde ich z. B. die momentane Nr. 3 schon kritisch, denn das mit der "äußeren Teilung" könnte man auch anhand der Nr. 4 erläutern. Von den 3, die ich rausgenommen hatte, ist die ehemalige Nr. 4 ja noch drin, nur in anderem Design. Die frühere Nr. 5 konnte ich mangels Erläuterung nicht nachvollziehen. Die Nr. 6 schon, aber da jeglicher Text dazu fehlte, stellte sich für mich die Frage, warum gerade diese darstellen, die ja auch zu den eher etwas aufwändigere zählt, insbesondere wenn man sie ausgehend von der zu teilenden Strecke durchführen will. Die ehem. Nr. 4 ebenso wie die Nr. 1 habe ich zugunsten der Einheitlichkeit durch eine eigene ersetzt. Was findest Du an Deinem Design spannender? Was verstehst Du unter "korrespondierende Zeichnungen nebeneinander stellen"? Zwei Zeichnungen zu einem Verfahren darstellen? Hm, das fände ich schon etwas üppig insbesondere, da der Artikel sowieso schon etwas länglich geraten ist. An meinen Darstellungen gefällt mir ganz gut, dass sie nur das nötigste darstellen, daher übersichtlich sind und ferner über die Symbole "1. " usw. auf die einzelnen Schritte hinweisen, ein Feature, dass ich von der ehem. Konstruktion Nr. 1 übernommen habe. Überlege mir noch, ob ich grafisch andeute, dass es Strecken gibt, die sich wie 2:1 verhalten. Vielleicht durch einen kleinen Teilstrich in der Mitte der längeren, so wie z. B. bei der jetzigen Nr. 4 am Punkt M. --Wolfgangbeyer 23:01, 9. Jul 2004 (CEST)

Sehe gerade, die Abbildung zur Buchdruckkunst ist ja auch von Dir. Ein ganz interessantes Thema, aber dazu brauchen wir unbedingt noch erläuternden Text. Kannst Du dazu was verfassen, oder mir irgend welche Quellen nennen? Ich kann die Konstruktion zwar nachvollziehen, aber ich verstehe nicht, wozu sie gut ist. Woher kommt das äußere Rechteck? Ist es ein Goldenes? --Wolfgangbeyer 23:12, 9. Jul 2004 (CEST)

Nullo Problemo! Ich habe mir überlegt ob ich Konstruktions-Algorithmen hinzufügen sollte. Ich hab mich dagegen entschieden, um dem Leser das selber Entdecken zu ermöglichen. Macht mir persönlich mehr Spaß. Zur Nr. 5: 3 Quadrate -> Diagonale über 2 Quadrate -> Winkelhalbierende - fertig. Eigentlich ist die Überschrift Buchdruckkunst nicht ganz richtig, es handelt sich eher um eine (gebräuchliche?) Layout-Methode ein Doppelseite zu strukturieren. Die Grundseite müsste das "normale" Seitenverhältnis (Folio etc.) darstellen. Das der Artikel sehr lang geworden ist stimmt. Und die Architektur fehlt noch so ziemlich vollständig. Vielleicht muss man doch einmal den Artikel teilen und das rein mathematisch-konstruktive gesondert vom künstlerisch-biologischen unterbringen. -Hati 16:36, 10. Jul 2004 (CEST)

Mit dem Seitenverhältnis der Grundseite verändert sich aber auch das der beiden kleineren Rechtecke und zwar proportional, wie man unmittelbar sieht, wenn man die ganze Konstruktion dehnt oder staucht, wobei sie ja nicht zerstört wird. Wenn nun aber die Grundseite ein "normales" Seitenverhältnis (was meinst Du damit?)besitzt, wo ist denn dann in der Zeichnung überhaupt ein Goldener Schnitt? So kommentarlos können wir's nicht stehen lassen, denn ich hatte schon vor, den Artikel in den Kandidaten für Exzellente Artikel noch mal zu präsentieren, und dann wird's dort diesbezüglich zu Recht ordentlich Proteste hageln ;-). --Wolfgangbeyer 18:57, 10. Jul 2004 (CEST)

Layout

Habe jetzt die Konstruktionsanweisung noch ergänzt. Bei Nichtgefallen ändern pder Löschen. -Hati 10:03, 11. Jul 2004 (CEST)

Interessantes Verfahren. Wirft für mich zahlreiche Fragen auf. Die wichtigste immer noch: Welches Seitenverhältnis hat das Außenrechteck? Wenn ich die ganze Konstruktion dehne oder strecke, mache ich ein 2:3:5:8 jedenfalls kaputt. Und der Goldene Schnitt selbst kommt offenbar nicht vor sondern nur diese Fibonacci-Zahlen. Von daher ist es die Frage, ob man es vielleicht besser nach Satzspiegel verschiebt. Der Satz Der Anfangspunkt kann aber auch geometrisch festgelegt werden hängt etwas in der Luft. Soll wohl bedeuten, das diese Wahl beliebt ist, oder war. Scheint sowieso eher was historisches zu sein. Ich habe jedenfalls kein solches Buch im Regal ;-). Ist es ein Zufall, dass die Parallele 7 durch den Schnittpunkt von 1 und 4 geht? Wenn sich diese Fragen nicht klären lassen insbesondere die erste, wäre ich eher für löschen. --Wolfgangbeyer 11:28, 11. Jul 2004 (CEST)

Habe noch mal nachgerechnet – da ist der Wurm drin: Bund- zu Außensteg verhalten sich wie 1:2 ebenso Kopf- zu Fußsteg. Siehtst Du sofort, wenn Du auf Rechenkästchen malst z. B. nur die linke Hälfte mit 12 Kästchen breit und 18 hoch, und für das innere Recheck z. B. 6x9. 12x18 habe ich gewählt, damit sich wenigstens für Bund- zu Kopfsteg 2:3 ergibt. Hast Du eine Internetquelle dazu? Bin lediglich einmal im Internet darauf gestoßen aber im Zusammenhang mit Fotografie, wobei genau diese Zeichnung allerdings völlig kommentarlos im Raum stand. --Wolfgangbeyer 12:27, 11. Jul 2004 (CEST)

(*Haarerauf*) Da gebe ich Dir recht. Also wenn, dann ab nach Satzspiegel. Oder irgendwo (hier oder dort) zwischenspeichern und auf gute Seele warten, die die Sache klärt. Welches Verhältnis haben dann zB Kopf- und Außensteg? Schade, dass ich nicht mehr in die Schule gehe ;-) Latein wäre das richtige, um sich damit zu beschäftigen. Quelle: muss irgend ein Begleitbuch zu QuarkXPress (Layout-Software) gewesen sein. Die Konstruktion scheint tatsächlch "klassisch" zu sein. Ich zitiere aus einm Fragment (S. 269) wörtlich: "Goldener Schnitt 2:3:5:8, Brauchbares Verhältnis 2:3:4:5" (*rätsel*) Über das Seitenverhältnis des Grundformats wird listigerweise nichts ausgeplaudert. Ichhabe den Verdacht, dass es kein Zufall ist, dass die Parallesl durch den Schnittpunkt 2/4 geht. -Hati 21:31, 11. Jul 2004 (CEST)

Ich denke man sollte es bei Satzspiegel unterbringen, denn selbst wenn die Mathematik ok wäre, sinds doch nur Fibonacci-Zahlen und kein Goldener Schnitt. Das Verhältnis benachbarter Stege hängt eben vom Seitenverhältnis der Grundseite ab. Nur das gegenüberliegender Stege ist fest 1:2. In meinem obigen Beispiel hat man also 2:3:4:6 statt der behaupteten 2:3:5:8. Ein Software-Handbuch ist natürlich vielleicht nicht die solideste Quelle, wie man sieht. Eben gerade fand ich einen sehr schönen erschöpfenden Artikel zum Thema nämlich http://people.freenet.de/kohm/markus/komasatzspiegel.pdf. Schau da mal rein. Der Autor stellt auch zuerst 2:3:4:6 und noch 3:4:6:8 vor, die beide über Deine Konstruktion möglich sind. 2:3:5:8 wird als seltener und weniger vorteilhaft dargestellt und muss anders konstruiert werden. --Wolfgangbeyer 23:51, 11. Jul 2004 (CEST)

Danke für die Recherche. Vorschlag: verschieben nach Satzspiegel/Diskussion. Ich werde mcih der Sache mal annehmen. Wird aber noch dauern. -Hati 08:36, 12. Jul 2004 (CEST)

Habe jetzt ein bisschen nachgegraben. Teilungsverhältnisse gibts viele, nur wenige werden als harmonisch empfohlen. Eines davon ist tatsächlich im goldenen Schnitt 1:1,6 bezogen auf die Seitenverhältnisse der Rechtecke die an den Ecken des Satzspiegels als Schnittflächen der Ränder entstehen. Für dieses Teilungsverhältnis ist keine Konstruktion angegeben. Wäre interessant, wie die aussehen könnte, wenn dazu gefordert wird, dass die Seitenverhältnisse des Satzspiegels gleich den Seitenverhältnissen der (einfachen) Seite sein sollen.-Hati 16:24, 12. Jul 2004 (CEST)

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Handlungsbedarf und Probleme

Um aus diesem Artikel eine runde Sache zu machen - vielleicht einen exzellenten - fehlen nur noch ein paar Kleinigkeiten:

• Es fehlt ein Bild des Parthenon-Tempels der Akropolis mit Linien, die den Goldenen Schnitt markieren. Solche Bilder habe ich z. B. unter http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/art/gskunst.htm gefunden. Auf meine Anfrage per E-Mail hinsichtlich der Bilderrechte wurde eingeräumt, dass man die Rechte an diesen Bildern auch nicht besäße und mir auch keine Quellen nennen könne.
• Es fehlen ferner Bilder von Gemälden und anderen Kunstwerken, bei denen der Goldene Schnitt auftaucht und entsprechend auch markiert ist. Viele Beispiele, die ich fand, sind alles andere als überzeugend wie z. B. Mona Lisa und mehrere nicht weiter erläuterte Dürer-Werke mit irgendwelchen Linien. Ganz interessant scheint http://www.aviloa.de/htm1/goldener-schnitt.htm zu sein.
• Ganz nett wäre auch ein Bild von einem Goldenen Zirkel, wie sie leider in miserabler Qualität unter http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/projekt/quasi2.htm zu finden sind.
• Kontroverse Aussagen fand ich zur Bedeutung des Pentagramms bei den Pythagoräern: Symbol für die Suche nach der universellen Wahrheit oder Symbol für geometrische Proportionen des Menschen? Hat da jemand eine verlässliche Quelle dazu?
• Angeblich sind in großen Sonnenblumen bis zu 89 und 144 Fibonacci-Spiralen zu sehen. Ich selbst habe mal an einer sehr großen 54 und 89 gezählt und halte 144 für ein Gerücht. Oder hat jemand ein Foto als Beweis für 144 oder hat selbst nachgezählt?
• Leider kann ich die Internetquelle für die Untersuchung, nach der in den Pyramiden die Zahl π/2 besser als φ repräsentiert sei, nicht mehr finden, sonst könnte man im Text genau angeben, um welches Streckenverhältnis es dabei genau geht.
• Der Titel des Buches von Ohm von 1835 "Die reine Elementar-Mathematik, weniger abstrakt, sondern mehr anschaulich" kommt mir sehr spanisch vor. Das klingt doch nicht nach Buchtitel aus dem 19. Jahrhundert sondern nach Umgangssprache von 2000 - oder?

Vielleicht findet jemand ein paar Antworten oder Lösungen zu diesen offenen Fragen? Wäre prima! --Wolfgangbeyer 00:04, 20. Jul 2004 (CEST)

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Zu den Veränderungen vom 23.-25.7.04

Habe viele dieser Veränderungen revertiert und zwar aus den folgenden Gründen:

• ich sehe keinen Sinn darin, den Leser so weit oben mit einem Zahlenmonster der Art 1,6180339887498948482 ... zu überfallen. 1,618 ... reicht da völlig. Wer es genauer braucht, findet eine präziesere Angabe ja im Abschnitt Mathematische Eigenschaften.
• Die Größe der Thumbs war ganz bewusst nicht überall gleich gewählt: Bei den Skizzen zur Konstruktion führten sie zu identischen Strichbreiten und Zeichengrößen. Es handelt sich eigentlich nicht um Thumbs im ursprünglichen Sinn, denn es ist ja alles erkennbar und es besteht keine Notwendigkeit, sich die Bilder vergrößert anzusehen. Wer es aber dann doch unbedingt will, der soll das auch können. Habe den Eindruck, dass Thumbs sehr oft in diesem Sinne in der WP eingesetzt werden. Das gleiche gilt für die Thumbs weiter unten. Dort führte die Vereinheitlichung der Thumbgröße beim berechneten Blütenstand zu unschönen Pixeleffekten und zu einem unsinnig großen Efeublatt.
• Im Prinzip spricht nichts dagegen, Teile in andere Artikel auszulagern wie im Fall des Abschnitts zum Pentagramm. Aber wenn man das macht, sollte man auch die Verantwortung dafür übernehmen, dass dann hier stilistisch kein Loch entsteht und der Text sich in den anderen Artikel auch ordentlich einfügt. Konkret: Hier müsste man zumindest den ersten Satz des transferierten Absatzes stehen lassen. Und unter Pentagramm gibt eine Überschrift wie Aus dem Artikel Goldener Schnitt wenig Sinn, ferner steht jetzt dort die Geschichte mit Goethe jetzt zweimal und der ganze Text wurde einfach nur ohne Rücksicht, was denn inhaltlich darüber steht, unten eingefügt statt eingearbeitet. Das kostet etwas Zeit und Mühe, die ich im Moment leider nicht Zeit habe. Habe es daher erst mal revertiert - sorry - , denn so sollte man es nicht stehen lassen. --Wolfgangbeyer 01:22, 26. Jul 2004 (CEST)

Diskussion aus Wikipedia:Review:

Goldener Schnitt, 10. Juli

Ist im ersten Anlauf zu Recht durchgefallen. Habe mit viel Aufwand einen so gut wie völlig neuen Artikel daraus gemacht. Ist schon weitgehend komplett. Die Abschnitte Architektur und Kunst sollte vielleicht noch jemand mit Inhalten füllen, der was davon versteht. Vielleicht kennt sich auch jemand mit der (noch)kommentarlosen Konstruktion zum Buchlayout aus. Ein lizenzrechtlich unbedenkiches Foto des Tempels auf der Akropolis mit eingezeichneten Linien, die den Goldenen Schnitt markieren wäre auch prima. --Wolfgangbeyer 19:24, 10. Jul 2004 (CEST)

Die Definition kommt mir etwas holprig vor. Da der Goldene Schnitt in der Fotographie (Cartier-Bresson) eine sehr wichtige Rolle spielt, könnte kurz darauf eingegangen werden. --Cornischong 19:36, 10. Jul 2004 (CEST)

Danke --Cornischong 17:46, 15. Jul 2004 (CEST)

Finde den Artkel sehr hübsch. Ein wenig mehr zur Verwendung in der Kunst und Architektur wäre nett, läßt sich da wirklich kein Bild auftreiben/bearbeiten? Sonst für mich ein Fall für die Exzellenzabteilung.--Janneman 21:10, 11. Jul 2004 (CEST)

Ja, fänd' ich prima, wenn mir das jemand abnehmen könnte. Da bin ich nicht sehr fit. --Wolfgangbeyer 23:18, 11. Jul 2004 (CEST)

Ich bin nicht der Meinung, das der Goldene Schnitt in Kultur & Gesellschaft oder in Kunst und Architektur hineingehärt, auch wenn gerade in der Kunst und Architektur der Goldene Schnitt eine Rolle spielt. Genauso kommt der Goldene Schnitt in der Natur vor, und die BBC hat in einer Wissenschaftsreihe (moderiert von John Cleese, sich in einer Folge damit beschäftigt, das bei Menschen, die man als schön oder auch perfekt (ist nicht das gleiche!) empfindet, an den Proportionen des Körper, im Gesicht und sogar bei den Zähnen sehr häufig der Goldene Schnitt zu finden ist.

Trotzdem würde ich es als ein Thema der Mathematik bezeichnen. --Arbol01 13:59, 14. Jul 2004 (CEST)

Es ist ein extrem interdisziplinäres Thema. Wenn es hier unter Kultur & Gesellschaft einsortiert wurde, dann ist das durchaus ok, denn das ist ja gerade der Aspekt, bei dem es noch ein wenig hapert bei diesem Artikel. Ich bin leider zu wenig Fachmann, und alles was ich dazu beim googeln finde, überzeugt mich wenig. --Wolfgangbeyer 18:26, 16. Jul 2004 (CEST)

Ich denke, der Artikel ist jetzt exzellent. Wenn es keine Einwaende oder weitere Anregungen mehr gibt, werde ich ihn vorschlagen. Viele Gruesse --DaTroll 17:11, 28. Jul 2004 (CEST)

Schon sehr kurios

Ich finde es schon sehr kurios, das ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\frac {2}{{\sqrt {5}}-1}}=1+{\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}$ ist. --Arbol01 16:00, 1. Aug 2004 (CEST)

Das ist wirklich recht interessant: Setze einmal $e$ statt 1, $f$ statt ${\sqrt {5}}$ und $z$ statt 2. Der erste Teil der Gleichungskette ${\frac {e+f}{z}}=e+{\frac {f-e}{z}}$ liefert uns sofort $z=2$, der Rest ergibt (nach einigem Rechnen) die Bedingung $f^{2}-e^{2}=4$. $1$ und ${\sqrt {5}}$ sind sicherlich eines der hübschesten Zahlenpaare, die das erfüllen. --Claen edon 15:34, 4. Aug 2004 (CEST)

Wenn man 1 durch eine Variable ersetzt, dann verliert es seine Bedeutung. Die 1 muss als 1 bleiben. Und wenn man die 1 so lässt, dann gibt es da auch nur eine Lösung. Tatsache ist, dass die 1 in dieser Formel eine Art Faktor darstellt. Wenn man es verändert, ist es so als würde man das ganze vergrößern oder verkleinern.

Ich möchte dem folgende Ergänzung hinzufügen: 1+((5*(1:2))-1):2 = 2:2+(5*(1:2)):2-1:2 = ((5*(1:2))-1):((5*(1:2))-1)+((5*(1:2))((5*(1:2))-1:2)):((5*(1:2))-1) = ((5*(1:2))-1+5:2-2(5*(1:2)):2)+1:2):((5*(1:2))-1) = (-1+6:2):((5*(1:2))-1) = 2:((5*(1:2)-1); q.e.d. Ich hoffe, meine obgleich etwas unübersichtliche Rechnung hat mehr Fragen beseitigt, als neue aufgeworfen.

Ein Blumenstrauss für die Autoren (und den Artikel?)

Schmetterling im Goldenen Schnitt

Nach viel gutem Zureden ist der Kleine Perlmutterfalter (wenn er denn einer ist) fast exakt im goldenen Schnitt auf dem Rainfarn gelandet. ... Fall Ihr etwas zur Aulockerung braucht, bei Fotografie oder Biologie oder ... ansonsten wieder rauswerfen. Gruss --Lienhard Schulz 23:26, 4. Aug 2004 (CEST)

Dankeschön! Wirklich sehr nett :-) --Wolfgangbeyer 00:14, 5. Aug 2004 (CEST)

weblinks entfernt

es gibt wirklich viele gute webseiten zum goldenen schnitt, der abschnitte Weblinks dürfte auch mehr als 3 links enthalten (muss aber nicht). gerade deswegen sollte man aber die verlinkten sorgfältig auswählen. ich habe zwei davon wieder rausgenommen:

• http://www.volkmar-weiss.de/chaos.html ''The golden mean as clock cycle of brain waves''

dieser link wurde vom autor und betreiber der website (Benutzer:Dr. Volkmar Weiss) eingestellt und gleich als "werbung" rausgeworfen, dann noch einmal eingefügt, wohl ebenfalls von weiss selbst. ich bin aus zwei gründen dagegen, diesen artikel zu verlinken:

• • der artikel ist für ein fachpublikum geschrieben, setzt sehr viele vorkennisse voraus und ist deshalb als weiterführende lektüre für einen enzyklopädieleser absolut ungeeignet.
  • ich habe leise zweifel an der fachlichen qualität des guten stücks bekommen, als ich einige mir zugängliche abschnitte übeflogen habe. (kann das wenn gewünscht etwas detaillierter ausführen.) nun ist dr. habil. volkmar weiss kein spinner, aber ein großer teil der behandelten themen, nämlich die mathematisch/physikalischen, liegen außerhalb seiner formalen qualifikationen. und die Elsevier-zeitschrift, in der das veröffentlicht ist, wird nicht umsonst im Nonlinear Science FAQ mit dem wenig schmeichelhaften attribut Low quality versehen. ich sage keinesfalls, dass der artikel quatsch ist, aber etabliertes wissen stellt er jedenfalls nicht dar: The principle of information coding by the brain seems to be based on the golden mean - steile these, die sich in der neuropsychologie noch nicht so ganz durchgesetzt zu haben scheint.

• http://lambertrosenbusch.de/startseite/Theorie/cubiratio/cubiratio.htm ''Cubi Ratio: goldene Proportion des Raumes''

diese seite enthält über den goldenen schnitt kaum informationen, die nicht schon im artikel stünden. und der rest des texts - nun ja, ich zitiere:

Der Erfolg meiner Bemühungen stützt die Feststellung, dass nicht zuletzt in der Zeit der Datentechnik in der Nachrichten über den n-dimensionalen Raum populär und zum Alltag geworden sind, Untersuchungen der dritten Dimension vernachlässigt wurden. Meine Forschungen beweisen, dass gerade hier überraschender Weise noch grenzenloses Neuland zu entdecken gilt und zugleich für die klassische Entwurfslehre die wohl interessantesten Erfahrungen gemacht werden können. Denn, auch wenn wir fortschrittlichen Menschen des 21. Jh. es nicht wahrhaben möchten, im Sinne ästhetischer Erfahrungen hat sich unser Wissen um die dritte Dimension seit der Antike nicht nennenswert erweitert.

Meine Forschungen zur Proportion des Raumes, die ich in einer bewussten Parallelität zur „sectio aurea“[6], dem Goldenen Schnitt, „cubi ratio“[7], nenne, stellen nur einen kleinen Ausschnitt eines großen weiten Umfeldes dar, das sich nach meiner Vermutung bis zu einem geschlossenen Kosmos in der Art des Euklides ausdehnt.

etc.

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in dem zusammenhang (von webseiten über den goldenen schnitt allgemein, nicht auf die beiden obigen bezogen) noch ein zitat aus diesem artikel des physikers John Baez: The golden number is a great favorite among amateur mathematicians, because it has a flashy sort of charm. You can find it all over the place if you look hard enough - and if you look too hard, you'll find it even in places where it's not. .... The charm of the golden number tends to attract kooks and the gullible - hence the term "fool's gold". You have to be careful about anything you read about this number. - es werden in diesen artikel noch mehr links eingefügt werden im laufe der zeit.....

grüße, Hoch auf einem Baum 06:20, 6. Aug 2004 (CEST)

charakter

hallo, ich bin dafür, den folgenden satz zu entfernen:

*Der goldene Schnitt ist in den gruppentheoretischen Charakteren der Symmetriegruppen des Dodekaeders und des Ikosaeders enthalten (Ikosaedergruppe).

das ist zwar vollkommen richtig, aber erstens wohl für die meisten leser unverständlich, nämlich die, die nicht wissen, was charaktere einer gruppe sind. und wenn man das weiß, dann ist diese tatsache nicht viel aufregender als die, dass die ikosaedergruppe eine fünfzählige drehsymmetrie enthält - bzw. ergibt sich direkt daraus (siehe Diskussion:Ikosaedergruppe). letztendlich entpricht das dem viel elementareren und bereits in dem artikel erwähnten geometrischen sachverhalt, dass $\varphi$ auf mehrfache weise im regelmäßigen fünfeck auftritt.

falls wirklich noch bedarf an beispielen für das auftreten in der höheren mathematik besteht, finden sich solche zb in diesem schon oben verlinkten artikel. grüße, Hoch auf einem Baum 06:52, 6. Aug 2004 (CEST)

Rechteckbild

Bevor die Information verloren geht, weil der Artikel bald in die Exzellenten wandert: Einem Benutzer ist praktischerweise aufgefallen, dass die Betextung im Rechteckbild (Vergleich verschiedener Zahlenverhältnisse) inkorrekt ist (z. B. 1/Wurzel(2)=1,41... statt Wurzel(2):1=1,41, dasselbe auch bei φ). Es wäre schön, wenn dieser Fehler noch behoben werden könnte. --mmr 23:41, 7. Aug 2004 (CEST)

Bemerkungen (Sexte, Quinte, TeX, "harmonische Teilung")

• Finde, der Text zur Sexte führte doch ziemlich über das Thema des Artikels hinaus. Es geht doch nur darum, festzustellen, dass die durch Fibonacci-Zahlen definierbaren Tonintervalle abgesehen von der Quinte keine herausragende Rolle in der Musik spielen und damit auch der Goldenen Schnitt nicht. Ich wollte die Sexte ja nicht abwerten, sondern hatte ihr eine „mittlere Bedeutung“ eingeräumt. Ich denke, dass die Bedeutung von Terz (Beethovens 5. gegen Tschaikowskis Violinkonzert ;-)) und Quarte wohl eher größer ist. Trotzdem kann man sicher Romane über die Rolle der Sexte schreiben, über ihre psychologische Wirkung und ihr Vorkommen, aber sicher ebenso über alle anderen Intervalle. Oder? Ich war mir anfangs gar nicht sicher, ob das Thema Goldener Schnitt und Frequenzverhältnisse überhaupt erwähnenswert sind im Artikel, hatte aber dann doch ein paar Sätze dazu geschrieben. Habe den Text zur Sexte daher wieder rausgenommen, wenn’s recht ist. Man könnte ihn aber ohne weiteres in den Artikel Sexte wieder einfügen.
  • Na klar, so gesehen kann man wahrscheinlich zu jedem Intervall bedeutungsschwangere Sachen schreiben. Nur die mittlere Bedeutung war mir dann doch etwas zu schwammig/unrichtig. Ich bin einverstanden mit der Änderung, aber die Gewichtung gefällt mir nicht. --Königin der Nacht 13:10, 10. Aug 2004 (CEST)

Habs nochmal anders formuliert. Besser so? --Wolfgangbeyer 18:36, 10. Aug 2004 (CEST)

Sehr gut so, jetzt kann ich wieder schlafen... --Königin der Nacht 18:50, 11. Aug 2004 (CEST)

Ich war mir anfangs gar nicht sicher, ob das Thema Goldener Schnitt und Frequenzverhältnisse überhaupt erwähnenswert sind im Artikel.. - da bin ich auch noch nicht so überzeugt.. Hoch auf einem Baum 01:20, 11. Aug 2004 (CEST)

Aber die Fibonacci-Zahlen sprechen doch für sich, oder? --Königin der Nacht 18:50, 11. Aug 2004 (CEST)

• Auch die Erwähnung des Quintenzirkels weckt wohl eher beim Leser die irreführende Assoziation, dass der nun etwas mit dem Goldenen Schnitt zu tun haben könnte. Ich weiß nicht ob es geschickt ist die Bedeutung der Quinte in erster Linie auf den Quintenzirkel zu gründen (man hätte ihn ja auch Quartzirkel nennen können ;-)).
  • Wenn Du sagst, dass die Quinte herausragend ist hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Musik, kann man meiner Meinung nach den Quintenzirkel anführen, weil der ja auch nicht vom Himmel gefallen ist (und deswegen eben nicht Quartenzirkel heißt), sondern sich gerade aus dem "natürlichen" Empfinden entwickelt hat. Für mich hat der Goldene Schnitt etwas mit instinktiver Ästhetik zu tun, oder realisierst Du zum Beispiel bei Bartók dieses Verhältnis intellektuell? Ähnlich ist es doch mit den Intervallen. Wir wollen vielleicht nicht behaupten, dass die Quinte wegen des G.S. ihre Bedeutung erlangt hat, aber dieses merkwürdige Zusammentreffen sollte erwähnt werden. Und der Quintenzirkel als ausgefeilte Theoretisierung dieses ästhetischen Phänomens gehört da rein. --Königin der Nacht 13:10, 10. Aug 2004 (CEST)

Ok. Wieder rein. --Wolfgangbeyer 18:36, 10. Aug 2004 (CEST)

Für mich hat der Goldene Schnitt etwas mit instinktiver Ästhetik zu tun, oder realisierst Du zum Beispiel bei Bartók dieses Verhältnis intellektuell? - aber ja. wenn, dann nur intellektuell und nicht sinnlich. oder "spürst" du etwa, dass das längenverhältnis zweier sätze mit 3975 zu 2457 achtelnoten nahe am goldenen schnitt liegt? (andere beispiele für das auftreten von φ in dem genannten bartok-stück weiß ich nicht, reclams kammermusikführer erwähnt den goldenen schnitt zb gar nicht)

dieses merkwürdige Zusammentreffen - hmm, was meinst du damit genau? die quinte war hier als das intervall genannt, das sich (nach der prime und der oktave) als erstes aus der Fibonacci-Folge 1,1,2,3,5,... ergibt, darauf folgen große und kleine sexte. und nach unendlich vielen weiteren, immer dissonanteren, als grenzwert dann erst das "goldene intervall", das (wenn ich mich nicht verrechnet habe) rund 33 cent über der kleinen sexte liegt.

den beleg, dass dieses intervall instinktiv als ästhetisch empfunden wird, müsstest du uns erst einmal liefern.

Wenn Du sagst, dass die Quinte herausragend ist hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Musik, kann man meiner Meinung nach den Quintenzirkel anführen - na gut, das ist wohl richtig. nur ob die quinte überhaupt hierher gehört, das bezweifle ich - eher gehört sie nach Fibonacci-Folge. grüße, Hoch auf einem Baum 01:20, 11. Aug 2004 (CEST)

Na gut. Aber zur instinktiven Ästhetik: Das Ohr berechnet, das ist mal sicher. Insofern intellektuell. Aber der sinnliche Reiz, der vom Gehirn als Klang interpretiert wird, besteht nicht aus Zahlen und Verhältnissen. Dass die Farben gelb und blau zusammen grün ergeben, habe ich irgendwann einmal gelernt. Vorher fand ich grün schön oder nicht. Insofern instinktiv. Andersherum glaube ich nicht, dass Du beim Hören von Bartók mitbekommst, dass das Verhältnis auf dem Goldenen Schnitt beruht. Du würdest das nicht so formulieren. Man merkt nur, dass das Verhältnis "stimmt".

diese merkwürdige Zusammentreffen: damit wollte ich sagen, dass es doch schon komisch ist, dass die Quinte als Intervall so große Bedeutung erlangt hat, bevor (?) man um die Fibonacci-Zahlen wusste. Das spricht wieder für Instinkt. Sorry. Ich hör jetzt auf. --Königin der Nacht 18:50, 11. Aug 2004 (CEST)

Die Oktave hat ein Schwingungsverhältnis von 2:1, die Quinte eins von 3:2, die Quarte eins von 4:3 und die große Terz eins von 5:4. Die kleine Sexte hat demnach (2:1) * (4:5) = 8:5, jedenfalls wenn man rein stimmt. Das sind alles rationale Verhältnisse. Bei der Entwicklung von Φ entfernt man sich gerade von diesen Intervallen. Dieser Theorie folgend müsste ein Intervall mit einem Schwingungsverhältnis von Φ (als irrationalste Zahl!) besonders disharmonisch klingen. Man urteile sebst: - Habe ich das eigentlich so richtig gemacht? Die Sound-Datei erscheint jetzt im Namespace "Bild" %-\ -- the-pulse 02:51, 18. Sep 2005 (CEST)

Ja, klasse. --Arbol01 03:14, 18. Sep 2005 (CEST)

• Das Psi per TeX in der Bildunterschrift lieferte bei mir Zeichensalat mit HTML-Kode-Fragmenten auf dem Bildschirm. Habe es daher durch &Psi; ersetzt. Vor der TeX-Version stand es offenbar als Zeichen direkt drin. Bei der Umstellung auf UTF8 automatisch ersetzt worden? Ich hatte es sicher ursprünglich als &Psi; eingegeben. Hat denn jetzt jemand Probleme damit? Das wäre dann ein Fall für die Bug-Abteilung.

• Harmonische Teilung bedeutet offenbar nur inneren und äußere Teilung einer Strecke aber nicht unbedingt im Goldenen Schnitt.

--Wolfgangbeyer 23:54, 9. Aug 2004 (CEST)

KAM-Theorem

@Benutzer:Hoch auf einem Baum und zum KAM-Theorem: Damit kenne ich mich nicht gut aus. Kenne auch kein astronomisches Beispiel für Planetenumlaufzeiten mit 1:φ. Das was jetzt dazu dort steht scheint ein rein theoretisches Ergebnis zu sein. Steht in dem wunderschönen Artikel von Richter, den ich auch unten zitiert habe und aus dem ich auch den Stoff für die Botanik und die Quasikristalle bezogen habe. Das KAM-Theorem wird dabei aber nur kurz gestreift. Qualitativ deck sich das auch mit dem Ergebnis, das ich in http://freenet.meome.de/app/fn/artcont_portal_news_article.jsp?catId=75962 oder in http://www.m-d-cremer.de/frames.php4?i=divina fand. --Wolfgangbeyer 23:54, 9. Aug 2004 (CEST)

hi wolfgangbeyer, danke für deine antwort. den zusammenhang mit dem kam-theorem bezweifle ich gar nicht. nur, der versuch, das mit dem sonnensystem in verbindung zu bringen, führt in dem artikel erst einmal zu einem scheinbaren widerspruch: zuerst heißt es, besonders rationale verhältnisse würden stabilität bringen, dann, besonders irrationale (zb φ) würden das auch tun.

ich weiß leider auch nicht richtig bescheid und komme jetzt nicht dazu, das genauer nachzulesen. was ich im moment für am wahrscheinlichsten halte, ist folgendes: das kam-theorem gilt vereinfacht gesagt nur für körper im sonnensystem mit kleiner masse (das ist der fall des Dreikörperproblems, bei dem der dritte körper "klein" ist). im sonnensystem lässt sich das auf asteroide (kleinplaneten) in verbindung mit jupiter und sonne anwenden. das sagt auch der von dir angegebene freenet-artikel (guter link), wo ja sogar extra gesagt wird, dass rationale verhältnisse instabil sind. allerdings kann ich in dem dort gezeigten histogramm nicht erkennen, dass bei φ=1,618... besonders viele stabile bahnen auftreten würden - im gegenteil, die meisten scheinen ein verhältnis von >2 zu haben.

in bezug auf die umlaufzeiten der (großen) planeten lässt sich das kam-theorem nicht so direkt anwenden. aus anderen erkenntnissen weiß oder vermutet man, dass rationale verhältnisse stabil sind. wie ich schon in der kandidatendiskussion sagte, ist das laut diesem artikel (pdf) in wirklichkeit auch nicht ganz so einfach - die auftretenden zahlen sind nur "fast rational" ("near-resonances"), und der zusammenhang mit stabilität noch nicht voll verstanden.

im moment erscheint es mir für den artikel das beste, nur das kam-theorem zu erwähnen -als theoretisches ergebnis, wie du sagtest -, und vielleicht noch dass es auf die bewegungen von asteroiden angewendet werden kann. die behauptung, dass φ im sonnensystem eine rolle spielt, halte ich bei unserem jetzigen erkenntnisstand für nicht belegbar.

grüße, Hoch auf einem Baum 02:24, 11. Aug 2004 (CEST)

hi! Ich habe den Link zu dem Artikel über KAM-Bahnen eingefügt, da ich selbst mehr darüber wissen wollte und erst eine ganze Weile gesucht habe. Denke, anderen wird's genauso gehen. Der Artikel erläutert einen äußerst faszinierenden Aspekt sehr anschaulich und kann ihn sogar mit einer fundierten Auswertung belegen, dass KAM-Bahnen "in der Natur" vorkommen! (Leider ist das Diagramm unscharf.)

