Diskussion:Kategorientheorie

Kommentare zu einer alten Version

Ich habe die Beispiele

• ein Beispiel aus der Informatik ist $\mathbf {Data}$, die Menge aller in einer vorgegebenen Programmiersprache verfügbaren Datentypen als Objekte und die Funktionen als Morphismen. Ein verwandtes Beispiel sind die XML-Dokumente als Objekte und XSL-Transformationen als Morphismen.

gelöscht. Das mit den Programmiersprachen und Funktionen ist völlig daneben, die XSL Transformationen sind nicht assoziativ !!!

Bemerkungen

1. Statt »Die Grundbegriffe dieser Arbeit sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.« muß es natürlich heißen: » Die Grundbegriffe (sc. dieser Theorie) . . . «
2. Es ist dann weiter von einem »Jargon zum Ausdrücken verschiedener mathematischer Theorien« die Rede: das scheint mir nicht so glücklich, sowohl stilistisch wie inhaltlich.
3. Ein Aspekt der Kategorientheorie ist es, gewisse Sachverhalte wie etwa universelle Konstruktionen in adäquaterer Form darzustellen, als dies mit den Mitteln der Mengenlehre und universellen Algebra möglich ist (man vergleiche die umständlichen Konstruktionen Bourbakis im 4. Kapitel der Théorie des Ensembles).
4. In erster Linie aber dient sie dazu, wie schon im Ausgangsfall der algebraischen Topologie, verschiedenartige Strukturen in einen Zusammenhang zu stellen, in dem sie deutlicher gesehen und bearbeitet werden können. Hier wird nicht von Strukturen »abstrahiert«, vielmehr werden sie verdeutlicht.
5. Was das folgende bedeuten soll, ist mir schleierhaft: »Da der Begriff Morphismus ohne die Notation der Mengenlehre verwendet wird, bietet die Kategorientheorie eine weitreichende Verallgemeinerung des Funktionenbegriffs, die sie auch für computerwissenschaftliche Disziplinen wie die Algorithmik interessant macht.« Es gibt informatische Anwendungen, aber wirklich deshalb, weil die Kategorientheorie »elementfrei« argumentiert? Nicht aus den o.a. Gründen?
6. Es ist schon richtig, daß man den Begriff des Morphismus als eine Verallgemeinerung des Abbildungsbegriffes ansehen kann, allerdings ist der Abbildungsbegriff auch schon sehr allgemein, insofern ist dies hier irreführend. Es werden ja nicht alle Abbildungen betrachtet, sondern nur solche, die für die betreffende Struktur irgendwie spezifisch sind; wenn man sich dies vor Augen führt, ist der Schritt zum kategorientheoretischen Morphismus nicht mehr so groß. Die Verallgemeinerung liegt m. E. eher darin, daß man den Transformationscharakter der Abb. vernachlässigt, ungefähr so, wie man in der Gruppentheorie von Transformationsgruppen zu abstrakten Gruppen gekommen ist.
7. Aus dem Abschnitt »Begriffe« wurden die doch sehr wichtigen Begriffe Morphismus und natürliche Transformation entfernt um weiter unten eine m. E. wenig hilfreiche Behandlung zu erfahren.
8. Die Definition ist mißlungen, es heißt z. B. »Eine Kategorie besteht aus zwei Teilen: zum einen eine Klasse von Objekten und zum anderen eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen) zwischen diesen Objekten.« Im Vordergrund sollten aber die Morphismen stehen (bekanntlich kann man auf die Objekte verzichten, sie dienen nur der sprachlichen Bequemlichkeit). Des weiteren: »Die Morphismen müssen verknüpfbar sein«, davon kann aber i.A. gar keine Rede sein. -- Grundsätzlich glaube ich nicht, daß es gut ist, die Def., wie hier geschehen, einleitend erst noch zu paraphrasieren.
9. Die Beispiele sind aus dem Inhaltsverzeichnis verschwunden, das Beispiel mit der Relation ist falsch (sie muß auch transitiv sein), ähnlich für Graphen (MacLane, II.7. spricht von einer »Präkategorie«).
10. Die folgenden Abschnitte sind mehr oder minder mißglückt, so ist mir neu, daß Isomorphie »[e]in Kernbegriff der Kategorientheorie« ist, im Gegensatz zu Funktor etwa, oder daß kleine Kategorien so zentral sind, daß es lohnt, ihnen einen langen Abschnitt zu widmen.
11. Eine universelle Konstruktion heißt so, nicht weil sie »für eine Vielzahl von Kategorien verfügbar« ist, sondern weil sie Gegenstände (universelle Pfeile, universelle Elemente) liefert, die eine »universelle Eigenschaft« in dem Sinne haben, daß jeder geeignete Pfeil darüber faktorisiert, etc. Bsp. freie Gruppe, Tensorpodukt, u.v.a.m., vgl. MacLane (III.1).

