Diskussion:Injektive Funktion

Pfeilrichtungen (erledigt)

Ich hatte das schon mal geändert, aber jemand hat es wieder rausgenommen: muss der Realtionspfeil nicht in beide Richtungen zeigen? $f(x)=f(y)\Leftarrow \Rightarrow x=y$

Nein, weil die Reichtung $\Leftarrow$ ergibt sich ja sowieso daraus, dass es sich um eine Funktion handelt, hat daher nichts mit der Injektivität zu tun und ist nur verwirrend.

Übrigens, \Leftrightarrow ($\Leftrightarrow$) erzeugt einen beidseitigen Pfeil. --Caramdir 10:40, 23. Sep 2003 (CEST)

OK ich gebe dir recht, das mit dem doppelpfeil hatte ich gesucht und nicht gefunden, danke. Kann dann einer die Diskussion löschen?

Mengenkasten (erledigt)

Die Mengenkasten Darstellung macht meiner Meinung nach nicht den Unterschied der Injektivität zur Bijektivität deutlich genug, die gezeichnete Funktion ist bijektiv, deshalb natürlich auch injektiv. Besser wäre hier ein Mengenkasten einer Funktion, die NUR injektiv aber nicht bijektiv ist, oder?

Diese Frage hat sich inzwischen erledigt -- Wasseralm 21:21, 10 November 2005 (CET)

Eindeutig vs. eineindeutig

In der Einleitung ist von "in beiden Richtungen eindeutig" die Rede. Dies klingt sehr nach "eineindeutig", was aber stärker als injektiv ist. Eine injektive Funktion ist zunächst eindeutig und muss noch nicht eineindeutig sein; das wäre eine bijektive Funktion. Sollte man das möglicherweise verdeutlichen?

Vielleicht. Im englischen ist one-to-one auch mehrdeutig, oft schließt es die Surjektivität nicht ein. Gemeint ist jedenfalls, dass einerseits das Argument den Funktionswert und andererseits der Funktionswert das Argument bestimmt.--Gunther 01:04, 20. Jul 2005 (CEST)

Anmerkung: "Injektiv" ist "eineindeutig". In vielen Quellen (vor allem solchen, die nicht aus der reinen Mathematik kommen) wird eineindeutig aber fälschlicherweise mit bijektiv gleichgesetzt. Bis heute hätte ich aber noch kein Lehrbuch auf Uni-Niveau gefunden, dass etwas anderes behauptet. Dafür ist es in fachfremden Lehrbüchern fast gängig "eineindeutig" mit "bijektiv" gleichzusetzen.

Vielleicht hilft es wenn man sich klarmacht, dass das Wort "ein-eindeutig" heißt. Es gibt zwar auch Argumentationen, dass das Wort als "einein-deutig" zu verstehen wäre, aber selbst das würde keinen Sinn machen. Selbst wenn man akzeptiert, dass "einein" andeuten soll, dass etwas aus zwei Richtungen gilt (was gewagt ist) bliebe noch die Wurzel "deutig", die nicht den nötigen Bedeutungsgehalt hat (deutig kann auch mehrdeutig sein). Wenn man unbedingt die Sprache auf diese Weise verhunzen möchte, dann wäre wohl "zwei-eindeutig" oder "doppel-eindeutig" angebrachter (oder gar "eineineindeutig").

Die Einleitung und die Historie widersprechen sich hier noch!

Zusammenfassend kann man sagen, dass "eineindeutig" zwar ohne Zweifel mit "injektiv" gleichzusetzen ist, aber aufgrund der existierenden Verwirrung (die ja auch hier zugeschlagen hat) sollte man den Begriff meiden.

--85.212.31.164 08:24, 10. Nov 2005 (CET) Was ist der Unterschied zwischen eindeutig und "ein-eindeutig", wenn eineindeutig nicht umgekehrt-eindeutig bedeutet?

Jede Funktion ist "eindeutig" in dem Sinn, dass jedes Argument ein eindeutig bestimmtes Bild besitzt.--Gunther 12:05, 10. Nov 2005 (CET)

Warum steht hier "Erledigt"? Wenn ich mir den Text so anschaue ist da gar nichts erledigt.. *wunder* Man lese sich nur den ersten Teil durch.

Es war erledigt, bevor jemand am 7. Dez. wieder "eineindeutig" reingeschrieben hat. Gruß, Wasseralm 12:00, 21. Mär 2006 (CET)

Hallo? Injektiv IST ein-eindeutig (nur in eine Richtung eindeutig).

Y-Menge

Ist wohl ein kleines Verständnissproblem meinerseits: Wie kann eine Menge Y die aus der Menge X entsteht Elemente enthalten, die nicht aus der Menge X geblidet werden können?

Hallo Suls, ich würde deine Frage ja gerne beantworten, aber leider verstehe ich sie nicht. Kannst dur vielleicht ein konkretes Beispiel angeben? Gruß von --Wasseralm 21:35, 21. Nov 2005 (CET)

@Suls : Es ist zu beachten, daß Y nicht notwendigerweise f(X) ist. Y ist also nicht notwendigerweise die Bildmenge. Bspw. f:R^+ -> R, mit f(x)=x^2 ...hier ist f injektiv - aber die Bildmenge f(R^+) ist nicht gleich R (denn R enthält ja auch negative Zahlen, x^2 ist aber in den reellen Zahlen nicht negativ). Übrigens : Wäre f(X)=Y (in Deinem obigen Beispiel), dann wäre f surjektiv...gibt bestimmt auch einen Artikel über Surjektivität. -- manifold

Surjektivität Wasseralm 10:17, 29. Jan 2006 (CET)

(Und aus der Antwort der gestellten Frage, ergibt sich dann auch gleich, dass die 1. Definition von Injektiv, so nicht ganz stimmt (für alle y). - wosen)

? --Gunther 18:13, 9. Jun 2006 (CEST)

Bemerkung über Personalausweise

Hallo unbekannte Person. Ich habe die Bemerkung "Mit anderen Worten: Jeder Bürger bekommt genau eine Personalausweis-Nr, aber nicht jede Personalausweis-Nr. ist auch vergeben." wieder entfernt, da sie die Aussage nicht trifft. Dass jeder Bürger genau eine Nummer bekommt (und nicht etwa zwei) ist schon in der Eigenschaft einer Funktion enthalten und hat mit Injektivität noch nichts zu tun. Gruß von Wasseralm 17:57, 9. Dez 2005 (CET) Er hat aber schon Recht. Keine zwei Bürger erhalten die gleiche Nummer.

Ja klar, das ist die Injektivität. Aber die Aussage "Jeder Bürger bekommt genau eine Personalausweis-Nr" bedeutet etwas anderes. Gruß, Wasseralm 10:44, 20. Jul 2006 (CEST)

Nur stimmt es nicht, da man mit jedem neuen Personalausweis, also alle 10 Jahre, eine neue Personalausweisnummer bekommt. Wenn man seinen PA verliert, sogar schon früher. Wenn sich dann der alte wieder anfindet, hat man zwei. :-) --RokerHRO 09:04, 12. Jan. 2007 (CET)

Ja, da klaffen mathematisches Modell und Realität dann doch (wie so oft) auseinander. Ich habe es durch Einfügen des Wortes "aktuell" etwas verbessert (hoffentlich). Gruß, Wasseralm 20:24, 12. Jan. 2007 (CET)

Hallo, ich finde den Ausdruck "unmathematisch" schade, es betont irgendwie die "Weltferne" der Mathematik, obwohl das nicht so ist. Besser wäre: "Alltagsfall" oder "Aus dem Alltag". Holger, 04.Mai 2008 (CET)

Ich denke auch, dass "unmathematisch" den Kern nicht ganz trifft. Ich habe es jetzt in "Außermathematisch" umbenannt, so werden Realitätsbezüge zwischen Mathematik und realer Welt (in der Fachsprache) genannt. Sven, 02. August 2015 (CET) (nicht signierter Beitrag von 178.4.240.42 (Diskussion) 10:12, 2. Aug. 2015 (CEST))

Eineindeutig II

Bei dem Brockhaus-Zitat fehlt auf jeden Fall die Surjektivität. Die Bemerkung soll aber auch eigentlich das Wort eineindeutig klären, für das es zwei parallel verwendete Definitionen gibt, nämlich (a) injektiv und (b) bijektiv.