Das ist wirklich Mathematik vom Feinsten!

Ich glaube, Ihr seid etwas voreilig, wenn Ihr schließt: "bei φ=1,618... besonders viele stabile bahnen". Die drei (KAM) wollten viel mehr belegen, dass es einen nachweisbaren und erklärbaren Zusammenhang zwischen einem "Grad an Irrationalität" - verzeiht die flapsige Formulierung! - der Verhältnisse und der statistischen Häufigkeit von Umlaufbahnen gibt.

--Hartmut Riehm 16:19, 23. Mai 2005 (CEST)

abgeschlossene Diskussion über diesen Artikel bei "Kandidaten für exzellente Artikel"

dieser artikel wurde mit 20 pro-stimmen und 0 contra-stimmen zum exzellenten artikel gewählt, glückwunsch! (eine "abwartend-stimme" war noch von mir, die wichtigsten sachen, die ich bemängelt hatte, sind aber behoben)

hier noch zur dokumentation der link: Diskussion über diesen Artikel bei "Kandidaten für exzellente Artikel"

grüße, Hoch auf einem Baum 02:24, 11. Aug 2004 (CEST)

Der Goldene Schnitt als Mythos

Habe die Darstellung der Rolle des Goldenen Schnitts in Kunst und Architektur ein gutes Stück kritischer dargestellt. Anlass ist ein privater E-Mail-Verkehr mit einem Herrn Dittrich [1], der mich auf die kritischen Schriften der Kunsthistorikerin Marguerite Neveux (siehe Literaturzitat) hingewiesen hat und deren Ausführungen ich im Artikel berücksichtigt habe. Vertrauenserweckend ist insbesondere, dass sich ihre Aussagen mit denen von Marcus Frings aus den soliden Online-Paper (siehe zitierten Weblink [2]) decken. Die bedeutendste übereinstimmende Aussage ist dabei die, dass vor Zeisig (1853) niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte. Das impliziert, dass es auch in den Schriftstücken der Künstler selbst offfenbar gar keine Hinweise darauf gibt. --Wolfgangbeyer 00:25, 23. Aug 2004 (CEST)

Weiter Fundstücke

@Wolfgangbeyer, wie Du siehst, ahbe ich noch zwei Fundstücke eingefügt. Da Du Hauptautor bist - bei Nichtgefallen löschen. Ich hätte für die Verwandlung eines DINA4-Blattes noch eine Anleitung zum Falten (alos ohne Linela und Zirkel!) -Hati

@Hati, der Beitrag zum Ikosaeder ist prima, denn er stellt auch die Verbindung zu den platonischen Körpern her, die im Abschnitt Historisches zur Sprache kommen. Weitere Konstruktionsvorschriften sind etwas problematisch, weil es so viele gibt. Hatte die 4 mit Zirkel und Lineal aus der früheren Version übernommen, umformuliert und Zeichnungen dazu gemacht. Hatte aber da schon meine Zweifel, ob 4 nicht zuviel sind und war kurz davor, die dritte zu streichen. Weitere Beispiele sollte man vielleicht nur reinsetzten, wenn sie in irgendeinem Aspekt was besonderes darstellen. Das sehe ich jetzt bei dem DIN-A4-Blatt noch nicht so recht, da man ja doch wieder Zirkel und Lineal braucht. Ferner scheint sich da ein Fehler eingeschlichen zu haben: Wenn ich von B aus a/2 abtrage und damit auf der kurzen Rechteckseite M konstruiere, dann touchiert ein Kreis um M mit den Radius MB doch AB nur in wieder B, so dass AB eine Tangente ist. Eine reine Faltvorschrift für DIN A4 ohne Zirkel und Lineal könnte schon interessant sein. So was hat heute jeder parat im Gegensatz zu einem Zirkel. Dafür könnte man vielleicht die 3. Konstruktion mit Zirkel und Lineal opfern. Gibt's dazu einen Weblink? Fand auf die Schnelle nur http://www.bg-rams.ac.at/network/network1b00/GoldenerSchnitt/Layout/HtmlSeiten/origami.html , aber dort geht man von einem Quadrat aus. --Wolfgangbeyer 23:25, 31. Aug 2004 (CEST)

Habe jetzt doch mal vorläufig den Abschnitt zum DIN-A4-Blatt entfernt, nachdem ich eben sehe, dass die Formel für den Goldenen Schnitt fehlerhaft war und auch der Satz "... entsteht ein Bogen ABCD mit dem Seitenverhältnis a/b=..." schwer mit Sinn zu füllen sein dürfte, auch wenn wegen des erwähnten Fehlers darüber mir nicht klar ist, was ABCD eigentlich genau ist. Wollte dann doch einen Abschnitt mit 3 Fehlern (oder mehr?) nicht länger da stehen lassen. Wie sähe es denn korrekt aus? --Wolfgangbeyer 23:34, 1. Sep 2004 (CEST)

Liefere es mal hier ab, kannst es dann wenns funktioniert in den Artikel einsetzen:

Exakte Lösung

Näherungs-Lösung

Die exakte Lösung geht zurück auf Hans Pfister, Hamburg.

1. Falten der Mittellinie EF durch anlegen der Kanten BC auf Kante AD.
2. Anlegen der Kante EB an Falz EF ergibt die Linie EG.
3. Falten in den Punkten A und G ergibt den Falz AG.
4. Anlegen der Kante AD an die Linie AG ergibt den Falz AM.
5. Anlegen der Kante GB an die Linie AG und Faltung dieser Ecke ohne sie zunächst zu öffnen.
6. Die Linie HI entsteht durch Faltung entlang der Kante HB’.
7. Das Blatt wird nun wieder aufgefaltet und zeigt den Schnitt punkt J der Linie HI mit AM.
8. Durch den Punkt J wird die Kante DC parallel umgeschlagen.
9. Es entsteht das Rechteck ABLK mit den Seitenverhältnissen AB/KL i, Verhältnis des goldenen schnittes.
   

Die Näherungslösung stammt von Hans Schick aus Rotenburg und liefert ein Seitenverhältnis 8sqr2/7=1,6162, das ist ungefähr ein Tausendstel kleiner als der Wert 1,6180. Sie dürfte in der Praxis genauer ausfallen als die exakte Lösung:

Drei Halbierungen der kurzen Seite ergeben ein Achtel, welches umgeschlagen wird. Damit ergbt sich ein Blatt im Seitenverhältnis des goldenen Schnittes.

zur Diskussion: Die Quelle ist Spektrum der Wissenschaften, Februar 2001, S. 103. Die beiden Grafiken stammen von mir. Die Anleitung habe ich verändert. Das ganze war ein Wettbewerb. Die Namen der beiden Autoren der Lösungen habe ich mit angegeben. Ist das ok so?

Zu Schimper-Braun

Die Schimper-Braun`sche Blattstellungsreihe bezeichnet eine Folge von Blattstellungswinkeln (Divergenzwinkeln) (also bei verschiedenen Pflanzen), bei denen der Vollkreis nicht im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt wird sondern entsprechend den aus Fibonacci-Zahlen gebildeten Brüchen 1/2 , 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, ... (siehe z. B. [3]). Dabei bilden sich keine Fibonaccispiralen, sondern achsparallele Linien, deren Zahl einer Fibonacci-Zahl entspricht. Diese Folge von Divergenzwinkeln strebt natürlich gegen den Goldenen Winkel. Finde die Diskussion dieses Sachverhaltes sprengt den Rahmen des hiesigen Artikels, bei dem es ja primär um den Goldenen Schnitt geht. Im Artikel Phyllotaxis sollte man aber auf diese Zusammenhänge schon detailliert eingehen. Bitte aber nicht, so wie hier geschehen, sein eigenes Wissen völlig ohne Rücksicht auf den Textfluss irgendwohin kotzen - pardon, wenn ich das so hart formuliere - aber ich empfinde das als eine recht ärgerliche Unsitte, der man hier leider öfter begegnet. --Wolfgangbeyer 01:48, 1. Sep 2004 (CEST)

Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen

Ich finde, wir sollten auf die von Benutzer:Herr_W hinzugefügte zweite Herleitung des Umstandes, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen den Goldenen Schnitt strebt, verzichten. Eine reicht eigentlich, insbesondere, da die zweite beim Leser Kenntnisse über Matrizenmultiplikation und Eigenwerte erfordert, worüber wohl nur wenige verfügen, während die erste mit den Grundrechenarten auskommt. Hab's daher wieder entfernt. --Wolfgangbeyer 21:34, 14. Okt 2004 (CEST)

Egal welche Zahlenfolge

Eines liegt mir gerade auf der Seele, nämlich das nicht nur das verhältnis zweier klassischer Fibonacci-Zahlen gegen den Goldenen Schnitt strebt, sondern jede Zahlenfolge die mit zwei beliebigen Zahlen gestartet wird, und dann wie auch die die klassische Fibonacci-Folge fortgeführt wird:

1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 ...

2 5 7 12 19 31 50 81 131 212 343 ...

Mit welchen Zahlen dabei gestartet wird ist dabei völlig egal. Das ist für mich nichts neues, sonndern das weiß ich seit ca. 6-8 Jahren. --Arbol01 10:44, 15. Okt 2004 (CEST)

Sieht man sofort an dem Umstand, dass in der Argumentation im entsprechenden Abschnitt die Anfangswerte gar nicht auftauchen sondern nur die Rekursionsformel. Dürfen nur nicht beide gleich Null sein ;-). --Wolfgangbeyer 21:16, 15. Okt 2004 (CEST)

Lukas-Folge

Die Erwähnung, dass man die Fibonacci-Folge auf die Lukas-Folge zurückführen kann, trägt nicht wirklich zum Verständnis des eigentlichen Themas bei. Es geht doch um den Goldenen Schnitt. Es genügt völlig, wenn der besonders interessierte Leser von diesen Dingen erfährt, wenn er auf dem Link nach Fibonacci-Folge folgt. Außerdem war das Vorzeichen in der quadratischen Gleichung schon ok (hatte das vorhin schon geschrieben, aber wohl versehentlich nicht gespeichert). --Wolfgangbeyer 23:11, 24. Nov 2004 (CET)

Man kann es ja mal probieren. Dir gefällt es nicht, und darum hast Du es herausgenommen, und damit hat es sich voerst mal. Sollte ich einen Geistesblitz haben, werde ich mal sehen, ob und/oder wie das reinpasst.

Was die Quadratische Gleichung betrifft, so ist die dargestellte Gleichung ja eigentlich keine Gleichung, da keine Unbekannte da ist (naja, eine Gleichung ist es schon). wenn ich von $U(1,-1)$ ausgehe, dann komme ich auf eine Quadratische Gleichung $x^{2}+x-1=0$, da bei $x^{2}+px+q$ für p = 1 und für q = (-1) einsetze. Das ist aber etwas anderes als $\Phi ^{2}-\Phi -1=0$. Mein Problem war/ist das ich die Gleichungen nicht zusammen bekomme. --Arbol01 23:29, 24. Nov 2004 (CET)

Es gibt überhaupt keinen Grund dafür, $U(1,-1)$ ins Spiel zu bringen: Die aufgeführte quadratische Gleichung ergibt sich einfach aus der Gleichung davor. Dadurch, dass ich die "quadratische Gleichung" als Gleichung hinschreibe, bekommt x einen Wert, und damit ist es dann auch eine Gleichung. Darüber habe ich noch nie eine andere Ansicht gehört. --Wolfgangbeyer 18:49, 25. Nov 2004 (CET)

Nur eine Fibbonacci-Folge?

Hallo, im Artikel steht unter Botanik: "Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, ...", dabei heisst es bei Fibonacci doch:

• für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null (oder Eins) und Eins vorgegeben
• jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger

somit also (0)1,1,2,3,5,8,13,..., oder gibt es etwa verschiedene Fibonacci-Folgen?

Zuerst mal ist jede Folge mit zwei Startwerten F₀ = a und F₁ = b, und der rekursiven Bildungsregel F_n+1 = F_n-1 + F_n eine Fibonacci-Folge. Unter den Fibonacci-Folgen ist die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... die Fibonacci-Folge, da sich alle denkbaren Fibonacci Folgen als Summe verschobener Folgen kostruieren lassen.

Beispiel:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ... =

---------------------------------

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... +

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Die im Beispiel genannte Fibonacci-Folge heißt auch Lucas-Folge, nach dem Mathematiker Lucas.

Man kann auch eine Fibonacci-Folge konstruieren, die hintereinander drei Quadratzahlen enthält:

2, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, ... =

-----------------------------------

3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... +

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, ... +

-1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, ...

--Arbol01 02:52, 1. Jan 2005 (CET)

Cool, danke für die Veranschauung! Jetzt habs sogar ich kapiert! :-) 145.254.219.119 14:30, 1. Jan 2005 (CET)

Die irrationalste Zahl?

Wie kann eine Zahl die "irrationalste" sein? Ich dachte, es geht nur entweder rational oder irrational.

Tobias b köhler 20:24, 6. Jan 2005 (CET)

Das ist schon richtig. Es hindert einen aber niemand daran, darüberhinaus einen Irrationalitätsgrad zu definieren. Im Artikel steht daher ja auch zweimal ausdrücklich "in gewissen Sinne die irrationalste Zahl" und in entsprechenden Abschnitt steht auch, in welchem Sinne. --Wolfgangbeyer 23:36, 6. Jan 2005 (CET)

Wenn jemand einen Irrationalitätsgrad definiert, dann sollte er es aber auch belegen können. Solange hier kein Beleg erbracht wird, d.h. keine Quelle existiert, bin ich dafür den Satz zu entfernen. ("Wikipedia is not the place for original research.") Ich habe zwar auch kein Wissen darüber, aber ich bin mir recht sicher, dass es nicht die irrationalste ist, die bekannt ist, lasse mich aber sehr gern überzeugen; interessiert mich sehr. Nerdi ?! 20:02, 30. Apr 2005 (CEST)

Die Quelle ist der im Literaturverzeichnis aufgeführte Artikel von Richter und Scholz ("Der Goldene Schnitt in der Natur"). Er war für mich auch die Grundlage für den Abschnitt zur Phyllotaxis, wo das eben die zentrale Rolle spielt. Die dort angegebene Definition inkl. Herleitung steht ja sogar nachvollziehbar hier im entsprechenden Abschnitt, so dass im Grunde genommen ein Literaturhinweis gar nicht mal nötig wäre. --Wolfgangbeyer 21:07, 30. Apr 2005 (CEST)

Tut mir leid, habe das übersehen; Der Literaturhinweis kann aber ruhig stehen bleiben.

Pardon, aber die Formulierung "irrationalste Zahl" erzeugt in mir auch die sofortige Reaktion "kein seriöser Artikel". Da ich andererseits der "Spökenkiekerei" durchaus aufgeschlossen bin, hier ein Vorschlag: Vielleicht wäre es sinnvoll, die "rein-mathematische" Seite (zu der die mathematische Irrationalität ohne Pseudo-Differenzierung gehört) von der kulturhistorisch-mystifizierenden Seite (zu der der Versuch gehört, die Besonderheit eines bestimmten Zahlenverhältnisses herauszustellen, das ohne Zweifel viele Künstler und andere Personen beeinflusst und inspiriert hat, vielleicht Ernö Lendvai mehr als Bela Bartok) zu trennen. Mathematisch gesehen ist es tatsächlich vollkommener Blödsinn, von einer "irrationalsten" Zahl zu sprechen, die sich angeblich nicht durch Zahlenverhältnisse annähern lasse (aber andererseits nicht einmal transzendent ist): jede irrationale Zahl lässt sich beliebig genau durch rationale Zahlen annähern, z.B. ist 1,618 ohne Zweifel eine gute Näherung. - Auf der anderen Seite ist es unverkennbar, dass es immer wieder Leute gibt, die in solchen Zahlenverhältnissen einen Schlüssel zum Wesen des Universums gefunden zu haben glauben (vielleicht ein spätes Erbe der Pythagoreer). Auch dies ist natürlich Teil der Geschichte solcher Zahlen oder Zahlenverhältnisse und kann daher dokumentiert werden. Aber man sollte eben diese beiden Betrachtungsweisen nicht vermengen.

Deine Kritik geht ein wenig ins Leere:

• Da steht nicht, dass Φ ist die irrationalste Zahl ist sondern "sie (ist) in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen", und in welchem Sinne ist das gemeint ist, steht dahinter und weiter unten ist dem ein eigenes Kapitel gewidmet. Die Literaturquelle dazu ist in meinem obigen Beitrag von 21:07, 30. Apr 2005 angegeben (hast Du meine obigen Diskussionsbeiträge gelesen?). Bei dieser Literaturquelle handelt es sich übrigens um einen rein mathematisch orientierten Artikel.
• "..., die sich angeblich nicht durch Zahlenverhältnisse annähern lasse" wo steht das im Artikel? Bitte mal richtig lesen. --Wolfgangbeyer 01:33, 17. Mär 2006 (CET)

Hallo Wolfgangbeyer! Dieser Unsinn stand vor ein paar Tagen für eine Weile im Artikel, und bevor ich es revertieren konnte, hatte es ein anderer getan.

Natürlich lässt sich ein "IrrationalitätsGrad" als ÄquivalenzBeziehung in dieser Weise definieren. Die Menge sind die 2-Tupel ganzer Zahlen. --Dadamax 14:58, 17. Mär 2006 (CET)

banale Kuriositäten

Nicht alles, was kurios aussieht, ist es auch. Ich habe die die Formel lässt sich nur mit Fünfen schreiben Kuriosität entfernt (erstmal auskommentiert). Jede (rationale) Zahl lässt sich mit Summen von Einsen darstellen. Da (5+5)/(5+5) ebenfalls 1 ist, lässt sich auch alles mit Fünfen darstellen. Das hat nichts mit dem Goldenen Schnitt zu tun. Das gleiche gilt im Übrigen auch für die Ziffer 2. A.Heidemann 10:30, 19. Jan 2005 (CET)

Das ist natürlich richtig. Als Besonderheit könnte jedoch durchgehen, dass lediglich 4 Fünfen nötig sind und ein Taschenrechner ohne Klammerfunktion. Das müsste man dazuschreiben. Hätte nichts dagegen, es in dieser Weise ergänzt wieder reinzunehmen. Muss aber nicht unbedingt sein. --Wolfgangbeyer 23:39, 19. Jan 2005 (CET)

Habe das mal in diesem Sinne modifiziert wieder reingesetzt. --Wolfgangbeyer 22:27, 24. Jan 2005 (CET)

Ich halte das nach wie vor für banal. Noch extra Einschränkungen anzugeben, damit es wieder pseudo-einzigartig wird, halte ich für albern. Soll ich jetzt die Einser-Banalität und Zweier-Banalität auch notieren ? Ich bin sicher, dass ich auch mein Geburtsdatum in der Ziffernfolge der Nachkommastellen finde, welch eine Kuriosität. :->

Ich werde mich nicht an Löschen/Einfügen Spielchen beteiligen - mag es halt dann so stehenbleiben, wenn es Dich glücklich macht. A.Heidemann 11:05, 27. Jan 2005 (CET)

Ok,überredet. War sowieso nicht von mir ;-). Und es verwässert schon ein wenig die wichtigeren Dinge, die es zu sagen gibt. --Wolfgangbeyer 23:46, 27. Jan 2005 (CET)

1024 Nachkommastellen?

Halte es für einen Unsinn, hier 1024 (was hat Phi eigentlich mit 2¹⁰ zu tun?) Nachkommastellen anzugeben. Wir müssen der englischen WP nicht alles nachmachen (Vielleicht haben die es mangels Artikelstoff eher nötig ;-)). Das haben wir uns ja nicht mal bei Pi geleistet. Habe es mal auf 100 reduziert. Das ist zwar auch schon mehr als nötig, aber hinsichtlich des Platzbedarfs vielleicht noch vertretbar. --Wolfgangbeyer 22:27, 24. Jan 2005 (CET)

Nebenbei habe ich, unter Weblinks, einen Link zu Wikisource gesetzt, wo Phi mit 30.000 Nachkommastellen angegeben ist.

AFAIK würden wohl 6 bis 8 Nachkommastellen im Artikel ausreichen. Zur Anwendung reichen 4 bis 5 Stellen vollkommen. --Arbol01 22:34, 24. Jan 2005 (CET)

Bemerkenswerte Koinzidenz unsere Edits ;-) - schon geschehen. --Wolfgangbeyer 22:41, 24. Jan 2005 (CET)

Rechtecke: falsch dargestellt?

Hallo zusammen!

Bin mir nicht sicher, aber wenn man beim Breitbild von 16:9 spricht, wird zuerst die Breite, dann die Höhe angegeben, oder? Sollten demnach die Grafiken nicht anders dargestellt werden, wenn im Abschnitt über Bildschirme gesprochen wird? Gruss Christian

Na und? Du kannst doch einen Fernseher auch hochkant aufstellen. Mal im ernst, das ist alles eine Sache der übereinkunft. Wenn im Artikel bei allen Rechtecken zuerst die Höhe, und dann die Breite angegeben wird, ist das doch in Ordnung. Im anderen Falle würden sie wohl ihren chartartigen Charakter verlieren. --Arbol01 10:20, 7. Feb 2005 (CET)

Geometrie

Müssten die abgebildeten Rechtecke nicht "liegend" angeordnet sein, da Bildformate üblicherweise in Breite mal Höhe genannt werden? --84.142.59.156 11:51, 14. Sep. 2007 (CEST)

ist mir auch aufgefallen. ausserdem sprengen die bilder meine (hochkant!)bildschirmbreite 768px.--217.186.201.46 23:43, 18. Apr. 2008 (CEST)

Herleitung des Zahlenwertes

Wie schon in dem Diskussionsbeitrag Die Definition von rho ist falsch.... bemerkt, ist der Artikel der "Herleitung des Zahlenwertes" nicht ganz fehlerfrei.
Da steckt der Teufel im Detail, denn eigentlich ist mit Φ nur die positive Lösung der quadratischen Gleichung Φ² - Φ - 1 = 0 gemeint, die negative Lösung ist auf den ersten Blick zwar korrekt, mathematisch aber wenig sinnvoll, denn:

• a und b sind Stecken, d.h. positive reelle Zahlen. Somit muss auch der Quotient Φ = ^a/_b positiv sein!

Die negative Lösung einfach als -ρ zu bezeichnen, weil es sich später (wenn auch nicht ganz zufällig) als richtig erweist, ist eine Gradwanderung.
Deshalb werde ich zu einem späteren Zeitpunkt den Teil der "Herleitung des Zahlenwertes" bearbeiten und ergänzen.

Schimon 12:00, 18. Feb 2005 (CET)

Herleitung des Zahlenwertes Zwei Strecken a und b stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere Strecke a zur kleineren b verhält wie die Summe a + b zur größeren Strecke a. Dabei ist die Verhältniszahl $\Phi :={\frac {a}{b}}$. Es gilt also $\Phi :={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\qquad mit\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}\wedge a>b$ $\Leftrightarrow \quad a^{2}=ab+b^{2}$ $\Leftrightarrow \quad a^{2}-ab=b^{2}$ $\Leftrightarrow \quad a^{2}-2\cdot a\cdot {\frac {1}{2}}b+{\frac {1}{4}}b^{2}=b^{2}+{\frac {1}{4}}b^{2}\qquad ||$ linke Seite: 2. binomische Formel $\Leftrightarrow \quad \left(a-{\frac {1}{2}}b\right)^{2}={\frac {5}{4}}b^{2}\qquad ||$ Wurzelziehen ohne Fallunterscheidung erlaubt laut Voraussetzung $\Leftrightarrow \quad a-{\frac {1}{2}}b={\frac {\sqrt {5}}{2}}b$ $\Leftrightarrow \quad a={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}b$ $\Leftrightarrow \quad \Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ Es ergibt sich also ein Teilungsverhähltnis von $\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}=1{,}61803398874989484820458683436564{...}$ Für den Kehrwert folgt durch analoges Vorgehen $\rho ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=0{,}61803398874989484820458683436564{...}$ Durch Äquivalenzumformungen der Ausgangsgleichung folgen die Eigenschaften:   ${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\quad \Leftrightarrow \quad a={\sqrt {b(a+b)}}$ Ist a + b eine positive reelle Zahl, so heißt die Zerlegung dieser Zahl in zwei positive Summande a und b ein goldener Schnitt von a + b, wenn a geometrisches Mittel von b und a + b ist. [alternative Formulierung der Definition des goldenen Schnitts]   ${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {b}{a-b}}={\frac {a}{b}}$ Teilt a die Zahl a + b im goldenen Schnitt, so teilt auch b die Zahl a im goldenen Schnitt. Man spricht in diesem Fall von einer stetigen Teilung, da dies beliebig oft wiederhohlbar ist.   ${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\quad \Leftrightarrow \quad \left(a+{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}=\left(a+b\right)^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}$ Geometrische Konstruktion des goldenen Schnittes (siehe oben) mittels eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $a\;+b$ und ${\frac {a+b}{2}}$ und der Hypothenuse $a+{\frac {a+b}{2}}$unter mit dem Satz des Pythagoras.

(Ende des Beitrags von Benutzer:Schimon

Diese mathematische Abhandlung ist zwar total korrekt, aber es ist die Frage, ob wir den Artikel wirklich aufwerten, wenn wir sie in dieser Form übernehmen. Der Goldene Schnitt wird erstaunlich oft aufgerufen. Darunter dürften die wenigsten die Vorzüge der obigen Herleitung zu schätzen wissen, weil kaum einer ihr folgen könnte. Alleine die Länge der Herleitung dürfte die meisten abschrecken. Mit der aktuellen Version dürften diejenigen, die in der Schule mal eine quadratische Gleichung gelöst haben und dabei vielleicht sogar eine der beiden Lösungen verworfen haben, noch was anfangen können. Am besten hat mir in diesem Sinn noch die frühere noch knappere Version (siehe z. B. 31. Juli 2004) gefallen, in der die 2. Lösung gar nicht aufgeführt, sondern mit dem Satz "Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung erfüllt nicht die Voraussetzung Φ>1, sondern sie ist sogar negativ." abgehandelt wurde. Der ganze Abschnitt hatte also nur 3 statt 4 mathematische Zeilen. Der Artikel wurde damals zum exzellenten Artikel gewählt. Die Verständlichkeit dürfte auch ein Argument gewesen sein. Solche Artikel sollte man mit Bedacht modifizieren (sehe gerade, dass Du relativ neu hier bist). Wir sollten auch insbesondere bedenken, dass wir eine Enzyklopädie für den interessierten Laien schreiben und kein Fachbuch.

Problematisch sehe ich auch den Umstand, dass diese Herleitung vor dem ausgesprochen interessantesten Abschnitt " Der Goldene Schnitt als irrationalste und nobelste aller Zahlen". Der Leser denkt, er müsste die obige Mathematik verstanden haben um diesem Abschnitt folgen zu können.

Auch so was wie $\Phi :=...mit\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}\wedge a>b$ sollten wir dem Leser nicht zumuten, sondern in Worte fassen.

Wir sollten darüber nachdenken, inwieweit wir Teile des obigen weiter unten unter "Weitere mathematische Eigenschaften" unterbringen können. Dort unten kann man sich eher "austoben" ;-). --Wolfgangbeyer 19:59, 18. Feb 2005 (CET)

Habe die mathematische Herleitung nach bestem Wissen und Gewissen verbessert und dabei auch alles überflüssige (d.h. was nix mit dem Thema zu tun hat) erst mal weggelassen. Mir ist klar, dass die oben stehende Rechnung sehr (/zu) ausfühtlich ist. Alle, die sich dafür interessieren sind sicherlich selbst in der Lage, diese für sich selbst herzuleiten.

Wichtig erschien mir jedoch, die falsche Definition von -ρ zu verbessern. ρ selber hat dennoch eine Erwänung verdient und der Numerische Wert mit dem von Φ zu vergleichen unterstreicht umsomehr die Esthetik des goldenen Schnitts (vor allem, wenn man ρ mal in den Taschenrechner eingibt und auf x² oder 1/x tippt).

Die oben von mir genannten weiteren Eigenschaften sind ja weitestgehend im Artikel schon erwähnt. Ich wollte nur zeigen, dass diese nicht vom Himmel fallen, sondern sich aus der Definition direkt ergeben, bzw. ableiten lassen. Ob man das aber verbrät ist Geschmackssache. Vielleicht sollten da andere ihre Meinung noch zu äußern.

Aber: Eine bessere Formulierung zur Konstruktion mittels rechtwinkligen Dreiecks (s.o.) erscheint mir

  ${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\quad \Leftrightarrow \quad \left(b+{\frac {1}{2}}a\right)^{2}=a^{2}+\left({\frac {1}{2}}a\right)^{2}$

... [--> b teilt a im goldenen Schnitt, nicht mehr a teilt a + b im g.S.] passt nur leider net so gut zur obenstehenden Skizze.

Schimon 12:50, 21. Feb 2005 (CET)

Hallo Schimon, habe mir die modifizierte Version noch mal angesehen:

• In der modifizierten Version fehlte eine Motivation für die Erwähnung von ρ=1/Φ in der Herleitung von Φ, die früher über die verworfene 2. Lösung der Gleichung für Φ noch bestand.
• Ich weiß nicht, ob Φ²=Φ+1 wirklich erwähnenswert ist. Insbesondere ist es ja nichts anderes als die quadratische Gleichung zur Herleitung von Φ und steht damit ja schon da.
• Ich würde auf die Schreibweise x:=y für die Definitionen von x lieber verzichten, da viele Leser das nicht kennen. Finde es auch nicht erforderlich, sofern aus dem begleitenden Text hervorgeht, dass es sich um eine Definition handelt.
• Auf die letzten 3 Punkte in Deinem obigen Vorschlag, würde ich lieber verzichten, da es sich, wie Du ja auch bemerkt hast, um Gleichungen handelt, deren Aussagen bereits mit Worten im Text ausgeführt sind. Jemand, der diese Aussagen wirklich in Gleichungsform haben möchte, kann sie sich leicht hinschreiben. Es ist keine bedeutende zusätzliche Information.
• Der oben erwähnte Diskussionsbeitrag Die Definition von rho ist falsch.... bezieht sich übrigens auf eine frühere Version, in der sie tatsächlich noch falsch war, zuletzt war sie eigentlich schon richtig.
• Umlaute müssen übrigens nicht als HTML-Zeichen kodiert werden. Explizite HTML-Zeilenvorschübe sollte man nur im absoluten Notfall einsetzen.

Habe den Text noch mal etwas umgestaltet – vielleicht so was wie ein Kompromiss ;-). --Wolfgangbeyer 00:34, 24. Feb 2005 (CET)

Bearbeitet von Räf:

Fehler! Bei Herleitung des Zahlenwertes (zweite Lösung) steht:

Φ' = (1 - Wurzel(5)) / 2 = 1 - Φ = - 1 / Φ ========> -1/Φ ist aber falsch! Dann wäre Φ' der reziproke negative Wert von Φ, was er definitiv nicht ist ! Φ' ist der algebraisch konjugierte Wert von Φ!

Sollte man mal dringend überarbeiten... ;-)

Danke für Ihre Aufmerksamkeit. (nicht signierter Beitrag von 84.163.77.40 (Diskussion) 00:29, 4. Jan. 2008)

Dann setz dich mal mit der Materie auseinander: Erweitere Φ' mit (1 + Wurzel(5)), dann kommst du nach einigen elementaren Umformungen zu der richtigen Beziehung Φ' = - 1 / Φ. (Notfalls kannst du es ja erst einmal auch numerisch machen, ist zwar kein mathematischer Beweis, hilft aber). -- Jesi 11:44, 4. Jan. 2008 (CET)

modernere Literatur

als literatur werden teilweise 150 jahre alte bücher und fremdsprachige bücher angegeben. wärs nicht sinnvoller moderne und deutschsprachige bücher anzugeben? ich hab auf amazon zB folgende gefunden, weiß aber nicht wie gut und korrekt die den stoff enthalten:

• Der Goldene Schnitt von Albrecht Beutelspacher
• Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip von Walther Bühler
• Der Goldene Schnitt. Göttliche Proportionen und noble Zahlen. von Axel Hausmann

-- Qopep 19:12, 18. Feb 2005 (CET)

Auf eine Angabe dieser alten Bücher können wir aufgrund ihrer historischen Bedeutung nicht verzichten. Wir sind schließlich eine Enzyklöpädie. Wenn aktuelle kennst und auch empfehlen kannst, kannst Du sie gerne dazuschreiben. Einfach nur irgendwelche gibt keinen Sinn (siehe Wikipedia:Literatur). --Wolfgangbeyer 20:05, 18. Feb 2005 (CET)

ok, ich dachte die angegebenen bücher wären eher eine zufallsauswahl, aber wenn du sagst das sie bedeutende bücher sind, wirds schon passen. aktuelle kann ich keine empfehlen, weil ich noch keine gelesen habe. aber kann es nicht passieren, das durch die alte literatur neue erkenntnisse vorenthalten werden, oder ist die goldene schnitt forschung nicht so schnelllebig? -- Qopep 09:45, 26. Feb 2005 (CET)

Wenn Du den Text liest, wirst Du feststellen, dass die ersten 5 Literaturzitate und ihr historischer Stellenwert im Text explizit erwähnt werden. Es ist tatsächlich kein besonders schnelllebiges Thema. Es gibt sicher gute aktuelle Literatur zum Thema. Wenn da jemand einen Überblick hat, sollte er sie hier aufführen - aber eben möglichst nur dann, denn googlen kann ja inzwischen jeder ;-). --Wolfgangbeyer 15:54, 26. Feb 2005 (CET)

Hi Leute ! Ich möchte eure Diskussion nicht stören, aber werft doch einmal einen Blick auf diese Seite http://www.klaus-schroeer.com/web/mitte/d-kunstgeschichte/d-kunstgeschichte.html

Botanik

Die Blattstellung ist nicht ein Sache des "Nutzens" sondern eigentlich der Selbstorganisation. Es gibt genügend Pflanzen, deren Blätter gegenständig oder kreuzgegenständig sind, sich also gegenseitig beschatten würden, wenn nicht der Stengel gebogen wäre oder Blattbewegungen stattfinden könnten. Auch die Erklärung über die Leitungsbahnen befriedigt nicht angesichts der anderen "schlechtern" Blattstellungen. Die Erklärung der Blattstellungern ergibt sich aus der Anordnung der Blattanlagen am Wachstumskegel. Hier findet eine Art Musterbildung dcurch Selbstorganisation statt, die von Konzentrationsgradienten von Hormonen und Inhibitoren abhängen. Vielleicht ist es gar nicht nötig, hier eine Biologische Erklärung zu geben. -Hati 09:21, 25. Feb 2005 (CET)

Eigentlich hast Du Recht. Da die Angelegenheit noch Forschungsgegenstand ist, sollte man hier nicht allzu detailliert darauf eingehen und es bei der Erwähnung der gängisten Vermutung belassen. Die verschiedenen Hypothesen dazu vorzustellen, wäre eher Sache des Artikels Phyllotaxis. Habe daher mal die entsprechende Textpassage auf die dortige Disskussionsseite zur Weiterverwertung verschoben. --Wolfgangbeyer 16:32, 26. Feb 2005 (CET)

Beitrag von Benutzer:Keimzelle vom 2.3.05 von Benutzer Diskussion:Wolfgangbeyer hierher kopiert:

Hallo Wolfgang,

ist ja interessant dass du die effiziente Lichtausbeute für eine glaubwürdigere Annahme hältst als meine kürzliche Anfügung, dass der Goldene Schnitt bei der Blattanordnung für eine gleichmässige Auslastung der Phloem-Leitbündel sorge. Für den Fall einer möglichst effizienten Lichtausbeute müsste ja die Sonne senkrecht von oben auf die Pflanze scheinen... Ausserdem sorgen die Pflanzen mit der Bildung von unterschiedlich grossen Blättern schon dafür, dass sie das Sonnenlicht möglichst effizient nutzen (auf der Schattenseite des Baumes gibt es grössere Blätter als auf der Sonnenseite). Ich glaube, die Theorie von der effizienten Lichtausbeute trifft nur dort zu, wo Pflanzen ungestört und ohne direkt angrenzende Nachbarn wachsen können (wie die Agaven in Trockengebieten). Weshalb meine Anfügung keinen Stellenwert hat - in deinen Augen - kann ich nicht verstehen.