Usw. . . Ptrs 23:34, 3. Jul 2004 (CEST)

1. Das Beispiel für die Kategorie Rel hat einen Fehler. Diese ist nämlich sehr wohl konkretisierbar durch den Funktor $P\colon Rel\to Set$ der eine Menge auf ihre Potenzmenge abbildet. (nicht signierter Beitrag von 212.201.73.12 (Diskussion) 08:06, 27. Jun. 2013 (CEST))

1. Der deutschsprachige Begriff für "Equalizer" ist Differenzkern, der für "Kernel" Kern.--Unknown

Ich würde schon zustimmen, dass Isomorphie von zentraler Bedeutung ist, aber dann sollte man wenigstens erwähnen, dass Funktoren Isomorphismen erhalten...--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)

Überarbeitung

Habe angefangen, den Artikel zu überarbeiten. Momentan ist der Artikel viel zu lang, und manches gibt es schon als separate Seite (Produkt (Mathematik), Morphismus). Adjunktion kann man problemlos abtrennen, auf die jeweiligen universellen Konstruktionen kann man verweisen. Kommentare soweit?--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)

Evtl. sollte man den Abschnitt "Yoneda und Universelles" in einen eigenen Artikel verschieben, der dann auch so etwas wie "eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus" erklärt.--Gunther 14:37, 26. Feb 2005 (CET)

To-Do-Liste

Sammelstelle für Begriffe, die noch erklärt werden müssen.--Gunther 00:26, 26. Feb 2005 (CET)

• natürliche Äquivalenzen
• Äquivalenzen von Kategorien
• volltreue Funktoren
• zumindest die Hom-Funktoren ausfuehrlich hinschreiben
• Unter- und Quotientenobjekte

Lost & Found

• Weiß jemand, was Reflektionen und Coreflektionen sind? Waren in der alten Fassung ohne Definition erwaehnt, habe ich geloescht.--Gunther 00:37, 26. Feb 2005 (CET)
• "Falls es für jede Familie von Objekten einer kleinen Kategorie ein Produkt gibt, dann ist die Kategorie isomorph zu einem vollständigen Verband." Wahr oder falsch?--Gunther 01:26, 26. Feb 2005 (CET)

Wenn Mor(A,B) für alle Objekte A,B maximal ein Element besitzt, und die Antisymmetrie erfüllt ist...

• Zitat:

Man betrachte die Kategorie ${\mathcal {BLP}}$ der Banach-Lie-Poisson-Räume und die Kategorie ${\mathcal {BLA}}$ der Banach-Lie-Algebren mit Prädual. Dann sind die Objekte in BLP die Banach-Lie-Poisson-Räume und die Objekte in BLA Banach-Lie-Algebren, zu welchen (nicht notwendigerweise eindeutige) präduale Räume existieren. Sei weiter $f$ ein Morphismus von einem BLP-Raum in eine BLA und $A\in Ob\left({\mathcal {BLP}}\right)$, dann gibt es einen kontravarianten Funktor $F:\mathrm {\mathcal {BLP}} \rightarrow {\mathcal {BLA}}$, definiert durch $F\left(A\right)=A^{*}$ und $F\left(f\right)=f^{*}$

Kopiert aus Funktor von --Gunther 16:25, 20. Mär 2005 (CET)

Hallo, Kategorien-Experten!

Zwar bin ich nicht älter als der Begriff "Kategorie", aber in meinem Mathematik-Studium (in den 1960ern) tauchte der doch erst etwas drohend am Rande auf - selbst für Logiker, zu denen ich mich zähle. Nun hab ich irgendwo in wikepedia gelesen, er sei auch für die Logik grundlegend, und denke, ich muss mich da reinarbeiten.