Auch würde ich dafür plädieren, Relationen so weit wie möglich aus dem Artikel herauszuhalten. Funktionen/Abbildungen sind der verbreitetere Begriff, und zumindest am Anfang ist die Vielfalt injektiv/surjektiv/bijektiv schon ausreichend verwirrend. Man kann das irgendwo nebenbei erwähnen, wie die Beziehung zur Begrifflichkeit bei Relationen aussieht, bei der Gelegenheit kann man dann evtl. auch auf Linkskürzbarkeit eingehen.--Gunther 20:59, 4. Sep 2006 (CEST)

Die Rechtseindeutigkeit ist die Surjektive Abbildung. Die linkseindeutigkeit die Injektive Abbildung. Nur wenn eine Funktion injektiv als auch survekjtiv ist, speicht man von einer bijektiven Abbilung. Ebenso spricht die angegebene Quelle (Brockhaus 20. Aufl.) von eineindeutig = umkehrbar eindeutig = bijektiv. Wie viele und welche Quellen muss man anführen? -- ThePacker 21:16, 4. Sep 2006 (CEST)

Surjektiv ist rechtstotal, nicht rechtseindeutig. Und wie gesagt: Es gibt nun einmal zwei konkurrierende Definitionen. Belege für eineindeutig = injektiv sind z.B. [1] [2] [3]. Das sind alles Vorlesungsskripten, die wesentlich besser als irgendwelche Lexika den aktuellen Stand der mathematischen Terminologie wiedergeben dürften. Über http://books.google.com/ ist es auch kein Problem, Bücher zu finden, die diese Definition verwenden, z.B. Wolfgang Walter, Analysis 1. Springer-Verlag 2004. ISBN 3540203885; darin S.5.

Anderes Thema: "umkehrbar eindeutig" und "umkehrbar" werden in H. Heuser, Analysis 1, Teuber 1991 ISBN 3-519-22231-0 auf S. 106 als Synonym für "injektiv" definiert.--Gunther 21:32, 4. Sep 2006 (CEST)

Gleich in der ersten Quelle findest du 2 Sätze darunter, eine Definition die bei Bijektivität auch eineindeutig schreibt. "Höhere Mathematik" von Günter Bärwolff (TU-Berlin) vgl S.61 (b=ee) und S. 15 (i=ee), ISBN 3827414369 will sich diesbezüglich auch nicht festlegen. Ich könnte Herrn Bärwolff mal fragen.. -- ThePacker 21:49, 4. Sep 2006 (CEST)

Das bedeutet, dass es entweder keine eindeutige Zuordnung bzgl. eineindeutig existiert, dann sollte die WP das auch so darstellen. Aber nicht mittels POV: behaupten, dass alle die etwas anderes behaupten fachfremd seien. -- ThePacker 21:49, 4. Sep 2006 (CEST)

Es gibt einen Unterschied zwischen "eineindeutig" und "eineindeutig auf", also zwischen "f ist eine eineindeutige Abbildung von X nach Y" und "f ist eine eineindeutige Abbildung von X auf Y". "Auf" bedeutet so viel wie "surjektiv".

M.E. totaler Unfug die Erklärung. Sie ist nicht schlüssig, stiftet mehr Verwirrung als sie beseitigt (auf einmal ist der Begriff eineindeutig kontextsensitiv und seine Bedeutung hängt davon ab ob ein "auf" oder ein "nach" daneben steht) und führt neue Begriffe ein. Andernfalls bitte Quellen nennen (Lexika halte ich in diesem Zusammenhang nicht für sinnvolle Quellen (erwähne ich jetzt nur weil weiter oben jemand Mathe-Definitionen aus Lexika bezogen hat) - Lehrbücher scheinen eine geschickter gewählte Quelle zu sein) welche diese begriffliche Unterscheidung "eineindeutig nach=injektiv", "eineindeutig auf=bijektiv" machen.--91.45.110.14 18:06, 24. Okt. 2008 (CEST)

Ich bin mit der aktuellen Fassung auch nicht glücklich, deshalb ja auch der relativ ausführliche Diskussionsbeitrag hier. Nur in Deiner Version stand auch noch der Fehler mit dem "rechtseindeutig", deshalb habe ich erst einmal revertiert.--Gunther 21:53, 4. Sep 2006 (CEST)

klingt das mit dem rechtseindeutig klingt zunächst plausibel, dort könnte ich meine alten Skripte und meine Mathematikbuchsammlung durchsuchen, wo der genaue Unterschied gemacht wird. Aber die Anmerkung mit dem "fachfremd" muss raus, zumal es scheint, dass sich selbst die Fachwelt nicht einig ist. Aus meiner jetzigen Perspektive. -- ThePacker 22:01, 4. Sep 2006 (CEST)

Ich habe spontan allerdings auch keine der reinen Mathematik zuzuordnenden Quellen gefunden, die eineindeutig = bijektiv verwenden. "Fachfremd" ist natürlich nicht glücklich formuliert, "Anwendungsgebiete" wäre wohl angemessener.--Gunther 22:03, 4. Sep 2006 (CEST)

Noch ein Mathematik-[Link] dort wird ausdrücklich (ee auf als bijektiv) bezeichnet. -- ThePacker 22:08, 4. Sep 2006 (CEST)

Gehen wir beide damit konform das eineindeutg bedeutet, dass $x=f^{-1]}(f(x))$ bedeutet ?

Dass "eineindeutig auf" nichts anderes als bijektiv bedeuten kann, habe ich oben schon erklärt, abgesehen davon ist das kein reiner Mathematiker, der da schreibt, sondern ein angewandter. Und zu der Frage: Nein, ich habe keine bevorzugte Bedeutung von "eineindeutig", ich verwende die unmissverständlichen Begriffe injektiv/surjektiv/bijektiv, zu Definitionen siehe die entsprechenden Artikel.--Gunther 22:23, 4. Sep 2006 (CEST)

Ich hoffe diese Diskussion wird dem nächsten weiterhelfen, der die gleiche Frage hat.... Ich recherchiere noch mal genauer, wird aber ein weilchen dauern. Vielleicht gelingt es mir, dieses Rätsel vollständig aufzulösen. Vielen Dank für die Mühe. -- ThePacker 22:27, 4. Sep 2006 (CEST)

Auf der Seite Eineindeutig gab es einen kleinen Editwar wo wechselweise auf Injektiv/Bijektiv verwiesen wurde. Ich habe dort nun eine (sehr) kurze Seite eingestellt in der auf das Problem hingewiesen wird und Links zu Injektiv und Bijektiv zu finden sind. Das mit dem "fachfremd" habe ich vor ein paar Jahren verbrochen. Meine Mathematikbücher (und die Mehrzahl der (Mathe-)Skripte) verwenden den Begriff eineindeutig entweder gar nicht (was ganz sicher das sinnvollste ist) oder sie verwenden Injektiv=Eineindeutig (z.B. im Bronstein, Kapitel 5.2.3 Relationen und Abbildungen (dass es im Bronstein so steht hat ja fast schon den Charakter eines Satzes)). Meine Infomatikbücher, Informatikskripte und ein Matheskript verwenden Bijektiv=Eineindeutig. Ich denke festhalten sollte man, dass der Begriff eher historische Bedeutung hat - und dass es eindeutige Begriffe gibt die auch verwendet werden sollten.