David

Hallo David, so war es nicht gemeint, siehe unsere oben dargestellten Motive. Das mit der Lichtausbeute halte ich enzyklopädisch insbesondere für erwähnenswert, weil Leonardo da Vinci das schon vermutete, so dass man hier im gleichen einem Satz darauf hinweisen kann, dass man sich damals schon über diese Sachen überhaupt Gedanken machte. Andererseits könnte ich mir schon vorstellen, dass das Lichtausbeuten-Argument evolutionär eine gewisse Rolle gespielt haben könnte: Wenn man die Steuerung durch Wachstumsaktivatoren und –inhibitoren annimmt, dann erhält man in Computersimulationen je nach Diffusionsparameterkombination praktisch nur den Goldenen Winkel oder 180°. 180° kann aber auch bei nicht senkrechtem Sonnenstand nachteilig sein, nämlich wenn die Sonnenstrahlen in der Ebene einfallen, die durch die Blattstängel aufgespannt werden. Dabei können sich auch auf verschiedenen Stängelseiten liegende Blätter abschatten. Ferner nimmt die Pflanze bei 180° ein geringeres Volumen in Besitz, so dass die Gefahr von Abschattung durch Nachbarpflanzen größer sein dürfte. Das alles zusammen könnte ja schon zu einem evolutionäres Kippen zugunsten des Goldenen Winkels führen. Aber das ist nur Brain-Storming eines Physikers - ich bin da kein Spezialist ;-). Habe mal die Sache mit dem Ploem in einem Nachsatz wieder eingefügt. Unter Phyllotaxis kann und sollte man es detaillierter darstellen. --Wolfgangbeyer 01:15, 3. Mär 2005 (CET)

Venusbahn ein Pentagramm?

Habe den Satz "Was weniger bekannt ist, ist die Tatsache, dass die Venus innerhalb eines ganzen Jahres ein perfektes Pentagramm an den Sternenhimmel zeichnet." entfernt. Da die Bahn der Venus am Himmel eine differenzierbare krumme Kurve ist, dürfte das kaum haltbar sein. "Perfekt" schon gar nicht, und da sich die Konstellation Erde-Venus erst nach ca. 584 Tagen wiederholt (Synodische Periode), benötigen evtl. vorhandene periodische Figuren auch mehr als ein Jahr. Und wenn schon, würde das eher in einen Artikel Pentagramm gehören statt hierher, und wenn hier, dann in den Abschnitt "Astronomie" und nicht "Physik". --Wolfgangbeyer 23:02, 13. Mär 2005 (CET)

Ich glaube dieser von dir zitierte Satz stammt aus dem Sakrileg (Roman)! --TIP 10:21, 21. Jul 2005 (CEST)

Artikel von Marcus Frings

Schön, dass jemand einen deutschen Artikel von Marcus Frings aufgetrieben hat. Sehe allerdings, dass er sich inhaltlich doch in vielen wichtigen und interessanten Details von dem englischen unterscheidet. Habe daher letzteren wieder bei den Weblinks eingetragen, so dass wir jetzt beide drin haben. Kann nicht schaden, denn es sind möglicherweise sowieso die beiden einzigen soliden Quellen zur Kunstgeschichte, die wir hier zitieren. --Wolfgangbeyer 20:33, 17. Mär 2005 (CET)

Das selbe oder das gleiche Verhältnis?

Hallo Thomas, müsste man nicht eher von dem "selben Verhältnis" sprechen? Es gibt zwar verschiedene Dinge, die man ins Verhältnis setzen kann, aber das Verhältnis ist ja eine Zahl, und wenn sich in beiden Fällen Φ ergibt, dann ist das doch eigentlich die selbe Zahl. So wie 2 Flächen, die mit dem gleichen Lack gestrichen wurden, die selbe Farbe haben. Bin mir aber nicht so richtig sicher. Vielleicht geht beides? Bei den "gleichen rautenförmigen Flächen" war Deine Korrektur auf jeden Fall richtig. --Wolfgangbeyer 21:53, 16. Apr 2005 (CEST)

Ganz einfach zu merken: Ich möchte das selbe Gericht, wie der Gast am Nebentisch (der Ober muß es ihm wegnehmen).

Oder anders: Zwei Seiten eines Würfel teilen sich die selbe Kante. Zwei Kanten eines Würfels haben die gleiche Länge.

So wäre es korrekt. --Arbol01 22:35, 16. Apr 2005 (CEST)

Das Prinzipist schon klar. Aber: Es gibt verschiedene Exemplare von Würfelkanten, aber gibt es auch "die Länge 1m" mehrfach? Es mögen verschiedene Objekte sein, die sie als Eigenschaft besitzen aber "die Länge 1m" selbst scheint mir eher ein Unikat zu sein so wie jede einzelne Zahl oder eben eine genau definierte Spektralfarbe. Es sind ja Abstraktionen. --Wolfgangbeyer 09:38, 17. Apr 2005 (CEST)

Komme immer mehr zu der Ansicht, dass "das selbe Verhältnis" angemessener ist als "das gleiche Verhältnis". Da weiterer Widerspruch ausgeblieben ist, setze ich's mal zurück. --Wolfgangbeyer 23:30, 19. Apr 2005 (CEST)

Bild von der Hand

Habe das Bild mangels technischer und inhaltlicher Qualität wieder entfernt. --Wolfgangbeyer 23:28, 19. Apr 2005 (CEST)

Schöne Gesichter durch Goldenen Schnitt?

"Es gibt Studien, in denen Fotos diverser Personen verschiedenen Probanden vorgelegt wurden. In diesem Zusammenhand fällt auf, daß Personen, die als besonders attraktiv erkannt wurden, in ihren Proportionen am Körper oder auch im Gesicht oftmals Abstands- und Längenverhältnisse im engen Bereich des Goldenen Schnitts zeigten." Hallo 213.146.123.179, kannst Du diese Studien benennen? Was ich dazu finde, macht keinen besonders soliden Eindruck, wie z. B. http://www.beautyanalysis.com/. Um den Goldenen Schnitt z. B. im Gesicht überhaupt näherungsweise finden zu können, wird dort ein ausgesprochen dichtes und weitgehend willkürliches Liniennetz gespannt. --Wolfgangbeyer 02:39, 24. Apr 2005 (CEST)

Zumindest eine Folge einer BBC-Serie mit John Cleese hat sich damit beschäftigt. Bei schönen Gesichtern kommen überall im Gesicht (inklusive den Zähnen) die Proportionen des goldenen Schnitts vor. Das ist sicher.

Das ausser dem goldenen Schnitt sicher noch andere Dinge vorkommen, und kleine Fehler ein Gesicht richtig ansprechend machen können (ansonsten wären es alles Puppengesichter) steht auf einem anderen Blatt. --Arbol01 02:57, 24. Apr 2005 (CEST)

Nachtrag: Der Titel der Serie lautet The human Face. --Arbol01 03:05, 24. Apr 2005 (CEST)

Naja, eine BBC-Serie ausgerechnet mit John Cleese klingt nicht gerade nach wissenschaftlicher Methodik und kritischer Analyse. Hat man auch untersucht, inwieweit bei einzelnen ausgesprochen hässlichen Gesichtern an bestimmten Stellen der Goldene Schnitt auftritt wo er das gewöhnlich nicht tut? Zeige mir ein hässliches Gesicht und ich finde solche Stellen ;-). --Wolfgangbeyer 03:12, 24. Apr 2005 (CEST)

John Cleese war nur der "Moderator", also der Mensch, der durch dir 4-teilige Serie geführt hat. BBC macht an sich gute Sendungen. Natürlich hat man schöne Gesichter mit nicht schönen Gesichtern nebeneinander gestellt.

Leider kommst Du nicht umhin, Dir die Folge selbst anzusehen, so die Serie mal wieder im Deutschen Fernsehen läuft, oder Dir die DVD aus USA oder Kanada zu importieren.

Ich werde mal sehen, ob ich davon unabhängige Quellen finde. Solange kann das ruhig draussen bleiben. --Arbol01 03:20, 24. Apr 2005 (CEST)

sectio aurea

Im Artikel steht: Die Bezeichnung Goldener Schnitt wurde erstmals 1835 [...] verwendet. Aus welchem Grund wird dann eine lateinische Bezeichnung angegeben? Daraus würde ich lesen, dass die alten Römer den Goldenen Schnitt bereits als solchen bezeichnet hätten. War das so, oder wurde der Begriff später in die lateinische Sprache übersetzt? Dann wäre das irreführend und sollte raus. -- 217.234.99.194 09:15, 24. Apr 2005 (CEST)

Laut http://www-ojt.fh-reutlingen.de/sectio-aurea/Seiten66+67.pdf entstand die lateinische Bezeichnung auch erst Mitte des 19. Jahrhunderts. Angesichts der Literaturhinweise dort am Artikelende scheint das eine eher verlässliche Quelle zu sein. Habe das mal im Text ergänzt. Ganz oben könnte man es schon so stehen lassen, denke ich. Bei medizinischen oder biologischen Begriffen gibt man ja auch den lateinischen Namen an, obwohl die alten Römer das nicht so nannten. --Wolfgangbeyer 21:37, 24. Apr 2005 (CEST)

Nähe zu 5/8 bzw 8/5

Wie kann man denn das Bild mit den grauen Rechtecken bearbeiten? Da fehlt nämlich ein Rechteck mit Seitenverhältnis 5 zu 8, was dem Goldenen Schnitt sehr nahe kommt (auf 1,1 %, wohl etwa zwei Pixel). Dieses Rechteck macht für mich sichtbar, daß statt dem Goldenen Schnitt in der Kunst (vor allem Architektur, Malerei) auch die pragmatische Methode "Teile in 8 gleichgroße Teile und platziere das Objekt bei 5/8" gern benutzt wurde. Die Achtteilung ist zudem überaus einfach und genau ausführbar, nämlich als dreimal wiederholte Halbierung. Und um noch ein bischen Ketzer zu spielen, ein Auszug aus Sven Ortoli, Nicolas Witkowski, Die Badewanne des Archimedes (Berühmte Legenden aus der Wissenschaft), ISBN 3492227457:

Hüten wir uns vor den Zahlen, besonders wenn sie golden sind! Dieser Wahlspruch, auf den nie ein Mathematiker gekommen wäre, stand über der geduldigen Forschungsarbeit der Kunsthistorikerin Marguerite Neveux, die alle Einzelheiten der hier erzählten Geschichte zusammengetragen hat. In der Überzeugung, daß Kunst vor allem die Ablehnung von Gesetzen und Theorien ist - und seien sie auch 2000 Jahre alt -, hat sie sich darangemacht nachzuprüfen, ob die modernen Maler, allen voran solche wie Signac, Seurat, Serusier oder Manet, bei der Komposition ihrer Bilder die goldenen Zahl zu Hilfe genommen haben. Nachdem sie Briefe und Texte genau unter die Lupe genommen und die Röntgenaufnahmen von Gemälden und Entwürfen analysiert hatte, kam sie zu der Schlußfolgerung, die Gold wert ist: All diese Künstler unterteilten ihre Leinwand in Achtel, was schon für ein achtjähriges Kind nachvollziehbar ist; 4/8 (die Hälfte) ist die vollkommene Symmetrie; 6/8 (zwei Drittel) hat keinen besonderen ästhetischen Wert; 5/8 dagegen ist schon weniger banal und erweist sich als Grundlage für die Komposition einer Unmenge von Kunstwerken. Nun ist 5/8 soviel wie 0,625 oder Φ bis auf sieben Millimeter genau... das entspricht der Breite eines Pinsels. -- Schweikhardt 13:15, 24. Apr 2005 (CEST)

Überlege gerade, ob es wirklich sinnvoll ist, noch ein Rechteck mit 8/5 aufzuführen:

1. Ortoli und Witkowski schreiben "All diese Künstler unterteilten ihre Leinwand in Achtel, .." , was sich auf "die modernen Maler" bezieht. Das hört sich nach hemmungsloser Verallgemeinerung an.
2. Was soll es eigentlich heißen, die Leinwand in Achtel einzuteilen? Das bleibt völlig unklar. Beide Kanten in 8 Achtel vielleicht? Und was wurde mit diesen Achteln dann gemacht? Ich kann mir nur vorstellen, dass diese Achtel vielleicht gemäß 3:5 in zwei Bereiche aufgeteilt wurden. Das dann als 5:8 zu bezeichnen, wäre die willkürliche Interpretation, das ganze zu einem Teil ins Verhältnis zu setzen und nicht beide Teile zueinander. Ein Rechteck mit 3:5 haben wir aber schon. Und bereits das dürfte ohne unmittelbaren Vergleich nur mit viel Übung von Φ zu unterscheiden sein.
3. "5/8 dagegen ist schon weniger banal und erweist sich als Grundlage für die Komposition einer Unmenge von Kunstwerken." Schon wieder diese Übertreibung.
4. Die obige Sprachanalyse zeigt, dass wir hier vielleicht partiell vor einen Stille-Post-Problem stehen: Briefe der Maler -> Marguerite Neveux -> Ortoli und Witkowski ->Schweikhardt -> ich ;-)

Bin nach dieser Textanalyse doch ein wenig skeptisch. --Wolfgangbeyer 22:36, 17. Mai 2005 (CEST) und Wolfgangbeyer 08:38, 18. Mai 2005 (CEST)

Da die irrationale zahl phi in der architektur am bau sowieso nie eine bedeutung hatte, sondern wenn überhaupt das einfache bruchverhältnis 5:8 als substitut verwendet wurde, sollte man ein rechteck mit den verhältnissen 5:8 auf jeden fall aufnehmen. niemand kann die abweichung erkennen. für die mystiker unter uns, läßt sich jedoch eindeutig die fibonaccifolge erkennen. die fibonaccirechtecke hätten demnach seitenverhältnisse 1:1,1:2,2:3,3:5,5:8,8:13 usw. Schreiner 09:55, 10.08.2005 (CEST)

Kritik

Tja, wenn man den Text so liest, besonders die nicht-mathematischen Ausführungen, glaubt man manchmal, den göttlichen Erkenntnissen eines weisen Priesters zu lauschen. Es widerstrebt mir, dass hier ungeprüft Behauptungen wiederholt werden, die sich, ebenso wie die Ansichten Aristoteles' bis in die Neuzeit hinein ohne Überprüfung geglaubt und gebetet wurden, in den Köpfen besonders von jungen Menschen festgepflanzt haben. Wird über Phi geredet, bringt man oft Beispiele aus der Kunst oder zur Konstruktion eines Satzspiegels - aber wenn es an die Praxis geht, benutzt niemand, wirklich niemand (außer ein paar wenigen Künstlern, die vom Goldenen Schnitt her kommend das Thema angehen) den G.S. als gestaltbestimmendes Formmittel. Das liegt wohl daran, dass die immer wieder behauptete "Schönheit" auf Theorien beruht und in der Praxis häufig genug unten durch fällt. So wird ein Rechteck mit Seitenlängen im G.S. durchaus nicht von allen Menschen als besonders schön empfunden. Es wäre wirklich gut, wenn der Artikel mit derartigen Vorurteilen aufräumen würde anstatt sie zu propagieren. -- 217.234.110.104 15:19, 24. Apr 2005 (CEST)

Ich dachte eigentlich, das tut er. --Wolfgangbeyer 19:39, 24. Apr 2005 (CEST)

Problem bei der äußeren Teilung

Im Absatz "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal" gibt es als drittes die äußere Teilung. Der Text spricht von einem Kreis um M mit dem Radius MC. Die Zeichnung führt aber ein Kreis um A mit dem Radius AC aus. Welche der Versionen ist die Richtige?

Gruß, Spot

Schau mal genau hin. Es ist auch in der Zeichnung einem Kreis um M mit dem Radius MC. --Wolfgangbeyer 07:52, 27. Apr 2005 (CEST)

6000 Schnitte im Pentagramm

Habe die Aussage, dass ein Pentagramm über 6000 Schnitte impliziert, wieder entfernt. Wenn ich mich vertan habe - bitte um Bestätigung - sind bei einem aus 5 Strichen konstruierten Pentagramm wie in dem Artikel skizziert nur

• für 5 äußeren Linien (z.B. AD) jeweils 10 Partner
• für diese 10 Partner (z.B. AC) wiederum die 10 Striche zu den Ecken (z.B. AB)
• und zu diesen 10 wieder jeweils die 5 Linien, die das innere Pentagon einschreiben

zur Konstruktion des Goldenen Schnittes verfügbar. Macht also ca. 200 Schnitte, also nicht der Erwähnung wert (?)! --Yuszuv 14:01, 22. Jul 2005 (CEST)

Rationale Verhältnisse vermeiden

Im Text steht: Sicher wurde und wird er oft auch unbewusst und ohne exakte Maßkontrolle intuitiv gewählt, um rationale Längenverhältnisse zu meiden. Diesen Satz halte ich für nicht sinnvoll: Wie will man denn ein rationales von einem irrationalem Verhältnis unterscheiden? Dies geht vielleicht, wenn man sich das so definiert ;), aber in der Natur ist dies wohl nicht möglich. Man müsste dann ja unendlich viele Stellen an beiden Seiten messen. Erstens hat man garnicht solche Messaparate und zweitens macht das messen Unterhalb der Planck-Länge keinen Sinn. Es macht ja Sinn zu sagen, dass es ästethisch ist im Golden Schnitt zu bauen, malen, auszusehen, oder sonst-irgendwas, aber dies auf eine Abscheu von rationalen Längenverhältnisse zurückzuführen halte ich aus oben genannten für nicht sinnvoll. Andere Meinung? (wollte jetzt nicht iinfach so in einem exzellenten Artikel rumpfuschen...) --Dark-Immortal 01:04, 1. Okt 2005 (CEST)

Es geht wohl darum, möglichst weit von "sehr rationalen" Verhältnissen wie 1:2, 1:3 oder 1:4 wegzukommen. Und da der goldene Schnitt in gewissem Sinne das "irrationalste aller Verhältnisse" ist, ist er eine gute Wahl.

Vielleicht könnte man den Begriff "rationale Längenverhältnisse" in dem von dir beanstandeten Satz irgendwie in diese Richtung gehend relativieren.--MKI 02:30, 1. Okt 2005 (CEST)

Isoliert betrachtet, ist dieser Satz sicher problematisch. Er bezieht aber natürlich auf den vorhergehenden. Habe diesen Bezug sprachlich mal etwas hervorgehoben, um Missverständnissen vorzubeugen. --Wolfgangbeyer 15:30, 1. Okt 2005 (CEST)

Ich glaube sowieso eher, das der Mensch ganz intuitiv das Verhältnis des goldenen Schnitts benutzt. Also nicht speziell zur Vermeidung von rationalen Verhältnissen, sondern eher, weil das verhältnis des goldenen Schnitts ein ästhetisches ist. So, wie die Bienen sechseckige Waben bauen, ist der goldene Schnitt fest einprogrammiert. Zumindest glaube ich das. --Arbol01 16:07, 1. Okt 2005 (CEST) _{bin im Urlaub}

Satzspiegel

Hallo Epistates, die Verhältnisse 3:5:8:13:21 sind nicht der Goldene Schnitt sondern nur eine Näherung. Es gibt daher nicht viel Sinn, einem Thema ein eigenes Kapitel zu widmen, bei dem das Artikelthema eigentlich gar nicht wirklich vorkommt, sondern es genügt der bisherige kurze Absatz. Über den Link Satzspiegel kann sich ja der Leser dann genauer dazu informieren. Siehe dazu auch obige Diskussion vom Juli 2004 mit dem Zitat des schönen erschöpfenden Artikel zum Thema nämlich http://people.freenet.de/kohm/markus/komasatzspiegel.pdf. Der Autor stellt auch zuerst 2:3:4:6 und noch 3:4:6:8 vor, während 2:3:5:8 als seltener und weniger vorteilhaft dargestellt wird. Daher hatte wir seinerzeit dieses Thema auf einen angemessen kurzen Absatz reduziert. --Wolfgangbeyer 08:54, 15. Dez 2005 (CET)

Akkusativ / Dativ?

Nach "auf" ist (laut (Lexikon) www.canoo.net) grundsätzlich beides möglich. Sie unterscheiden sich darin, dass Akkusativ im dynamischen, Dativ im statischen Zusammenhang genutzt wird. Da hier ein statischer Zustand ausgedrückt wird: Dativ!

Geschlichtet, Wolfgangbeyer & Benutzer:Daniel FR? --Hartmut Riehm 11:28, 30. Dez 2005 (CET)

Hm, ich bin kein Germanist. Wie deckt sich das mit dem Kommentar von the-pulse, der meinen Revert auf meiner Diskussionsseite nachträglich begrüßt hat? --Wolfgangbeyer 12:06, 30. Dez 2005 (CET)

Hier eine Kopie seiner Analyse meines Reverts:

Das war ja ganz richtig, Dein Kommentar war nur Quatsch („Abstand halten ist Akkusativ”). Da ich jetzt recherchiert habe, möchte ich Dich an den Ergebnissen teilhaben lassen:

• „Abstand halten” ist (vielleicht) ein erweiterter Infinitiv.
• „ihre Blätter” ist das Akkusativobjekt.
• „auf ausreichenden/m Abstand” ist ein Präpositionalobjekt.
• Der Kasus von „ausreichender Abstand” hängt von der Präposition und ihrer Verwendung ab.
• Die Präposition „auf” wird mit dem Dativ („auf der Arbeit”) und dem Akkusativ gebraucht („auf den Tisch”)
• Geht es um die Lage, wird der Dativ verwendet („auf dem Tisch”), geht es um die Richtug, der Akkusativ („auf den Tisch”).
• Das geht auch im übertragenen Sinn: „Es beruht auf einer wahren Begebenheit”.
• Geht der lokale Bezug verloren, wird der Akkusativ verwendet.

Bei „beruhen auf” stellt sich mir der räumliche Bezug stärker dar als bei „auf Abstand halten”, was mir in dem Zusammenhang eher abstrakt erscheint. Insofern würde ich mich dafür entscheiden, den lokalen Bezug als verlorengegagen anzusehen. Untermauern kann man diese These, in dem man in Rechnung nimmt, dass dem „Abstand” der Artikel fehlt, womit er seinen Raumbezug einbüßt. (Recherchiert in Duden Band 4, 1973, S. 323ff)

Ansonsten: Vielen Dank für die Korrektur! --the-pulse 17:21, 28. Dez 2005 (CET)

Ich auch nicht. Und als Schwabe fällt mir es oft besonders schwer. Aber ich glaube the-pulse führt dieselben Argumente an:

• „auf ausreichenden/m Abstand” ist ein Präpositionalobjekt.
• Der Kasus von „ausreichender Abstand” hängt von der Präposition und ihrer Verwendung ab.
• Die Präposition „auf” wird mit dem Dativ („auf der Arbeit”) und dem Akkusativ gebraucht („auf den Tisch”)
• Geht es um die Lage, wird der Dativ verwendet („auf dem Tisch”), geht es um die Richtug, der Akkusativ („auf den Tisch”).

Letzteres deckt sich mit der Argumentation von canoo: ersteres statisch; letzteres dynamisch.

Und meine (laienhafte) Bemerkung: basiert es auf einem transitiven oder intransitiven Verb? Und als Folge davon ist Dativ resp. Akkusativ zu verwenden. --Hartmut Riehm 12:33, 30. Dez 2005 (CET)

Hallo Hartmut, ich kann auf die Frage "wo?" antworten "auf dem Tisch" aber nicht "auf dem Abstand". Das hat zwar auch was mit Ort zu tun, aber nicht in dem hier benötigten Sinn von "oben drauf", d. h. "auf Abstand halten" passt ebenso wenig in das Schema von Lage oder Richtung wie "auf alle Fälle". Das sieht eher nach dem letzten Punkt von the-pulse aus: "Geht der lokale Bezug verloren, wird der Akkusativ verwendet." Denn "auf" wird hier ja gar nicht in dem lokalen Sinn von "oben drauf" verwendet. --Wolfgangbeyer 17:35, 30. Dez 2005 (CET)

Ich weiß nicht, warum die Diskussion über diesen einen Buchstaben auf meiner Diskussionsseite tobt und dabei auch noch im Umgangston entgleist. Aber zurück zur Sache: Das dortige Argument: Auf ausreichenden Abstand bringen: Wohin? ("Auf wen?") = Akkusativ. Auf ausreichendem Abstand halten: Wo? ("Auf wem?") = Dativ klingt nicht schlecht. Von mir aus können sich die Germanisten darüber noch ein wenig prügeln. Die Umformulierung von JFCom ist jedenfalls inhaltlich unpassend, da nicht sicher ist, ob die Sache mit der Beschattung tatsächlich (immer) dahinter steckt oder ein anderer Grund. Daher wird dieser Aspekt im Artikel bewusst erst später zusammen mit Alternativen erwähnt. --Wolfgangbeyer 01:13, 31. Dez 2005 (CET)

Uiuiui. Ich habe das Problem mal pragmatisch gelöst. Was ich noch loswerden wollte: Nach Duden wird der Akkusativ verwendet, wenn der räumliche Bezug verloren geht. Ob das der Fall ist, kann jeder für sich selbst entscheiden. Ein unmittelbarer räumlicher Bezug besteht jedenfalls nicht, es liegt nichts auf dem Abstand und es wird auch nichts draufgelegt. Im übertragenen Sinne wie bei „auf Grundlage von” finde ich auch keinen räumlichen Bezug. Die Grammatik der natürlichen Sprachen ist aber nur aus den Gewohnheiten so gut wie es halt geht abgeleitet und möglicherweise unvollständig. Ich war selbst für den Dativ, habe mich dem Duden gefügt und das als Maßgabe genommen. Dass der Duden auch nicht allwissend ist, ist klar. -- the-pulse 01:42, 31. Dez 2005 (CET)

Hallo the-pulse, deine Formulierung "... den Abstand ihrer Blätter unabhängig von ihrer Zahl zu maximieren" klingt zwar sehr viel präziser als die frühere, aber das ist gleichzeitig auch ihr Problem, denn es wirft 2 Fragen auf: Was heißt "maximieren" in diesem Fall? Und was meint "unabhängig von ihrer Zahl"? Das wird erst sehr viel später klar und verwirrt daher zunächst eher. Die frühere Formulierung war daher bewusst zunächst weniger präzise und hat die Präzisierung dem folgenden Text überlassen. Habe einfach mal "ausreichend" weglassen, denn das wirft eigentlich auch nur Fragen auf. Vielleicht haben wir das Problem damit gerade noch in diesem Jahr gelöst - guten Rutsch ;-) --Wolfgangbeyer 12:27, 31. Dez 2005 (CET)

Nochmal hallo, the-pulse: "Mit dem goldenen Winkel als „irrationalstem Winkel” gelingt das unabhängig von der Anzahl der Blätter" Erstens ist es falsch, denn für 2 Blätter wäre 180° die optimale Lösung, und auch bei 3 Blättern würde das Optimum anders aussehen. Es stimmt allenfalls für den Limes der Blätterzahl gegen Unendlich. Zweitens sollte man „irrationalster Winkel” nicht einfach so ohne Erläuterung hinschreiben. Das steht aber alles weiter unten, und das ist auch völlig ausreichend. Ich wüsste nicht, was an dieser Stelle im Text fehlt. Wir sollten ihn so lassen. --Wolfgangbeyer 16:12, 31. Dez 2005 (CET)

Das verstehe ich. Wenn mir was besseres einfällt, mache ich da mal einen Vorschlag. -- the-pulse 16:51, 31. Dez 2005 (CET)

Ist aber, wie gesagt, wirklich nicht nötig. Einen anderen Grund an dieser Stelle rumzubasteln, als der, dass er wegen des inzwischen gelösten n/m-Problems unsere Aufmerksamkeit erregt hat, gibt es nicht. Das ist Psychologie, weiter nichts ;-). --Wolfgangbeyer 17:51, 31. Dez 2005 (CET)

Goldener Schnitt in Bachs Kompositionen

Ich kann Wolfgangbeyer nur uneingeschränkt folgen: Folgender Text benötigt dringend Belege, bevor er im Lemma stehen bleiben kann:

Der Goldene Schnitt wird häufig näherungsweise in Strukturkonzepten von Musikstücken gefunden, etwa in den dichten Kompositionen von Johann Sebastian Bach. Oft kulminieren Harmonie und Stimmung im zeitlichen Ablauf auf Höhe des goldenen Schnittes. Ob entsprechende Verhältnisse tatsächlich auf die Idee des goldenen Schnittes oder gar Naturgesetze zurückgehen, ist aber kaum nachweisbar.

Gruß - --Dadamax 17:39, 23. Jan 2006 (CET)

Ratio versus Intuition

Faszinierdend alle diese Ausführungen zu dem Goldenen Schnitt. In all diesen mathematischen geometrischen Definitionen geht eine erschreckend einfacher Fakt unter. Wissen wir nun, was der goldene Schnitt ist? Wieso er seit Menschengedenken immer wieder auftaucht... aber nicht in Naturwissehschaftlicher Form sondern als Produkt von schöpeferischen Akten. Geschaffen von Menschen die "nur" ihre Intuition angewendet haben. Sonst nichts! Kein Taschenrechner, keine Formel, kein Masstab, kein Zirkel keine Intellektuelle Bemühungen. Alle die vom goldenen Schnitt tangierten Künste sind eben doch nichts anderes als Künste!

Bei Bauwerken, Tempeln und anderen architektonischen oder auch bildnerischen Gegebenheiten, die offensichtlich Verhältnisse des Goldenen Schnitts aufweisen, davon auszugehen, daß sie trotzdem nur "intuitiv" so gebaut oder gestaltet wurden, nur weil keine Pläne oder Belege der Absichtlichkeit mehr existieren, ist eine typisch krude, lächerlich skeptizierende Behauptung. Mit derselben Logik könnte man getrost behaupten, heute gespielte Musikstücke, deren ursprüngliche Komposition verlorengegangen ist, wären aus diesem Grund rein zufällig entstanden oder vom Himmel gefallen. Oder die Megalith-Observatorien des Neolithikums hätten ihre exakten astronomischen Ausrichtungen und komplexen kalendarischen Markierungen rein "intuitiv" erhalten - es sind ja keine Pläne der Steinzeitmenschen dazu überliefert. Haha! Wie kann man einen Tempel von der Größe des Parthenon-Tempels eigentlich "intuitiv" bauen? Schon mal jemand was von Statik gehört? Man findet hier die übliche Arroganz heutiger Wissenschaftler gegenüber den intellektuellen Leistungen der Vorzeit. Da spukt immer noch das Bild vom felltragenden Primitiven herum, der von Mathematik keine Ahnung hatte und am anderen Ende der Zeitskala die Krone der Schöpfung: der streng rationale Wissenschaftler des Jahres 2007, dessen Urteile untrüglich sind. Ihr solltet alle mal mehr relativistische Philosophen (z.B. Thomas S. Kuhn und Paul Feyerabend) lesen, dann würdet Ihr Euch selbst nicht so furchtbar ernst nehmen. Fehlende Markierungen unter Gemälden sind ebenso kein Beweis dafür, daß der Goldene Schnitt nicht bei Entwurf oder Konstruktion in Erwägung gezogen oder verwendet wurde. Nicht jeder braucht Hilfen oder Krücken vom Niveau eines Drittkläßlers, um was zustande zu bringen. Die Eingeborenen der Pazifischen Inseln segelten vor nicht allzu langer Zeit noch in ihren Kanus Tausende von Kilometern über den Ozean, OHNE einen Sextanten oder ähnliche im Westen übliche Hilfsmittel zu benutzen. Ach ja, die machen das auch nur rein intuitiv und haben von Astronomie natürlich keine Ahnung ... Frank111 13:14, 11. Aug. 2007 (CEST)

Verständnis

Ich bin in Mathe zwar schon begabt, jedoch verstehe ich nicht alle Formeln. Könnte man die nicht mal umschreiben?

--TheWinner 13:51, 31. Mai 2006 (CEST)

Welche Formeln sind denn unverständlich??--Akribix 17:55, 24. Aug 2006 (CEST)

Gefällt mir..

ein toller Artikel, wirklich sehr interessant. Bin zwar nur drübergeflogen, aber das werd ich mir mal ausführlichst zu Gemüte ziehen. Danke allen Autoren, ich füge bei den Weblinks noch folgenden Link ein:

http://www.henked.de/begriffe/verhaeltnis.htm --Ice51 01:01, 16. Nov. 2006 (CET)

In der Tat - klasse Artikel! Danke dafür an die Autoren !--Trigan777 10:50, 11. Jan. 2007 (CET)

Kritik am Artikel

1. Zur Aussage "Pentagramm ist das Symbol der Pythagoreer" gibt es wohl keine belastbaren Anhaltspunkte außer der Aussage von Lukianos (ca. 500 Jahre nach Pythagoras!), die angebliche Quelle Iamblichos schreibt nicht davon (laut Schoot, S. 126, siehe Quellen zum Artikel).
2. Der Parthenontempel muss kritischer betrachtet werden: immer wenn ein Tempel 8 Säulen hat, und man zieht zwischen 5. und 6. Säule einen Strich, dann teilt man die Grundlinie fast im Goldnenen Schnitt, einfach weil 5/8 eine gute Approximation von $\phi ^{-1}$ ist. Das sollte noch deutlicher gesagt werden.
3. Damit wird die Aussage "Die Künstler wählten den goldenen Schnitt als Zahl die keinem einfachen rationalen Verhältnis ähnelt" auch falsch. Die ca. einprozentige Abweichung von 5/8 und $\phi ^{-1}$ kann man ohne Lineal wohl kaum feststellen.
4. Zur „irrationalsten“ Zahl: Der Goldene Schnitt wird durch 8/5 mit ca. 1%, Pi durch 22/7 zu ca. 0,5% approximiert. Ich kann da keinen qualitativen Sprung erkennen. Der Text scheint zu beweisen, dass dafür ein größerer Nenner als bei vergleichbaren Zahlen notwendig ist, aber dieser Größenunterschied ist undramatisch, vor allem für die Kunst. Im Text steht dagegen "besonders schwer" und "große Bedeutung für die Kunst".