Den Artikel "Vorschau" habe ich gelesen und Einiges verstanden, den Rest auf später, wenn ich besser Bescheid weis, verschoben.

Nun aber geht's los:

"eine Klasse Ob(C) von Objekten": Warum wird der erste präzise Begriff in diesem Artikel nicht mit einem einfachen Buchstaben eingeführt? - Wenn, was ich vermute, "Ob" die Klasse meint, was meint dann "C"? Ist "C" vielleicht die zugrundeliegende Kategorie? - Das wird nirgends erwähnt!

Warum ist von einer "Klasse" die Rede, und nicht von einer "Menge"? Was ich in wikipedia unter Klasse (Mengenlehre) finde, scheint mir ganz obskur. Werde ich es mal besser verstehen, wenn ich ich durch die Kategorien-Seiten gebissen habe? - Dann dürfte "Klasse" aber nicht undefiniert am Anfang dieses ganzen Bereichs stehen!

Soweit heute, weitere Fragen, wenn ihr diese beantwortet habt. -- Peter Steinberg 02:08, 13. Apr 2005 (CEST)

Ja, C ist die Kategorie, ist geändert. Klasse (Mengenlehre) ist etwas chaotisch, gebe ich zu. Eine Klasse ist wie eine Menge, nur darf eine Klasse "größer" sein. Jede Menge ist eine Klasse. Man darf die Klasse aller Mengen bilden, während die Menge aller Mengen ja verboten ist, genauso wie die Klasse aller Klassen. Das ist für die Definition der einzig relevante Punkt hier. Deshalb darf man die Kategorie aller Mengen bilden, aber nicht die Kategorie aller Kategorien.

Klasse ist ein Begriff aus der Mengenlehre, den wirst Du also auch hier nicht erklärt bekommen. Man kann die Mengenlehre auch anders aufbauen, dann müsste man hier über Universen reden, aber der Zugang mit der Unterscheidung Menge/Klasse ist üblicher. Ich werde Klasse (Mengenlehre) zu den Überarbeitungswürdigen hinzufügen.

Wenn es diese ganzen mengentheoretischen Probleme nicht gäbe, könnte man sagen: Eine Kategorie ist ein geordnetes Tripel, das aus der Objektmenge, den Morphismenmengen (als System von Mengen, das von Paaren von Objekten indiziert ist) und dem System der Verknüpfungsabbildungen (indiziert durch Tripel von Objekten) besteht. (Aber n-Tupel echter Klassen sind eine haarige Angelegenheit.)-- Gunther 02:54, 13. Apr 2005 (CEST)

Heute bin ich mal wieder dazu gekommen, mich etwas mit den Kategorien zu beschäftigen. Schönen Dank erstmal für die Auskunft. Das Klassen/Mengen-Problem kann ich ganz gut auf sich beruhen lassen. Nun knabber ich an den Definitionen. Da steht als als zweiter Spiegelstrich:
"eine Menge MorC(X,Y)... zu je zwei Objekten X und Y;..." (Hervorhebung von mir). Durch intensives Nachdenken (und mit Gunthers obigen Hinweisen) komme ich darauf, dass es sich wohl keineswegs um eine Menge handelt, sondern, wenn Obj(C) die Mächtigkeit n hat, um n² Mengen. Richtig? - Wenn ja, sollte es dann nicht vielleicht besser heißen: "zu jedem Paar (X,Y) von Objekten aus Obj(C) eine Menge MorC(X,Y)..."?
Außerdem verwirren mich die Begriffe "dom" und "cod" in dieser Definition. Bei "dom" gibt es bei mir noch so eine Assoziation zu "domain", was wohl der englische Ausdruck für Definitionsbereich ist. Daraus erahne ich, dass "cod" wohl für den Wertebereich stehen muss. Die Wörter "Quelle" und "Ziel" deuten ja auch in diese Richtung. Nur, wofür bitte, steht das Kürzel "cod"?
Wenn ich mir in diesen Fragen sicher bin, will ich dann darüber nachdenken, wie aus der Eindeutigkeit von "dom(f)" und "cod(f)" folgt, dass die Morphismenmenge disjunkt sind... -- Peter Steinberg 00:17, 22. Apr 2005 (CEST)