Meine Güte... eineindeutig heißt "umkehrbar eindeutig", das bedeutet rechtseindeutig UND linkseindeutig. so wird es in den gängigen Mathematik Büchern verwendet (vergleiche "Höhere Mathematik" von Günter Bärwolff S.15). injektiv = eineindeutig, dass bijektiv oft auch als eineindeutig benutzt wird, liegt nur daran, dass es auch eineindeutig ist, da bijektiv = surjekiv UND injektiv. und was surjektiv bedeutet (mit einfachen worten): surjektiv = rechtstotal, d.h. dass die Abbildungsmenge vollständig ausgenutzt wird.

MFG

Du widersprichst Dir. "Umkehrbar eindeutig" ist BIJEKTIV. Das ist m.W. kein strittiger Punkt. Bitte nochmal die Wolkendarstellung auf der Artikelseite studieren um herauszufinden warum injektiv nicht zwingend auch umkehrbar ist.

Das Buch von Bärwolff ist ein Buch welches sich hauptsächlich an der Praxis orientiert. Zugegeben, für viele Studenten wird das Buch von Bärwolff das einzige Mathebuch sein welches sie jemals einsehen werden. Daraus kann man aber noch keine Korrektheit der Aussage ableiten. Ganz nebenbei wurde weiter oben schon erwähnt, dass Bärwolff in seinem Buch beide Bedeutungen verwendet.

Zum Argument: "Autoren verwenden eineindeutig für bijektive Abbildungen weil sie wissen, dass bijektiv = eineindeutig(injektiv) und surjektiv". Das ist eine reine *Vermutung* die Du da aufstellst. Gibt es Errata, Klarstellungen oder Stellungnahmen der Autoren zu den betreffenden Stellen die Du zitieren köntest?

Ich bin ja durchaus Deiner Meinung. Ich finde es schlüssiger injektiv=eineindeutig zu verwenden. Die Mathematik-Bibel (der Bronstein) legt es so fest. Auch sprachlich ist es m.E. schlüssiger (nur in EINe Richtung EINDEUTIG). Aber wir treffen hier keine Festlegungen welche die gesamte Mathematik beeinflussen. Wir dokumentieren nur die bestehende Verwirrung.--91.45.110.14 18:06, 24. Okt. 2008 (CEST)

Da hast du den Begriff "injektiv" aber nicht verstanden, denn der beinhaltet Eindeutigkeit in beide Richtungen. Nur das nicht jedem Element der Bildmenge ein Original zugeordnet sein muß. Aber wenn, dann höchstens eins. Also jede Abbildung ist linkseindeutig, eine Injektion ist zusätzlich rechtseindeutig und eine Bijektion auch noch rechtstotal. --Obi-Wahn 19:54, 28. Jun. 2011 (CEST)

Und wieder wird mit einem schwach definierten Begriff "eindeutig" gearbeitet (kombiniert mit einem Mangel an Wissen) und damit unnötige Verwirrung erzeugt. Injektiv ist nicht eindeutig in beide Richtungen. Mach einfach mal einen Bullshit-Test. Wir haben "Ausweise" und "die Menge aller möglichen Ausweisnummern" (injektiv). Jetzt haben wir eine Ausweisnummer, die möglich ist, aber auf keinem Ausweis vorkommt. Die Zuordnung dieser Nummer zu einem Ausweis würdest Du als eindeutig bezeichnen. Ist das eine sinnvolle Verwendung von eindeutig? Die Mathematik sagt nein. Und auch in natürlicher Sprache ist das schlampiger Umgang mit derselben (und schlampige Sprache verursacht schlampiges Denken).

Wenn es für ein gegebenes Element der Zielmenge kein passendes Element der Definitionsmenge gibt, dann ist das nicht eindeutig (vgl. Mengenwolke für Illustration). Rein sprachlich wäre Deine Formulierung "[...] Eindeutigkeit in beide Richtungen. Nur das nicht [...]" schon ein Hinweis darauf gewesen, dass Du gerade Unsinn produzierst. Und nicht jede Abbildung ist "linkseindeutig". "linkseindeutig" ist m.W. allgemein akzeptiertes Synonym für injektiv; keine Ahnung was "linkseindeutig" in Deinen Sprachgebrauch bedeutet (aber Hinweis: es kann sein, dass es für ein gegebenes Element der Definitionsmenge kein definiertes Element der Zielmenge gibt). Abbildungen sind an sich in keine Richtung eindeutig. Zusammenfassend kann man sagen: Das demonstriert ganz toll, dass man erst mal klar definierte Begriffe braucht (da kann ich "Injektiv", "Surjektiv" und "Bijektiv" empfehlen, in diesem Fall kommen noch "Streng Monoton", bzw. "Stetig" dazu) - und die muss man dann auch noch verstehen. Wenn eines von den beiden nicht gegeben ist, dann wird es immer Menschen geben, die mit sehr viel Überzeugung falsch liegen. (nicht signierter Beitrag von 95.89.82.25 (Diskussion) 19:28, 10. Aug. 2013 (CEST))

Injektiv ist gleichbedeutend mit linkseindeutig, eineindeutig ist gleichbedeutend mit links- und rechtseindeutig (siehe Relation (Mathematik)#Attribute für Relationen zwischen verschiedenen Mengen). Da eine Abbildung bereits als rechtseindeutig definiert ist, ist jede injektive Abbildung auch eineindeutig (vgl. en:Injective function). Umkehrbar eindeutig bedeutet, dass es eine eindeutig bestimmte Inverse gibt, d.h. wenn eine Relation eine bijektive Abbildung ist bzw. eineindeutig und links- und rechtstotal ist. --RPI (Diskussion) 19:10, 31. Okt. 2013 (CET)

Funktionsgraf

In [4] heißt es so nett, dass die Injektivität vom Funktionsgraphen abhängig ist. Ich wusste gar nicht, dass mathematische Eigenschaften von Graphen abhängen. Ist diese Ausdrucksweise bei Mathematikern eigentlich üblich? --Pyrus 09:02, 25. Nov. 2006 (CET)

Der Graph ist hier einfach die Menge der Paare (x, f(x)). Bei reellen Funktionen ist es dann tatsächlich der Graph der Funktion im anschaulichen Sinn. Die Ausdrucksweise "Graph" für diese Menge ist allgemein üblich. Gruß, Wasseralm 13:24, 25. Nov. 2006 (CET)

Mengenkasten (2)

Der Abschnitt Injektivität#Darstellungsformen braucht dringend noch eine Erläuterung. Es ist unklar, was die beiden Mengenkastendiagramme aussagen/demonstrieren sollen. --Florian Seffler 15:27, 2. Dez. 2006 (CET)

Ich habe Erläuterungen angefügt. Ich vermute zwar, dass diese nicht ganz mit der ursprünglichen Intention des Bilderstellers übereinstimmen, aber sie passen jedenfalls dazu. Gruß, Wasseralm 22:38, 19. Nov. 2007 (CET)

Darstellungsformen

Auf der Seite war unter Darstellungsformen ein Kommentar eingetragen, den ich jetzt mal hierher verschiebe:

könnte man evtl. auch ein paar grafische Darstellungen für NICHT-injektivität bekommen? Vielen dank im Voraus, wäre so vielleicht verständlicher.

eventuell kann der Bild-Urheber da noch die entsprechenden Varianten ergänzen und das ganze kommentieren? --Robin 20:14, 4. Jun. 2007 (CEST)

Definition

Eine kleine Verständnisfrage: Wenn für eine Abbildung $f$ gilt: $\exists x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\land f(x_{1})=f(x_{2})=\emptyset$, dann würde dies doch bedeuten, dass $f$ nicht injektiv ist. Oder ist $\emptyset$ ein Sonderfall (unter der Annahme, dass für alle anderen Elemente aus $X$ die Bedingung für die Injektivität erfüllt ist)?