--Erzbischof 18:47, 24. Nov. 2006 (CET)

Der ganze Absatz zu Hippasos ist wohl ziemlich wenig "belastbar", das gilt auch fuer den Artikel zu Hippasos selbst, der die Ueberlieferungslage voellig unkenntlich laesst.

Und ja, ich finde den Abschnitt zur "irrationalsten und nobelsten Zahl" auch befremdlich. Bei Formulierungen wie "Der Goldene Schnitt lässt sich direkt aus der Forderung nach maximaler Irrationalität konstruieren" frage ich mich als Nichtfachmann, ob das einfach nur die Beobachtung eines WP-Autors ist, oder wer sonst in der Geschichte der Mathematik diese Beobachtung schon angestellt hat. Ebenso "Wir zerlegen diese Zahl", "Man kann nun zeigen" etc. Es handelt sich offenbar nicht um reine Theoriefindung, wie eine Google-Suche mit "most irrational number" zeigt, aber eine enzyklopaedische Darstellung, die ihre Quellen kenntlich macht, ist das nicht.--Otfried Lieberknecht 08:41, 25. Nov. 2006 (CET)

Hallo Otfried,

Die Quelle ist unter "Neue Literatur" zitiert: P. H. Richter, H.-J. Scholz, Der Goldene Schnitt in der Natur. --Wolfgangbeyer 20:25, 14. Jan. 2007 (CET)

Hallo Erzbischof,

• Zu 1.: Was sag Schoot genau dazu? Hält er Lukianos für nicht belastbar oder bezieht Lukianos sich vielleicht auf Schriften von Iamblichos, die heute nicht mehr erhalten sind? Wie wär's mit so was wie: "Ironischerweise fand sich nun die Widerlegung dieser Ansicht ausgerechnet im Pentagramm, von dem vermutet wird, dass es das Symbol der Pythagoräer gewesen sei" ?
• Zu 2.: Das Bild zum Parthenontempel ist wenig glücklich. Ich habe damals kein besseres freies gefunden. Eine Goldene Spirale dort ist wenig überzeugend. Das Recheck geht ja auch nicht von Säulenmitte zu Säulenmitte, sondern ist größer. Daher ist bei der großen vertikalen Linie, die das Rechteck teilt, eigentlich nichts besonderes zu sehen, und es ist überflüssig darüber Worte zu verlieren.
• Zu 3.: Es ist eine erwähnenswerte These für eine möglicherweise häufigeres Vorkommen in der Kunst. In Sonnenblumen beträgt die Abweichung vom Goldenen Winkel z. T. nur 0,01%.
• Zu 4.: Das ist zu einfach. Auch die Größe des Zählers muss berücksichtigt werden. Eine Zahl in der Nähe von z. B. 1000/7 kann ich trotz des kleinen Nenners gut approximieren, da z. B. die Differenz zischen 1000/7 und 1001/7 nur 0,1% beträgt. Ein besseres Beurteilungskriterium dafür, wie gut n/m eine Zahl x approximiert, wäre die Abweichung durch delta mit (n+delta)/m=x zu charakterisieren. Für jedes m lässt sich durch Wahl des optimalen n immer |delta|<0,5 erreichen. 8/5 approximiert φ mit |delta|=0,090, 22/7 approximiert π mit |delta|=0,0089. Also 10x besser. Habe ein paar Umformulierungen in Deinem Sinne vorgenommen. --Wolfgangbeyer 20:25, 14. Jan. 2007 (CET)

Nochmal zum Pentagramm als dem Symbol der Pythagoreer: Habe mal per E-Mail bei A. Brünner, dem Autor der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/pythagotripel.htm, bezüglich seiner Quelle für die Aussage angefragt, das Pentagramm gelte als das zentrale Symbol der Pythagoreer. Danach steht bei Helmuth Gericke, Mathematik in Antike und Orient, Springer-Verlag: Berlin und Heidelberg, 1984 und 1990, S. 101 der Satz "Das Pentagramm bzw. das Fünfeck war das Erkennungszeichen der Pythagoreer". Laut Arndt Brünner gibt Gericke für diese Aussage zwar keine isolierte Quelle an, er lobt aber ausdrücklich Gerickes generell "saubere Quellenauswertung und seinen kritischen und sachverständiger Umgang mit den Quellen". Im fraglichen Kapitel beruft sich Gericke mehrfach auf B. L.van der Waerden: Pythagoreische Wissenschaft. In: Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft und insbes. auf v.d.Waerden: Die Pythagoreer. Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft, Zürich, München: Artemis Verlag, 1979. Van der Waerden selbst hatte auch die Originaltexte übersetzt und ausgewertet. Dort könnte man evtl. genaueres finden, wenn man Lust und Zeit dazu hat. --Wolfgangbeyer 23:36, 16. Jan. 2007 (CET)

Gründliche Überarbeitung

Habe den Artikel mal gründlich überarbeitet. Hier ein paar Bemerkungen zu einzelnen Maßnahmen:

• "Er gilt als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie. " Das ist Ansichtssache und sollte daher sprachlich stärker relativiert werden.
• Es gilt "Φ=1,618033988..." oder "Φ≈1,618033989", aber nicht " Φ=1,618033989...", auch nicht " Φ≈1,618033988..." und schon gar nicht "Φ≈1,618033987...", wie da stand.
• Ich denke 3 Goldene Rechecke im Anfangsteil waren etwas viel. Das mit den Goldbarren ist sicher nicht jedermanns Geschmack, und die Animation ist angesichts des darzustellenden Sachverhalts wohl eher Kanonen auf Spatzen. Die Aussage der Animation wird ja schon durch das Bild davor abgedeckt. Die Rechtecke sind übrigens ähnlich und nicht selbstähnlich.
• "Das Rechteck (a, b) liegt genau dann im Goldenen Schnitt, .. " Ist das sprachlich eigentlich korrekt oder muss ein Objekt, das "im Goldenen Schnitt liegt", durch seine Position eine Strecke in diesem Verhältnis teilen? In diesem Sinne habe ich es zumindest beim googeln gefunden. "Rechteck (a, b)" ist übrigens eine Schreibweise, die einem Laien nicht unbedingt vertraut sein dürfte.
• "Betrachtet man den darauf folgenden Winkel in der Teilungsfolge, ... " Hier ist nicht sofort klar was mit "Teilungsfolge" gemeint ist. Man sollte den Goldenen Winkel besser ohne Bezugnahme auf die stetige Teilung definieren.
• "Allerdings ist zu beachten, dass der am Bau verwendete goldene Schnitt zur Vereinfachung meist 5:8 betrug, ... " Gibt es dafür eigentlich Belege? Auf welche Zeit soll sich das beziehen? Vor oder nach Zeising? "... also ein einfacher ganzzahliger Bruch, der bei modularem Aufbau von Gebäuden wie Tempeln der damaligen Zeit rein zufällig auftauchen musste. " Ich glaube kaum, dass die damaligen Tempel aus quadratischen Modulen aufgebaut wurden.
• "In vielen Fällen ist es plausibler anzunehmen, dass die jeweiligen Künstler dort, wo ein Goldener Schnitt vermutet wird, in Wirklichkeit ein einfach zu konstruierendes 5/8-Verhältnis zugrunde gelegt haben, ... " Gibt es Literatur darüber, dass außer dem WP-Autor auch Kunsthistoriker das annehmen? Falls nicht, sollten wir hier darüber besser nicht spekulieren.
• "Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird ... " Wasser wird ja über die Wurzeln aufgenommen. Und Luft? Gibt's dazu Literatur?
• " Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähert, ... " Das folgt aus dieser Beziehung alleine leider nicht. Habe es etwas weniger zwingend formuliert. Wir müssen es hier nicht unbedingt beweisen.
• " Dieser ist innerhalb des entsprechenden Nennerbereichs stets der beste Näherungsbruch für Φ. Dennoch verläuft für den Goldenen Schnitt selbst diese optimale Approximation so langsam wie für keine andere Zahl." Abgesehen von der grenzwertigen Formulierung "langsam verlaufende Approximation": Das steht ja beides ein paar Sätze weiter oben schon im Text.
• Ein mathematischer Beweis für das Prinzip der stetigen Teilung vernebelt nur den auf der Hand liegenden Zusammenhang mittels unanschaulicher Gleichungen. Dieses Prinzip folgt ja unmittelbar aus der Definition, wenn man sie quasi rückwärts formuliert. Habe oben einen entsprechenden Satz eingefügt.
• In der Arbeit von R. Stelzner wird eine eher euphorische und weniger kritische Haltung zum Vorkommen des Goldenen Schnittes in der Kunst propagiert. Wir sollten besser einer ausgewogen Arbeit, wie z. B. der vom M. Frings, den ersten Platz bei den Weblinks einräumen.

Usw., usw. --Wolfgangbeyer 22:44, 13. Jan. 2007 (CET)

Cheops-Pyramide

Habe die Textstelle zu Herodot relativiert. Meine Quelle für diese Stelle war ursprünglich http://home.fonline.de/fo0126//spiele/denk27.htm. Inzwischen bin ich aber u. a,. auf den recht soliden und informativen Forums-Beitrag http://www.wer-weiss-was.de/theme7/article2061527.html gestoßen mit der Formulierung "Bezüglich der Cheopspyramide berufen sich Theoretiker auf eine Stelle des römischen Schriftstellers Herodot, der Äußerungen der ägyptischen Baumeister über die Maße der Pyramide festgehalten hat. Die entsprechende Textstelle ist leider nicht eindeutig interpretierbar, und wie man heute weiß, ist der Stand der Mathematik im alten Ägypten in der Vergangenheit weit überschätzt worden." Man sollte auch bedenken, dass zwischen dem Pyramidenbau und Herodot 2000 Jahre liegen. Zur These π:2 fand ich noch http://www.efodon.de/html/archiv/pyramiden/munt/mbau2.htm. Siehe auch die z. Zt. laufenden Diskussionen unter Diskussion:Cheops-Pyramide. Es scheint sich bei all diesen Thesen eher um unbewiesene bzw. heute nicht mehr beweisbare Spekulationen zu handeln. --Wolfgangbeyer 20:13, 3. Feb. 2007 (CET)

Die Skizzen sehen aus wie Schleichwerbung der Volksbanken-Raiffeisenbanken! (Ist das der Fall?) (nicht signierter Beitrag von 84.131.122.121 (Diskussion) )

Welche Skizzen? -- Petflo2000 17:58, 15. Mär. 2007 (CET)

Also ich weiß nicht was dort genau geschrieben stand bezüglich der Cheopspyramide. Ich kann dazu nur folgendes sagen. Das was Herodot geschrieben hat war, dass die Ägypter versucht haben die Pyramide so zu konstruieren, dass die Seitenfläche einer der vier Seiten der Pyramide genauso groß ist, wie das Quadrat der Höhe. Dies hatte etwas mit der Stabilität und dem Aufwand und der Höhe der Pyramide zu tun. Nach den Berechnungen der damaligen Baumeister wäre bei dieser Anordnung die Arbeit am effizientesten was Stabilität, Höhe und Aufwand anging. Sie fanden dann durch ausprobieren (NICHT DURCH BERECHNUNG) heraus, dass bei einem Verhältnis von Höhe zu Grundseite von 28 zu 22 dies ziemlich genau zutrifft. Es gibt aber auch andere Pyramiden, die probeweise gebaut wurden, bis man dies herausgefunden hat. So hat die Chephren-Pyramide ein Höhen-Seitenverhältnis von 28:21. Wenn man nun einfach mal davon ausgeht, dass die Ägypter wirklich so eine Pyramide bauen wollten, mit den von Herodot genannten Vorgaben, so kann man rein theoretisch berechnen, welcher Winkel diese Bedingung erfüllt. Und dieser Winkel ist einfach der Arcustangens(Wurzel(Phi)). Darum kann man dann auch leicht berechnen, dass dort nicht die Zahl Pi zum Vorschein kommt, sondern eine Zahl, die mit der Zahl Phi in Zusammenhang steht und die zufällig fast so groß ist wie Pi. Es ist nämlich 4/Wurzel(Phi). Die Herleitung der Formel überlasse ich euch dem Leser. Es ist ja eigentlich nur Mittelstufenmathematik.

H007A

Weblinks

Ich kam eigentlich nur hier vorbei, um den Linkspam von V. Weiss zu entfernen, aber die seltsamle Sammlung von größtenteils privaten Homepages hier ließ mich zur Gesamtlöschung schreiten. Irgendwelche Vorschläge für zwei, drie wirklich herausragende Weblinks? --Pjacobi 18:36, 19. Mär. 2007 (CET)

Alte Weblinks:

• Marcus Frings: Der Goldene Schnitt (kritische Analyse)
• Marcus Frings: The Golden Section in Architectural Theory (kritische Analyse)
• Ruben Stelzner: Der Goldene Schnitt und das Mysterium der Schönheit, (2002)
• Der Goldene Schnitt in der Biologie (englisch)
• Bilder zum Goldenen Schnitt in der Biologie
• Der Goldene Schnitt unter Einbeziehung von Beispielen aus Kunst, Architektur und der menschlichen Anatomie
• Bernhard Peter: Goldener Schnitt - Mathematik und Bedeutung in der Kunst (insbes. 34 verschiedene Konstruktionverfahren)
• „Höhere Pflanzen-Mathematik“
• Kleine Abhandlung über Spiralen, Fibonacci-Zahlen und den Goldenen Schnitt (mit Onlineberechnung)
• Projekt am Kaiser-Heinrich-Gymnasium Bamberg
• Ausführliche und gut lesbare Darstellung des Goldenen Schnittes und der Fibonacci-Zahlen (englisch)
• DIN-Papier und Goldener Schnitt
• Eine Theorie über die Rolle des Goldenen Schnitts bei der Informationsverarbeitung im Gehirn
• Facharbeit zum Thema „Klangspektrenvergleiche basierend auf der Fourier-Analyse. Versuch der Synthese eines ‚Goldenen Klangs‘.“
• Historische Beispiele und einfache Herleitungen zum Goldenen Schnitt
• Ein Tool zum Berechnen des Goldenen Schnitts

Hallo Pjacobi, das Thema ist ja ausgesprochen interdisziplinär, so dass ich schon für deutlich mehr als zwei, drei Weblinks plädieren würde. Aber die Auswahl ist nicht einfach. Im Prinzip spricht ja nichts gegen private Homepages, insbesondere dieses Thema scheint doch sehr viele Leute zu beschäftigen, die z. T. beachtliches zusammengetragen haben. Selbst der unscheinbare Artikel zum DIN-A4-Papier enthält im Resultat eine verblüffende Aussage, die ich sonst nirgendwo fand. Ich habe mal vorläufig die Anzahl auf 10 reduziert. Ist zumindest besser als 16 oder gar nichts ;-). --Wolfgangbeyer 00:11, 22. Mär. 2007 (CET)

Na, für meinen Geschmack ist das zuweit ab. Aber wenn ich hier eine Einzelmeinung vertrete, will ich auch keinen Aufstand machen. --Pjacobi 11:11, 22. Mär. 2007 (CET)

Prozent

vielleicht könnte man noch die Prozentzahlen der beiden Teilstrecken am Ganzen angeben (~62, ~38) -- 172.173.0.253 10:46, 12. Aug. 2007 (CEST)

hallo ich möchte wissen wie die Propationen sind! und zwar die richtige lösung bitte! (nicht signierter Beitrag von 87.174.88.53 (Diskussion) 22:08, 23. Okt. 2007)

61,803398874989484820458683436564 % zu 38,196601125010515179541316563436 % sind die Propationen!und zwar die richtigen!.

Genau genug? -- Martin Vogel 01:37, 24. Okt. 2007 (CEST)

Informatik und Goldene Spirale

Insgesamt finde ich den Artik sehr gut und bin froh, dass es ein "exelenter" Artikel ist. Dennoch habe ich noch zwei Anmerkungen zum Artikel:

1) Abschnitt Informatik: Es steht dort: "Für den Wert der frei wählbaren Konstanten φ wird oft der Goldene Schnitt vorgeschlagen, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten". Ich verstehe nicht, wieso hier der griechische Buchstabe φ statt Φ, wie in der Formel verwendet wird.

2) Goldene Spirale: Ich muss zugeben, dass mir die Formel für r(φ) nichts sagt. Dazu müsste erklärt werden, was die einzelnen Symbole bedeuten.

Vielen Dank an alle Autoren für so einen guten Artikel, Oliver

In 1) bezieht sich φ auf die Variable in der darüberstehenden Formel, deren Bedeutung im verlinkten Artikel multiplikative Methode zu ersehen ist. Ebenso ist zu 2) die Bedeutung der Formel im verlinkten Artikel logarithmische Spirale zu sehen. -- Jesi 14:47, 2. Mär. 2008 (CET)

zu 1) Irgendwo auf dem Weg vom Wikipedia-Quellcode zur gerenderten Ansicht im Browser wurde aus Φ φ. Ich habe den Abschnitt so abgeändert, dass ein PNG-Darstellung von Φ erzwungen wird. --Stefan Birkner 16:41, 2. Mär. 2008 (CET)

Ja, stimmt. Ich hatte das Problem in der Unterscheidung zwischen Klein-Phi und Groß-Phi gesehen. Es fragt sich allerdings, ob aus optischen Gründen nicht doch das gebräuchlichere $\varphi$ angebrachter wäre. -- Jesi 01:39, 3. Mär. 2008 (CET)

Die jetzige Variablenbezeichnung ist konsistent mit dem Artikel zur multiplikativen Methode. Wenn dann sollte man beide Artikel ändern. --Stefan Birkner 07:32, 3. Mär. 2008 (CET)

Wäre es mathematisch dann nicht korrekt, in der Formel h(k)=... auch einen anderen Buchstaben wie z.B. $\varphi$ zu verwenden und dann unten zu sagen, dass dieses Symbol zum Goldenen Schnitt $\Phi$ zu setzten? Allerdings frage ich mich, ob es dann nicht noch so verständlich für die Allgemeinheit ist. -- Oliver, 08:08, 3.März (CET)

Die Konstante heißt jetzt in beiden Artikeln $A$. --Stefan Birkner 08:27, 3. Mär. 2008 (CET)

zu 2) Wäre es nicht sinnvoll hier anzugeben, dass "die Kurve der Spirale mit den Polarkoordinaten (r, $\varphi$) wie folgt beschrieben werden kann:"? Dann sieht jeder sofort, dass hier die Polarkoordinaten für die Kurve der Spirale gemeint sind? -- Oliver, 08:08, 3.März (CET)

Architektur und Bilder

den nutzlosen fotoabschnitt hab ich gelöscht - viel mehr sollten wir aber überlegen, diese zwei abschnitte umzustrukturieren: eigentlich steht die "vor der renaissance nicht beweisbar"-sache in beiden abschnitten, also sollten wir die vielleicht zusammensortieren, und die nachweislichen ab dann brauchen nicht nach "bild" und "plan" getrennt werden: im kunstverständnis dieser zeit gibt es noch keine trennung von kunst und architektur - und insgesamt schlägt sich das ganze recht mit dem historischen teil, also könnten wir den miteinbeziehen: es war in dieser zeit auch die geometria eine der edlen künste.. -- W!B: 11:08, 23. Mär. 2008 (CET)

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

hab ich wieder als tabelle gesetzt, es ist unakzeptabel, wenn die bilder nicht neben ihrer beschreibung stehen, wenn man das fenster oder die schriftgröße ändert - wenn die löcher im text irgendjemandes ästhetisches empfinden beleidigen: man könnte die grundlagen dieser konstruktionen erläutern - übrigens ist imho die Konstruktion nach Odo nur eine Euklid-Variante: wie offenkundig zu sehen ist, arbeitet auch Euklid mit einem gleichseitigen dreieck: wenn Bild:Goldener_Schnitt_Konstr_Euklid.png gespiegelt wär, würde die analogie zum ersten verfahren sofort klar, und wenn odos bild im 90° gedreht wäre, die zum euklidschen.. - die verwirrung stiftet, dass die stecke immer gleich liegt.. -- W!B: 11:54, 23. Mär. 2008 (CET)

Informatik

ach ja, und jedes mal wieder beim lesen: Hashtabellen in ehren, und auch Mister Knuth wollen wir nicht runtermachen, aber rechtfertigt sein vorschlag diesen ganzen abschnitt? vorschläge, den goldenen schnitt irgendwo zu verwenden, gibt es viele.. - ein weblink tät da imho reichen
die Ramanujansche gleichung gefiele mir als beispiel in diesem artikel besser.. -- W!B: 12:07, 23. Mär. 2008 (CET)

Messbarkeit der Schönheit

Ich hatte mal vor langer Zeit nen Bericht im Fernsehn gesehen, in der es auch um Schönheit ging. Da wurde berichtet, dass das Schönheitsideal messbar wäre, dass heißt, dass was unserem (westlichen) Auge gefiele alles in einem Verhältnis stehe: Der Körper, sowie das Gesicht. Ich glaube die grobe Regel war 2:3 bespw. Oberkörper bis Bauchnabel zu Unterkörper; oder Länge des Mundes von den Miudwinkeln zu Breite der Nasen. Ich meine mich zu erinnern, dass das irgendwie in der Renaissance aufgegriffen wurde - Michelangelo oder - weiß jm darüber etwas mehr? Ich hab zwar gesehen, dass auch im Artikel darauf eingegangen wurde, die Verhältnisse erklärt wurden, nicht aber anhand von Beispielen, was im welchem Verhältnis stehen sollte, bspw. im Gesicht... Wäre um Antwort dankbar. Grüß --Honigmund 22:54, 28. Apr. 2008 (CEST)

Solche Erkenntnisse beruhen in der Regal auf subjektiven Beobachtungen. In der heutigen Zeit werden meist Umfragen gemacht der Form "Was gefällt Ihnen am besten?" und daraus werden Schlüsse gezogen. Auch wenn solche Umfragen durchaus seriös und mathematisch-statistisch ordentlich gestaltet sind (oder sein können), spiegeln sie doch nur subjektive Empfindungen wider. -- Jesi 13:24, 29. Apr. 2008 (CEST)

Es gab vor 100 Jahren einen Zoologen Namens Ernst Haeckl, der sich dieses Thema annahm. Nach seiner Überzeugung ist Schönheit mehr als nur persönliche Empfindung, sondern es ist etwas Universelles. Er war der Überzeugung, dass sich Schönheit durch Effizienz berechnen und begründen lässt. Etwas mehr darüber steht hier auf Spiegel-Online.

H007A

Gestern war das Thema in Galileo Mystery. Das erstaunliche war, dass ein Experiment gezeigt wurde: Die Gesichter von 10 Personen wurden einmal von einer Gruppe Männer nach Schönheit geordnet, und einmal per Übereinstimmung mit "Mathematischer Schönheitsberechnung" (basierend auf Goldener Schnitt). Angeblich war Übereinstimmung 100%. D.h. die Männer und die Schönheitsberechnung sind zu dem exakt gleichen Ergebnis gekommen. Bin da skeptisch (das Niveau von Galileo Mystery ist ja nicht sonderlich) - aber ist vielleicht einen genaueren Blick wert. --BambooBeast 18:31, 16. Mai 2009 (CEST)

Näherungswerte...

Ein sehr schöner Artikel. Ich bin mehr aus kunsthistorischer Sicht interessiert -- da hat mich die Formulierung „irrationalste“ aller Zehlen (oder so ähnlich) irritiert. Es gibt doch einen sehr erstaunlichen Näherungswert (wenn mich mein Taschenrechner nicht täuscht): e hoch e hoch e dividiert durch 1000. Hat das eine Erklärung? Herzliche Grüße -- RTH 17:22, 26. Sep. 2008 (CEST)

16:10 Bildformat

Erwähnenswert ist m. E. auch die Tatsache, dass Breitbild-Computer-LCD-Monitore (z. B. die Cinema-Displays von Apple mit einer Pixelanzahl von 1680x1050, 1920x1200 bzw. 2560x1600) alle ein Seitenverhältnis von 16:10 (= 1,6:1) aufweisen, was demjenigen (1,618..) des Goldenen Schnittes sehr nahe kommt! --Frankee 67 19:04, 1. Okt. 2008 (CEST)

Disharmonie

Weiß jemand ob es ein pendant zum goldenen Schnitt gibt, der beim Betrachter ein Gefühl der Disharmonie hervorruft? Mir ist z. B. aufgefallen, dass viele Kunstwerke von Azteken oder manche altindische Kunstwerke von gewalttätigen Kulten oder Kunstwerke von den alten Khmers in Kambodscha, bei mir oft ein Gefühl der Gewalttätigkeit und Blutrünstigkeit hervorrufen. Wie ihr ja vielleicht wißt, haben die Aztekischen Pyramiden einen viel steileren Neigungswinkel als die ägyptischen Pyramiden. In den ägyptischen Pyramiden steht ja die halbe Grundseite der Pyramide zur Hypotenuse der Pyramide im Verhätnis des goldenen Schnitts. Wer schon mal etwas geplant und gebaut hat, wird wissen, dass man schon bei kleineren Modellen nicht einfach drauf losbauen kann, sondern dass es mit Bedacht mit genauer Berechnung vorgehen muss. Es würde mich einfach mal interessieren, ob jemand diesbezüglich etwas irgendwo gehört oder gelesen hat und mir entsprechende Quellenangaben machen kann, ob es ein pendant zum goldenen Schnitt bezüglich Disharmonie gibt. --H007A 22:34, 10. Nov. 2008 (CET)

Eingangsgraphik ungenau?

Es geht mir um diese nebenstehende Graphik:

Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes: a verhält sich zu b wie a+b zu a.

Auch auf die Gefahr hin, mich hier tierisch zu blamieren: Auf meinem Monitor sieht das eher daneben aus; mir scheint die Strecke b viel zu kurz. Ich habe daraufhin a und b mit Linial abzumessen und kam dann auf etwa a = 6 cm und b = 3,3 cm. Damit ergibt sich dann als Quotient einmal etwa 1,55 für das große Verhältnis und 1,82 für das kleine Verhältnis, bestätigt also meinen Eindruck.

Einwand berechtigt oder nur ein Fehler in der Darstellung meines PCs? --Undergaveragent 15:42, 17. Dez. 2008 (CET)

=

Das ist nur eine Graphik zum veranschaulichen der Problematik. Es geht um die Frage, wie man eine vorgegebene Strecke so in zwei Teile teilen soll, damit a zu b sich genauso verhält wie b zu (a+b). Das kann man dann rechnerisch ermitteln wie das Verhältnis von a zu b sein soll. Die Graphik ist nur eine Veranschaulichung, selbst wenn Dein Monitor alles maßstabgerecht anzeigen sollte. --H007A 11:54, 20. Dez. 2008 (CET)

=

Hehe ich schließe mich der Kritik an, es geht hier schließlich nicht um irgendeine Teilung der Strecke und es ist auch mir direkt aufgefallen, dass das irgendwie nicht ganz stimmt... wäre doch schön, wenn jemand das besser machen kann - von einem richtigen und guten Artikel über den Goldenen Schnitt kann man das doch erwarten --78.51.105.99 23:50, 9. Jan. 2009 (CET)

Dieses falsche Längenverhältnis ist mir auch gerade aufgefallen; beim Verhältnis a/b komme ich mit viel guten Willen auf 1.8, was meiner Meinung nach zu weit daneben ist. Ich kann leider nicht mit Vektorgrafiken umgehen, deshalb wäre es nett, wenn sich jemand der Sache annehmen könnte. Sonst klatsch ich euch da nächste Woche ein png rein! -- Chillvie 20:22, 23. Feb. 2009 (CET)

So vielleicht?

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE svg>
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="560" height="120" viewBox="-170 -40 280 60">
    <g stroke-width="5">
        <line x1="-161.8034" x2="0"   y1="0" y2="0" stroke="#FFA500"/>
        <line x1="0"         x2="100" y1="0" y2="0" stroke="blue"/>
    </g>
    <g stroke="black" stroke-width="3">
        <line x1="-161.8034" x2="-161.8034" y1="-10" y2="10"/>
        <line x1="0" x2="0" y1="-10" y2="10"/>
        <line x1="100" x2="100" y1="-10" y2="10"/>
    </g>
    <g font-size="30px" font-family="Nimbus Sans">
        <text x="-90" y="-10">a</text>
        <text x="40" y="-10">b</text>
    </g>
</svg>

--85.180.77.115 15:16, 24. Feb. 2009 (CET)

Danke! Ich habe mich mal erbarmt und das Bild ersetzt. -- Chillvie 10:29, 25. Mär. 2009 (CET)

Goldener Schnitt vs. Goldene Zahl

Im Artikel werden die Begriffe Goldener Schnitt und Goldene Zahl nicht konsequent abegegrenzt. Da steht einmal der Goldene Schnitt sei eine Zahl, andererseits das "Verhältnis zweier Zahlen". Letzteres lässt sich wohl mathematisch nicht vernünftig fassen, macht aber in der Anwendung doch Sinn. Vielleicht sollte man also die Zahl Φ jeweils immer als Goldene Zahl bezeichnen? --85.180.77.115 14:43, 24. Feb. 2009 (CET)

Der Goldene Schnitt ist ein Verhältnis von Strecken und nicht von Zahlen, und dieses Verhältnis wird durch eine Zahl dargestellt, im Artikel &Phi. Ob diese Zahl "Goldene Zahl" heißt und auch als &Phi standardisiert ist, weiß ich nicht, aber dazu müsste ein Mathematiker konkrete Auskunft geben können. Viele irrationale Zahlen sind "Kardinalzahlen", will sagen von besonderer Bedeutung. Dazu gehören &pi, e, i, sqrt(2), sqrt(3). Eine davon ist nun einmal &Phi. Jede Zahl kann verkürzt dargestellt werden, und es ist müßig, sich in diesem Artikel allzusehr um die Stellenangaben und Bewertung von Näherungen auszulassen. Da die Zahlen berechnet wurden, ist die Wertung der einzelnen Reihen oder Programme nebensächlich. Den Mangel an Kenntnissen im Editieren griechischer Buchstaben möge man nachsehen.

--W.W.Lange 19:55, 23.3.2009 (CET)

Bildbeschreibung fehlt bei [[Bild:Goldener Schnitt Rechtecke Aspect ratio compare6.png]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Bild:Goldener Schnitt Rechtecke Aspect ratio compare6.png]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

• Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
• Skalierung: Außerhalb von Infoboxen sollten keine festen Bildbreiten (zum Beispiel 100px) verwendet werden. Für den Fließtext im Artikelnamensraum gibt es Thumbnails in Verbindung mit der automatischen Skalierung. Um ein Bild/eine Grafik in besonderen Fällen dennoch größer oder kleiner darzustellen, kann der „upright“-Parameter verwendet werden. Damit erfolgt eine prozentuale Skalierung, die sich an den Benutzereinstellungen orientiert. --SpBot 22:42, 1. Mär. 2009 (CET)

Trigonometrie

Hier steht: "In der Trigonometrie gilt unter anderem...". Gibt es irgendwo eine Aufzählung der Verbindungen zwischen Phi und trigonometrischen Funktionen. Ich habe kürzlich durch Zufall festgestellt, da ich die Funktion einer Winkelhalbierende von zwei linearen Funktionen bestimmen wollte, dass deren Steigung $\tan({\frac {\arctan(3)+\arctan(1)}{2}})$ ebenfalls dem Goldenen Schnitt entspricht. (nicht signierter Beitrag von Grimmbo93 (Diskussion | Beiträge) 17:53, 30. Jun. 2009 (CEST))

Das angegebene musikalische Intervall ist FALSCH

Ich habe es gestern verbessert, dann hat jemand meine Änderung rückgängig gemacht - kalkulieren Sie selbst, das goldene Intervall beträgt ungefähr 833 Cent - nicht 819. Wenn Sie einen Fehler im Artikel haben wollen - bitte sehr...

Casey Mongoven

Vorschlag für ein noch ästetischeres Verhältnis

(Wurzel(5,14) - 1) / 2 Einfach mal versuchen.

Digitalbilder mit Goldenem Schnitt beschneiden

Tipp:

Die Bildbearbeitungssoftware FixFoto enthält bei ihrem Bildkanten-Beschneidewerkzeug eine zuschaltbare 'Goldener Schnitt'-Option. Beispiel:

FixFoto Screenshot Goldener Schnitt

MfG,

Ralf

Herleitung des Zahlenwertes

kann mir das einer mal genauer erklären ich find das zu schwer so wies grad eist

Ein hervorragender Artikel

Lieber Autor, Liebe AutorInnen,

eine so anregende, informative und relevante Darstellung des Goldenen Schnitts habe ich noch nicht gelesen. Herzlichen Glückwunsch und Gruß Axel

Umlaufzeit der Venus und der Erde

Vielleicht ist dieser goldene Schnitt etwas zu ungenau, aber allemal eine interessante Annäherung. Die Umlaufezeit der Venus um die Sonne beträgt 224.7 Tage, die der Erde 365. Und die Umlaufzeit der Venus um die Erde beträgt ca 584. Gelesen in: Die Kosmische Oktave, Cousto, Synthesis Verlag

Verhältnis

38,2 % ./. 61,8 %

Phi

Könnte man in dem Artikel, den ich übrigens toll finde, konsistent den griechischen Buchstaben $\phi$ oder "Phi" schreiben, statt mal so mal so (desgleichen mit "Rho" und $\rho$ und "Pi" und $\pi$) oder gibt es eine Regel, wann man im Fließtext was benutzt?

mathematische Superlative

Auch wenn es im Januar 2005 die Diskussion schon mal gab, den Abschnitt "irrationalste und nobelste" Zahl finde ich unter Mathematik schlecht aufgehoben. "Das heißt, der Goldene Schnitt $\Phi$ ist die irrationalste aller Zahlen." und "Der Goldene Schnitt ist damit auch die nobelste Zahl." sind doch mehr Ausdrücke einer Fangemeinschaft, als mathematische Aussagen. Mathematisch gibt es die Definition "noble Zahl", und "irrationale Zahl". Die "nobelste Zahl" ist überhaupt nicht definiert (ist 0 die "ganzeste" Zahl, weil die Dezimalbruchentwicklung immer 0 hat?), den Satz würde ich streichen. Im angegeben Sinn ist der Goldene Schnitt schlecht approximierbar, allerdings ist der mathematische Irrationalitätsgrad ALLER irrationalen algebraischen Zahlen 2 (etwa http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html). Nochmal zur Verdeutlichung: Alle irrationalen algebraischen Zahlen lassen sich genau quadratisch durch rationale Zahlen approximieren (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Thue-Siegel-Roth). Und was ist "der angegebene Sinn"? Der Abschnitt der mit "In Umkehrung..." beginnt, wäre nur dann korrekt, wenn alle besten Approximationen Kettenbrüche sind, was aber nicht der Fall ist (alle Kettenbrüche sind beste Approximationen, aber nicht umgekehrt, 311/99 etwa ist keine Konvergente, aber die beste Approximation zu Pi mit Nenner<100). Wenn man genauer argumentiert, kann man hier herausholen, dass die Nenner in der Folge der Kettenbrüche für $\Phi$ besonders langsam wachsen. Dies sagt allerdings *gar nichts* über die Güte der Approximierbarkeit von $\Phi$ aus! Dieser Fehler ist auch in dem Artikel von Richter und Scholz vorhanden.