Habe den zweiten Punkt umformuliert. dom und cod ("codomain") sind eher Notationsballast, sie werden im weiteren nicht verwendet.--Gunther 00:59, 22. Apr 2005 (CEST)

Wow, da wird ja mächtig an dem Artikel gearbeitet! - Die zweite Definition ist mir jetzt wirklich viel zugänglicher! Vielen Dank! -- Peter Steinberg

Im Augenblick bin ich nicht bei den Definitionen (wo es mir schwer fällt, weiter zu kommen), sondern wieder mal an der Einleitung. Meine Frage für heute: Lässt sich "Topos" etwas brauchbarer verlinken? - Die BKS führt mich eigentlich (außer auf "Mathematik") nur auf Informatik und Datenbanken - wo ich aber unmittelbar zu meinem Problem nichts finde. -- Peter Steinberg 02:01, 24. Apr 2005 (CEST)

Es gibt zwei Topos-Begriffe, einerseits Grothendieck-Topoi, das sind Kategorien von Garben auf einem Situs. Der andere, "fast äquivalente" Begriff ist der für die Logik relevante. Wenn ich das richtig verstehe, ist ein derartiger Topos definiert als eine kartesisch abgeschlossene Kategorie mit endlichen Limites und Unterobjektklassifizierern (oder wie das auch immer auf deutsch heißt). Zu Grothendieck-Topoi könnte ich etwas schreiben, für die allgemeinen (Logik-)Topoi fühle ich mich nicht kompetent. Es gibt allerdings dazu schon en:topos.--Gunther 02:15, 24. Apr 2005 (CEST)

zur Definition

Es müsste heißen: Je einer Klasse Mor_c(A,B) ... (vgl. z.B. engl. Artikel)

Eine Kategorie, in der alle Mor_c(A,B) Mengen sind, nennt man lokal klein.

Ist das so verbreitet, dass man das in der Hauptdefinition sagen sollte? Die mir geläufige Definition ist wie im Artikel. Z.B. ist Hom dann auch ein Bifunktor in die Kategorie der Mengen, ansonsten müsste man da immer "lokal klein" dazusagen.--Gunther 3. Jul 2005 16:49 (CEST)

Für viele kategorientheoretische Begriffe ist es völlig unerheblich ob es sich um Klassen oder Mengen handelt. Deshalb ist die Einschränkung auf Mengen nicht notwendig. Es gibt sogar Autoren, die ganz allgemein von "Kollektionen" reden. Andererseits sind sehr viele Kategorien, die in der Mathematik so auftauchen, lokal klein, was wiederum die Erweiterung auf Klassen ein bisschen obsolet macht. Das Yoneda-Lemma ist ein sehr gutes Beispiel für eine zentrale Thematik bei der es wichtig ist, dass es sich um lokal kleine Kategorien handelt. Ich denke, die Frage ist eher: was will der Autor? Wenn man fast ausschließlich mit lokal kleinen Kategorien zu tun hat, ist es zweckmäßig, Kategorien so zu definieren, weil man wie oben gesagt, sonst immer "lokal klein" dazusagen müsste, oder so etwas wie "In diesem Kapitel betrachten wir nur lokal kleine Kategorien." Allerdings finde ich es durchaus wichtig, dass auf diese Einschränkung hingewiesen wird, da man sonst den Eindruck vermittelt, es sei für Kategorien allgemein wichtig, dass es sich bei Mor_c(A,B) um Mengen handelt.

Desweiteren sollte man sich vielleicht überlegen, in wie weit man verschiedensprachige Artikel aufeinander abstimmen möchte.