Meiner Auffassung nach ist die Funktion f in deinem Beispiel nicht injektiv. Wenn $\exists x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\land f(x_{1})=f(x_{2})$, dann ist die Abbildung nicht injektiv, egal ob der betreffende Funktionswert die leere Menge ist. --Daniel Mex 20:12, 15. Jul. 2007 (CEST)

Bin mir nicht so sicher wie die Definition der leeren Menge ist (ist die generell in allen Mengen enthalten?). Aber zum Glück hilft hier schon Logik:

• Entweder ist die leere Menge in der Zielmenge enthalten. Dann ist die Abbildung nicht injektiv weil ein Element der Zielmenge von zwei Elementen der Definitionsmenge getrffen wird.
• Oder die leere Menge ist nicht in der Zielmenge enthalten (bin mir unsicher ob es diesen Fall überhaupt gibt). Dann ist die Abbildung nicht injektiv weil es Elemente der Definitionsmenge gibt, denen kein Element in der Zielmenge zugeordnet wird.

--91.45.110.14 18:20, 24. Okt. 2008 (CEST)

16. November 2007

ACHTUNG: Die Bilder im Artikel Darstellung sind falsch. Der Graph wird an der x,y-Diagonalen gespiegelt, nicht an der Senkrechten in der Mitte vom Bild, wie das fälschlicherweise im Artikel ist.

Hier scheint ein Missverständnis vorzuliegen, es handelt sich um 2 unabhängige Bilder. Gruß, Wasseralm 20:51, 19. Nov. 2007 (CET)

Abbildungstext

"Das Prinzip der Injektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird höchstens einmal getroffen."

Jeder? Ich finde die Bezeichnung jeder dort nicht passend.(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 89.245.113.212 (Diskussion • Beiträge) 23:55, 14. Feb 2008) -- Engie 19:15, 15. Feb. 2008 (CET)

Warum nicht, das passt doch. Man achte auf das "höchstens", das bedeutet jeder Punkt wird einmal oder keinmal getroffen. --Engie 19:15, 15. Feb. 2008 (CET)

Er hat schon Recht. "Ein (beliebiger) Punkt in der..." wäre eleganter formuliert.--91.45.110.14 18:10, 24. Okt. 2008 (CEST)

Bildmenge=Zielmenge

"Die Bildmenge kann kleiner sein als die Zielmenge" ist doch Schwachsinn...

Ich dachte auch immer Bildmenge = Zielmenge im Gegensatz zur Grundmenge/Urmenge -- 89.217.183.72 20:26, 14. Mai 2009 (CEST)

Es müßte heißen: Die Definitionsmenge kann kleiner als die Zielmenge (Bildmenge) sein!! (nicht signierter Beitrag von 91.9.38.3 (Diskussion | Beiträge) 21:17, 30. Mai 2009 (CEST))

Die Definitionsmenge ist die Urbildmenge, während die Bildmenge (die Bezeichnungsweise ist da nicht immer einheitlich) die Menge aller Bilder ist, also in der Regel eine Teilmenge der Zielmenge:

Bei $f\colon \,A\to B$ ist $A$ die Definitionsmenge, $B$ die Zielmenge und $f[A]:=\{f(a)\mid a\in A\}\subseteq B$ die Bildmenge. --RPI 13:48, 3. Nov. 2009 (CET)

Kern?

Im ganzen Artikel kommt nicht einmal das Wort "Kern" vor, das ist doch etwas befremdlich -- 132.252.242.134 11:20, 16. Jul. 2009 (CEST)

Empfinde ich auch so. Die Aussage "Kern trivial <=> injektiv" wird recht oft verwendet. (nicht signierter Beitrag von 91.65.83.167 (Diskussion | Beiträge) 08:19, 14. Nov. 2009 (CET))

Einen Kern gibts nur, wenn es ein neutrales Element gibt. --Stefan Neumeier 23:58, 14. Feb. 2011 (CET)

Implikationen

Da f als Abbildung vorausgesetzt wird, gilt immer

• $\forall x_{1},x_{2}\in X:(x_{1}=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}))$

(wenn man stattdessen allgemeine Relationen betrachtet, ergibt auch die Notation f(x) keinen Sinn).

Injektivität bedeutet, dass zusätzlich die umgekehrte Implikation gilt:

• $\forall x_{1},x_{2}\in X:(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})$ und somit
• $\forall x_{1},x_{2}\in X:(f(x_{1})=f(x_{2})\Leftrightarrow x_{1}=x_{2})$

Beide Formulierungen sind als mögliche Definition von injektiv formal völlig korrekt. Die Eigenschaft, durch die Injektivität charakterisiert ist, wird jedoch nur durch die Implikation $\Rightarrow$ beschrieben. --Pwjg 13:40, 16. Aug. 2009 (CEST)

++++

Ist schon interessant, wie intensiv sich Sprachwissenschaftler mit mathematischen Problemen auseinandersetzen. Unter der Kategorie: Semantik findet man zum Thema Eindeutigkeit folgendes:

• "In der Mathematik können Zuordnungen (sog. Relationen) in zwei Richtungen eindeutig oder mehrdeutig sein.

• Rechtseindeutige Zuordnungen nennt man Abbildungen oder Funktionen [...] Eine Funktion weist präziser jedem Element einer Definitionsmenge A (einem x-Wert) genau ein Element einer Zielmenge B (einen y-Wert) zu.

• Linkseindeutige (sog. injektive) Zuordnungen (kein Element aus B hat mehr als einen Partner in A) ordnen jedem Element der rechten Seite maximal einen, also eindeutig einen linken Partner zu."
  
  

Eine daran anknüpfende Vereinbarung könnte vielleicht lauten:

Eine Zuordnung  $f\colon \,\mathbb {X} \multimap \mathbb {Y}$  ist rechtseindeutig (heißt Funktion/Abbildung), wenn:

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(x_{1}=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}))$    bzw.

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(f(x_{1})\neq f(x_{2})\Rightarrow x_{1}\neq x_{2})$
  
  

Eine Zuordnung  $f\colon \,\mathbb {X} \multimap \mathbb {Y}$  ist linkseindeutig (heißt injektiv), wenn:

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))$    bzw.

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})$
  
  

$\!\,A$	$\!\,B$	$A\Rightarrow B$ $x_{1}=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})$	$\neg A\Rightarrow \neg B$ $x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$
A  =  " x1 = x2 "	B  =  " f (x1)  =  f (x2) "	rechtseind. ist zulässig für  $f$ wahr	rechtseind. ist zulässig für  $f$ wahr
A  =  " x1 = x2 "	¬ B  =  " f (x1)  ≠  f (x2) "	rechtseind. ist nicht zulässig für  $f$ falsch	rechtseind. ist nicht zulässig für  $f$ wahr
¬ A  =  " x1 ≠ x2 "	B  =  " f (x1)  =  f (x2) "	linkseind. ist nicht zulässig für  $f$ wahr	linkseind. ist nicht zulässig für  $f$ falsch
¬ A  =  " x1 ≠ x2 "	¬ B  =  " f (x1)  ≠  f (x2) "	linkseind. ist zulässig für  $f$ wahr	linkseind. ist zulässig für  $f$ wahr

Was ich eigentlich sagen möchte, steht innerhalb des blauen Feldes.

Eine sowohl rechtseindeutige als auch linkseindeutige Zuordnung (injektive Funktion/Abbildung) durch eine Implikation zu definieren, indem man sagt:  Eine Funktion  $f$  heißt injektiv, wenn

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))$   bzw.

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})$

halte ich für widersprüchlich, denn diese Implikation besagt, dass der Fall  $x_{1}=\ x_{2}$   und   $f(x_{1})\neq f(x_{2})$  zulässig ist für  $f$. Für eine rechtseindeutige und linkseindeutige Zuordnung muss gelten:

• $(x_{1}=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}))\quad \wedge \quad (x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))$   und das bedeutet:
  
  

• $(A\Rightarrow B)\ \wedge \ (\neg A\Rightarrow \neg B)\quad \Leftrightarrow \quad (A\Leftrightarrow B)$

• $(A\Rightarrow B)\ \wedge \ (\neg A\Rightarrow \neg B)\quad \nLeftrightarrow \quad (\neg A\Rightarrow \neg B)$

Also ist für die Definition einer rechts/links-eindeutigen Zuordnung (injektive Funktion/Abbildung) nur die Äquivalenz zulassig. Möchte man sicherstellen, dass eine Funktion injektiv ist, muss gefordert werden:

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(x_{1}=x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1})=f(x_{2}))$    bzw.