Zur Veranschaulichung ein paar Zahlen: die besten Approximationen für $\Phi$ sind auch die Kettenbrüche, diese Folge nenne ich mal $x_{n}$, die besten Approximationen von ${\sqrt {2}}$ seien $y_{n}$ und die Kettenbrüche von ${\sqrt {2}}$ seien $z_{n}$ und den relativen Fehler zur Abkürzung $\varepsilon$. Dann gilt:

für $\Phi$: $x_{5}={21 \over 13}$ mit $\varepsilon =1.7*10^{-3},x_{14}=1597/987;\varepsilon =2.8*10^{-6},x_{25}=317811/196418;\varepsilon =7.2*10^{-12}$, und

für ${\sqrt {2}}$: $y_{4}=z_{2}={17 \over 12}$ mit $\varepsilon =1.6*10^{-3},y_{12}=z_{7}=1393/985;\varepsilon =2.6*10^{-6},y_{17}=z_{13}=275807/195025;\varepsilon =6.6*10^{-12}$ (Die Zahlen wurden so gewählt, dass die Nenner ungefähr übereinstimmen, der Fehler ist ja immer von der Größenordnung Nenner zum Quadrat). Wer jetzt denkt, dass der Fehler bei $\Phi$ immer den von ${\sqrt {2}}$ übersteigt vergleiche $x_{9}={144 \over 89};\varepsilon =3.5*10^{-4}$ mit $y_{8}={140 \over 99};\varepsilon =5.1*10^{-4}$.

Das einzige wirklich Bemerkenswerte an der Folge $x_{n}$ ist die Langsamkeit, mit der der Nenner mit steigendem $n$ wächst (und die Tatsache, dass für $\Phi$ die Folge der besten Approximationen und die der Kettenbrüche übereinstimmen).

Um dieses Kapitel zu retten könnten man es nur "Der Goldene Schnitt als noble und die am schlechtesten durch Kettenbrüche rational approximierbare Zahl" nennen, allerdings müssen im ganzen Artikel die Vermutungen in der Botanik und der Kunst entfernt werden (oder rationale Zahlen dort durch Kettenbrüche ersetzen, was die Hypothesen aber noch gewagter erscheinen lässt) . -- Leonhard.Moehring 15:27, 28. Sep. 2009 (CEST)

Nachtrag: Wenn man etwas mehr Mathematik hineinsteckt, kann man die Aussage wohl retten. Aber dazu muss der Abschnitt noch um einige Mathematik erweitert werden. (vgl. etwa http://www.ams.org/featurecolumn/archive/irrational1.html ) Grob gesagt, auch wenn es beste diophantische Approximationen gibt, die keine Konvergenten sind, so sind die "allerbesten" dann doch Konvergenten (von Kettenbrüchen). -- Leonhard.Moehring 13:24, 29. Sep. 2009 (CEST)

Phi als musikalisches Intervall

Fehler (zum x. Mal erklaert): das musikalische Intervall des goldenen Schnittes betraegt ungefaehr 833 cent...NICHT 819. Get it right...or this article should not have a star. Do the math, damn it...I am sick of seeing this wrong here. (nicht signierter Beitrag von 76.176.213.254 (Diskussion | Beiträge) 03:37, 29. Nov. 2009 (CET))

Soll das heissen, dass der Unterschied zwischen einer kleinen Sexte 33 statt 19 Cent sein sollte? Aendern Sie es doch. --TB42 11:58, 29. Nov. 2009 (CET)

Goldener Schnitt: Der Goldene Schnitt als irrationalste und nobelste aller Zahlen

Dieser Absatz enthält unbelegte Behauptungen und betätigt sich IMHO in Theoriefindung. Hier einige Kritikpunkte zur Diskussion:

• Die Mathematik kennt AFAIK keine Skala für die Irrationalität von Irrationale Zahlen, das ist Theoriefindung. Auch, wenn dort nur von einem 'gewissen Sinne' die Rede ist. Es geht im Text ja auch weniger um das Maß der Irrationalität als um eine schlecht konvergierende Kettenbruchentwicklung. Durch die Bezeichnung 'Nobelste Zahl' ist das hinreichend charakterisiert. Ein Wikilink Noble Zahl wäre zu ergänzen. Im Übrigen befremdet es etwas, dass eine besonders schlecht konvergierende Kettenbruchentwicklung eine besonders 'noble' Zahl liefern soll, sind die Begrifflichkeiten wirklich so? Google findet fast nichts zu Noble Zahl.
• Dieser Satz ist ein vollkommen willkürlicher Vergleich, der nichts beweist: "Das ist beispielsweise bei der ebenfalls irrationalen Kreiszahl π anders. Sie lässt sich durch den Bruch ${\tfrac {22}{7}}$ mit einer Abweichung von nur 0,04 % approximieren. Einen derartig geringen Fehler würde man im allgemeinen erst bei einem sehr viel größeren Nenner erwarten.". So anders ist das beispielsweise für die Zahl e auch nicht, dort gilt ähnliches: ${\tfrac {68}{25}}$ stellt e auf 0,06% dar.
• Eine evt. Bedeutung in der Botanik sollte aufgezeigt/belegt werden, für geeignete Beispiele in Kunst und Architektur sollten Wikilinks gefunden werden. Die Formulierung 'und möglicherweise' stellt die Bedeutung selbst in Frage: In einem gewissen Sinne erweist er sich als die irrationalste aller Zahlen, eine Eigenschaft, die für seine Rolle in der Botanik und möglicherweise auch in der Kunst von Bedeutung ist.
• Die Abschnittsüberschrift ist sprachlich schief, schließlich wird der Goldene Schnitt als Verhältnis zweier Zahlen definiert und nicht selbst als Zahl. Ja, ich weiß, mathematisch ist das kaum ein Unterschied, aber sprachlich durchaus.

Insgesamt wirkt der Abschnitt dadurch nicht seriös, teilweise ist er unbelegt, Theoriefindung, zu blumig formuliert und so nicht enzyklopädisch. -- Ukko 13:14, 2. Apr. 2008 (CEST)

Beispiele:

• Wenn Du etwas fotografieren willst, so sieht es ästhetischer aus, wenn das Motiv nicht genau in der Mitte des Bildes steht, sondern auf 3/5 (3 zu 2) oder auf 2/3 (2 zu 1) was dem goldenen Schnitt relativ nahe kommt. Hier ein Link dazu.

H007A

Die Kritik ist zwar berechtigt, aber nicht gut begründet: Es gibt einige Belege für den im Artikel eingenommenen Standpunkt, z.B. Axel Hausmann: "Der Goldene Schnitt: Göttliche Proportionen und noble Zahlen", S. 80, ISBN 3831124426, ISBN 9783831124428

Aber es scheint so zu sein, dass "Irrationalität" etwas Anderes ist als "Approximierbarkeit". $\Phi$ ist jedenfalls eine algebraische irrationale Zahl, während e oder $\pi$ transzendent sind: Weisstein, Eric W. "Irrationality Measure." http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html . Demnach liegt $\Phi$ grade auf der Grenze zwischen algebraischen und transzendenten Zahlen, ebenso wie e (=2). Sind aber beide gleich gut approximierbar? Hingegen is $\pi$ schon wesentlich "irrationaler", aber besser approximierbar als $\Phi$. Man könnte vielleicht sagen, dass $\Phi$ die am schlechtesten approximierbare irrationale Zahl ist. Und die Aussage, dass sich $\pi$ (und e) besser durch Kettenbrüche approximieren lassen als $\Phi$ stimmt auf jeden Fall. Es lassen sich sowie algebraische irrationale Zahlen schlechter approximieren, als transzendente Zahlen. Die Liouvillesche Zahlen sind dabei das Extrem, sie lassen sich am besten durch Kettenbrüche approximieren, sind aber nicht algebraisch, sondern transzendent. Siehe auch den Satz_von_Thue-Siegel-Roth zum Thema Approximierbarkeit. Auf Continued fraction steht etwas weiter unten, siehe "A property of the golden ratio φ": "It can also be shown that every real number of the form (a + bφ)/(c + dφ) – where a, b, c, and d are integers such that ad − bc = ±1 – shares this property with the golden ratio φ." D.h. dass $\Phi$ nur ein Vertreter einer Klasse von besonders schlecht approximierbaren Zahlen ist. Mit ist nicht ganz klar, ob die "noblen Zahlen" genau dieser Klasse entsprechen.

"Wikilinks zur Botanik" stehen in Goldener_Schnitt#Biologie - den Link dorthin habe ich eingefügt.

Mit "möglicherweise in der Kunst" sehe ich kein Problem, da hier von der Mathematik ausgehend auf weniger Exaktes Bezug genommen wird.

Habe zunächst Mal "irrationalste" aus der Abschnittsüberschrift entfernt. Da es hier um den Zahlenwert und seine Approximierbarkeit geht, sehe ich kein Problem mit dem Term "aller Zahlen".

Alle Hinweise auf die Irrationalität von $\Phi$ in diesem Abschnitt müssten exakter werden - ich fühle mich hier nicht kompetent genug. -- Juela 14:00, 24. Nov. 2009 (CET)

Goldener Schnitt ist die irrationalste Zahl

Der Goldener Schnitt gilt als die irrationalste Zahl. Die Argumentation kann ich nachvollziehen. Trotzdem ist der goldene Schnitt "nur" eine algebraische Zahl. Für mein Empfinden sind transzendente Zahlen irrationaler als die algebraischen.--2357drache 09:01, 15. Nov. 2009 (CET)

Wiederwahl

Ich werde den Artikel nächste Woche zur Wiederwahl auf WP:KALP stellen, da der Artikelzustand IMHO nicht mehr der aktuellen Auslegung der Exzellent-Kriterien entspricht. Insbesondere dass seit geraumer Zeit ein Baustein anzeigt, dass Teile des Artikels überarbeitungsbedürftig sind, ist mir ein Dorn im Auge. Daher bitte ich alle den Artikel beobachtenden Fachleute die kommende Woche zu nutzen, den Artikel zu verbessern, damit der Baustein entfernt und wieder alle Kriterien erfüllt sind. - SDB 13:53, 27. Nov. 2009 (CET)

+1 --Otfried Lieberknecht 23:18, 28. Nov. 2009 (CET)

also eine Wiederwahl zu beginnen bevor die momentane Überarbeitung abgeschlossen ist halte ich für ziemlich ungeschickt. Wenn die Überarbeitung zufriedenstellend verläuft besteht sowieso kein Grund zur Abwahl. Sollte die Überarbeitung im Sande verlaufen, dann kann immer noch (z.B.) anfang nächsten Jahres mit der wiederwahl bzw. potenziellen abwahl beginnen.--Kmhkmh 23:25, 1. Dez. 2009 (CET)

Keine Sorge, die jetzige Überarbeitung wurde durch diese Ankündigung hier ausgelöst, daher gebe ich natürlich der Überarbeitung den Vorzug. Wenn am Ende sich alle einig sind und der Baustein draußen ist, bestünde für mich auch kein Grund zur Wiederwahl mehr. - SDB 00:51, 2. Dez. 2009 (CET)

Der letzte Schliff wird gerade noch durchgeführt und due Mathematiker sind sich jetzt auch weitestgehend einig bzw. die ehemals umstrittenen Formulierungen sind jetzt präzisiert und mit Einzelnachweisen versehen worden. Im Wesentlichen von Formulierungsschwächen bzgl. der(formalen) Exaktheit abgesehen, war der Inhalt auch in der alten Version korrekt gewesen.--Kmhkmh 10:55, 3. Dez. 2009 (CET)

Zum Thema "Noble Zahl und Approximierbarkeit"

Ich habe zu dem Thema mal ein bisschen Quellenanalyse betrieben.

Die Hauptquelle zu "noblen Zahlen" ist wohl Manfred Schröders Buch "Number Theory in Science and Communication".

Auf S. 69 findet man: "Finally, the Golden ratio g emerged as the noblest of "noble numbers", the latter being defined by those (irrational) numbers whose continued-fraction expansion ends in infinitely many 1's. In fact, the continued fraction of g has only 1's, whence also its nickname "the most irrational number" (because no irrational has a continued fraction approximation that converges more slowly than that for g). The designation noble numbers stems from the fact that in many nonlinear dynamical systems "winding numbers" (the frequency ratios of orbits in phase space) that equal noble number are the most resistant against the onset of chaotic motion, which is ubiquitous in nature."

S. 319: "In another generalization, the noble numbers, recently defined as all those numbers whose continued fraction expansions end in infinitely many 1's, distinguish themselves both in the present case and in the approach to chaos of nonlinear dynamical systems. In this nomenclature the Golden ratio is but the noblest of the noble numbers."

Kommentare:

• Die Bezeichnung "noble Zahl" stammt vermutlich von Manfred Schröder und ich tippe darauf, dass sie nur im Umfeld von nichtlinearen dynamischen Systemen benutzt wird (weiter unten im Wikipedia-Artikel gibt es ja auch einen Abschnitt über "Bahnresonanzen"). Mathematiker würden wohl eher "Kettenbruch, der in Periode 1,1,1,... endet" sagen.
• "Nobel" ist hier einfach ein mathematisches Adjektiv, so wie "perfekt" bei "perfekte Zahl". Die Zahlen 6 und 28 sind eben gleich der Summe ihrer echten Teiler, aber ansonsten sind sie nicht perfekter im umgangssprachlichen Sinn als andere Zahlen. "Die nobelste Zahl" zu sagen, ist eine sprachliche Spielerei und bezieht seinen Charme daraus, dass in der Kettenbruchentwicklung eben nur Einsen vorkommen. Im Artikel Noble Zahl wird "die nobelste Zahl" übrigens auch in Anführungszeichen geschrieben; das sollte man hier auch machen.
• Nun zur Approximierbarkeit: der Ausdruck im Wikipedia-Artikel "die irrationalste aller Zahlen" wird so von Schröder auch verwendet, aber er sagt dazu, es sei ein "nickname". Es ist also ein scherzhaft gebrauchter Ausdruck für den goldenen Schnitt. Wenn man das im Artikel so darstellt (z.B. "der goldene Schnitt wird auch scherzhaft die irrationalste Zahl genannt, weil ..."), dann entschärft das wohl schon mal die Diskussion zu dem Thema. Hardy/Wright schreiben auf Seite 209 ihrer An introduction to the theory of numbers: "From the point of view of rational approximation, the simplest numbers are the worst" und sagen dann, dass der goldene Schnitt die einfachste Zahl in diesem Sinn ist.
• Zum Thema "Beziehung zur Botanik" kann man z.B. die Kapitel "Phyllotaxis" und "Say, Bud, where do you think you are going?" in Conway/Guy The book of numbers lesen (Seiten 113-126). Beziehungen zur Kunst würde ich aus diesem Abschnitt auf jeden Fall weglassen, es sei denn, es gibt eine gute Referenz dafür. Da es ja für Kunst und Botanik eigene Abschnitte gibt, könnte man diese Hinweise hier für beide Gebiete weglassen und sich nur auf das Thema schlechte Approximierbarkeit durch rationale Zahlen beschränken. -- KurtSchwitters 21:45, 28. Nov. 2009 (CET)

Das ist doch mal sehr erhellend (auch für mich als Nichtmathematiker). Dann spricht doch eigentlich alles dafür, den strittigen Abschnitt "Der Goldene Schnitt als nobelste aller Zahlen" drastisch zusammenzustreichen und ihn auf das, was referenzierbar ist, zu beschränken. Und ich hoffe, Du bringst das Ergebnis Deiner Quellenrecherche auch in den Artikel Noble Zahl ein. Denn über der Frage, wo dieser Begriff herkommt, hatte ich schon gelegentlich Eselsohren bekommen, weil er aus der antiken und mittelalterlichen Zahlentheorie (die einzige, die ich manchmal lese) nicht ableitbar ist. --Otfried Lieberknecht 23:15, 28. Nov. 2009 (CET)

Soweit ich das auf die Schnelle beim Überfliegen beurteilen kann sind auch die anderen Angaben zu Kunst und Biologie im Wesentlichen korrekt. Das Problem liegt eher darin, das ihre Beschreibung über die gesamte Literaturliste verteilt ist. Man sollte lso mit pauschalen eher zurückhaltenden sein und stattdessen wert auf die genaue Formulierung bzw. das Nachtragen con Einzelnachweisen legen. Also möglichst die allgemeinen Literaturangaben konsultieren und dann Einzelnachweise nachtragen.--Kmhkmh 18:45, 1. Dez. 2009 (CET)

Die Diskussion ist etwas zerfleddert, da sie auch im in der Fach-QS des Matheportals stattfindet (siehe Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Goldener_Schnitt_-_Approximierbarkeit_und_Irrationalität). Der momentane Artikelinhalt ist im Wesentlichen schon korrekt, nur muss man bei der genauen Formulierung vorsichtig sein. Die Formulierung "irrationalste Zahl" (=am schlechtesten durch rationale Zahlen approximierbare irrationale Zahl) ist (inzwischen) nicht nur eine Scherzformulierung von Schröder sondern durchaus üblich (siehe [4], [5], [6]. Man muss jedoch genaue Sprachregelung im Sinne des Artikels beachten: irrationaler = schlechter durch rationale Zahlen approximierbar = langsamer konvergierender Kettenbruch = niedrigere Ordnung im Irrationalitätsmaß. Die Formulierung im Sinne von Hard/Wright ("schlecht approximierbar") findet sich inklusive der mathematischen Details auch bei Beutelspacher, der im Artikel unter Literatur bereits aufgeführt ist, auf S.95-101. Der Grund aus dem der Begriff häufig (aber nicht immer) in Anführungszeichen steht, liegt darin, dass irrationaler oder am irrationalsten im herkömmlichen Kontext der Zahlenmengen nicht anwendbar ist, da dort irrational lediglich eine binäre Eigenschaft ist, d.h. dort ist eine Zahl einfach irrational oder nicht irrational. Auch der Begriff "noble Zahl" ist nicht nur bei Schröder zufinden, sondern inzwischen auch allgemein üblich [7]. --Kmhkmh 18:28, 1. Dez. 2009 (CET)

Also so wie ich die Quellen sehe, ist das "irrationalste" meist in Anfuehrungszeichen und ich denke auch, dass diese Behauptung wenn ueberhaupt nur sehr abgeschwaecht in den Artikel sollte. Schliesslich ist die Goldene Zahl nur in einem sehr speziellen Sinn ausgezeichnet. So sollten doch z.B. die ganzzahligen Vielfachen genauso irrational sein wie die Zahl selbst. Auch laesst sich auf Grund der Dichtheit von Q in R jede reelle Zahl beliebig gut approximieren. Statt also zu behaupten, dass die Goldene Zahl die "irrationalste" Zahl ist, sollte man vielleicht einfach "nobelste" schreiben, denn das passt und kann im Artikel noble Zahlen naeher erlaeutert werden. --TB42 21:34, 1. Dez. 2009 (CET)

Es gibt eigentlich keinen Grund von der Darstellung bzw. Beschreibung in der Fachliteratur abzuweichen, die die Bezeichnung irrationalste Zahl nun einmal verwendet. Natürlich muss deutlich gemacht, dass dies nicht bedeutet, dass Phi "schwer" zu approximieren ist, sondern das hier um einen spezielle zahlentheoretische Begriffsbildung geht.--Kmhkmh 22:05, 1. Dez. 2009 (CET)

Kleiner Nachtrag, der folgende Satz ist natuerlich Unsinn: "Für die Goldenen Zahl gilt nun aber $\Phi =1+{\tfrac {1}{\Phi }}$ (siehe oben), woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt

$\Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\Phi }}}}=\cdots =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}.$"

Schliesslich geben die Formeln links der $\cdots$ induktiv nur eine Gleichheit fuer endlich viele Verschachtelung, waehrend rechts ein Grenzwert steht. Typischer Erstsemesterfehler wuerde ich sagen ... --TB42 21:42, 1. Dez. 2009 (CET)

Nein, das ist eigentlich schon so richtig (zur Berechnung des Grenzwertes), wenn man die Konvergenz stillschweigend als gegeben voraussetzt bzw. aus anderen Argumenten bereits weiß, dass der Kettenbruch konvergiert. Das Ganze ist eine Standardtechnik zur Berechnung von konkreten Grenzwerten (unter der Voraussetzung das die Konvergenz gegeben ist). Diese "stillschweigende Voraussetzung" sollte man allerdings zumindest in einer Fußnote irgendwo erwähnen, um der (formalen) Vollständigkeit Genüge zu tun.--Kmhkmh 21:59, 1. Dez. 2009 (CET)

Das Argument ist so schlicht falsch, da sich Induktion nicht so anwenden laesst. Bei uns bekommen Studenten fuer solche Argumente Punktabzug, auch wenn sie sich vielleicht richtig anfuehlen. --TB42 23:59, 1. Dez. 2009 (CET)

Naja es ist vielleicht etwas schlampig aufgeschrieben, dennoch ist der Schluss korrekt, da er nicht auf einer (endlichen) Induktion sondern auf der Konvergenz bzw. der Existenz eines Grenzwertes beruht.--Kmhkmh 00:50, 2. Dez. 2009 (CET)

Mein Problem ist, dass in der Formel eine Induktion suggeriert wird, die (a) nicht so angewendet werden kann und (b) der korrekte Beweis ueberhaupt nicht auf Induktion zurueckgreift. (Angenommen man wuesste, dass $1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}$ konvergiert, z.B. gegen $a$. Es gilt dann $a=1+1/a$ und deshalb $a=\Phi$.) --TB42 08:13, 2. Dez. 2009 (CET)

Das Problem ist natürlich, dass die jetzige Formulierung nicht (explizit) zwischen intuitiver Herleitung unf formalen Beweis unterscheidet. Was im Artikel steht ist im Prinzip die intuitive Vorstufe zu dem von dir angegeben formalen Beweis, der wiederum auf der schon bekannten Konvergenz beruht. Vielleicht sollte man die Zeile so formulieren, dass sie nicht als (expliziter) formaler bzw. vollständiger Beweis missverstanden werden kann.--Kmhkmh 10:59, 2. Dez. 2009 (CET)

a) Ich stimme zu, dass der Abschnitt nicht noch länger werden sollte. Für Einzelheiten kann man auf Kettenbruch#Rationale_und_irrationale_Zahlen verweisen und dort noch Information reinstecken (z.B. Satz von Hurwitz, siehe auch den englischen Wikipedia-Artikel über Kettenbrüche). b) Die Approximierbarkeitseigenschaften einer (irrationalen) Zahl x sind identisch zu denen von x+1, x-1, usw., aber nicht zu denen der ganzzahligen Vielfachen von x (beispielsweise ist der Kettenbruch von 2 * 1.616... : [3,4,4,4,4,...]). c) Die Erläuterung "ratio=hier nicht Vernunft" usw. sollte wieder raus. Man kann das ja bei rationale Zahl erwähnen, aber nicht hier mitten im Text. d) Der Passus "hält daher von allen rationalen Zahlen maximal Abstand" muss noch verändert werden. Wie erwähnt, liegen die rationalen Zahlen dicht in den reellen, und daher geht es so nicht. e) Im letzten Satz (noble Zahlen) kann noch die Anmerkung "verwendet in der Theorie der dynamischen Systeme, siehe z.B. unten den Abschnitt Bahnresonanzen" stehen. f) Oder sollte man das ganze Thema hier weggelassen und einfach auf den noch zu erweiternden Abschnitt Kettenbruch#Rationale_und_irrationale_Zahlen verweisen. Was denkt ihr? -- KurtSchwitters 22:08, 1. Dez. 2009 (CET)

Zu b): Asymptotisch gesehen approximiert die Folge 2*q_n eine Zahl 2*q genauso gut oder schlecht wie q_n die Zahl q approximiert. Ich finde diese ganze Argumentation mit der Irrationalitaet ziemlich unkonventionell (um es mal hoeflich auszudruecken), da in der Mathematik Approximationen normalerweise (z.B. in den Grundstudiumsvorlesungen Analysis und Numerik) mittels Fehlerabschaetzungen bzw. dem O-Kalkül bewertet werden. Ausserdem betrachtet man normalerweise nicht $\Phi$ als schlecht approximierbar, sondern die Kettenbruchentwicklung als eine schlechte Approximationsmethode fuer $\Phi$ und so herum sollte man es auch darstellen. --TB42 23:59, 1. Dez. 2009 (CET)

Die Argumentation hat ja auch mit Numerik und dem dortigen Approximationsbegriff wenig zu tun, sondern ist spezielle Sichtweise aus der Zahlentheorie, die eine Art Güte der Approximation in Abhängigkeit vom Nenner der rationalen Zahl darstellt. Dieser Ansatz ist dort jedoch üblich und man findet ihn sowohl in diverser Literatur zum goldenen Schnitt als auch zur Zahlentheorie (entsprechende Literatur wurde ja oben mehrfach erwähnt). Wir brauchen uns hier auch über Sinn, Unsinn oder Konventionalität dieser zahlentheoretischen Sichtweise zu streiten, denn klar ist nun mal sie wird in der (Fach)Literatur (insbesondere der zum goldenen Schnitt) verwendet, also sollte sie auch hier erwähnt werden. Ansonsten stimme ich Kurt oben zu, dass es wohl besser ist, nicht den ganzen etwas sperrigen Formalismus in diesem Absatz zu erläutern oder (unvollständige) Teilherleitung zu liefern, sondern das das in externe Lemmata (wie z.B. Kettenbruch) zu verlagern oder auh mit dem Verweis auf externe Literatur zu verweisen. Allerdings sollten die wichtigsten "Ergebnisse" schon in in diesem Lemma bzw. absatz erwähnt weren, d.h. der Kettenbruch und die Begriffe irrationalste und nobelste Zahl sollten angegeben werden und man muss sie so anschaulich erläutern, dass sie nicht mit den konventionellen Begriffen von irrational und (schlechter) approximation verwechselst werden.--Kmhkmh 01:10, 2. Dez. 2009 (CET)

Hab nochmal http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html nachgelesen und möchte die folgenden Aussagen zur Diskussion stellen:

a) das Irrationalitätsmass rationaler Zahlen ist 1
b) das Irrationalitätsmass irrationaler algebraischer Zahlen ist =2, also auch das von $\Phi$
c) das Irrationalitätsmass transzendenter Zahlen ist ≥2
   hierunter gibt es Zahlen mit einem Irrationalitätsmass von ∞ (die Liouville-Zahlen)
   das Irrationalitätsmass von $\pi$ liegt zwischen 2 und 8.0161 (unterste Tabelle)
   das Irrationalitätsmass von e ist =2

Demzufolge ist der Satz "In diesem Sinne wären also die meisten transzendenten Zahlen irrationaler als Φ." doch nicht ganz falsch(?) Oder man könnte formulieren "In diesem Sinne wären also alle transzendenten Zahlen ebenso irrational wie Φ oder irrationaler." Keine Ahnung, wie hoch der Anteil der transzendenten Zahlen mit Irrationalitätsmass >2 ist - es scheint ja schon schwierig zu sein, überhaupt die Transzendenz zu beweisen.

Auf jeden Fall sehe ich hier einen Widerspruch (oder eine widersprüchliche Definition von Irrationalität) zur Aussage "Φ ist am schlechtesten zu approximieren." Die Liouville-Zahlen lassen sich ja anscheinend besonders gut rational approximieren (http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number). --Juela 12:26, 2. Dez. 2009 (CET)

Nein, das ist ein Problem unterschiedlicher Sprachregelungen, die es leider in der Literatur gibt. Der Artikel verwendet die Sprachregelung: eine geringere Ordnung im Irrationalitätsmaß = weniger rational = irrationaler. Dieser sprachregelung liegt zugrunde, dass eine höhere Ordnung bedeutet, dass eine bessere/schnellere rationale Approximation (im zahlentheoretischen Sinne) vorliegt. Man betrachtet Zahlen mit einer besseren rationalen Approximation dann als rationaler (weniger irrational) und mit einer schlechteren als irrationaler (=weniger rational). In diesem Sinn sind dann die meisten transzendenten Zahlen rationaler als der goldene Schnitt bzw. der goldene Schnitt ist irrationaler als sie. Hier liegt also kein inhaltlicher/mathemarischer Widerspruch vor, sondern lediglich eine Vermischung unterschiedlicher Sprachregelungen.--Kmhkmh 12:48, 2. Dez. 2009 (CET)

Ein Zitat dazu aus E. Krätzel, Zahlentheorie: "Der Satz von Liouville ist deswegen aus historischer Sicht von so grundlegender Bedeutung, da er zum ersten Mal die Existenz transzendenter Zahlen nachzuweisen erlaubte. Zu diesem Zweck konstruiere man eine Zahl, die sich in besonders guter Weise durch rationale Zahlen approximieren lässt." ! -- KurtSchwitters 20:32, 2. Dez. 2009 (CET)

Hallo, ich habe noch ein paar Änderungen gemacht, die Ihr prüfen könnt. Eins liegt mir noch auf der Seele, und zwar der Satz "Für jeden einzelnen dieser Brüche gilt, dass es keinen Bruch mit einem kleineren Nenner gibt, der π besser approximiert." Von Leonhard Möhring, glaube ich, wurde hier geschrieben: "alle Kettenbrüche sind beste Approximationen, aber nicht umgekehrt, 311/99 etwa ist keine Konvergente, aber die beste Approximation zu Pi mit Nenner<100". 311/99 ist wohl besser als 22/7 (bitte nochmal prüfen), aber der Nenner 99 ist kleiner als der nächste Kettenbruch-Nenner (=106). Siehe auch: http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction#Best_rational_approximations, dafür würde ich aber auch gerne mal eine Quelle haben. Den obigen Satz sollte man dann wohl weglassen, wenn er schon nicht wahr ist. - Wir könnten ja als nächstes den Artikel Diophantische Approximation ausbauen, wenn Ihr Lust habt. -- KurtSchwitters 21:04, 2. Dez. 2009 (CET)

Approximierbarkeit, der letzte Schliff

Ich beginne hier mal einen neuen Abschnitt, da der alte schon sehr lang geworden ist. TimofeyPnin hat das Irrationalitätsmaß auskommentiert und ich schlage vor, es in Diophantische Approximation aufzunehmen, da dieser Artikel geeigneter ist für vertiefte Fragen. Ich habe die beste Approximation von Pi ersetzt durch den absoluten Fehler $|q\cdot \pi -p|$. Es gibt außer den "principal convergents" noch "intermediate convergents", die bessere Approximation der betrachteten irrationalen Zahl x ergeben (also nicht kleinere Absolutfehler, sondern tatsächliche Approximationen an x), so wie oben bei 311/99 erwähnt (siehe Lang: Dioph. Appr. 1995, S. 15). Bitte nochmal drüberschauen, ob das so OK und gut genug formuliert ist. -- KurtSchwitters 09:51, 3. Dez. 2009 (CET)

• Also so sieht das im Moment ganz gut aus, weitere Details zum Irrationalitätsmaß sollten in der Tat in Diophantische Approximation oder bei den Kettenbrüchen behandeln werden.
• Die Formulierung von Ikenaga scheint aber doch richtig, jedenfalls findet sich das auch so sinngemäß in Niven/Zuckerman/Montgomery's "The theory of Numbers" aud S.338 (Theorem 7.13). Da steht ausdrücklich, das es jede bessere rationale Approximation als die Konvergente einen größeren Nenner als diese besitzen muss, d.h. diese Eigenschaft ist nicht auf die Konvergenten (der Kettenbruchentwicklung) beschränkt.
• Ansonsten würde ich noch vorschlagen das Wort "scherzhaft" zu löschen, da das formal gesehen POV ist (in den meisten Quellen ist nicht von scherzhaft die Rede) und sich diese Bezeichnung doch inzwischen eingebürgert bzw. verbreitet hat, unabhängig davon ob sie nun vom Erstautor scherzhaft gemeint war oder nicht.
• TB42 Kritik sollte noch durch eine kleine Umstellung in der Kettenbruchdarstellung berücksichtigt werden, so dass dort Fehlinterpretationen vermieden werden.

--Kmhkmh 10:10, 3. Dez. 2009 (CET)

Stimmt, die Formulierung vorher war doch richtig, und auch bei Ikenaga. Die "intermediate convergents" treten dann auf, wenn man für aufsteigende q die besten Approximationen notiert. Dann kommt nach 22/7 nicht direkt 333/106, sondern noch unter anderem 311/99. Das steht aber nicht im Widerspruch zu der Optimalitätseigenschaft "Zahl p/q, die x optimal approximiert unter allen rationalen Zahlen mit Nenner <= q". -- KurtSchwitters 10:32, 3. Dez. 2009 (CET)

Vielen Dank für Eure großen Mühen und genauen Recherchen. Ich habe viel daraus gelernt. Noch ein paar Kommentare meinerseits:

• Das Wort „scherzhaft“ ist jetzt gelöscht.
• Die Verschiebung von „Irrationalitätsmaß“ zur Diophantische Approximation scheint mir die beste Lösung.
• Zur Optimalität: So wie ich es verstehe, ist „beste“ Approximation zweideutig, solange man nicht genau sagt, was optimiert werden soll: entweder der Abstand $|x-p/q|$ (so würde man es intuitiv verstehen) oder der „diophantische“ Fehler $|qx-p|$ (so lautet die Aussage des Satzes). Beide liefern verschiedene Ergebnisse, wie Kurt Schwitters obige Beispiele zeigen (wenn ich ihn richtig verstehe). Ich bin daher dafür, nach dem Wort „optimal“ die ausführliche Formulierung anzugeben. So steht es in der aktuellen Version und kann hoffentlich als Grundlage für weiteren Feinschliff dienen.
• Die Konvergenzfrage kann man vermeiden, indem man explizit nur die endlichen Entwicklungsschritte (also jeweils mit Rest) angibt. So habe ich es versucht, zu formulieren. Ist das immer noch genauso gut verständlich? Sind damit auch formal alle zufrieden?

Leider sind bei unseren drei parallelen Edits ein paar kleinere Änderungen unter die Räder gekommen (zum Beispiel Kurt Schwitters Verweis auf Lang). Ich hoffe, alles wieder zu einer stabilen Version integriert zu haben. Unsere Zusammenarbeit heute Morgen war mir jedenfalls eine Freude. --Timofey Pnin 10:56, 3. Dez. 2009 (CET)

Akzeptiere, dass Bezüge auf ein Irrationalitätsmass hier zu weit führen. Könnte denn auch einer von Euch Mathematikern bei Irrationale Zahl oder Diophantische Approximation diesen Teil mit reinbringen (Kettenbruch eher nicht - der Artikel ist schon so lang)? Bin nur ein Physiker :-).