Darf ich mal ganz blöd nach einem praktischen Beispiel für eine Kategorie fragen, die nicht lokal klein ist?--Gunther 17:25, 15. Jul 2005 (CEST)

Ist das hier Mathematik oder Physik? Es kommt doch nicht darauf an, ob die meisten in der Praxis vorkommenden Kategorien lokal klein sind, und wir da von Mengen reden können, sondern ob es allgemein so ist, dass jede Mor_c(A,B) eine Menge ist, oder ob es möglicherweise mal eine echte Klasse sein kann. Die meisten Zusammenfassungen, die mir in der Praxis begegnet sind, sind Mengen, siehe Diskussion:Klasse (Mengenlehre)#Einleitung, trotzdem ist die Zusammenfassung aller Mengen eine Klasse und keine Menge.--Ernsts (Diskussion) 19:23, 29. Dez. 2017 (CET)

Woher kommt die obige Definition von "lokal klein"? Schubert (Kategorien I, S. 87) definiert "lokal klein" anders, nämlich so, daß die Unterobjekte eines Objekts eine Menge bilden. Das steht nicht im Widerspruch dazu, daß die Pfeile Mengen sind. --84.59.210.221 20:08, 29. Jul 2005 (CEST)

von großen, kleinen, winzigen und anderen Kategorien

Also das mit praktischen Beispielen ist immer so 'ne Sache, aber nachdem ich die amüsante Diskussion oben gelesen habe, mag ich auch ein bisschen Senf hinzugeben.

Nach sehr kurzer recherche bin ich auf ein Beispiel einer nicht lokal kleinen Kategorie gestoßen, allerdings würde ich dieses nicht praktisch nennen: Im Kontext der Mengenlehre betrachten wir Bijektionen auf Mangen, und setzen sie auf den Rest des Universums mit der Identität fort. Das Ganze bildet eine "Gruppe" mit ganz fürchterlich vielen Elementen, und somit eine nicht lokal kleine Kategorie.

Zu einer Frage in der obigen Diskussion: lokal klein ist für "praktische" Zwecke nahezu gar keine Einschränkung, aber dennoch ein absolut gängiger Begriff. Aber bei "praktischen" Zwecken schert man sich eh nicht sonderlich um die Größen.

Naja, die algebraischen Geometer wären schon ziemlich unglücklich, wenn sie jedesmal das Universum wechseln müssten, wenn sie einen Hom-Funktor hinschreiben...--Gunther 14:14, 29. Jul 2005 (CEST)

Grothendieck hatte damit keine Probleme . -- Nogartse 23:30, 10. Aug 2005 (CEST)

Grothendiecks U-Kategorien sind genau die lokal kleinen Kategorien, wenn man sich U als Klasse aller Mengen vorstellt (was natürlich nicht erlaubt ist, weil U eine Menge ist).--Gunther 23:37, 10. Aug 2005 (CEST)

Eben. Set ist lokal klein, passt aber nicht in ein Universum. Ein U ist aber möglicherweise ein inneres Modell einer von Mac Lane vorgeschlagenen Mengenlehre mit "beschränkten" Quantoren, die zu einem Topos "gehört".

-- Nogartse 23:59, 10. Aug 2005 (CEST)

Ich verstehe leider nur noch Bahnhof. Alles, was ich sagen wollte, war: Wäre (Schemata) nicht lokal klein, wäre es nervig, weil dann Hom(–,X) nicht mehr einfach ein Funktor (Schemata) -> (Mengen) wäre, sondern man müsste anfangen, sich mit Universen herumzuschlagen. Dass das dann doch nötig wird, wenn man die Kategorie aller Funktoren (Schemata) -> (Mengen) betrachten will, steht auf einem anderen Blatt.--Gunther 00:12, 11. Aug 2005 (CEST)

"Modell" ist ein Begriff aus der Logik. Eigentlich wollte ich nur ausdrücken, dass die Beschränkung auf U-Kategorien für Universen U vermutlich deshalb keine wesentliche Einschränkung gegenüber der Betrachtung von Set-Kategorien (also lokal kleinen Kategorien) mit sich bringt, weil für Universen eine abgeschwächte Version der Axiome der Mengenlehre gelten. Wenn man alg. Geometrie nicht nur mengenth. "naiv" betreiben möchte, führt m.E. sowieso kein Weg an Universen vorbei. Eine Bemerkung zu deinem schönen Artikel über Topoi: Grothendieck-Topoi sind spezielle elementare Topoi, vielleicht sollte deshalb zuerst der allgemeine Begriff und dann als Spezialfall der Begriff des G-Topos vorgestellt werden, anstatt von "eng verwandeten Ausprägungen" zu sprechen.