• $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(x_{1}\neq x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))$

Beispielsweise für  $g:\mathbb {R} \rightarrow {[0{,}\infty [}\ ,\ x\mapsto x^{2}$  ist die Zuordnung  $y\equiv f_{Z}(x)=g^{\!-1}(x)$  rechtszweideutig (also keine Funktion). Allerdings genügt  $f_{Z}(x)$  der Definition für injektiv. Ist man dennoch an einer Funktion  $f(x)$  interessiert, könnte der Definitionsbereich von  $g$  auf  ${[0{,}\infty [}$  bzw.  ${]\!\!-\!\infty {,}0]}$  eingeschränkt werden. Prinzipiell stehen dann zwei Funktionen zur Verfügung:

• $f_{1}:{[0{,}\infty [}\rightarrow {[0{,}\infty [}\ ,\ x\mapsto {\sqrt {x}}$
  

• $f_{2}:{[0{,}\infty [}\rightarrow {[-\infty {,}0[}\ ,\ x\mapsto -{\sqrt {x}}$
  
  

Solche Zuordnungen wie  $f_{Z}(x)$  werden sogar (von Schülern im Mathematikunterricht) unbewusst hinundwieder vorgenommen - möglicherweise bei der Nullstellen-Suche für  $y\equiv h(x)\!:=x^{2}\!-4$ . Die Nullstellen von  $h(x)$  entsprechen dem “±2 Niveau” von  $f_{Z}(x)$ , also:  $x\equiv h^{\!-1}(0)\ \ {\mathrel {\widehat {=}}}\ \ f_{Z}(4)$ .

Im Vergleich zu den bisher betrachteten expliziten Darstellungsformen räumen die implizit dargestellten Funktionen eine weitere Möglichkeit für Missverständnisse ein. Für den Fall, dass in  $0\equiv f(x,y)\!:=x^{2}\!+y^{2}\!-1$  folgender Versuch unternommen wird:

•  $x$  soll die unabhängige (freie) Variable sein,
•  $y$  soll die (von $x$) abhängige Variable sein,

wäre  $y\equiv f(x)$  eine  weder  rechtseind.  noch  linkseind., explizite Zuordnung. Es ließen sich daraus aber zwei explizite nicht injektive Funktionen bzw. vier explizite injektive Funktionen bestimmen.

Beitrag   --130.149.24.183 21:19, 17. Aug. 2009 (CEST)   wurde überarbeitet.   --Slave:T 20:34, 27. Aug. 2009 (CEST)

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Für logische Aussagen A und B (mit Negationen ${\bar {A}},{\bar {B}}$) gilt ganz allgemein

$A$	$B$	$A\Rightarrow B$	${\bar {B}}\Rightarrow {\bar {A}}$
wahr	wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	falsch	falsch
falsch	wahr	wahr	wahr
falsch	falsch	wahr	wahr

Außerdem ist $x_{1}=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})$ immer wahr, wenn f(x) in irgendeiner Form sinnvoll definiert ist, dazu muss f gar keine Abbildung sein. Denn aus $x_{1}=x_{2}=x$ folgt trivialerweise durch Einsetzen $f(x_{1})=f(x_{2})=f(x)$. Und dein Absatz oben wird durch Wiederholung auch nicht richtiger. --Pwjg 22:30, 17. Aug. 2009 (CEST)

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Beitrag   --Slave:T 20:28, 18. Aug. 2009 (CEST)   --Slave:T 22:33, 18. Aug. 2009 (CEST)   wurde entfernt.

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Hallo Slave:T

• Zu deinem Beispiel zur Kernaussage: Lies den Artikel! Dort steht als Definition:

Seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f:X\to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$.

$f$ heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten ($y$-Werten) die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten $x$-Werte folgt.
Formal: $\forall x_{1},x_{2}\in X:(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})$

Dem (siehe erster Satz) genügt dein Beispiel nicht.

• Deine obige „Definition“ einer Abbildung ist aus mindestens drei Gründen Unsinn:

1. Sie setzt voraus, dass f(x) bereits definiert ist, andernfalls hat die Notation überhaupt keine Bedeutung. Damit f(x) für alle x definiert ist, muss üblicherweise aber schon eine Abbildung vorliegen, d. h. du drehst dich im Kreis.
2. Liegt eine allgemeine Relation vor, kann man f(x) als Menge aller y-Werte definieren, die mit x in Relation stehen. In diesem Fall gilt immer (auch wenn die Relation keine Abbildung ist) $\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} :(x_{1}=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}))$
3. Was du wahrscheinlich sagen wolltest ist: „Zu jedem x gibt es höchstens ein f(x)“ (Rechtseindeutigkeit als „Gegenstück“ zur Linkseindeutigkeit=Injektivität). Abbildung bzw. Funktion bedeudet aber „zu jedem x gibt es genau ein f(x)“.

• Wenn du immer noch davon überzeugt bist, Recht zu haben, solltest du ein Lehrbuch über die Grundlagen der Mathematik verfassen. Denn die Autoren existierender Bücher waren oder sind ziemlich inkompetent, da sie noch nicht einmal grundlegende Begriffe wie Abbildung oder Injektivität korrekt definieren können. Ist dein Buch dann erschienen, kannst du es auch in der Wikipedia zitieren und dir solche Diskussionen sparen. Gruß --Pwjg 21:30, 18. Aug. 2009 (CEST)

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Dummerweise fiel mir nachdem ich gespeichert hatte ebenfalls auf, dass mein Beispiel nicht sehr günstig ist. Während ich's überarbeitete (Asche auf mein Haupt) , hattetst Du schon drauf reagiert. Der Vorschlag mit dem Buch ehrt mich, aber ich halte es für sinnvoller nicht noch ein Buch über mathematische Grundlagen zu verfassen. Ich denke, dass es vollkommen ausreicht; wenn eine geeignete Plattform vorhanden ist, welche die Möglichkeit für (Nicht-Echtzeit-)Diskussionen bietet. --Slave:T 23:26, 18. Aug. 2009 (CEST)

Irgendwie werd ich auch das Gefühl nicht los, dass wir komplett aneinander vorbei reden. Um Platz zu sparen und aus Gründen der Übersichlichkeit schlage ich daher vor, das oben (bereits Geschriebene) nocheinmal zu überarbeiten. Ich hoffe das Problem mit den Bearbeitungskonflikten wird sich in Grenzen halten. --Slave:T 13:25, 19. Aug. 2009 (CEST)

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Eigenschaften

Die Behauptung im Artikel

• Eine Funktion $f:A\to B$ ist genau dann injektiv, wenn $f$ links kürzbar ist, also für beliebige Funktionen $g,h:C\to A$ mit $f\circ g=f\circ h$ schon $g=h$ folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Monomorphismus.)
  

ist falsch! Der in der Kategorientheorie verwendeten Begriff des Monomorphismus ist schwächer als der Begriff der Injektivität, denn es ist zwar jede injektive Abbildung linkskürzbar, aber nicht jede linkskürzbare Funktion ist injektiv! Ein Gegenbeispiel findet sich z.B. im Buch von Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. B.G. Teubner, Stuttgart 1969. S. 17. Ich werde das korrigieren. –--RPI 14:06, 3. Nov. 2009 (CET)

Bei Funktionen/Abbildungen zwischen Mengen gilt sehr wohl injektiv$\Leftrightarrow$linkskürzbar. Gegenbeispiele gibt es bei allgemeineren Kategorien (siehe auch Monomorphismus#Monomorphismen in beliebigen Kategorien), aber um die geht es im Artikel hier nicht. --Pwjg 14:35, 3. Nov. 2009 (CET)