Noch eine Frage zu meinem Punkt aus dem vorigen Abschnitt und der Aussage "Der Artikel verwendet die Sprachregelung: eine geringere Ordnung im Irrationalitätsmaß = weniger rational = irrationaler." Diese Sprachregelung ist aber m.E: nicht konsistent: rationale Zahlen haben Irrationalitätsmaß =1. Keiner wird jedoch behaupten, dass rationale Zahlen irrationaler sind als irrationale (deren Irrationalitätsmaß ist nämlich ≥2). --Juela 16:16, 3. Dez. 2009 (CET)

ja, was ich oben geschrieben habe war in Bezug auf das Maß in Mathworld nicht ganz richtig, sondern bezog sich auf eine bei Beutelspacher gegebene verwandte aber nicht identische Definition, dort spricht man von der Ordnung k einer rationalen Approximaton (für irrationale Zahlen), wenn $|x-{\frac {p}{q}}|<{\frac {c}{q^{k}}}$ für unendlich viele p/q erfüllt ist. In diesem Fall gilt dann je geringer die Ordnung k desto schlechter ist die Güte der rationalen Approximation und desto weniger rational/irrationaler ist x. Das Maß in Mathworld ist jedoch etwas anders definiert und misst in gewissem Sinne genau anders herum, nach ihm ist der goldene Schnitt nicht die irrationalste Zahl sondern die "rationalste irrationale Zahl". Letztere Formulierung findet man auch (sehr selten) in der Literatur, aber die im Artikel dargestellte Sprachregelung ist stärker verbreitet und kommt jetzt ja auch gut ohne einen Rückgriff auf Mathworld aus.--Kmhkmh 16:50, 3. Dez. 2009 (CET)

Vergleiche doch nochmal http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number#Irrationality_measure und http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html => $|x-{\frac {p}{q}}|<{\frac {1}{q^{k}}}$. Die dort angegebene Definition des Irrationalitätsmaß (oder Liouville-Roth Konstante oder Irrationalitätsexponent) ist doch identisch und unterscheidet sich von der von Dir angegebenen (Beutelspacher) Definition (gibt's da einen Weblink?) nur um c, und das scheint mir eine triviale Konstante zu sein - von einer Umkehrung der Definition sehe ich da jedenfalls nichts. 'tschuldigung, dass ich hier so hartneckig bin - aber in der Mathematik muss das doch wohl so sein :-) --Juela 12:15, 4. Dez. 2009 (CET)

Beutelspacher gibt es wohl nur in der Bibliothek. Die Konstante c spielt in der Tat zunächst für die Begrifflichkeit keine Rolle, allerdings kann man für das c einen Maximalwert bestimmen (${\frac {1}{\sqrt {5}}}$) der wiederum direkt mit dem goldenen Scnitt zusammenhängt. Die Definition bei Beutelspacher sieht sehr ähnlich aus, deswegen habe ich den Unterschied zuerst auch nicht gesehen, ist aber anders. Zunächst ist Beutespachers Ansatz nur für irrationale Zahlen definiert, weil der Begriff der rationalen bzw. diophantischen Approximierbarkeit nur irrational Zahlen sinnvoll ist. Ein anderer formaler Unterschied liegt darin, dass bei Beutelspacher die Existenz unendlicher vieler p/q gefordert wird, während bei Mathworld nur endliche viele p/q zugelassen und dann das Supremum bildet. Allerdings ist das durch die Supremumsbildung wohl im Prinzip equivalent, wenn man unterstellt das es nicht angenommen wird bzw. selbst nicht zur Menge gehört. Damit ist es dann wieder ein Problem der Sprachregelung, d.h. wie oben angedeutet messen Mathworld und Beutelspacher im Prinzip mit demselben Maß nur jeweils in die entgegengesetzte Richtung. Wenn man den bei Beutelspacher oder in manchen Zahlentheoriebüchern nur für irrationale Zahlen definierten Begriff wie bei Mathworld auf ganz R ausdehnt, ergibt sich dann eine kuriose aber letztlich logische Schlußfolgerung, dass rationale Zahlen am schlechtesten rational approximiert werden. Das klingt zunächst widersinnig. Wenn man jedoch die anzunähernde Zahl x selbst explizit vom Nährungsprozess ausschließt und eben nur die Näherung selbst betrachtet, dann ist wohl tatsächlich so, dass sich irrationale Zahlen besser rational approximieren lassen (im zahlentheoretischen Sinne) als rationale. Oder um es etwas pointierter im Hinblick auf die obige (scheinbare) Inkonsistenz zu formulieren: Rationale Zahlen lassen sich am schlechtesten rational approximieren. Von diesem Standpunkt aus funktioniert dann auch die Sprachregelung niedrigere Ordnung im Irrationalitätsmaß = schlechtere Güte der rationalen Approximation = weniger rational = irrationaler ohne mathematischen Widerspruch. Das Problem ist lediglich wieder, dass diese Sprachregelung angewandt auf ganz R der koventionellen Verwendung der Begriffe widerspricht, da man dann Aussagen bilden kann wie: Die irrationalsten Zahlen innerhalb der reellen Zahlen sind die rationalen. (=Die rationalen Zahlen besitzen eine schlechtere rationale Approximation (im zahlentheoretischen Sinne) als irrationale Zahlen). Das ist zwar im Sinne der obigen (erweiterten) Definitionen formal richtig, aber sprachlich eher Realsatire bzw. etwas für das mathematische Kabarett. Man kann diese Problematik auch anhand der Kettenbrüche sehen, denn wenn man dort (unendliche) Näherungen einer Zahl x durch Kettenrüche betrachtet und dabei die Zahl x selbst vom Näherungsprozess auschließt. Jede irrationale Zahl lässt sich beliebig gut und unendlich durch ihren Kettenbruch annähern. Rationale Zahlen besitzen aber einen endlichen Kettenbruch, d.h. die Folge der Kettenbruchentwicklungen endet mit x selbst und x ist ja als Bestandteil der Näherung ausgeschlossen. Anders ausgedrückt rationale Zahlen lassen sich so schlecht rational approximieren, dass man nicht einmal eine Kettenbruchentwicklung verwenden kann. Ich hoffe das alles hat nicht zusätzlich verwiirt sondern geholfen.--Kmhkmh 13:42, 4. Dez. 2009 (CET)

Hallo Juela, bei http://people.math.jussieu.fr/~miw/coursHCMUNS2007.html (oder auch direkt in der Datei http://people.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/IntroductionDiophantineMethods.pdf auf Seite 16) ist dieses Thema gut erklärt. Grüße, KurtSchwitters 16:51, 8. Dez. 2009 (CET)

Interessante Seite (Proseminar Kettenbrüche mit Vortragsausarbeitungen): http://www.math.uni-bielefeld.de/~hoffmann/kettenbr/ -- KurtSchwitters 14:05, 4. Dez. 2009 (CET)

• Zur Angabe des relativen Fehlers von 0,04% bei der Approximation von Pi durch 22/7: solche relativen Abweichungen sind nicht sinnvoll, da die Approximationseigenschaften einer Zahl x identisch sind zu denen von x+n mit ganzzahligem n. Stattdessen sollte mit $1/q^{2}$ verglichen werden (man kann hier natürlich auch noch $sqrt(5)$ in den Nenner schreiben, aber dafür müsste man dann mehr Begründung dazu schreiben).
• Ich habe die Quellen zusammengefasst. Das kann man wieder rückgängig machen, wenn es besser lesbar ist. Der Grund war, dass ich noch auf die besten Approximationen hinweisen wollte, die nicht durch Abbrechen des Kettenbruchs entstehen ("intermediate convergents", ich weiss aber noch nicht, wie man es auf Deutsch sagt). Dies hier zu erwähnen, scheint mir nützlich zu sein. Es kann dann in Diophantische Approximation vertieft werden. Der Kommentar kann natürlich auch in eine eigene Referenzzeile, aber dann hätte man 4 Referenzen gehabt, was auch nicht schön ist. -- KurtSchwitters 15:44, 5. Dez. 2009 (CET)

nochmal Approximationseigenschaften der Goldenen Zahl

die ganze einführung, wie man pi (sic!) als kettenbruch approximiert, ist hier völlig offtopic - imho gehört die ganze theorie zu Noble Zahl - hier verbleibt nur die kettenbruchentwicklung phi (dafür braucht man die theorie nicht) und der hinweis auf den fachartikel zu schechter approximierbarkeit --W!B: 01:43, 6. Dez. 2009 (CET)

• naja, der Artikel kann sich zwar auf die reine Angabe der Ergebnisse beschränken, muss das aber nicht unbedingt, sondern kann es auch etwas erläutern. Eine kurze Erläuterung zur rationalen Approxímation im Artikel selbst ist schon sinnvoll, da sie sonst selbst von Fachleuten leicht mit anderen Approximationbegriffen verwechselt wird (wie ja auch die obige Diskussion zeigt). Artikel sollten ja im Ideafall möglichst so angelegt sein, dass man soviel wie möglich über das direkte Lesen auch ohne das Browsen der Hyperlinks verstehen kann, jedendfalls solange es den Artikel nicht unangemessen aufbläht.--Kmhkmh 01:59, 6. Dez. 2009 (CET)

ja schon, für die Goldenen Zahl selbst ist die definition der noblen zahl ja wirklich nur randerscheinung, und in erster linie schreiben wir doch eine enzyklopädie, und kein lehrbuch 8wenn es einen zielartikel gibt, wird geklickt, und nicht jeder begriff nochmal definiert (im endeffekt: ja, es bläht den aspekt unmässig auf, aber im hauptartikel dazu fehlt es) --W!B: 05:29, 6. Dez. 2009 (CET)

Dass es im Hauptartikel rationale/diophantische Approximationen noch fehlt, hängt mit der Arbeitsweise von WP als Prozess zusammen, der Hauptartikel muss halt noch geschrieben werden. Es ist eben nicht alles auf einmal da. Was die Aufblähung betrifft, so halte ich die Länge des Abschnittes durchaus für vertretbar, auch wenn der nachfolgende Abschnitt im Verhältnis dazu wesentlich knapper ist. Aber Lesbarbarkeit (und auch "Omafreundlichkeit") heißt eben, dass man wie oben angedeuten nicht nur einfach auf Zielartikel verlinkt. Letzteres ist zwar ein "typischer" (Fach)Enzyklopädischer Stil (besonders bei Printenzyklopädien), aber dies ist in WP ohne Platzbeschränkung zumindest nicht immer nötig und bis zu einem gewissen Grade aus Sicht vieler Autoren sogar explizit unerwünscht.--Kmhkmh 07:29, 6. Dez. 2009 (CET)

Mekka als Goldener Schnitt der Erde

Es gibt diverse Aussagen, teil Wissenschaftlich belegt, dass Mekka der Goldene Schnitt der Erde ist. Hier ein Video http://www.youtube.com/watch?v=Xj7sExS-UKw

Vielleicht kann man diese Erkentniss auch hier einfügen?

MFG (nicht signierter Beitrag von 87.184.150.81 (Diskussion | Beiträge) 17:10, 1. Feb. 2010 (CET))

Nein, das Video ist Augenwischerei und Schwachsinn. Was da erzählt hat ergibt mathematisch und geowissenschaftlich keinen Sinn. Die Punkte sind (bis auf Nord- und Südpol, aber selbst die) willkürlich gewählt und der Autor hat offensichtlich keine Ahnung, wie der goldene Schnitt definiert ist, sonst wüsste er, dass $a/b=\phi =(a+b)/a$ immer zutrifft, nicht nur auf Mekka – so ist $\phi$ schließlich definiert, vergl. erster Satz des Artikels). Zusammenfassend: das ist keine hinreichende Quelle, und “wissenschaftlich” ist das schon gar nicht. “Der goldene Schnitt der Erde” ergibt als Aussage sowieso keinen Sinn.--Wolf. 15:32, 10. Mär. 2010 (CET)

+1. Wissenschaftlich ist das nicht, sondern fällt in den Bereich der Numerologie. Man könnte das, wie andere beliebte/bekannte numerologische Verwendungen des Goldenen Schnitt eventuell im Artikel erwähnen, sofern ein auseichender Bekanntheitsgrad und reputable Quellen vorliegen, das ist jedoch zur Zeit nicht der Fall.--Kmhkmh 15:43, 10. Mär. 2010 (CET)

Vielfache von … 1?

Weitere mathematische Eigenschaften: „Das Quadrat Φ2 = … lassen sich als Summe aus einem Vielfachen von Φ und einem Vielfachen von 1 darstellen.“ – Daß sich aus einem beliebigen Vielfachen von eins jede (gleiche) beliebige Zahl darstellen läßt, gut. Aber … so könnte man ja auch schreiben „aus einem Vielfachen von Φ und einer beliebigen (ggf. ‚nur‘ einer ganzen/natürlichen?) Zahl“. (nicht signierter Beitrag von 84.151.211.233 (Diskussion) 22:49, 27. Apr. 2007 (CEST))

Es sind ganzzahlige Vielfache gemeint. --91.32.76.52 23:30, 7. Jul. 2010 (CEST)

Physikalischer Grund

kennt man den Physikalischen Grund dafür, dass der goldene Schnitt(in etwa) so häufig in der Natur wiederzufinden ist? (nicht signierter Beitrag von Prof. Franz-Joseph (Diskussion | Beiträge) 21:10, 18. Mai 2007 (CEST))

Im Artikel steht etwas dazu. --91.32.76.52 23:30, 7. Jul. 2010 (CEST)

TEILUNG, also kleiner als '1' ??!!

bei goldener Schnitt denke ich immer an 0.618... Wenn ich etwas teile, so ist es kleiner als 1, 'golden' also also bei gut 61%.

Dieser Wert sollte wohl auch irgendwie erscheinen, oder ?!

Wo bleibt der Kehrwert ??!!

--Aanon 20:12, 7. Jul. 2010 (CEST) ---

Das ist in diesem Fall gleich Φ−1. --91.32.76.52 20:28, 7. Jul. 2010 (CEST)

Ja, klar, aber diese goldenen Schönheiten fehlen hier. EXPLIZIT !

Überhaupt hätte ich hier gerne mal diese Zahl mit ein paar mehr Stellen als 5. Mein simpel Rechner sagt 1.6180339887, besser: 1.618033988750

Und da sich Dezibel sehr gut für Verhältniswerte eignen: Das wären 4.17975, besser: 4.17975280500 dB bzw. eben genausogut -4.17975280500 dB. Oder wer musikalisch denkt/fühlt: 0.69424 Oktaven, eine um eine 'blaue' Terz verminderte Oktave (egal ob hoch oder herunter).

Oder dass erwähnt wird, dass b = a^2 ist, bzw. 1.618...^2 = 1.618.. - 1 ist. Das glänzt doch auch golden, ist aber im Artikel 'abgeschnitten'.

--Aanon 01:35, 8. Jul. 2010 (CEST)

Mehr Nachkommastellen habe ich in die Tabelle in Mathematische Konstante hineingeschrieben, mit Link zu noch viel mehr Nachkommastellen (zum Beispiel 10 Billionen [8]). Mathematisch ist das hier unbefriedigend, aber mir fällt angesichts der vielen berechtigten außermathematischen Interessen auch keine gute Lösung ein (mathematisch ist Φ, anders als π oder e, nicht so extrem wichtig). Alle algebraischen Gleichungen, die Φ erfüllt, bekommt man direkt aus Φ²−Φ−1=0. --91.32.76.52 02:51, 8. Jul. 2010 (CEST)

Eigentlich steht das im Artikel auch schon mehr oder weniger explizit (Goldener_Schnitt#Herleitung_des_Zahlenwertes, erste Gleichung).--Kmhkmh 09:08, 8. Jul. 2010 (CEST)

Fibonacci Reihe

Irgendwo im Artikel ist die Fibonacci Reihe mit 0,1,1,2,3,5... angegeben, warum startet diese mit 0? Ist das so korrekt? --62.224.248.203 16:42, 29. Aug. 2010 (CEST)

Schau dazu einfach auf die Seite Fibonacci-Folge#Definition der Fibonacci-Folge, dort wird dies erläutert. --Fritzbruno 17:22, 29. Aug. 2010 (CEST) erledigtErledigt

Erweiterungen und Quellen

Zunächst einmal sind die Angaben zu Stockhausen und dem Instrumentebau quellenlos bzw. ohne Einzelnachweis, der müsste nachgetragen werden.

Im Hinblick auf die Tatsache, dass dieser Artikel den Exzellenz-Status besitzt, diesen fast einmal aufgrund unbelegter Erweiterungen verloren hätte und das Thema des Artikels leider jede Menge unenzyklopädische Edits anzieht und auch um den Wartungsaufwand erträglich zu gestalten, möchte ich vorschlagen, das hier auf einem restriktiveren Editierverhalten bestanden wird. Grundsätzlich sollten keinerlei inhaltlichen Ergänzungen ohne Einzelnachweise bzw. explizite Quellenangabe erlaubt werden, d.h. jegliche inhaltlichen Erweiterungen, die dem nicht ensprechen sollten konsequent revertiert werden.--Kmhkmh 15:45, 16. Jul. 2010 (CEST)

Für den Abschnitt Instrumentbau sind jetzt Quellen nachgetragen.--Kmhkmh 19:00, 29. Sep. 2010 (CEST)

Teilung einer Strecke

Auch wenn's nicht so ganz der exakt mathemtischen Natur dieses Artikels entspricht: Ich hatte grad das Problem dass ich eine Strecke nach dem goldenen Schnitt teilen wollte und hab deswegen hier nachgeschaut - ich könnte mir denken dass eine Menge Leute aus demselben Grund diesen Artikel konsultieren. Leider ist der Artikel aber dafür überhaupt nicht hilfreich - mathematisch exakt (vermutlich) schon, hilfreich nicht, weil eben für mathematische Laien zu komplex und umfangreich. In meinem Fall ging's um eine Strecke von 300 mm, ich habe dann nach einigem rumrechnen rausgefunden dass man diese Strecke ganz einfach nach dem goldenen Schnitt teilen kann indem man sie durch 2.618 teilt, dann hat man die kürzere Seite, hier also 114,6mm, die längere Seite dann entsprechend 185,4. Nicht exakt natürlich, aber für die praktische Anwendung allemal ausreichend. So als Idee: Könnte man nicht am Anfang (oder am Ende) des Artikels einen Abschnitt 'einfache Anwendungsbeispiele' einfügen? Ich hoffe dass dieser Vorschlag nicht gegen die Wikipedia-Richtlinien für mathematische Artikel o.ä. verstösst, aber ich denke eben dass er den Artikel für sehr viele Benutzer sehr viel hilfreicher machen würde... -- EugenBlau 10:44, 15. Sep. 2010 (CEST)

Dein Ergebnis ist richtig. Der Umweg über die kürzere Strecke wäre nicht nötig gewesen. Im Artikel steht gleich am Anfang:
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren Strecke verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.
Also ist das Verhältnis zwischen Deinen 300mm und dem gesuchten größeren Teil von 300mm gleich  $\Phi$ .
Die unten stehende kleine Rechnung mußt Du auch selbst machen können, sonst war der minimalste Mathe-Unterricht in der Schule sinnlos. Solche Dinge als Beispiele hier im Artikel aufzunehmen, wäre ein nicht endender Nachhilfeunterricht. Deine Adam-Riese-Frage wäre nur eine von unendlich vielen denkbaren.
$\Phi ={\frac {300mm}{a}}=1,618$       $a={\frac {300mm}{1,618}}=185,4mm$
Analemma 11:55, 15. Sep. 2010 (CEST)

Mein (lapidarerer) Kommentar zu EugenBlau: Ja, aber besser verständlich ist, wenn man sie mit 0.618 multipliziert. Direkt aus dem Abschnitt „Definition“ würde man 300/1.618 ableiten. Dann bekommt man in beiden Fällen die längere Teilstrecke. Aber Analemma hat natürlich auch recht. -- KurtSchwitters 12:00, 15. Sep. 2010 (CEST)

Ui, ganz schöne Schelle... :) aber ihr habt Recht, ich hatte übersehen dass das ja grad der Witz ist, dass sich das grössere Teilstück zur Gesamtlänge wieder so verhält und ich natürlich nur durch 1.618 hätte teilen müssen. So ganz verkehrt fände ich meinen Vorschlag aber dennoch nicht, es geht dabei nicht um Nachhilfe, weil es ja sicher vielen Benutzern auch nicht darum geht, ein besseres mathematisches Verständnis zu entwickeln. Die Beispiele für simple Anwendung wären mehr gedacht für die meiner Meinung nach naheliegende Frage, die man sich durch den Artikel beantworten wollen würde: Wie ging das noch mal schnell? Und genau dafür wäre es doch super wenn da einfach stehen würde: 'Zur Teilung einer Strecke entsprechend dem goldenen Schnitt teilt man die Gesamtlänge durch 1.618, man erhält das längere Teilstück.' Schliesslich gibt es wahrscheinlich wirklich etliche Leute, bei denen der Matheuntericht wirkungslos durchgesickert ist, und wäre es nicht schön wenn der Artikel auch diesen Leuten die Anwendung des Prinzips ermöglichen würde, ohne sie mit griechischen Zeichen zu quälen? (Ich weiss schon - 'Wikipedia ist keine Sammlung von Anleitungen und Ratgebern', was ich schon immer schade finde, aber an diesem Prinzip wird mein Vorschlag dann wohl eh scheitern...) -- EugenBlau 12:29, 15. Sep. 2010 (CEST)

Auch ohne entsprechende WP-Richtlinie scheitert Dein Vorschlag wenigstens bei mir. Analemma 19:49, 15. Sep. 2010 (CEST)

Warum, findest Du meine Argumentation bzgl. Zugänglichkeit so unnachvollziehbar?-- EugenBlau 21:16, 15. Sep. 2010 (CEST)

Nicht unnachvollziehbar, denn Dein Ansinnen ist zeitgemäß, wobei man selbstverständlichen Anspruch auf Bedienung mit allem hat, auch mit dem, was das Menschsein eigentlich ausmacht: dem Denken.
Analemma 11:06, 24. Sep. 2010 (CEST)

weitere mathematische Eigenschaften

Folgendes wurde von einer IP entfernt:

Der goldene Schnitt ist einer der drei Eigenwerte des optimal vorkonditionierten Systems bei Anwendung des PMINRES-Verfahrens zur iterativen Lösung eines großen dünnbesetzten linearen Gleichungssystems.

Prinzipiell können hier auch solche relativ speziellen mathematischen Eigenschaften angegeben werden, allerdings müssen diese immer mit einer verlässlichen Quelle belegt sein. Also wenn es jemand wieder einfügt bitte nur mit Quelle.--Kmhkmh 01:05, 19. Sep. 2010 (CEST)

Speziell oder nicht, aber eine kurze Erläuterung, welche wichtige oder beispielhafte Rolle der goldene Schnitt dort spielt, würde ich schon als Voraussetzung ansehen. Die Lösung von x²=x+1 tritt an zahllosen Stellen auf (das ist wie beim en:Strong Law of Small Numbers), die würde ich hier nicht alle auflisten. --91.32.55.159 14:01, 19. Sep. 2010 (CEST)

Spricht nichts dagegen sie hier (belegt) zu erwähnen, wobei natürlich nicht gegen eine kurze Erläuterung spricht. Wenn die Liste zu lang wird, muss man natürlich Prioritäten setzen und/oder ein Auslagerungslemma anlegen.--Kmhkmh 14:23, 19. Sep. 2010 (CEST)

Goldener Schnitt - Wie kommt man auf Wurzel 5?

Im Artikel heißt es in gewohnter "Die Herleitung ist trivial"-Manier:

Aus der oben angegeben Definition folgt

$\Phi :={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\Phi }}$

und daraus die quadratische Gleichung $\Phi ^{2}-\Phi -1=0$. Diese Gleichung hat genau zwei algebraisch konjugierte Lösungen

$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}618\,033\dots \qquad {\textrm {und}}$

${\bar {\Phi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\Phi =-{1 \over \Phi }\,.$

Wie kommt man von Zeile 1 zu Zeile 2 mit der Wurzel 5? --Zulu55 15:46, 20. Jul. 2010 (CEST)

Antwort bitte ertmal auf http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Auskunft#Goldener_Schnitt_-_Wie_kommt_man_auf_Wurzel_5.3F --Zulu55 15:50, 20. Jul. 2010 (CEST)

fragst Du Dich noch immer? bis hierhin ist klar $\Phi ^{2}-\Phi -1=0$   (?)

$\Phi ^{2}-2({\Phi \over 2})+{1 \over 4}={5 \over 4}$   (+5/4)

${(\Phi -{1 \over 2})}^{2}={5 \over {2^{2}}}$   (quadr. Ergänzung)

$\Phi -{1 \over 2}=\pm {{\sqrt {5}} \over 2}$   (Wurzel ziehen)

$\Phi ={1 \over 2}\pm {{\sqrt {5}} \over 2}$   (+1/2)

$\Phi ={{1\pm {\sqrt {5}}} \over 2}$   (Ausklammern)

--Juela 17:24, 4. Okt. 2010 (CEST)

Weder Frager noch Antworter scheinen auf der Höhe einfacher Schulmathematik zu sein. Das Lösen einer quadratischen Gleichung ist eine der einfacheren Aufgaben. Wer trotz allem das Lösungsschema (“Mitternachtsformel”, s. Quadratische Gleichung) vergessen hat, findet es in seiner Formelsmmlung (z.B. Schülke-Tafeln).
Analemma 00:06, 5. Okt. 2010 (CEST)

hier würde p-q-Formel reichen. Einfache Schulmathematik ist dies allerdings nicht unbedingt. Die 10te-Klasse-Abschlussprüfungen in Berlin-Brandenburg zB. gehen auf quadratische Gleichungen nur noch in den B-Kursen (höheres Leistungsprofil) ein.--Fritzbruno 07:04, 5. Okt. 2010 (CEST)

Diese habe ich auch gemeint. Sie ist es jedenfalls, die ich auch am Tage nicht mehr (Alter) unbedingt aufsagen kann. Dafür habe ich meine Schülke-Tafeln behalten. Mich stört etwas Prinzipielles, nämlich dass Wikipedia Lehrbuch sein soll. Das ist sie nicht, weil sie eine Enzyklopädie und sehr fehlerhaft (die Mehrheit der Autoren sind Laien) ist.
Analemma 10:48, 5. Okt. 2010 (CEST)

bei mir ist es zwar auch schon über 30 Jahre her, dass ich die Formelsammlung auswendig lernen sollte - und schon damals hatte ich ein besseres Gefühl bei einer kleinen Herleitung statt nur einfach die Formel zu kennen. Und in diesem Fall war ja grade die Frage, wie man von A nach B kommt - die Antwort mit der Formelsammlung ist dabei m.E. nicht hilfreich (der Hinweis auf die Seite mit den Quadratischen Gleichungen schon, eher aber Quadratische Ergänzung, da hatte ich nicht dran gedacht). Die Kritik bzgl. Lehrbuch müsstest Du dann ja erst recht auf die genannten Artikel-Seiten haben. Übrigens ist dies eine Diskussions- und keine Artikelseite. Meine Beitrag war einfach nur als hilfreicher Tipp gemeint. Hast Du irgendeinen Fehler hierbei bemerkt? Ich finde Deine Eingangsbemerkung demnach schon etwas frech. Hohes Ross und so. Ich weise Dich mal ganz nebenbei auf Deine eigene Benutzerseite hin :-) -- Juela 17:41, 5. Okt. 2010 (CEST)

Da hast Du Recht: Ich hätte nur Quadratische Gleichungen als Stichwort wiederholen, nicht auf den Artikel verlinken sollen. Dort erscheint die p-q-Formel ziemlich spät, was mich schon störte (also Kritik). Der Frager befindet sich vermutlich auf Höhe der Stufe 1, Du auf Höhe 3 oder höher. Mich störte, dass Du ihn gleich auf Deine Höhe hinaufziehen wolltest. Du hast nämlich den Beweis der p-q-Formel angegeben, ohne es zu sagen. Ich halte es für die von mir sogenannte Stufe 2 als nötig und ausreichend, bei einer Anwendung (nicht beim Erlernen und Begreifen von Mathematik) die Normalform der quadratischen Gleichung zu erkennen und dann das verbreitete Werkzeug anzuwenden. Die Normalform hatte der Frager m.E. erkannt oder "geschluckt". Bei der vorgelegten quadratischen Ergänzung vermutete ich größere Schluckbeschwerden, etwa so: Wie hätte ich denn von selbst auf so etwas kommen können?
Analemma 11:07, 6. Okt. 2010 (CEST)

OK, alles klar --Juela 17:29, 6. Okt. 2010 (CEST)

Letzteres ist der Nachteil des sturen Paukens der p-q-Formel, ich selbst bemühe mich, meinen Schülern grundsätzlich die Lösung über die quadratische Ergänzung nahe zu legen, weshalb mir obige Hilfe sehr gefallen hat. Trotzdem reicht im Artikel mE. ein Hinweis auf Quadratische Gleichung mit anschließender Präsentation der Lösung.--Fritzbruno 18:36, 6. Okt. 2010 (CEST)

Sehe ich auch so, dass ist eben auch der Unterschied zwischen Enzyklopädie und einem Lehr- oder Übungsbuch.--Kmhkmh 23:26, 7. Okt. 2010 (CEST)

Herleitung des Zahlenwertes

ist die Überschrift. Warum ausschweifen und gleich noch über algebraisch konjugiert reden? Ich hätte die Kastration auf Streichen dieses Links ausdehnen sollen, war schon nahe dran.
Analemma 13:57, 7. Okt. 2010 (CEST)

und genau diese Herleitung erfolgt dort in übersichtlicher Form. Und es ist nicht ausschweifend, Fachbegriffe zu verwenden (und zu verlinken).--Fritzbruno 21:00, 7. Okt. 2010 (CEST)

Wir sind bei WP zwar nicht in der Mathe-Stunde, aber als Schüler würde ich Dir das ankreiden: 2 Lösungen genügt, da könnte man ja z.B. auch noch gleich abhandeln, wie die Lösungen zustande (s.o.: Wie kommt man auf Wurzel 5?) und vom Hundertsten ins Tausendste kommen.
Ich habe konsequenter kastriert, die zusätzliche Mathematische Eigenschaft (nicht nur ein nebenbei zu verwendender Fachbegriff) aber unter eine neue Zw.Überschrift gestellt. Das aber auch wieder mit Bedenken, denn der enzyklopädie-notwendige Link führt m.E. zu einem allzu dünnen Text.
Analemma 12:54, 8. Okt. 2010 (CEST)

Ich weiß nicht, weshalb du unbedingt alles kastrieren willst, jedenfalls irritiert mich dieser Sprachgebrauch sehr, ich bin doch mehr an eine sachliche Diskussion hier gewöhnt. Deine Änderungen sehe ich als jedenfalls absolut nicht zielführend an, sondern als das Gegenteil. Bitte versuche künftig deine Argumentation zu deinen Änderungsvorschlägen unter Verwendung einer angemessenen Fachsprache vorzubringen und deine Kastrationsgelüste anderweitig zu befriedigen.--Fritzbruno 21:39, 8. Okt. 2010 (CEST)

Kastrieren gebrauchte ich erst, nachdem Du dieses Wort eingeführt hattest ([9]). Deshalb ist es an Dir, sachlich zu diskutieren anstatt lediglich zu revertieren.
Analemma 22:18, 8. Okt. 2010 (CEST)

Fibonacci-Zahlen

zu [10]: In diesem Fall würde ich die 0 auch weglassen, da es in dem Abschnitt um den Quotienten a_n+1/a_n geht. --91.32.81.210 13:36, 13. Jan. 2011 (CET)

Ich sehe da kein Problem, wenn man es für nötig hält kann man ja im Text noch einmal explizit daraufhinweisen, dass man den Bruch nur für n>=1 bilden kann. Die Fibonacci-Folge beginnt num mal üblicherweise mit 0 und man sollte dann auch kein abweichende (und zu anderen Inhalte) inkonsistente Variante hier angeben, zudem wird weiter im Text explizit auf a₀ Bezug genommen, was durch deine veränderte Definiton falsch wird, da dann a₀ entweder nicht definiert ist oder den Wert von a₁.--Kmhkmh 13:49, 13. Jan. 2011 (CET)

Das "üblicherweise" würde ich mal bezweifeln. Den Hinweis muss man strenggenommen machen, um die Division durch 0 auszuschließen, und es ist einfach eleganter, das Problem zu umgehen. Bei Fibonacci beginnt die Folge übrigens mit 1, 2, 3, 5, ... Der Bezug auf a₀ ist überflüssig, das sollte dann natürlich auch angepasst werden. Wenn man Einheitlichkeit möchte, dann sollte man hier auch f_n statt a_n schreiben, damit ist dann auch alles eindeutig. Wo die Folge dann "beginnt", ist willkürlich, und das sieht auch jeder sofort, sofern man nur die Indizes einheitlich handhabt. --91.32.81.210 14:25, 13. Jan. 2011 (CET)

Es gibt zwar häufiger Definition bei denen die Folge mit 1,1,.... , aber die verwenden (fast) alle n=1 als ersten Indexwert.

Was nun das "sofort sehen" betrifft, dass man nicht durch Null teilen kann sieht man eigentlich noch "sofortiger" als dass der Anfang bei einheitlicher Indexhandhabung egal ist. Insbesondere aus der Sicht mathematisch völlig unbedarfter Leser, das Verbot der Division durch Null kriegt jeder in der Schule eingebimst während es um den Umgang mit Indizes da schon wesentlich schlechter bestellt ist.

Es ist jedenfalls nicht sinnvoll im Vorbeigehen ein (vermeintliches) Problem zu beheben und dabei jedoch gleich ein neues Problem im selben Absatz und Inkonsistenzen zu anderen Artikeln einzuführen. Das WP-Lemma zu Fibonaccizahlen läßt die Folge (und Index) nun mal bei Null beginnen und man sollte hier keine abweichende Variante verwenden bzw. wenn man das tut im Artikel auch daraufhinweisen. Wenn du den Gesamtabsatz konsistent überholen/verbessern möchtest, kannst du das natürlich gerne machen. Gegen eine Umstellung der $a_{n}$ auf $f_{n}$ dort wo explizit von Fibonaccizahlen die Rrede ist hätte ich nichts einzuwenden.--Kmhkmh 15:32, 13. Jan. 2011 (CET)

Jemand hatte anscheinend gerade Anstoß an der Division durch 0 genommen – und zwar zu Recht. Wenn jemand daran Anstoß nehmen sollte, dass "die Fibonacci-Zahlen" irgendwo mit 0 und anderswo mit 1 beginnen, dann zu Unrecht, und davon würde ich mich nicht beeindrucken lassen. Aber es mag sein, dass dies aus didaktischer Sicht ein Problem bleibt, und dann sicher ein auf Dauer unlösbares, da ja nicht einmal bei den natürlichen Zahlen Einigkeit besteht, ob sie mit 0 oder 1 beginnen. In diesem Fall schlage ich als weitere Möglichkeit vor, auch im Artikel über die Fibonacci-Zahlen diese mit 1 beginnen zu lassen. Wie man sie auf negative Indizes fortsetzt, steht für Interessenten ja sowieso auch drin. Die 0 ist in manchen Anwendungen nicht sinnvoll interpretierbar, insbesondere bei den Kaninchen. Beim Zeckendorf-Theorem und (wie gesagt) bei Fibonacci selbst fehlt sogar die erste 1. --91.32.81.210 16:09, 13. Jan. 2011 (CET)

Fachidioten??