-- Nogartse 18:33, 11. Aug 2005 (CEST)

Jaja, zu Topoi sollte ich eigentlich besser nichts schreiben, tu Dir keinen Zwang an und mach' einen vernünftigen Artikel daraus... Algebraische Geometrie "vor" Situs und Topoi sollte mengentheoretisch harmlos sein, also wenn es nur um die Darstellbarkeit eines einzelnen Hom-Funktors geht, denn dann konstruiert man ja in der Regel eine Bijektion $F(T)\to \mathrm {Hom} (T,X)$ für jedes $T$, und diese Bijektionen erfüllen gewisse Kompatibilitäten. Die Funktoren werden also nicht als Objekte benötigt, sondern nur als Formeln. Oder?--Gunther 19:18, 11. Aug 2005 (CEST)

Solange Aussagen über einen Funktor F in Aussagen über F(T) für beliebiges T übersetzt werden können, kann man die Rede von F in der Tat als bloße Sprechweise auffassen. Das Vorgehen scheitert erst dann, wenn etwa Funktorkategorien betrachtet werden.

Bei der Aussage über Universen dachte ich an die Picardgruppe eines geringten Raums, deren Elemente Isomorphieklassen sind. Wenn man etwas präziser nur ein Repräsentantensystem von Isomorphieklassen lokal freier Garben nimmt, dürfte die Konstruktion aber innerhalb von NBG möglich sein.

Zu dem Artikel über Topoi: Die technische Definition hinzuschreiben ist kein Problem, schwieriger ist es, auf knappen Raum darzustellen, wie man ausgehend vom G-Topos überhaupt auf der Idee verfallen kann, Topoi seien ein geeineter Ersatz für Set, das Mengenuniversum. Vielleicht darüber, dass die internen abelschen Gruppen eines G-Topos eine abelsche Kategorie bilden, also ein "Ersatz" für die abelschen Gruppen in Set sind, und so der Topos als "Ersatz" für Set aufgefasst werden kann.

-- Nogartse 21:49, 14. Aug 2005 (CEST)

Wie gesagt: Es wäre schön, wenn jemand etwas zu Topoi schreiben könnte, und ich bin dafür definitiv nicht geeignet. Mithilfe der Beschreibung durch Kozykel kann man ziemlich leicht zeigen, dass es eine Menge von Vertretern für die Isoklassen von Geradenbündeln gibt.--Gunther 14:17, 20. Aug 2005 (CEST)

Initial- und Finaltopologie

Ich habe in den letzten Tagen die Artikel Initialtopologie und Finaltopologie geschrieben und würde dort gern etwas weniger schwammig erklären, warum die Dinger so heißen. Um mich da nicht hoffnungslos zu verformulieren (die englischen Artikel en: initial topology und en: final topology gehen in dieser Beziehung - Vergiss-Operator... - schon deutlich über meine Hutschnur) bitte ich um eine Handreichung. Vielleicht könnt Ihr (Kategoriker) ja die Artikel auch irgendwo als Beispiel brauchen? --KleinKlio 03:05, 7. Okt 2006 (CEST)

P.S. In den Artikeln Initialtopologie und Finaltopologie ist der Bezug zu den Kategorien jeweils durch 3. in /*Definition*/ und /*Bemerkungen*/ hergestellt. --KleinKlio 03:10, 7. Okt 2006 (CEST)

Ohne Vergissfunktor geht es nicht, man will ja über die zugrundeliegende Menge sprechen. Wie im englischen Artikel ja auch schon fast steht, kann man die $Y_{i}$ durch ihr Produkt ersetzen, damit reduziert sich der technische Aufwand etwas, dann braucht man keine Kommakategorien mehr, es genügen die Kategorien der Objekte über $Y$ bzw. $UY$. Ist $Z$ ein Raum und $X$ eine Menge, dann sagt die universelle Eigenschaft der Initialtopologie auf $X$ (nennen wir den Raum $IX$), dass die Menge der Morphismen von $Z$ nach $IX$ über $Y$ und die Menge der Morphismen von $UZ$ nach $X$ über $UY$ übereinstimmen, d. h. dass $I$ rechtsadjungiert zu $U$ ist.