Es kann nicht sein, was du sagst, denn das Gegenbeispiel gehört nicht zu einer allgemeineren, sondern zu einer spezielleren Kategorie: $\mathbb {Q}$ sowie $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ sind Mengen und die kanonische Projektion $\pi$ ist links kürzbar aber nicht injektiv, sie gehören deshalb auch zur Kategorie Set/Ens/Me! --RPI 15:17, 3. Nov. 2009 (CET)

In der Kategorientheorie entsprechen die Schnitte weitestgehend den Injektionen (siehe 5. Eigenschaft) und nicht die Monomorphismen! --RPI 15:30, 3. Nov. 2009 (CET)

Die beschriebene Projektion mag in Div linkskürzbar sein, in Set ist sie es definitiv nicht. --Pwjg 00:06, 4. Nov. 2009 (CET)

Stimmt! Ich habe übersehen, dass es in Set mehr Morphismen gibt als in Div. In Set haben die Objekte keine Struktur, mit der die Morphismen (= Abbildungen) verträglich sein müssten. Mit einigen Bezeichnungen in der Kategorientheorie (mit der ich mich kaum auskenne) habe ich das Problem, dass sie eine andere (allgemeinere) Bedeutung haben, als in anderen mathematischen Theorien, so dass ich mich da leicht vertue.

Dass ein Monomorphismus in Set mit einem injektiven Morphismus übereinstimmt ist ja schön und gut, aber besser wäre es, wenn in möglichst vielen konkreten Kategorien, der Monomorphismus-Begriff mit dem kategorientheoretischen zusammenfallen würde. Es werden nämlich weder beliebige Abbildungen zwischen strukturlosen Mengen in anderen Bereichen der Mathematik Morphismen genannt noch sind in anderen Bereichen der Mathematik (wie der Algebra) Monomorphismen lediglich linkskürzbare strukturverträgliche Abbildungen, sondern üblicherweise injektive bzw. linksinvertierbare strukturverträgliche Abbildungen. --RPI 18:30, 4. Nov. 2009 (CET)

Injektion

Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, wird auch als linkseindeutige Relation verstanden.

Ich glaube, das ist nicht ganz völlständig. Eine injektive Funktion ist eine linkseindeutige Abbildung, bzw. eine links-, rechtseindeutige und linkstotale Relation, siehe auch hier. --Euronymous 15:16, 26. Apr. 2010 (CEST)

Du hast recht, siehe auch Relation (Mathematik)#Attribute für Relationen zwischen verschiedenen Mengen. Mit erscheint es am sinnvollsten, den fraglichen Satz ganz zu streichen und dafür vielleicht ein paar Worte über den Begriff einer injektiven Relation zu schreiben. --Pwjg 16:27, 26. Apr. 2010 (CEST)

Bei uns wurden die Begriffe In-, Sur- und Bijektivität nur im Zusammenhang mit Abbildungen eingeführt, also solche Relationen, die bereits linkstotal und rechtseindeutig sind. Ich weiß nicht genau, was da die gängige Praxis ist; Der Satz bleibt allerdings so oder so recht ungenau. -- Euronymous 19:06, 26. Apr. 2010 (CEST)

PS: In dieser Grafik wird das genau so veranschaulicht, wie ich erklärt hatte. -- Euronymous 19:08, 26. Apr. 2010 (CEST)

Soweit ich es überblicke, wird der Begriff Injektivität hauptsächlich für Abbildungen benutzt. Und genau deshalb sollte man diesen Artikel nicht mit Eigenschaften von Relationen überfrachten. „Deine“ Grafik passt viel besser in den Artikel Relation (Mathematik). --Pwjg 10:13, 27. Apr. 2010 (CEST)

Die Grafik sollte auch nur eine Bestätigung für meine Vermutung sein. Ich versuche mal, den Satz etwas zu präzisieren. -- Euronymous 16:13, 27. Apr. 2010 (CEST)

Jetzt bin ich total verwirrt - Wikipedia trennt die Begriffe injektiv und linkseindeutig in Bezug auf Relationen und Funktionen wohl scheinbar nicht. Gibt es da unterschiedliche Auffassungen? -- Euronymous 18:08, 27. Apr. 2010 (CEST)

Ich finde deine Änderung im Artikel soweit ok. Und was die Begriffe angeht: linkseindeutig und injektiv bedeuten dasselbe, nämlich dass einem Element rechts maximal ein Element links zugeordnet ist. Nur dass im Kontext von Relationen der Begriff linkseindeutig gebräuchlicher ist, während bei Abbildungen von injektiv gesprochen wird. Ich sehe dabei keine unterschiedlichen Auffassungen. --Pwjg 23:35, 27. Apr. 2010 (CEST)

Sie besagt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.

Injektion oder Nicht??? Definition erfüllt: ... dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird

Nach der Definition wäre auch die Relation (1-A,1-B,1-C ...(2 und 3 haben keine zugeordneten Werte)) zulässig.
Aber (aus Funktion_(Mathematik)):
Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu. .. damit wäre das dann nicht mehr zulässig. Hm ja an alles gedacht die Mathematiker. (nicht signierter Beitrag von 78.52.204.151 (Diskussion) 19:16, 12. Sep. 2010 (CEST))

Immer noch unklar

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Welches der 3 Bilder stellt keine injektive Funktion dar und warum? Das würde den Artikel für den Laien vielleicht verständlicher machen

• Bild 1: nicht injektiv, (mit welcher Begründung?)
• Bild 2: verstößt gegen die Definition, dass "jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen werden darf." Im Bild ist aber C der Funktionswert von 2 und von 3
• Bild 3: auch eine injektive Funktion, da die Definition nicht verlangt, dass die Definitionsmenge ausgeschöpft werden muss (oder irre ich da?)

Sehr hilfreich wäre es auch die drei formalen Definitionen als Worttext auszuschreiben. "Für alle y Element von Y gilt: Es gibt kein x Element von X ... "

Welche linkseindeutige Funktion ist nicht injektiv? ("Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation.") --Bin im Garten 18:02, 1. Jan. 2011 (CET)

Bild 1 zeigt gar keine Funktion (nicht rechtseindeutig und nicht linkstotal), also erst Recht keine injektive: 2 darf nur ein Bild haben, 3 und 4 müssen jeweils ein Bild haben.

Bild 2 zeigt auch keine Funktion (nicht linkstotal) und erfüllt nicht die Definition: 4 muss ein Bild haben und C darf nur ein Urbild besitzen.

Bild 3 zeigt wieder keine Funktion (nicht linkstotal): 4 muss ein Bild haben. Wenn 4 das Bild C hätte, dann wäre das eine injektive Funktion.

Die Definitionsmenge muss ausgeschöpft werden, damit es eine Funktion ist, denn sonst handelt es sich nur um eine partielle Funktion. Jede linkseindeutige Funktion ist nach der Definition injektiv, aber eine linkseindeutige Relation, die keine Funktion ist, ist keine Injektion (Bilder 1 und 3). --RPI 17:07, 2. Jan. 2011 (CET)

Oje, mein Problem besteht also darin, dass mein Matheunterricht so weit zurückliegt, dass ich nicht mal mehr genau wußte, was eine Funktion ist. Vielleicht wäre ein eigener Abschnitt zu llinkseindeutigen Relationen nicht schlecht. --Bin im Garten 23:15, 5. Jan. 2011 (CET)

Das wird nicht immer so genau genommen, insbesondere in der Schule nicht. In meiner Jahrzehnte zurückliegenden Schulzeit hat man, glaube ich, zwischen partieller Funktion und Funktion nicht unterschieden, eine Funktion war dann gegebenen Falls nicht überall definiert (d.h. partiell).