Kann es sein, dass sich hier die reinen Fachidioten tummeln? Warum schreibt hier niemand etwas davon worum es wirklich geht, naemlich dass das Verhaeltnis von b zu a+b bei ca. 30,9 % liegt? Alles andere ist erst einmal voellig unwichtig!

Kommt endlich mal aus Euren kleinen Denk-Bahnen heraus und seht was wirklich wichtig ist! Das ist ja nicht mehr feierlich! (nicht signierter Beitrag von 186.49.54.10 (Diskussion) 15:55, 4. Jan. 2011 (CET))

Nicht aufregen.

Es sind 38,2% (100 - 61,8), nicht 30,9%. Im Artikel steht das Verhältnis von a+b zu a, das gleich dem Verhältnis von a zu b ist (1,618).

Ich verstehe den Anwurf nicht ganz: sollen wir den Teil des Artikels löschen, der dich nicht interessiert? Oder sollen wir alle anderen Verhältnisse, die uns einfallen (a/(a+b), b/(a+b), b/a, (a+b)/b) auch hinschreiben? Du interessierst dich zufällig für das zweite davon und meinst, alles andere sei unwichtig. Morgen kommt der nächste und meint, alles außer b/a sei unwichtig. --Hob 16:06, 4. Jan. 2011 (CET)

Ich habe - u.a. aus diesem Anlass - mal die Artikel-Illustration um die Prozentangaben ergänzt. So wird das Verhältnis sicherlich auch für den eiligen Leser leicht erfassbar. Beste Grüße --Uncopy 12:36, 13. Feb. 2011 (CET)

Hmm, zwischen Zahl und Prozentzeichen fehlt ein Leerzeichen, das "≈" sieht aus wie ein "=", und da es auf die vertikalen Striche zur Streckenbegrenzung ankommt, sollten sie ruhig genauso dick wie die horizontale Linie sein, damit man sie gut sieht. Zuvor wurde das durch farbliche Gestaltung gelöst. Der Hintergrund könnte auch einfach weiß sein, wenn man schon der Nüchternheit halber der Linie ihre Farbe genommen hat. Allgemein ist im Artikel die Mischung aus so verschiedenen Schriftarten wie $a\,$ und a für dieselbe Größe unschön, aber dazu fällt mir auch keine gute Lösung ein. --91.32.45.137 14:14, 13. Feb. 2011 (CET)

Eigentlich sollte man hier überhaupt kein Gleichheitszeichen verwenden, denn es ist üblich in Zeichnungen Maßangaben ohne Gleichheitszeichen neben dem Objekt zu platzieren. --Kmhkmh 14:19, 13. Feb. 2011 (CET)

Es ist, auch wenn es so aussieht, tatsächlich kein Gleichheitszeichen und soll wohl darauf hinweisen, dass die Werte gerundet sind. Mein Vorschlag: "ca." davorschreiben. Ich sehe auch gerade, dass die Farben Blau und Orange durchgehend in den anderen Abbildungen verwendet werden. Es wäre schön, wenn das einheitlich gestaltet wäre. --91.32.45.137 14:34, 13. Feb. 2011 (CET)

Das ca. ließe sich leicht machen. Das Zeichen ≈ hatte ich verwendet, damit es international verständlich ist, das scheint mir aber nun Unfug, da das Dezimalkomma ja bereits am Englischen scheitert. Der Sinn der Farben hat sich mir einfach nicht erschlossen. Natürlich ist der Kontrast dann stärker. Ich würde die Grafik(en) so sparsam ausstatten, wie ohne Informationsverlust möglich ist. Insofern sind mir unnötig fette Hilfslinien nicht so angenehm. Der Betrachter soll die Grafik ja nicht vor den Kopf geschlagen bekommen, sondern sie wirklich ansehen - dafür ist es dann meist schön, wenn sie den Blick auf sich ziehen (das wollte ich ein durch die Hinterlegung fördern, gut die könnte schwächer sein). Sollten wir die (diagrammartigen) Illustrationen insgesamt noch einmal diskutieren (unter einem neuen Absatz "Diagramme")? Ich würde mir das jedenfalls wünschen. Beste Grüße --Uncopy 09:33, 14. Feb. 2011 (CET)

Einige der Anregungen habe in ich die neue Version des Diagramms eingearbeitet. Die Sache mit den Farben ist noch offen und tatsächlich etwas problematisch. Andererseits könnte ich mir vorstellen, dass ein repräsentatives Diagramm zur Einstimmung auch frei vom Bezug zu den nachfolgenden Darstellungen sein könnte. Insofern könnte die farbige Grafik gut den Teil weiter unten einleiten, der u.a. das goldene Rechteck und diverse Konstruktionen darstellt. Grüße --Uncopy 23:37, 14. Feb. 2011 (CET)

Belege

In letzter Zeit haben sich im Artikel wieder viele unbelegte Angaben gersammelt. Auch wenn die meisten "irgendwie plausibel" sein mögen, ist das ein Problem, da es zum Goldenen Schnitt gerade im kulturellen wirklich viel fragwürdige Folklore und auch eher obskure Näherungsargumente gibt. Um sicherzustellen das die einzelnen Angaben keine Folklore sind, sondern auch in verlässlicher Fachliteratur beschrieben werden, sind EN unentbehrlich. Wer bestimmte unbelegte Aussagen langfristig im Artikel halten will, muss sich um EN für diese bemühen.--Kmhkmh 21:23, 6. Jan. 2011 (CET)

Hallo, für KAM und Bahnresonanzen wären die Seiten 118-121 von Dvorak/Freistetter, Chaos and stability in planetary systems (Springer Lecture Notes in Physics, 2006) ein Beleg, wenn auch (für Nichtexperten) nicht besonders verständlich dargestellt. Kann ich einbauen, wenn das für Euch plausibel aussieht. Grüße, KurtSchwitters 19:00, 23. Jan. 2011 (CET)

Wäre nett, wenn du das einbaust und falls dann alles in diesem Abschnitt abgedeckt ist, die Vorlage dort entfernst. Die Quelle muss ja nur fachlich reputabel sein, Verständlichkeit für Laien bzw. Nichtastrophysiker ist zwar im Zweifelsfall ein Plus aber nicht notwendig.--Kmhkmh 23:04, 23. Jan. 2011 (CET)

Ist eingebaut. Bei den Quasikristallen gibt es aber die nötigen Informationen im Artikel Penrose-Parkettierung. Wie soll man das am besten erläutern? Oder ist es hier deswegen doch nicht nötig, eine weitere Referenz anzugeben? -- KurtSchwitters 16:41, 30. Jan. 2011 (CET)

Danke! Theoretisch reichen Informationen Quellen in Zielartikeln aus, allerdings ist für Leser nicht ersichtlich, ob im Zielartikel Quellen existieren und insbesondere da in WP Dinge ja auch ständig im Fluss sind, sollte dieses Lemma sich nicht auf mögliche Quellen in anderen Lemmatas verlassen. also lieber etwas Redundanz bei den Quellen und die Quellen auch hier explizit nennen. Sich auf Quellen in anderen Lemmata abzustützen sollte man mMn. wenn überhaupt nur bei reinen Übersichtsartikeln, die im Prinzip nichts anderes machen als die Inhakte anderer Lemmata zusammenzufassen, machen.--Kmhkmh 18:10, 30. Jan. 2011 (CET)

Tja, die Bahnresonanzen sind jetzt rausgeflogen. Vielleicht kann man die Quasikristalle auch gleich mitentfernen? :-( -- KurtSchwitters 13:43, 17. Feb. 2011 (CET)

Diesen äußerst versteckten Diskussionshinweis hatte ich nicht bemerkt. Dort wurde ich aufmerksam gemacht, und habe auch zu meiner vorläufigen - im Nachhinein nicht mehr begründeten - Unsichtbarmachung Stellung genommen.
Analemma 20:23, 17. Feb. 2011 (CET)

Wer hat die denn ohne Konsens rausgeschmissen? Es wäre wirklich wünschenswert Leute hier etwas zurückhaltender agieren und die die gegeben Inhalte nicht ständig nach eigenem Gutdünken umeditieren. Das erzeugt nur unnötige Arbeit für andere, potenziellen Streit und verhindert einenstabilen Artikel :(--Kmhkmh 14:09, 17. Feb. 2011 (CET)

Mit der Stabilität ist das so eine Sache. Sie kann einen in einem lokalen Optimum gefangen halten. ;-) --Uncopy 16:57, 17. Feb. 2011 (CET)

Bahnresonanzen

Sind wieder drin. Können bitte hier diskutiert werden. --Uncopy 14:15, 17. Feb. 2011 (CET)

Warum wurde das überhupt entfernt?

Ich möchte alle enthusiastischen Editoren bitten Dinge, die jenseits von Schreib.- und Stilkorrekturen und offensichtlic problemlosen Ergänzungen liegen, hier vorher zur Diskussion zu stellen und nur im Konsens zu verändern. Der Artikel hat bereits den Exzellenzstatus und wurde mehrfach von Experten übearbeitet, um die Qualität sicherzustellen, da ist es dann angebracht zurückhaltend zu editieren. Der Artikel hatte in der Vergangenheit aufgrund solcher ständigen und nicht immer hilfreichen Edits seinen Exuellenzstatus schon einmal fast verloren und wir haben auch jetzt schon wieder (zum Teil vielleicht auch noch) eine nicht unerhebliche Anzahl vermutlich richtiger aber unbelegter Aussagen. Die "Standardmathematik" am Anfang benötigt keine EN, da man die eigentlich in jedem Mathebuch zum goldenen Schnitt auf Anhieb findet und von denen genug in der Literatur stehen. Aber bei diversen naturwissewnschaftlichen Aussagen, mathematischen Aussagen jenseits der "Standarmathematik", künstlerischen und kulturellen Aussagen, etc. müssen EN verwendet werden, damit eine Verifizierung in einen eträglichen Zeitaufwand möglich ist und auch verhindert wird, dass sich beliebiger Unsinn und Folklore (da gibt es jede Menge) in den Artikel einschleichen.--Kmhkmh 14:33, 17. Feb. 2011 (CET)

Die Quelle "Wolf U. Friedrich: welt der proportionen: logik des konstruktiven sehens. Pro BUSINESS, 2010, ISBN 978-3-86805-734-8. http://www.wolf-friedrich.de/" wurde wieder entfernt, laut Kommentar wegen nicht vorhandener Reputation. Frage 1: Könnten die Experten hier kurz eine fachliche Einschätzung zu dieser Quelle geben? (v.a. aus mathematischer Sicht, im Buch wird auch ein neuer(?) Weg zur Ermittlung von Pi dargestellt) Frage 2: Wie wird die nötige Reputation bemessen? Danke. (nicht signierter Beitrag von 153.96.104.2 (Diskussion) 16:37, 21. Feb. 2011 (CET))

Theoretisch ja sofern sie Interesse haben, aber für WP (und den Artikel hier) ist das nicht der beste Weg. Die Literaturangaben in WP-Artikeln sind im Idealfall/Normalfall die beste bzw. renommierste Fachliteratur, d.h. möglichst von anerkannten/bekannten Experten in bekannten Verlagen und keine Bibliogrphie (siehe WP:LIT). Wenn sich das angesprochene Buch als wegweisend oder gar als "Standardbuch" zum Goldenen Schnitt herausstellen sollte, kann das hier natürlich ergänzt werden. Dazu reicht es aber im Normalfall nicht, dass es einzelnen WP-Autoren persönlich gut gefällt, sondern es muss von (reputablen) externen Quellen auch dementsprechend positiv beurteilt werden. Das kann man primär über Besprechungen/Reviews des Buches in (reputablen) Medien (vor allem Fachpresse, Fachzeitschrift) beurteilen, des Weiteren kann man Dinge wie das Renommee des Autors, des Verlegers, Anzahl der Auflagen, allgemeiner Bekanntheitsgrad (im Fachgebiet) und Ähnliches zur Beurteilung heranziehen.--Kmhkmh 18:28, 21. Feb. 2011 (CET)

Bildunterschrift

Zu [11]: Die Begründung "GS als Anleitung zum Handeln aufgefasst, nicht als Ergebnis des Handelns" ist einfach Unsinn. Beide Formulierungen sind in dieser Hinsicht gleichwertig. Da scheint mir bei dem Revertierer ein Irrtum oder eine Idiosynkrasie vorzuliegen. Auch den unterstellten Vorteil einer "Anleitung zum Handeln" gegenüber einem "Ergebnis des Handelns" kann ich nicht erkennen, was aber keine Rolle spielt, da wie gesagt die Voraussetzung für dieses Argument nicht gegeben ist. Übrigens habe ich in diesem Fall tatsächlich meine Formulierung darauf überprüft, dass sie genau so des öfteren in renommierten Werken verwendet wird (Belege auf Anfrage), daher würde ich sie gerne wieder einsetzen. --91.32.45.137 19:29, 13. Feb. 2011 (CET)

Ich erlaube mir, auf Aussagen dieser Un-Art nicht einzugehen (auf seriöse Belege schon).
Analemma 19:58, 13. Feb. 2011 (CET)

Es ist alles freiwillig hier. Dann stelle ich also meine korrekt begründete Version wieder her. --91.32.45.137 20:03, 13. Feb. 2011 (CET)

Als Belege der Einfachheit halber schlicht eine Google-Books-Suche: [12] --91.32.45.137 20:19, 13. Feb. 2011 (CET)

Ich halte neben inhaltlichen Aspekten auch den Lesefluss für ein Qualitätsmerkmal. Was man meinte, sollte klar aus dem Text ersichtlich sein. Ansonsten wäre umschreiben angebrachter. Die Verteidigung von Bestehendem um seiner selbst willen ist nicht im Sinne des Gemeinschaftsprojekts Wikipedia. Ich bitte deshalb erst hier in der Diskussion darüber Klarheit zu erlangen, ob der Vorschlag des unangemeldeten Benutzers eine Verbesserung darstellt oder nicht. (Bei dieser Gelegenheit: ich halte die neue - bündigere - Formulierung für besser.) Beste Grüße --Uncopy 09:22, 14. Feb. 2011 (CET)

Für die Formulierung der Bildunterschrift sollten wir uns den Platz nehmen, der nötig ist (und auch die Ruhe). Ich kann mir gut vorstellen, dass uns eine Verlängerung der Bildunterschrift zu einem Kompromiss zwischen inhaltlicher Korrektheit und leichter Erlesbarkeit führen würde. Bin voller Hoffnung... Grüße --Uncopy 10:59, 14. Feb. 2011 (CET)

Nur mal so als Vorschlag: wie wäre es mit „Streckenverhältnisse beim Goldenen Schnitt“ oder „Streckenverhältnisse nach dem Goldenen Schnitt der Gesamtstrecke a+b“ o.ä.? --yuszuv 00:10, 15. Feb. 2011 (CET)

Nun steht es so da, aber die Eingängigkeit der Formulierung stellt mich nicht wirklich zufrieden. Ich würde außerdem ein positives Zeichen auf der Diskussionsseite vor der nächsten Änderung begrüßen. Was haltet ihr von einem schlichtem
Streckenverhältnisse beim Goldenen Schnitt?
Grüße --Uncopy 08:56, 17. Feb. 2011 (CET)

oder: Streckenverhältnisse bei Goldener Teilung? (in Mehrzahl, weil auch Aussagen über a+b getroffen werden) --Uncopy 09:17, 17. Feb. 2011 (CET)

Ich hätte ja übrigens gerne auf ein positives (oder auch negatives) Zeichen hier gewartet, aber wenn keins kommt... Mit „Streckenverhältnisse beim Goldenen Schnitt“ kann ich gut leben. „Goldene Teilung“ finde ich als Teil der Beschriftung des ersten Bilds des Artikels, das man sich unter Umständen vor dem Lesen des ersten Satzes anguckt, weniger gut, da der ahnungslose Leser damit wohl erstmal nicht viel anfangen kann. Auf der anderen Seite finde ich, dass irgendwie Bezug genommen werden sollte auf die Symbole, die sich in dem Bild befinden; deswegen mein Vorschlag „... der Gesamtstreckte a+b“. --yuszuv 16:11, 17. Feb. 2011 (CET)

Wir sollten nicht versuchen, die Symbole irgendwo "dranzukleben", sondern besser ein oder zwei weitere Zeile hinzunehmen. --Uncopy 16:53, 17. Feb. 2011 (CET)

Dann wäre mein Vorschlag: „Streckenverhältnisse beim Goldenen Schnitt. Das Goldene Verhältnis $\Phi$ der Strecke a zur Strecke b ist dasselbe wie das der Strecke a+b zu b“. Irgendwie finde ich das aber zu globig, oder? --yuszuv 17:28, 17. Feb. 2011 (CET)

Ich habe gerade mal etwas mit der Vorschau und diversen Variationen der Formulierung herumexperimentiert, alles unbefriedigend. Der erste Part - Streckenverhältnisse beim Goldenen Schnitt - allein wirkt aus meiner Sicht ebenfalls nicht überzeugend. Dem Titel einer Illustration könnte man auch eine gewisse Freiheit gewähren. So könnte man beispielsweise die Exzentrik der Teilung hervorheben und dabei auf die recht krummen Prozentwerte hinweisen.
Auch die Grafik selbst steht nach wie vor zur Debatte. Was ich mit ihr beabsichtigte, war eine visuell leichtgewichtige und doch informative Einstimmung in die Artikelmaterie. Grüße --Uncopy 21:36, 17. Feb. 2011 (CET)

Die Grafik an sich finde ich optimal, allein über Farben etc. könnte man streiten, aber das ist ein anderes Thema. Ich finde, die Grafik zeigt genau das, was man sehen sollte bevor man den Artikel liest, wenn man auf die Seite kommt: Eine Strecke, die aufgeteilt ist in zwei Teilstrecken, die in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zur Gesamtstrecke stehen. Welches die genauen Zahlenwerte und dass diese krumm sind, hat erst einmal nicht zu interessieren. Ebenso wenig sollte man m.E. das Goldene Verhältnis Φ betonen; der ahnungslose Leser sollte nicht beim Einstieg mit Begriffen konfrontiert werden, wegen denen er die Seite nicht aufgerufen hat. Und da unter dem „Goldenen Schnitt“ oftmals des Goldene Verhältnis verstanden wird und nicht so sehr das Zerschnibbeln von Geraden, sollte zumindest bei dieser Bildunterschrift das Wort „Schnitt“ auch durch „Verhältnis“ ersetzt werden können ohne das alles seinen Sinn verliert. Deswegen auch meine Formulierung. Dass sie nicht optimal ist, sehe ein. Wie wäre es mit „Goldener Schnitt einer Strecke/einer Geraden/der Strecke a+b: das „Goldene Verhältnis“ Φ der Teilstrecken/Teilstücke, a/b, ist dasselbe wie das Verhältnis der Gesamtstrecke zur Teilstrecke, (a+b)/a“? --yuszuv 02:21, 18. Feb. 2011 (CET)

Wenn ich deine Darstellung richtig verstanden habe, dann könnte aus deiner Sicht auch Goldener Schnitt einer Strecke genügen?
Oder: Der Goldener Schnitt teilt Strecken auf besondere Weise - habe ich gerade ausprobiert, wirkt m.E. hervorragend.
Grüße --Uncopy 09:28, 18. Feb. 2011 (CET)

Ja, das finde ich schon ganz gut, nur das „... auf eine besondere Weise“ ist mir ein bisschen zu larifari. Ich würde ja „... in einem bestimmten Verhältnis“, + evtl. „Φ“ (dann hätte man auch einen Bezug zur Beschriftung der Grafik), schreiben. Einverstanden? --yuszuv 16:02, 18. Feb. 2011 (CET)

Leider habe ich wieder zu mäkeln. Ich sehe es mir bereits zum dritten oder vierten Mal an und grüble. Derzeit ist es eine Tautologie: wir versuchen eine Sache zu erklären, indem wir ihre geläufige Abkürzung präsentieren. Das geht irgendwie nicht, finde ich. Vor allem erfüllt es aber nicht die Funktion einer Bildunterschrift. Ich habe (nach langem Hin und Her allen Mut zusammenraufend) jetzt einfach mal was probiert (siehe umseitig): Proportionen beim Goldenen Schnitt einer Strecke. Vielleicht gefällt es ja. Grüße --Uncopy 21:11, 22. Feb. 2011 (CET)

Ich sehe zwar nicht, warum die Unterschrift vorher tautologisch gewesen sein soll. Was da jetzt dasteht ist mindesten dreimal so tautologisch: vorher stand da, dass die Teile nach dem Goldenen Schnitt in einem bestimmten Längenverhältnis stehen; jetzt steht da nur, dass nach dem Goldenen Schnitt Teilstücke übrig bleiben. Aber meinetwegen, auf was besseres können wir uns sowieso nicht einigen. Und schlecht ist es ja auch nicht. --yuszuv 23:10, 22. Feb. 2011 (CET)

Diagramme

Liebe Autoren,
Ich möchte anregen, hier unsere Gedanken zu den Diagrammen zu sammeln, die der Veranschaulichung des Artikel-Sachverhalts dienen sollen. Dazu zählen aus meiner Sicht z.B. die Wahl von Format, Größe, Linienstärke, Farbe, Typografie.
Beste Grüße --Uncopy 09:39, 14. Feb. 2011 (CET)

Ich beschränke meine Bemühungen auf die Einleitungen. Wenigstens die sollen gut sein, und der Rest des großen ganzen ist ein Fass ohne Boden für einen einzelnen Autor.
Legende zum ersten Bild: "Teilung nach dem Goldenen Schnitt" ist eine schlechte Floskel dafür, dass man eine Strecke in einem bestimmten Verhältnis teilt, dass man einen "goldenenen Schnitt" ausführt. Man teilt etwas (eine Strecke) in einem bestimmten Verhältnis (im V. des Goldenen Schnitts) → Teile einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
"Teilung nach dem Goldenen Schnitt" wäre am ehesten noch so angebracht: Teile einer Strecke nachdem ein Goldener Schnitt erfolgte.
Analemma 10:36, 14. Feb. 2011 (CET)

Die Melodie (“Lesefluss”) kommt erst an zweiter Stelle, wenn informiert werden soll.
Analemma 13:09, 14. Feb. 2011 (CET)

Wer schreiben kann, findet einen Weg, inhaltlich korrekte Informationen in eingängiger Weise zu formulieren. Dabei sollten wir uns gegenseitig helfen, wir sind schließlich ein Autorenkollektiv. Die aktuelle Lösung finde ich übrigens besser als die frühere, wenn ich auch nicht verstehen kann, dass du nicht die Geduld hast, einen Konsens hier auf der Diskussionsseite zu erreichen. Beste Grüße --Uncopy 14:16, 14. Feb. 2011 (CET)

Es fehlt mir nicht an Geduld, sondern am Glauben daran, dass der Konsens der Weg sei:
Gefestigt ist hingegen meine Erkenntnis, dass die meisten Teilnehmer (z.B. 91.32.45.137) wohl urteilsfroh aber nicht urteilsstark sind, die Meinungsmacher eben. (ein Spott Goethes aus Goethe und Schiller von Rüdiger Safranski, Hanser, 2009, S.84).
Analemma 21:34, 14. Feb. 2011 (CET)

Solange Respekt ^[13] nicht auf Gegenseitigkeit beruht, vergiftet er die Kommunikation. Grüße --Uncopy 23:19, 14. Feb. 2011 (CET)

Major und Minor

Neben den Streckenbezeichnungen a und b sind auch Major und Minor üblich (meint nicht nur Google). Das sollte wohl erwähnt werden meine ich. Hierin stünden ggf. auch griffigere Bezeichnungen für Erklärung zur Verfügung als die recht steifen Wendungen größere Teilstrecke bzw. kleinere Teilstrecke.
Die (auch in der Praxis verwendeten) augenfälligen Abkürzungen M (Major) und m (Minor) brechen allerdings mit der in der Geometrie üblichen Verwendung von Groß- und Kleinbuchstaben.
Beste Grüße --Uncopy 09:15, 17. Feb. 2011 (CET)

Goldenes Dreieck oder Goldene Dreiecke

Beide Varianten des Goldene Dreiecks bilden die Kacheln Penrose-Parkettierung

Ich möchte die Frage aufwerfen, warum vom Goldenen Dreieck gesprochen wird, und damit das spitze gemeint ist. Hier werden beide Formen explizit benannt, auch wenn man ein ein Fünfeck mit seinen Diagonalen betrachtet, fällt es ins Auge. Der Bezug zur Penrose-Parkettierung würde so anschaulich verdeutlicht: Dort werden zwei Arten von Kacheln verwendet, jede von ihnen entsteht durch Kombination zweier Goldener Dreiecke je einer Variante. Gruß --Uncopy 09:33, 17. Feb. 2011 (CET)

Na weil in der verwendeten Literatur vermutlich nur das spitzwinklige erwähnt wurde. Bei Beutelspacher ist das goldene Dreieck definiert als ein Dreieck dess Schenkel mit der Grundseute im Verhältnis $\phi :1$ stehen. Beim stumpwinkligen Dreieck ist das jedoch $\phi ^{-1}:1$ bzw. $1:\phi$. Ich habe nichts dagegen beide Dreiecke im Artikel zu erwähnen. Vielleicht sollte man be der Gelegenheit auch mal daraufhinweisen, dass in der Literatur nicht immer namentlich zwischen $\phi$ und $\phi ^{-1}$ unterschieden wird, das heißt je nach Publikation wird sowohl das eine als auch das andere als goldener Schnitt bezeichnet.--Kmhkmh 16:36, 17. Feb. 2011 (CET)

Ich habe gesehen, dass es in der englischen Wikipedia einen eigenen Artikel dazu gibt, der das Stumpfwinklige unter einer eigenen Bezeichnung Golden gnomon führt. So ähnlich hätte ich das auch gern in de:wp. Und ja, das Stumpfe hat schon andere Eigenschaften als das spitze.
Grüße --Uncopy 16:46, 17. Feb. 2011 (CET)

Ich sehe keinen Grund der gegen die Anlage eines eigenes Artikels spricht, in unseren Artikel wird das goldene dreieck ja ohnehin nur kurz erwähnt.--Kmhkmh 18:24, 17. Feb. 2011 (CET)

Ich weiß nicht ob sich das lohnen würde, auch wenn ich allgemein Kurze Artikel gegenüber Monographien bevorzuge. Das Goldene Rechteck und der Goldene Winkel sind bislang auch keine eigenen Artikel und sie haben ja wirklich verdammt viel mit dem Goldenen Schnitt zu tun. Wenn wir je einen eigenen Absatz (1xRechteck und 1xDreieck) hätten, wäre das ein guter Anfang meine ich. Werden diese dann zu umfangreich, kann man immer noch über ihre Emanzipation nachdenken. Grüße --Uncopy 19:23, 17. Feb. 2011 (CET)

Ob sich der Aufwand lohnt oder nicht ist immer eine private Entscheiding des Autors der den Artikel anlegt. Die Gemeinschaft ist eigentlich nur involviert in Fragen prinzipiellen Zulässigkeit (RK & co) und der inhaltlichen Geamtorganisation eines Bereiches (möglichst keine unnötigen Redundanzen, keine unnötige Zersplitterung von Inhalten, Artikelgrößen). Unser Artikel ist eigentlich schon recht lang, so dass ich einer kompletten Integration der Inhalten des englischen Artikel zum goldenen Dreieck in diesen eher skeptisch gegenüberstehe, besser ist da aus meiner Sicht ein eigenes Lemma (schon allein um die diverse Zeichnungen unterzubringen), auf das von unserem verlinkt wird. Große Redundanzen beständen auch niht, da das Goldene Dreieck ja hier nur in einem Satz erwähnt wird. Zudem füget sich ein eigener Artikel auch besser on die Interwikistruktur ein.--Kmhkmh 00:39, 18. Feb. 2011 (CET)

Ja. Ich habe nichts gegen einen eigenen Artikel, hätte nur derzeit selbst nicht die Ressourcen einen solchen zu verfassen und danach zu verteidigen. Helfen kann ich natürlich gern. Einen eigenen Abschnitt dazu im Artikel Goldener Schnitt hätte ich trotzdem gern, genau so wie einen eigenen zum G. Rechteck. (den kompletten Inhalt aus der Englischen WP wollte ich gar nicht übernehmen) Solltest du gerade an einem Artikel arbeiten wollen: Viel Erfolg! (ach ja, und bei Übersetzungen bitte nochmal die Hilfe lesen, nicht dass es als URV endet.) Beste Grüße --Uncopy 09:20, 18. Feb. 2011 (CET)

Kunst

Mir fehlt etwas eine Beschreibung mit Skizze für den Goldenen Schnitt bei Gemälden! Kann es noch jemand hinzufügen?

--Cleverle 11:45, 2. Mär. 2011 (CET)

Verschiedene Konstruktionsverfahren liefern unterschiedliche Ergebnisse

Habe jetzt ca 100x das klassische innere Konstrucktionsverfahren angewand und bin zu dem Ergebniss gekommen das es immer ein falsches Ergebniss liefert, denn es teilt die Strecken nicht im Verhältniss 1:1,618... wie es zum Bsp. das innere Teilungsverfahren nach Euklid tut.

Ist also das weit verbreitete und offensichtliche Konstruckionsverfahren falsch? Ich würde sagen JA!!!!

Aber es ist nicht gänzlich unbrauchbar denn zieht man im letzten Schritt eine zu den beiden Grundlinien parallele Gerade(anstatt des letzten kreisbogens) dann erhält man das selbe Ergebniss wie bei dem Verfahren nach Euklid.

Bitte um eure Meinung bzw vllt. auch erklärungen ob ich zu dumm für diese Welt bin ;-) (nicht signierter Beitrag von 62.203.47.199 (Diskussion) 15:47, 25. Apr. 2011 (CEST))

oBdA: AB = 1, AS=AD = x.

Dann Pythagoras: $1^{2}+(1/2)^{2}=(x+1/2)^{2}$.

Vereinfachen: $1=x^{2}+x$

Lösungsformel: $x={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$

Die positive Lösung ist 0,61803..., und das Reziproke davon 1,61803...

Wo liegt nun das Problem? --Daniel5Ko 17:03, 25. Apr. 2011 (CEST)

Okay mathematisch haste recht ich glaub ich bin einfach zu blöd zum konstruieren mit zirkel und lineal...(Habe auch nochmal euklid durchgerechnet der stimmt ::auch liefert aber einfach ein anderes ergebniss welches ich intuitiv auch für "schöner" halten würde)

UNd damit ist dan auch der Vitruvian von da Vinci auch nicht im goldenen Schnitt konstruiert und jegliche andere Zeichnungen die ich so im netz finde welche ::angeblich nach dem goldenen Schnitt sein sollen auch nicht...

Weis da jemand warum? (nicht signierter Beitrag von 62.203.47.199 (Diskussion) 17:53, 25. Apr. 2011 (CEST))

Nur als genereller Hinweis (mag ja hier helfen). Es wird (in der Literatur) nicht immer genau zwischen dem goldenen Schnitt (1.618.. )und seinem Inversen (0.618..) unterschieden, sondern oft nur von goldenen Schnitt geredet (und man muss von Kontext erkennen welcher Zahlwert gemeint ist) oder er wird sogar umgekehrt definiert. Bei einer gemessenen Überprüfung einer Konstruktion spielen natürlich Mess- und Konstruktionsfehler eine Rolle, da kann es gut sein, dass gemessen nur die erste Stelle hinter dem KKomma stimmt und vielleicht nicht einmal die.--Kmhkmh 19:40, 25. Apr. 2011 (CEST)

Jo seltssamerweise komme ich nur immer auf ein Verhätlniss von ca 1,84 bie der ersten Konstrukionsweise und bei der von Euklid bekomme ich immer ca 1,61 heraus das ist ja schon kein unerheblicher Unterschied... (nicht signierter Beitrag von 85.1.251.235 (Diskussion) 09:26, 26. Apr. 2011 (CEST))

Das sieht nach einer sehr ungenauen Zeichnung und einem systematischen Fehler bei der anwendung des Konstruktionsverfahren aus. Wenn du dich vergewissern möchtest, woran es denn nun genau liegt, empfiehlt es sich eine exakt arbeitende Konstruktions- bzw. Geometriesoftware wie z.B. Geogebra (ist kostenlos) zu verwenden, wenn auch dort eine so deutliche Abweichung auftritt, wendest du das Konstruktionsverfahren falsch an.--Kmhkmh 12:38, 26. Apr. 2011 (CEST)

Sorry, das hier ist kein Geometrie-Hilfe-Forum. Wenn es Fehler im Artikel gibt oder Belege fehlen, bitte melden, korrigieren oder entfernen. Siehe auch WP:Hilfe. Gruß, -- E (D) 12:41, 26. Apr. 2011 (CEST)

Es ging in der Diskussion ja um einen vermeintlichen Fehler, auf den hier eben hingewiesen wurde. Zudem kann die Diskussion auf wenn kein echter Fehler vorliegt für den Artikel hilfreich sein, da sich so eventuell Hinweise auf Missverständlichkeiten in der Beschreibung der Konstruktionsverfahren ergeben, die man dann gegebenenfalls überarbeiten könnte/sollte.--Kmhkmh 13:04, 26. Apr. 2011 (CEST)

(weitere) mathematische Eigenschaften

Bei spezielleren Eigenschaften, die weniger geläufig sind bzw. nicht immer in jedem Buch zum goldenen Schnitt zu finden sind bitte immer einen Einzelnachweis angeben. Ansonsten wird die Arbeit für anderen Autoren erheblich erschwert und die Korrektheit des Inhalt kann nicht gewährleistet werden.--Kmhkmh 15:09, 25. Mai 2011 (CEST)

Man kann aus jeder Gleichung der Form x = f(x) einen Kettenausdruck machen: x = f(f(f(...f(x)...))), auch in der Variante mit x = f(y) und y = f(x). --91.32.83.157 15:36, 26. Mai 2011 (CEST)

Das schon, die Frage ist jedoch ob es sinvoll ist, all diese Variationen in einen eunzyklopädischen Artikel anzuführen. Bei der Kettensumme wüsste ich gerne ob das ein üblicher Begriff ist (dafür eben eine Quelle) oder ob das nur rein beschreibend zu verstehen ist. Zudem liegt bei einem solchen Kettenausruck ja auch noch eine doppelter bzw. geschachtelter Grenzprozess vor (Reihe und Kettenausdruck).--Kmhkmh 15:58, 26. Mai 2011 (CEST)

Ich interpretiere die Anmerkung von 91.32.83.157 so, dass dies nicht sinnvoll ist – eben weil es ein Allgemeinplatz ist. War gut von Dir, den Sums zu löschen. Getretener Quark wird breit, nicht stark. --Mussklprozz 16:07, 26. Mai 2011 (CEST)

Der Begriff Kettensumme war eher beschreibend gemeint und die hier genannten Problem sind mir nun auch klar. Ich bin noch recht neu auf Wikipedia und bin anscheinend ein wenig übereifrig. Ich werde zukünftig genauer recherchieren und diskutieren bevor ich Dinge hinzufüge. Meine Intention war es eine weitere Kettendarstellung für $\Phi$ zu zeigen, da z.B. Darstellungen mit Kettenbrüchen oder Kettenwurzeln existieren. Ich war mir allerdings auch unsicher, ob das ganze zweckmäßig ist. --Abysmaroth 18:48, 26. Mai 2011 (CEST)

Man könnte die Aussage $\Phi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\Phi ^{k}}}$ noch verallgemeinern zu $\sum _{k=x}^{\infty }{\frac {1}{\Phi ^{k}}}=\Phi ^{2-x}$ mit $(x\in \mathbb {N} )$. Welcher Ausdruck wäre zweckmäßiger oder könnte man hier eventuell sogar beide auf der Seite zeigen? Letzterer Ausdruck zeigt, dass die Summen von einem beliebigen Startwert bis hin zu $\infty$ immer eine Potenz von $\Phi$ ergibt. Ersterer Ausdruck ist der Spezialfall für $\Phi ^{1}$. Ich persönlich denke, dass der zweite Ausdruck allgemeiner und somit auch bedeutender ist. Als Spezialfall könnte man aber durchaus den ersten Ausdruck als eben solchen mit angeben. Ich wäre über Meinungen dankbar. --Abysmaroth 01:20, 30. Mai 2011 (CEST)

Das ist immer noch ganz trivial. Unter gewissen Voraussetzungen, die Konvergenz ermöglichen, oder vom Betrachtungsstandpunkt von formalen Potenzreihen aus ist sowieso ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ und ${\frac {x^{m}}{1-x}}=x^{m}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=\sum _{k=m}^{\infty }x^{k}$. Nun kann man natürlich $x=1/\Phi$ einsetzen und $\Phi -1=1/\Phi$ ausnutzen, aber äh, ... wieso ist das so interessant? --Daniel5Ko 01:56, 30. Mai 2011 (CEST)

Volute

Die typische Volute der Architektur ist offensichtlich keine goldene Spirale:

• 
  Goldene Spirale
• 
  Volute

Die goldene Spirale ändert den Radius um Φ = 0,618, die Radiusänderung für eine Volute liegt bei ca. 0,841 pro Viertelkreis (bei der Konstruktion von Goldmann), ist also viel flacher. --Hk kng 15:56, 28. Mai 2011 (CEST)

Ich habe den Halbsatz zur Volute dann mal entfernt.--Kmhkmh 18:48, 28. Mai 2011 (CEST)

Entsprechung zum Goldenen Schnitt in der Klangharmonie?