Allerdings sehe ich kein initiales Objekt.--Gunther 10:48, 7. Okt 2006 (CEST)

Danke, Gunther. Ich habe es bis jetzt trotzdem noch nicht gebacken gekriegt und sehe das Inital- und Final- (im Kategoriensinn) auch nicht klar. Schau Dir gelegentlich mal die erwähnten Stellen vor allem in Bemerkungen*/ 3. an und poste mir hier, wenn Du sie zu wolkig, nichtssagend oder falsch findest. Mit "dual" meinte ich eigentlich nur ganz naiv, man dreht halt den Abbildungsgraphen rum. Wenn beides im Kategoriesinn nicht habhaft ist (sowohl "Inital/Final" als auch "dual"), dann schmeiß ich das raus und deute da lieber an, wie man die Eigenschaft beweistechnisch anwendet. --KleinKlio 18:16, 20. Okt. 2006 (CEST) P.S.: Intuitiv würde ich das Initial/Final im Verband der Topologien suchen, (Vergiss also, was Topologie bedeutet und betrachte die Abbildungen auf den Potenzmengen...)

Könnte man nicht am Anfang des Artikels mehrere möglichst verschiedenartige Beispiele von Kategorien, Morphismen Funktoren usw. bringen, zunächst in älterer Formulierung und dann in Kategoriensprache? Die sofortige allgemeine Definition erscheint mir schwer verständlich (jedenfalls kann ich sie nicht verstehen). Wenn man eine (nicht ganz einfache) Definition nicht versteht, dann lernt man sie durch ihren abstrakten Wortlaut nicht sofort, sondern erst nach vorherigen Beipielen. Gute Definitionen sind meist durch Zusammenfassung und Verallgemeinerung wichtiger Beispiele entstanden. --Hanfried.lenz 16:00, 15. Okt. 2007 (CEST).

Nicht nur in der theoretischen Informatik...

...sondern auch in Haskell. Funktionen, Monaden, Pfeile - die wichtigsten Konstrukte. --Chricho 23:24, 17. Aug. 2009 (CEST)

Natürliche Transformation

Man sollte noch ergänzen, dass eine natürliche Transformation auchn oft funktorieller Morphismus genannt wird.--Hesmucet 15:05, 22. Jul. 2011 (CEST)

Nun das passt doch in den Abschnitt, in dem hier die natürliche Transformation definiert wird, oder? Ein eigener Artikel zum Thema natürliche Transformation wäre allerdings wünschenswert. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 15:45, 22. Jul. 2011 (CEST)

Objekte als Schnittstelle zwischen Morphismen?

Wäre es passend, Objekte als Schnittstelle zwischen Morphismen zu erklären? Es wird ja häufig darauf hingewiesen, dass für Kategorien die Morphismen und die Komposition die bedeutenderen Bestandteile sind, und nicht etwa die Objekte. Schnittstelle deswegen, weil den Objekten einfach nur die Funktion zukommt, dass sie festlegen, welche Morphismen miteinander komponiert werden dürfen -- wie bei (elektronischen) Modulen: Solange die Schnittstelle passt, kann man sie zusammenstecken und sie funktionieren (zumindest in der Theorie ^^). -- Placekeeper 10:29, 20. Okt. 2011 (CEST)

Mangelhafte Definition korrigiert

In den Definitionen in der Literatur, z.B. in The Joy of Cats (3.1 (c)), wird paarweise disjunkt gefordert. In der Definition des Artikels stand aber, wohl als „Erläuterung“, etwas vollkommen anderes! Offenbar wusste da jemand nicht, was paarweise disjunkt bedeutet. Dieser falsche Zusatz führte zu einem Widerspruch, außerdem war die Formulierung dieses Teils der Definition insgesamt unklar und missverständlich. Ich habe das korrigiert. --RPI (Diskussion) 11:02, 30. Aug. 2013 (CEST)

Was soll dieser Widerspruch denn bitte sein? Die Anmerkung ist durchaus richtig, die paarweise Disjunktheit bewirkt, dass zu jedem Morphismus Quelle und Ziel eindeutig bestimmt sind. --Chricho ¹ ² ³ 12:05, 30. Aug. 2013 (CEST)

Nein! Du solltest eigentlich wissen, was paarweise Disjunktheit bedeutet:

$\operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(A,B)\neq \operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(C,D)\Longrightarrow \operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(A,B)\cap \operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(C,D)=\emptyset ,$

was mit $\operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(\emptyset ,A)=\operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(A,\emptyset )=\operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(\emptyset ,\emptyset )=\{\emptyset \}$ für alle $A$ nicht im Widerspruch steht!