Man sollte ohnehin immer die vorausgesetzten Definitionen zuerst noch einmal durchlesen, denn auch mathematische Begriffe sind historisch gewachsen und deshalb auch nicht immer einheitlich, sie können sich daher auch noch im Lauf der Zeit verändern. Die Menge der Natürlichen Zahlen z.B. enthält bei den einen Autoren die Null, bei den anderen enthält sie die Null nicht. Ein weiteres Beispiel ist die algebraische Struktur eines Ringes: Es gibt Autoren, bei denen ein Ring nicht mit Eins(element) definiert ist, und Autoren, bei denen ein solches in der Definition verlangt wird. Selbst viele Autoren von Lehrbüchern kennen nur eine Definition und geben diese dann oft nicht an, so dass es schwierig sein kann, die zu Grunde gelegte Definition herauszufinden. Im Extremfall können Ergebnisse eines Autors falsch sein, weil er an einer Stelle eines Beweises – ohne es zu wissen – einen Lehrsatz (Theorem) eines anderen Autors verwendet, der auf einer anderen Definition beruht. --RPI 20:00, 6. Jan. 2011 (CET)

Fehler?

Hallo, meines Wissens nach ist die erste Definition(mit Quantorenschreibweise) nicht ganz korrekt. Dort steht es gibt GENAU ein element X der Urmenge, für das f(x) = y ist für alle Y. Ich meine jenes "Es gibt mindestens ein" zeichen mit dem Ausrufezeichen dran. Mir wurde das als "es gibt genau ein" beigebracht Richtig, und in den anderen Definitionen auch so gegeben, ist das es maximal eins geben darf. (nicht signierter Beitrag von 188.195.214.116 (Diskussion) 04:09, 10. Jan. 2011 (CET))

Da steht aber: Es gibt genau eines oder es gibt keines mit der Eigenschaft…

$\forall y\in Y\colon \,(\exists !x\in X\colon \,f(x)=y\vee \neg (\exists x\in X\colon \,f(x)=y)).$

Also höchstens eines. Viele Grüße --Angela H. 09:46, 10. Jan. 2011 (CET)

Danke für die Aufklärung, hatte das als (richtige) Alternativdefinition interpretiert. (nicht signierter Beitrag von 188.195.107.225 (Diskussion) 06:23, 13. Jan. 2011 (CET))

Tja, dann hätten wir aber mindestens zwei Klammern wegwerfen müssen. ;-) Viele Grüße --Angela H. 17:36, 13. Jan. 2011 (CET)

Beispiele und Gegenbeispiele

Mein Vorschlag betrifft die Zeile

$f_{4}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto x^{2}$ ist nicht injektiv, da z.B. $x$ und $-x$ auf denselben Wert abgebildet werden.

und lautet: als Beispiel im Nebensatz ein konkretes Zahlenpaar (z.B. 1 und -1) nehmen. Dann ist es auch ein echtes Beispiel in dem Sinne, dass es noch andere Beispiele gibt. Jedes mögliche Beispiel entspricht der Form x und -x. Es ist unglücklich, die allgemeine Darstellung der möglichen Beispiele als Beispiel zu bezeichnen.

--VolkerGausG 08:38, 12. Dez. 2011 (CET)

Weil keiner eine andere Meinung hinterlassen hat, habe ich meinen Vorschlag umgesetzt.

-- VolkerGausG 21:02, 7. Jan. 2012 (CET)

Überarbeitung

Dieser Artikel scheint mir dringend nach einer Überarbeitung zu verlangen. Besonders die Einleitung mit ihren Fehlern, aber auch der Rest in dem vieles doppelt steht.

1. Falsche wenn-dann-Richtung. Es darf nicht anfangen: Wenn injektiv, dann ..., sondern muss heißen: Injektiv, wenn...

2. Sprachlich ist es unglücklich, die Elemente der Zielmenge zielen zu lassen, auch wenn da ‚rückwärts‘ dabeisteht. Schwer verständlich.

3. Streuwertfunktionen sind als Gegenbeispiel unpassend. Weit weg vom Lemma und außerdem falsch: Es wird zwar fälschlich im dortigen Artikel behauptet, ist aber nicht wahr. Hash-Funktionen sind in der Regel nicht injektiv, sie können es aber sein. Tatsächlich sind sie ja, grob gesagt, je injektiver, je besser. Ein Gegenbeispiel ist schon gut, steht aber doch im eigens dafür gemachten Abschnitt Beispiele und Gegenbeispiele.

4. Surjektivität ist eine Eigenschaft von Funktionen, nicht Mengen. Eine surjektive Bildmenge also ein Unsinn.

5. „Als Bildmenge wird hier eine bestimmte Teilmenge der Zielmenge definiert“. Wenn keine Definition angegeben wird, ist so ein Satz leer und überflüssig. Vielen Leser dürfte die intuitiv einleuchtende Definition bekannt sein, für den Rest ist ja ein Link da.

6. Die drei Definitionen im nächsten Abschnitt sehe ich als ein und dieselbe Aussage in unterschiedlichen sprachlichen Fassungen. Davon genügt wirklich eine. Unterschiedlich werden sie erst in der Formalisierung mittels Existenzoperator etc. Diese Formalisierungen sind was für Spezialisten und sind für einen Enzyklopädie-Artikel zu speziell. Wenn sich kein begründeter Widerspruch regt, streiche ich den Abschnitt in Bälde. Bis dahin ein Kompromiss: Ich schreibe „Formale Definitionen“ drüber.

7. Eine Graphik reicht zur Erläuterung. Die zweite gefällt mir eigentlich besser. Ich lasse aber doch die erste stehen, wegen der Parallele zum Artikel Surjektivität, kürze aber ihre Legende. Die Graphiken mit monotonen reellen Funktionen gehören zu der entsprechenden ‚Eigenschaft‘ weiter unten. Ein eigener Abschnitt für die Graphiken entfällt damit.

8. Auf die Theorie der Mächtigkeiten, wo Injektionen (und Bijektionen) grundlegend wichtig sind, sollte der Arikel etwas mehr eingehen. Ich versuche, die Idee zu zeigen, ohne auf Details (und Probleme) einzugehen. Dafür ist ja der Link da. Für die Gleichheit von Mächtigkeiten nehme ich natürlich die Definition, die Injektionen benutzt.

9. Die Erwähnung des Schubfachschlusses musste auch geändert werden; einerseits, um eine Wiederholung von schon gesagtem zu vermeiden, anderseits den Namen zu erklären. Allerdings bin ich mir unsicher, ob wir den Abschnitt nicht streichen sollten. Die Verbindung zum Lemma durch die hier unmögliche Injektion ist etwas dünn.-- Binse (Diskussion) 23:27, 8. Jun. 2015 (CEST)

Abschnitt entfernt

Da sich kein Widerspruch regte, habe ich, wie angekündigt, den Abschnitt mit den drei Formalisierungen entfernt.- Binse (Diskussion) 23:52, 28. Jul. 2015 (CEST)

Meiner Meinung nach sollte aber zumindest irgendwo stehen, dass man häufig Injektivität beweist, indem man $f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}$ zeigt. Grüße -- HilberTraum (d, m) 10:48, 29. Jul. 2015 (CEST)

Also, ich weiss nicht. Für mich liegt es im Rahmen des ‚gesunden Menschenverstands‘, dass das dasselbe sagt, wie $x_{1}\neq x_{2}\implies f(x_{1})\neq f(x_{2})$. Darum sollte es nicht in der Enzyclopädie stehen. Aber, wenn Du es doch wichtig findest, mache ich deswegen keinen edit war, Gruss Binse (Diskussion) 18:22, 29. Jul. 2015 (CEST)

Kann X mehr Elemente haben als durch f abgebildet werden?