In meinem gefühlte 100 Jahre zurückliegenden Schulunterricht bekamen wir zum Goldenen Schnitt (1,618) und seinem Kehrwert (1/1,618=0,618) zwei Entsprechungen in der Klangharmonie vorgeführt, die in Jazz, Pop und Rock eine Rolle spielen. Wie ist der zutreffende Begriff für diese Sachverhalte? --84.142.140.63 13:35, 23. Jul. 2011 (CEST)

Anmerkung zum Abschnitt Antike

Die Ausführungen beginnen mit einem langen Abschnitt zur Inkommensurabilität. Mir erschließt sich nicht, wieso das an der Stelle relevant wäre. Außerdem: Wäre die Legende nicht im Artikel zur Inkommensurabilität besser aufgehoben?

Könnte da nochmal jemand drüber gehen, der sich damit auskennt und denn Zusammenhang evtl. deutlicher darstellt? Ich hätte es verschoben, aber da das nicht mein Fachgebiet ist, lasse ich lieber die Finger davon. :) --Senip2 13:24, 21. Okt. 2011 (CEST)

Das hat eine Vorgeschichte. In einer Altfassung des Artikels standen schon historische Ausführungen zur Inkommensurabilität, die aber falsch und unbrauchbar waren. Diese habe ich dann durch eine korrekte Darstellung ersetzt, die derjenigen im Artikel Inkommensurabilität (Mathematik) entspricht. Du hast aber Recht, das gehört hier nicht zum Thema. Daher ist gegen eine ersatzlose Entfernung der beiden ersten Absätze des Abschnitts Antike nichts einzuwenden. Nwabueze 23:30, 21. Okt. 2011 (CEST)

Das habe ich nun durchgeführt. --84.130.169.205 04:59, 1. Nov. 2011 (CET)

Gesichtet. Gute Aktion. --Mussklprozz 09:19, 1. Nov. 2011 (CET)

MacTutor

Was bitte schön ist an der Darstellung im MacTutor nicht korrekt. Fachlich ist diese Quelle im Zweifelsfall (fast) genauso hoch einzuschätzen wie Herz-Fischler und vor allem ist so online zugänglich.--Kmhkmh 03:26, 2. Nov. 2011 (CET)

goldener Schnitt, mathematisch :

Wenn für den goldenen Schnitt a:b = (a+b):a gilt, dann müsste das genaue Verhältnis sein:

${\begin{aligned}goldeneZahl&={\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+({\frac {x}{2}})^{2}}}-{\frac {x}{2}}}}\end{aligned}}$

Wenn man für x die Zahl 1 einsetzt ergibt das:

${\begin{aligned}goldeneZahl&={\frac {1}{{\sqrt {1,25}}-0,5}}=1,6180339887498948482045868343656\end{aligned}}$

(Oh, habe gerade gesehen: Nach ein wenig Umformung dieser Formel erhält man auch die im Artikel stehende Formel: 1 + Wurzel(5) / 2)

Gruß, MvBrüsewitz (nicht signierter Beitrag von 62.72.83.146 (Diskussion) 13:37, 21. Nov. 2011 (CET))

Überarbeitungsbedürftig

Der Artikel weist meiner Meinung nach erhebliche Mängel in Inhalt, Darstellung und Quellen auf, die mit seinem Status als "exzellenter" unvereinbar sind.

• Die Einleitung ist in der einleitenden Formulierung hochpeinlich ("Beim Goldenen Schnitt ... entsteht ein bestimmtes Verhältnis zwischen zwei Zahlen oder zwei Größen." Punkt!) und in den historisch auf die Antike oder verallgemeinernd auf Kunst, Architektur, Malerei und Photographie bezogenen Behauptungen so nicht zu verantworten.

• Die mathematische Darstellung, bestehend aus ersten drei Abschnitten Definition und elementare Eigenschaften, Geometrische Betrachtung und Mathematische Eigenschaften) ist für mich als Nichtmathematiker (mit obendrein geringen Fähigkeiten und Kenntnissen auf diesem Gebiet) inhaltlich nicht erkennbar problematisch. Aber sie ist nur in drei Teilaussagen in Quellen referenziert und auch nicht auf eine der unter Literatur angeführten Publikationen beziehbar, was den Gepflogenheiten mathematischer Artikel, aber nicht unbedingt den Exzellenzanforderungen entspricht. Außerdem sollten diese drei Teile unter eine gemeinsame Gliederungsüberschrift eingerückt werden, denn die Gliederung des Artikels ist allgemein haarsträubend, da sie teils Haupt- und Nebenthemen als gleichrangig auf der gleichen Gliederungsebene aneinanderreiht, teils auch nicht Zusammengehöriges unter einer gemeinsamen Überschrift vereint.

• Der Abschnitt Geschichte ist eine sehr fragmentarische Aneinanderreihung von Ausagen über Euklid (der als einziger die "Antike" vertritt, nachdem ein vorhergehender Abschnitt über Hippasus kürzlich gelöscht wurde), Leonardo "Fibonacci" da Pisa (der als einziger das Mittelalter vertritt), vier Autoren der Renaissance (einen Anonymus, der den ersten bekannten Beleg für die Verbindung der Fibonacci-Reihe mit dem GS bietet, außerdem Pacioli, Leonardo da Vinci (als Illustrator Paicolis), und Keplers Lehrer Maestlin, während Kepler selbst nur erwähnungsweise vorkommt), und schließlich verschiedene Autoren des 19. und 20. Jahrhunderts, die meist (außer Ohm) nichts direkt zur mathematischen Behandlung des Themas beigetragen haben, sondern teils für die "Wiederentdeckung" des GS unter ästhetischen und ähnlichen Gesichtspunkten (dieser Teil zu Zeisig, Fechner und Ghyka ist noch der einsichtigste), teils für die Relativierung der Annahme einer älteren Anwendungstradition im Bereich der Malerei angeführt werden (Neveux). Referenziert sind für die älteren Epochen nur die von mir selbst überarbeiteten Abschnitte über Fibonacci, den Anonymus und Maestlin, während die Darstellung zu Euklid (über den man ohnehin fast nichts erfährt), zu Pacioli (die ziemlich wild gestrickt erscheint) und da Vinci (nebst kritischer Relativierung der Aussagekraft seiner Zeichnung) jeweils nicht referenziert ist. Maßgeblich für die Geschichte der mathematischen Kenntnis und Erforschung bis zum 18. Jh. wäre die im Literaturverzeichnis angeführte Arbeit von Herz-Fischler 1998, sie ist aber nur punktuell (in dem von mir überarbeiteten Absatz zu Maestlin) einmal referenziert und wurde für den Geschichtsteil im wesentlichen noch nicht ausgewertet. Dem Geschichtsteil fehlt eine zusammenfassende Übersicht der mathematik-geschichtlichen Entwicklung, ein Ausbau der Darstellung für die drei älteren Epochen (gerne auch unter Rückbau meiner von mir sehr breit angelegten Einzelbearbeitungen) und eine bessere Einordnung der bisher jeweils ganz isoliert präsentierten Einzelfälle. Die Wiederentdeckung des GS im 19. Jh. ist ein wichtiges Thema, sollte aber nicht einfach chronologisch an die älteren Epochen angehängt werden (und die Darstellung der mathematischen Behandlung im 19./20. Jh. ersetzen), sondern sollte in verbesserter Form an den Anfang der geschichtlichen Darstellung oder ihr vielleicht auch als eigener Abschnitt vorangestellt werden, da sie wesentlich nicht nur für den Abschnitt "Geschichte", sondern auch für den nachfolgenden Abschnitt zur "Bedeutung" des GS ist.

• Der vergleichsweise umfangreiche Abschnitt Die Bedeutung des Goldenen Schnitts behandelt in seinen ersten, ziemlich wild gegliederten und untereinander zusammenhanglosen, auch mit dem Abschnitt zur "Geschichte" nicht in Beziehung gesetzten Unterabschnitten vermutete oder als Tatsache behauptete Verwendungen des GS in menschlichen Artefakten, nämlich Papier- und Druckformaten, Architektur, bildender Kunst, Musik, Instrumentenbau und (noch einmal angefügt) "zeitgenössischer bildender Kunst" (Dichtung und Literatur fehlen hingegen ganz), ferner das "Vorkommen in der Natur" und zwei Rekurse auf den GS in der "Informatik". Hier wäre zunächst mal die Behandlung der Nutzanwendungen (Architektur, Kunst, etc., meinetwegen auch Informatik) in der Gliederung klar vom "Vorkommen in der Natur" zu trennen. Zu letzterem Teil und zur Informatik habe ich nichts wesentliches zu bemerken, zur Behandlung des GS in menschlichen Artefakten noch im einzelnen:

• • Der Abschnitt Vergleich mit anderen Teilungsverhältnissen behandelt nichts, was der Titel besagen könnte, sondern will mit seinem einzigen Unterabschnitt über "Papier- und Bildformate" vollkommen quellenfrei gängige Papier-,Buch-, Photo-, Film- und Bildschirmformate auf Fibonacci-Zahlen und/oder den GS beziehen, wobei er in einem Fall (bezogen auf einen angeblich "früher gelegentlich" verwendeten Satzspiegel im Buchdruck) durch die Formulierung "diese Wahl von Fibonacci-Zahlen" auch ganz ausdrücklich eine intentionale Anwendung behauptet. Speziell die Deutung vorhandener und Gestaltung neuer Druckformate nach dem GS, die u.a. von Rudolf Engel-Hardt (Der Goldene Schnitt im Buchgewerbe, Leipzig 1919) initiiert wurde, und für die in der Geschichte der Typographie besonders der Typograph Jan Tschichold steht (vgl. [14], andere namhafte Vertreter sind mir nicht bekannt, ich bin aber auch kein Fachmann auf diesem Gebiet), kann und sollte in diesem Artikel sicherlich angesprochen werden, dann aber unter Auswertung geeigneter und nachgewiesener Quellen, und sicher nicht in dieser Frontstellung im Abschnitt über die "Bedeutung" des GS.

• • Der Abschnitt Proportionslehre mit den Unterabschnitten "Architektur" und "Bildkomposition" behandelt ebenfalls nicht bzw. nur in einem Absatz über Le Corbusier, was sein Titel besagt, nämlich nicht Lehrwerke, die die Anwendung des GS in der Proportionierung von Baukörpern oder Bildkompositionen empfehlen und m.W. nicht vor dem 19. Jh. zu belegen sind. Sein Unterabschnitt "Architektur" reiht stattdessen von der Cheops-Pyramide bis zum "Stadtgrundriss des nordhessischen Bad Arolsen" und schließlich Le Corbusier Beispiele für "vermutlich unbewußte" oder als intentionale Tatsache behauptete Anwendungen des GS auf, die für Altertum und Mittelalter bei Beutelspacher referenziert sind, während in den frühneuzeitlichen Fällen -- Leipziger Rathausbau und Grundriß von Bad Arolsen -- die "bewußte Umsetzung" quellenfrei behauptet wird. Der Unterabschnitt "Bildkomposition", der bereits einen Quellenbaustein trägt, bietet allgemeine Überlegungen und einige Fallbeispiele, wobei die antiken und früheuzeitlichen Beispiele immerhin als vermutete oder so gedeutete Anwendungen des GS vorgestellt werden. Die antiken Beispiele sind nicht referenziert, für die frühneuzeitlichen wird auf Beutelspacher und in einem Fall (da Vincis Abendmahl) auf eine wissenschaftlich irrelevante Webseite (www.dr-bernhard-peter.de) verwiesen. Als Illustration dient eine Abbildung, die die "Überlagerung eines Goldenen Dreiecks mit der Mona Lisa" illustriert, ohne daß man erfährt, ob es sich bei dieser Kongruenz um eine Entdeckung des für das Upload des Bildes verantwortlichen Users der englischen WP oder um eine Beobachung aus relevanter wissenschaftlicher Quelle handelt. Die Behauptung über Photographie, daß die (Zwei-)"Drittel-Regel" etwas mit dem GS zu tun habe, wird nicht als Meinung der referenzierten Quellen referiert, sondern als Tatsache ausgegeben, obwohl sie blanker Unsinn ist, der auch im Artikel Drittel-Regel noch zusätzlich mit mathematischer TF geadelt wird. Die Hauptquelle des ganzen Abschnitts, Beutelspacher, ist sicherlich zitierfähig, aber noch keine einschlägige wissenschaftliche Darstellung des Themas GS in Architektur und bildender Kunst. Die im Abschnitt "Geschichte" erwähnte (wohl nur aus zweiter Hand angeführte) Arbeit von Neveux und die im Literaturverzeichnis aus unbekannten Gründen angeführte Arbeit von Fredel wären da als Arbeiten von Kunsthistorikern schon einschlägiger, aber es gibt dazu eine sehr umfangreiche Literatur, und es sollte möglich sein, dort ein oder zwei geeignete Arbeiten auszuwählen, die bei der aus meiner Sicht unumgänglichen Neufassung der Behandlung dieser beiden Themen zur Orientierung dienen können. Der Leser hat nichts davon (und schon garkeine enzyklopädisch "exzellente" Belehrung, wenn er zusammengepflückte Einzelfälle hingeworfen bekommt, die von der Bedeutung des GS für Architektur und Kunst zeugen können oder eben auch nicht.

• • Den Abschnitt "Akustik und Musik" kann man nur noch als Witz bezeichnen. Sein Unterabschnitt "Intervalle" (mit Baustein für fehlende Belege) stellt fest, daß die Töne von Tonleitern "irrationalen Schwingungsverhältnissen, wie beispielsweise [sic!] dem des Goldenen Schnittes" nicht als konsonant empfunden werden und solche Tonleitern deshalb "allenfalls in der experimentellen Musik oder in speziellen Kulturkreisen eine Rolle" spielen, man erfährt aber nicht, ob sie es dort tatsächlich tun und wo sie es im gegeben Fall tun (m.W. spielt der GS in dieser Hinsicht nirgendwo eine Rolle). Trotzdem soll der GS "auch in der Musik, z. B. in der Dur-Tonleiter" zu finden sein, nämlich im Dur-Dreiklang auf "den weißen Tasten 1, 3, 5 und 8" der Klaviertastatur. Der Unterabschnitt "Komposition", der dem Thema nach mit GS-Proportionierungen in Architektur und bildender Kunst zu behandeln wäre, weiß nichts von entsprechenden Deutungen älterer Musikwerke, sondern kennt als einziges Beispiel "gelegentlich" vermuteter musikalischer Bauformen nach dem GS Werke Bartoks in der als "umstritten" bezeichneten Deutung von E. Lendvai (das ganze unter Verweis auf Beutelspacher referiert), außerdem unreferenziert und mit Baustein versehen "Beispiele für die bewusste Proportionierung nach den Zahlen der Fibonacci-Reihe" bei Stockhausen (vgl. [15]) und Grisey (vgl. [16]). Das wird man anhand musikwissenschaftlicher Literatur, die reichlich vorhanden ist, komplett neuschreiben müssen. Ein dritter Unterabschnitt behauptet, daß der GS "gelegentlich im Instrumentenbau", "insbesondere beim Geigenbau", verwendet werde, referiert als "Behauptung" eine entsprechende These (ohne Angabe, von wem sie stammt) über Stradivari, für deren Stichhaltigkeit jedoch kein Nachweis existiere. Als Quelle für diese kritische Beurteilung dienen einen Artikel in Popular Mechanics (dieser nennt als Vertreter der These einen amerikanischen Geschäftsmann und Amateur namens Christopher E. Mertzanoff) und ein vergleichsweise seriöseres Buch von Pollens, das keine Vertreter dieser These nennt. Mit der Geschichte des Instrumentenbaus kenne ich mich nicht aus, aber im Hintergrund stehen hier wohl die Theorien des Geigenbauers Max Möckel [17].

• • Der Unterabschnitt Zeitgenössische bildende Kunst behandelt speziell solche Kunst, die den GS nicht (nur) zur Proportionierung ihrer Werke verwendet, sondern ihn auch selbst zum Thema macht. Das gehört unter einen spezifischeren Titel und gehört nicht an diese Stelle der Gliederung, sondern in den Zusammenhang mit der Behandlung des GS in Architektur und bildender Kunst.

• • Thesen über die Proportionierung von literarischen und biblischen Texten nach dem GS und die wissenschaftliche Kritik solcher Thesen sind, wie schon bemerkt, bisher im Artikel nicht behandelt. Eine Lücke, die angesichts der Qualität der Behandlung von Architektur, Kunst und Musik zu verschmerzen ist, aber mit dem Exzellenzprädikat ebenfalls kaum vereinbar erscheint.

• Noch zum Literaturverzeichnis:
  • Unter "Historische Literatur" sind Titel von Pacioli, dem Mathematiker Ohm und den Wiederentdeckern Zeising und Fechner wüst zusammengestellt, deren gemeinsames Merkmal ist, daß sie keine neuere wissenschaftliche Literatur sind und wohl deshalb irgendwie "historisch" erscheinen. Für historische Quellentexte wie Pacioli sollte deren Nachweis in Einzelanmerkungen genügen, für nur noch wissenschaftsgeschichtlich relevante Arbeiten wie die übrigen genannten eigentlich auch.
  • Von den unter "Neuere Literatur" angeführten insgesamt sechs Titeln ist erkennbar nur Beutelspacher (und von mir für ein Einzelthema Herz-Fischler) wirklich verwendet worden. Das ist oft so, aber bei einem exzellenten Artikel indiskutabel.

Ich würde mich an der Bearbeitung im Rahmen meiner begrenzten zeitlichen und fachlichen Möglichkeiten beteiligen, bin aber nicht zuversichtlich, daß sich die genannten Probleme in absehbarer Zeit lösen lassen. Falls sich dafür keine realistische Perspektive ergeben sollte, hielte ich es für richtig, ihn im Rahmen des WP:KALP-Verfahrens neu beurteilen zu lassen. --Otfried Lieberknecht 05:49, 2. Nov. 2011 (CET)

Das einige Dinge hier gestückelt sind, ist sicher richtig, allerdings liegt das auch an der Vielzahl der Autoren und ständigen Änderungen, die einen organischen Artikel aus einem Guss erschweren. Damit hängen auch die magelhaft belegten Abschnitte zusammen, die zudem teilweise wie eine willkürliche Auswahl wirken. Wobei ich mich persönlich die fehlenden oder mangelhaften Belege mehr stören als die willkürliche Auswahl (die aufgrund der Fülle des Materials nicht ganz vermeidbar ist).

Das Argument bzgl. der Notwendigkeit der Verwendung/Auswertung der Werke im Abschnitt Literatur kann ich allerdings nicht nachvollziehen. Es gibt keinen Grund aus dem die Literaturangaben gleichzeitig auch als Hauptquellen fungieren müssen auch nicht bei einem exzellenten Artikel, man kann auch lediglich als Leseempfehlungen verstehen. Maßgeblich ist allein die Qualität der Quellen und dies Argument mag dann berechtigt sein, wenn die Qualität der Quellen in den EN (deutlich) schlechter ist als die Literaturangaben, dann kann man sich in der der Tat fragen, warum nicht die besseren Literaturangaben ausgewerten wurden. Wenn die Qualität der EN allerdings ok ist, sehe ich keine Grund warum sie auf die Literatur zurückgreifen müssten, insbesondere bei umfangreichen, fachübergreifenden Thema wie dem goldenen Schnitt ist es sogar oft so, dass viele in Bezug auf Einzelaussagen "bessere" oder "maßgebliche/autoritative" Quellen gerade nicht die Übersichtsbücher sind, weil deren Autoren nie Experten für alle Bereiche sein können in denen der goldene Schnitt auftritt. Insofern ist die Verwendung speziellerer Literatur in den EN durchaus sinnvoll. Was übrigens nicht heißt, dass die Autoren die Übersichtsliteratur nicht auswerten bzw. selbst lesen sollen, sie müssen sie nur nicht unbedingt für die EN heranziehen. Konkret auf den Artikel bezogen ist das etwas durchwachsen, ein Teil der aktuellen EN ist in der Tat der Übersichtsliteratur vorzuziehen, ein Teil jedoch wie z. B. die private Webseite von Peters eher nicht.

Was den Abschnitt zum Geigenbau betrifft, die "kritische Darstellung" fußt allein auf Pollens (dem "seriösen" Buch). Der Artikel in Popular Mechanics dient lediglich als Nachweis, dass es tatsächlich (inzwischen) Geigen gibt, die unter Verwendung des goldenen Schnitts konstruiert werden. Natürlich wäre der Rückgriff auf einen bekannteren Geigenbauer wie Möckler hier besser bzw. zumindest eine sinvolle Ergänzung, dazu müsste sich allerdings jemand die betreffende Literatur besorgen, denn online ist die wohl nicht zu haben.

Generell besteht bei dem Artikel, dass Problem das er vor vielen Jahren ganz ohne EN erstellt wurde, wobei letzlich wohl auch unklar ist, welche Quellen nun genau verwendet wurden. Beutelspacher wurde ursprünglich auch nicht verwendet, den habe ich nachträglich verbraten, um von den bereits existierenden Inhalten soviele wie möglich zu belegen. Auch die ganzen anderen EN wurden nachträglich von verschiedenen Mitarbeitern eingefügt. Zudem fürchte ich, dass keiner der beteiligten Autoren wirklich die ganze benötigte Literatur für eine (koordnierte) Gesamtüberarbeitung bei sich zu Hause hat.

Was den goldenen Schnitt in der Literatur betrifft, da findet sich ein Bisschen was bei Beutelspacher, dass man ergänzen könnte. Allerdings ist vieles davon (auch im Hinblick auf die Bibel und den Mecca-Koran-Kram, der in der Verangenheit mehrfach eingefügt wurden) nur Numerologie, da könnte man zwar einen besonders promimenten Fall vielleicht kritisch erwähnen, aber man kann es im Zweifelsfall auch einfach weglassen. Der goldene Schnitt ist halt Gegenstand vieler eher wirrer Theorien, deren enzyklopädischen Relevanz eher zweifelhaft ist. Sprich, wir müssen hier nicht unbedingt jeden Unsinn hier nachbeten, der irgendwann mal zum goldenen schnitt verzapft bzw. publiziert wurde.

Was ein erneutes KALP betrifft habe ich dazu (persönlich) keine Meinung, da ich mit KALP nix am Hut habe. Man sollte aber in diesem Fall aber nicht vergessen die zuständigen Fachportale rechtzeitig zu informieren. --Kmhkmh 07:23, 2. Nov. 2011 (CET)

Herzlichen Dank für Deine Erläuterungen!

Zur Literaturverwendung: daß in den den Anmerkungen auch speziellere und insofern "bessere" Literatur herangezogen werden kann, ist vollkommen richtig (es gilt auch für meine eigene Verwendung von Curchin/Herz-Fischler 1985 anstatt Herz-Fischler 1998 in Anm. 7), problematisch ist aber, wie Du ja auch selbst feststellst, wenn es sich um weniger einschlägigere oder sogar schlechtere Literatur handelt und die unter "Literatur" empfohlenen Werke überhaupt nicht ausgewertet sind: bei Herz-Fischler kann ich letzteres beurteilen, bei den anderen außer Beutelspacher spricht alles dafür, daß es dort ebenso ist. Daß Du Beutelspacher nachträglich zur Referenzierung herangezogen hast, ist in jedem Fall eine Verbesserung, wie ja auch sonst Deine Bemühungen um Erhalt und Verbesserung der Qualität wirklich herausragend sind.

GS im Formenbau literarischer und biblischer Texte: das fällt in erster Linie unter den Begriff der ästhetisch motivierten, nicht der numerologisch motivierten Zahlenkomposition, und auch wenn mich selbst wissenschaftliche Arbeiten dieser Art noch nicht überzeugt haben (ich kenne nur ein paar davon), ist das Thema doch nicht schon als Spinnerei abzutun. Ich will mal sehen, was ich dazu ergänzen kann, vordringlich wichtig für die Verbesserung des Artikels ist es aber nicht. --Otfried Lieberknecht 13:01, 2. Nov. 2011 (CET)

Was das die literarischen Texte (aber auch künstlerische Werke allgemein) betrifft, so sollte man zwischen 2 Gruppen unterscheiden, diejenigen bei denen historisch gesichert bzw. überliefert ist, das sie den goldenen Schnitt verwenden und diejenigen, bei denen es "numerisch so aussieht". Die letztere Gruppe und das nachträgliche (numerische) Hineinlesen des goldenen Schnittes ist immer problematisch und in vielen Fällen (reine) Numerologie. Man kann (beliebige) Zahlenfolgen immer nachträglich Hineinlesen. Wenn es sich um relativ bekannte Fälle hamdelt, die auch immer wieder in reputabler Literatur erwähnt werden, dann kann (vielleicht auch soll) man sie kritusch in den Artikel nehmen. Aber alles was diese "Relevanzschwelle" nicht klar reist, indem es nur vereinzelt erwähnt wird, würde ich weglassen.--Kmhkmh 15:52, 2. Nov. 2011 (CET)

Hier ist noch was etwas zum goldenen Schnitt im Geigenbau: Die Proportionslehre im Geigenbau Als Quelle ist das zwar nur sehr bedingt geeignet, aber man kann sich damit zumindest schon einmal einen (persönlichen) Überblicks verschaffen. Etwas zitierfähiger ist vielleicht dieser Artikel einer Geigerin in einem Technikmagazin: [18]. Viel mehr scheint sich online nicht auftreiben lassen, am besten wäre natürlich jemand besorgt sich die Publikation von Max Möckel ("Der goldene Schnitt im Geigenbau"). Man braucht aber wohl auch zusätzliche Referenzliteratur zum Geigenbau jedenfalls ist mein Eindruck eine einer oberflächlichen Recherche, das längst nicht alle moderne Werke zum Geigenbau den goldenen Schnitten verwenden/erwähnen. Auch der Brüder von Max, Otto Möckel, zu dem wir schon einen kurzen Artikel haben und der von beiden Brüdern scheinbar der bekanntere Geigenbauer ist, scheint nicht viel mit dem goldenen Schnitt am Hut gehabt zu haben (jedenfalls wird in divrersen Kurzbiographien/artikeln zu ihm nichts dazu erwähnt).--Kmhkmh 15:52, 2. Nov. 2011 (CET)

"Was das die literarischen Texte (aber auch künstlerische Werke allgemein) betrifft, so sollte man zwischen 2 Gruppen unterscheiden, diejenigen bei denen historisch gesichert bzw. überliefert ist, das sie den goldenen Schnitt verwenden und diejenigen, bei denen es "numerisch so aussieht"": Ach, wenn es so einfach wäre... Die numerischen Befunde sind schon selbst oft nur schwach, auf das Auftreten irgendwelcher Zahlen aus der Fibonacci-Reihe gestützt, die obendrein manchmal nicht selber auftreten, sondern vom Interpreten durch arithmetische Zerlegung der im Werk vorgefundenen Zahlen extrapoliert werden. Und auch bei interessanteren Befunden ist es schwer, wie natürliche Vorkommensweisen zeigen, die Intentionalität zu beurteilen. Sicher kann man sich sein, wenn der Autor/Künstler/Komponist (bei architektonischen Werken nicht unbedingt als Einzelperson greifbar) sein Werk selbst mit einer entsprechenden Erklärung versieht, die auch nachträglich sein kann, aber zumindest zum Paratext des Werkes gehört. In anderen Fällen muß man sich damit begnügen, daß er sich allgemein über den GS und dessen ästhetische Bedeutung geäußert, oder auch nur in einem Kontext gearbeitet hat, in dem das nachweisbar ein Thema war, und das ist eigentlich erst bei Werken seit dem 19. Jh. möglich, je nach Deutung der einschlägigen Quellen vielleicht auch schon seit dem 16. Jh. Aber in ihrer Intentionalität historisch gesichert sind numerische Befunde durch ihre bloß chronologische Einordnung in solche Epochen noch nicht. Noch schwieriger wird es bei Werken älterer Epochen, in denen mathematische Kenntnis, aber nicht auch ein ästhetisches oder sonstiges besonderes Interesse am GS nachweisbar ist. Und ganz schwierig da, wo selbst die mathematische Kenntnis nicht durch explizite Quellenaussagen nachweisbar ist, wie sie seit Euklid vorliegen, sondern nur anhand von Aussagen über mathematisch verwandte Themen vermutungsweise erschlossen werden kann. Der Artikel sollte die methodischen Probleme jedenfalls besser und zusammenhängender verdeutlichen, als er es bisher tut. --Otfried Lieberknecht 08:38, 3. Nov. 2011 (CET)

Das ist mir schon klar, all diese "schwierigen" Fälle gehören mMn. eben in die zweite Gruppe und sollten dementsprechend in unserem Lemma nur bei (großer) Prominenz in der Fachliteratur erwähnt werden. In jedem Fall muss auch bei einer Erwähnung für Leser der Unterschied zwischen "echtem" Wissen und und "plausiblen" oder "verbreiteten" Spekulationen klar herausgearbeitet werden, insofern stimme ich insbesondere deinem Letzten Satz zu.--Kmhkmh 12:40, 3. Nov. 2011 (CET)

Folgendes wurde in der obigen Liste vor "Den Abschnitt "Akustik und Musik" kann man [...]" ergänzt und nun hierher übertragen: --84.130.253.75 17:09, 25. Jan. 2012 (CET)

• • Dass der Goldene Schnitt in der Architektur angewendet wurde, wird gerne behauptet, aber selten nachgewiesen. Auf dem Zeichentisch funktioniert der Goldene Schnitt sehr gut, aber auf der Baustelle? Der Parthenon (Athen) ist alles andere als ineiner Proportion geschaffen (siehe Proportion (Architektur) ). Es gibt mehrere Proportionen, die dem Goldenen Schnitt ähnlich sind, die musikalischen (Große und Kleine Sexte), die mit ihrer ganzzahligen Definition weitaus leichter zu händeln sind. Eine Zuordnung eines Gebäudes zu einer Proportion ist nur möglich, wenn genaue Aufmaße oder Willenserklärungen der seinerzeitigen Planer oder Bauherren vorliegen. Es gibt einige, die mir im Studium begegnet sind, wie z.B. Corbusier, Ungers (bei einigen Bauwerken), wenn ich die anderen gefunden habe, könnte ich diesen Abschnitt überarbeiten.--SovieleRoger 16:53, 25. Jan. 2012 (CET)

Nachdem ich schon 'mal hier bin, ein kurzer Kommentar zu den Ausführungen von Kmhkmh: Von einem Mathematiker zu erwarten, dass er für diese Art von Rechnungen Textbelege gibt, ist etwa das Gleiche, wie wenn man einem Maler, der schreibt, dass man aus Blau und Gelb die Farbe Grün mischen kann, vorhält, dass er dazu keine Belege angibt! Fast alles, was inhaltlich bis zum Abschnitt "Approximationseigenschaften" da steht, ist doch Stoff der Schulgeometrie, bzw. -algebra der Mittelstufe. Allerdings ist nicht alles so dargestellt, dass man es wiedererkennt. Etwas anderes ist, dass man z.T. historische Hinweise anbringen könnte, von wem was zum ersten Mal beschrieben wurde. Aber nachdem von den meisten Mathematik als eine "zeitlose" Wissenschaft angesehn wird, haben nur wenige Mathematiker hierfür Verständnis. Im übrigen bin erstaunt, dass dann, wenn schon dieses für die meisten zu viel Mathematik ist, alles hier so ausführlich wiederholt wird. Man könnte vieles davon durch Links auf Artikel wie Fünfeck, Pentagramm etc. von hier fernhalten.
Im übrigen finde ich auch, dass der Artikel dringend überarbeitet werden muss. Selbst wenn man der Meinung ist, alles, was einem zum GS einfällt, müsste hier vereinigt sein (was ich für nicht sinnvoll halte), so sollten die Aussagen doch wenigstens richtig sein. Nur ein besonders (...) Beispiel: 1 und 2 sind Fibonacci-Zahlen. Daher ist der unter Musik eingestreute Satz über die Quinte schlicht falsch. Auch die Prim (1:1) und die Oktave (2:1) sind "Tonintervalle(), deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht" usw.
Im Ganzen entspricht das Vorgehen aber dem klassischen "wenn wir schon nicht Goldenen Schnitt finden, dann doch irgendwelche Fibonacci-Zahlen, und das ist fast genauso gut." Es täte der Sache gut, wenn man das doch auf zwei getrennte Artikel verteilen würde: "Fibonacci-Zahlen" und "Goldener Schnitt"! --Mini-floh 17:08, 8. Feb. 2012 (CET)