Kann X mehr Elemente haben als durch f abgebildet werden? --2A02:8108:1A00:3000:8C9C:CE21:B653:2E72 23:54, 21. Jun. 2017 (CEST)

Selbstedit: Injektivität ist eine Eigenschaft einer Funktion. Eine Funktion ist so definiert dass alle Elemente einer Menge durch f irgendwohin abgebildet werden. Enthielte X im Bild Elemente die von f nicht abgebildet werden (keinen Pfeil haben) so zählten sie nicht zu der Menge deren Elemente durch f abgebildet werden. --2A02:8108:1A00:3000:8C9C:CE21:B653:2E72 23:54, 21. Jun. 2017 (CEST)

Leider schreibst Du nichts über den Zweck Deiner Frage. Da ich auch umseitig im Artikel nichts finde, worauf sich Deine Anfrage beziehen könnte, erspare ich mir jegliche Spekulation darüber und beschränke mich darauf, festzustellen: Die Antwort lautet „Nein“, weil Dein „abgebildet werden“ implizit bedeutet, daß es sich bei f um eine Abbildung (also um eine Funktion, also um eine (u. a.) linkstotale Relation) handeln soll (und nicht allgemeiner um eine Relation, was die Antwort auf „Ja“ ändern würde). Gruß, Franz 19:03, 22. Jun. 2017 (CEST)

Die heutigen Änderungen (08.09.2017)

Ich begrüße es sehr, dass @Christian1985: die Geschichte ausgebaut hat. Zwei Anmerkungen aber:

• Der (unveränderte) erste Absatz des Geschichte-Abschnittes entspricht zwar meinem Verständnis: trotzdem sollten auch die dortigen Aussagen belegt werden.
• Ich gehöre zur Fraktion, die die Funktionen für eine echte Unterklasse der Abbildungen hält. Demnach sollte das Lemma – sofern „Injektivität“ nicht mehr erwünscht ist – eigentlich „Injektive Abbildung“ und nicht „Injektive Funktion“ heißen. Ich meine aber, irgendwo gesehen zu haben, dass dieses Thema mindestens einmal bereits durchgekaut wurde.

--GroupCohomologist (Diskussion) 23:09, 8. Sep. 2017 (CEST)

Hallo GroupCohomologist, ich habe nichts dagegen den Artikel nach Injektive Abbildung zu verschieben. Du hast natürlich Recht mit Deiner Anmerkung, dass je nach Autor eine Funktion und eine Abbildung unterschiedliches sind. Gleiches sollte dann aber auch mit Surjektive Funktion und Bijektive Funktion geschehen. Eine Quelle den ersten Satz habe ich leider nicht, aber natürlich sollte alles belegt werden. --Christian1985 (Disk) 10:25, 9. Sep. 2017 (CEST)

Rechtseindeutige Relation vs Funktion; Änderung von Benutzer:Pwjg

Benutzer Pwjg macht folgende Änderung (gestern, 11.10.): https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Injektive_Funktion&type=revision&diff=169893159&oldid=169888217

Meines Erachtens erliegt er der uralten Täuschung und beachtet nicht, daß zwar "jeder Neger ein Mensch, aber nicht jeder Mensch ein Neger ist". Im Edit-Kommentar schreibt er "rechtseindeutige Relation ist nicht gleichbedeutend mit Funktion", was niemand behauptet hat. Im Artikel steht "Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation". Weil dies zu Mißverständnissen führen kann, hatte ich angefügt "..., namentlich einer rechtseindeutigen" (, was übrigens grammatikalisch falsch war). Jede Funktion ist eine rechtseindeutige Relation, weil Rechtseindeutigkeit = Funktionalität (besser: "Funktional Sein"), ist also notwendig Voraussetzung für das "Funktion Sein". Jede Funktion ist also eine rechtseindeutige Relation, aber jede rechtseindeutige Relation ist nicht notwendigerweise eine Funktion. Das ist nur der Fall, wenn sie gleichzeitig auch linkstotal ist (vgl. Relation).

Entsprechend würde ich gerne den Satz wieder so herstellen, wie ich ihn geschrieben habe, und diesen Sachverhalt einfach anhängen, also:

"Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation, namentlich eine rechtseindeutige Relation. Um Funktion zu sein, muß sie allerdings gleichzeitig linkstotal sein."

Wäre das akzeptabel? --Karl24042017 (Diskussion) 10:02, 12. Okt. 2017 (CEST)

Hallo Karl, auch das ist nicht ganz korrekt. Eine Relation definiert eine Funktion, wenn sie rechtseindeutig und linkstotal ist (d.h. diese beiden Eigenschaften haben nichts mit injektiv zu tun). Injektivität entspricht in die Sprache der Relationen übersetzt der Eigenschaft linkseindeutig. Ich finde den aktuellen Einleitungssatz auch nicht wirklich gelungen, aber eine Änderung sollte den Zusammenhang der Begriffe schon korrekt wiedergeben. --Pwjg (Diskussion) 18:38, 12. Okt. 2017 (CEST)

Ich denke, ohne dir zu nahe treten zu wollen, daß du den Satz, der - da gebe ich dir Recht - ziemlich verkorkst ist, nicht ganz verstanden hast. In dem Satz steht

• eine Funktion und damit auch eine injektive Funktion, ist eine Relation
• sie ist eine linkseindeutige Relation, klar, sonst wäre sie ja keine injektive Funktion
• da sie aber Funktion ist, ist sie natürlich - das stand da bisher nicht - rechtseindeutig.

Wenn nun dort steht, daß sie Spezialfall "einer linkseindeutigen Relation" sei, ist sie, ausgehend von der Definition der Relation "ein Spezialfall eines Spezialfalls". Die erste besondere Eigenschaft also die der Rechtseindeutigkeit, die zweite die der Linkseindeutigkeit. Da in der Formulierung "einer linkseindeutigen Relation" die Linkseindeutigkeit bereits vorausgesetzt wird, kann sich das Wort Spezialfall nur auf weitere spezielle Eigenschaften beziehen, nämlich auf die Rechtseindeutigkeit und die Linkstotalität, welche die Funktion - ausgehend von der Relation - zur Funktion machen. Genau das bringt der von mir vorgeschlagene Satz zum Ausdruck.

Ich gebe dir aber auch insofern Recht, als der Satz insgesamt wenig gelungen ist, hart gesagt: Überflüssig.

Schlage daher vor, entweder ihn ganz zu streichen oder im Sinne meines Vorschlages umzuformulieren. Und nochmal: Mein Vorschlag ist von a bis z korrekt. --Karl24042017 (Diskussion) 18:59, 12. Okt. 2017 (CEST)

Also ich sehe hier eigentlich noch ganze andere Probleme und halte den ersten Absatz für ziemlich verunglückt. Zunächst definiert er eigentlich formal ein falsches Lemma:

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation...

Das Lemma heißt aber nicht Injektivität (von Relationen) sondern injektive Funktion.

Ebenso ist es für Leserlichkeit des Artikels (auch im Hinblick auf Schüler) nicht förderlich Funktionen über den Rückgriff auf Relationen zu definieren, denn das ist nur verständlich für Leute die Relationen und das zugehörige Fachvokabular schon kennen. Stattdessen sollte man Funktionen wie im zweiten Absatz einführen. Die Einbettung in den Relationsbegriff ist natürlich wichtig und gehört auch in den Artikel, aber eben nicht an den Beginn der Einleitung. Wenn man es in der Einleitung überhaupt erwähnen will, dann eher im letzten Absatz. Dementsprechend schlage ich unabhängig von der genauen Formulierung vor den ersten Absatz entweder ans Ende der Einleitung zur verschieben oder auch ganz aus der Einleitung zu nehmen und ihn stattdessen nur im Haupttext unterzubringen.--Kmhkmh (Diskussion) 00:51, 17. Okt. 2017 (CEST)

+1, und zwar Relationen nur im Haupttext. Im Sinne von WP:OMA ist es nicht hilfreich, jeden Begriff sofort in der größtmöglichen Allgemeinheit zu definieren: zumal man es recht weit in einer mathematischen Laufbahn schaffen kann, ohne dem Begriff „linkseindeutige Relation“ zu begegnen. --GroupCohomologist (Diskussion) 08:09, 17. Okt. 2017 (CEST)

+1 --Karl24042017 (Diskussion) 11:39, 17. Okt. 2017 (CEST)

+1 --Pwjg (Diskussion) 16:35, 2. Jan. 2018 (CET)