Was aber du behauptest:

$(A,B)\neq (C,D)\Longrightarrow \operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(A,B)\neq \operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(C,D),$

steht damit im Widerspruch! --RPI (Diskussion) 14:35, 30. Aug. 2013 (CEST)

In Introduction to Categories and Categorical Logic (1.1.2 Definition 3) wird die paarweise Disjunktheit noch nicht einmal gefordert, sondern nur angemerkt, dass verschiedene Morphismenmengen disjunkt seien (was auf's Gleiche herauskommt). Und nach Category Theory (1.1 Definitions) findet sich weder in der frühesten Definition (Eilenberg, Mac Lane) noch in der in den meisten Kategorietheoriebüchern stehenden Definition (Mac Lane, Buchsbaum, Grothendieck, Heller) auch nur ein Wort von paarweiser Disjunktheit – von deiner widersprüchlichen Behauptung selbstverständlich auch nichts! --RPI (Diskussion) 16:46, 30. Aug. 2013 (CEST)

Nein, so ist das nicht gemeint. Wir haben hier eine Familie von paarweise disjunkten Mengen. Bei Mac Lane und bei der Introduction to Categories and Categorical Logic sowie der Definition in der Stanford Encyclopedia of Philosophy ergibt sich die paarweise Disjunktheit der Hom-Klassen auf andere Weise aus den Definitionen. Bei Mac Lane etwa durch die eindeutige Zuordnung von Quelle und Ziel zu jedem Morphismus. --Chricho ¹ ² ³ 16:52, 30. Aug. 2013 (CEST)

Es steht aber so in den Definitionen! Wenn das anders gemeint ist, dann hat das auch so, wie es gemeint ist, in der Definition zu stehen – und zwar unmissverständlich: Wenn die $\operatorname {Mor} (A,B)$ paarweise disjunkt sein sollen für alle $(A,B)$, dann genügt es nicht, nur lapidar zu schreiben, dass $\operatorname {Mor} (A,B)$ paarweise disjunkt sein sollen. Definitionen sind dazu da, um Begriffe und Bezeichnungsweisen abzugrenzen, eindeutig festzulegen. Wenn eine Definition das nicht leistet, taugt sie nichts!

Und wenn das so gemeint ist, wie du sagt und wie in The Joy of Cats als Bemerkung (3.2 (3)) steht, dann ist die Kategorietheorie widersprüchlich und wahrhaftig allgemeiner Unsinn, den man sich sparen kann! Die dortige Definition von Funktionen als Tripel (2.1 (3)(g), Fussnote 2) sind nicht allgemeingültig, sondern ausschließlich für die technischen Zwecke der Kategorietheorie gemacht (Bemerkung 3.2 (3))! Nach dieser sehr speziellen Definition von Funktionen wäre nämlich $B^{A}=\{(A,f,B)\}$ und insbesondere $B^{\emptyset }=\{(\emptyset ,f,B)\}\neq \{\emptyset \}=\{()\},$ d.h. man hätte beliebig viele verschiedene Familien mit leerer Indexmenge, die auch noch alle verschieden vom leeren Tupel wären! --RPI (Diskussion) 20:09, 30. Aug. 2013 (CEST)

Ja, es ist so gemeint. Deine Folgerung wiederum hängt nun von der Definition einer Familie ab. --Chricho ¹ ² ³ 23:52, 30. Aug. 2013 (CEST)

Was ist denn so "schlimm" an verschiedenen Familien mit leerer Indexmenge? Das hat sogar praktische Anwendungen: Ich spiele hier z.B. gerade ein wenig mit der Programmiersprache R herum. Da gibt es lauter verschiedene "leere Vektoren" mit Indexmenge $\emptyset$, die alle fein säuberlich unterschieden werden:

> is.character(logical(0))
[1] FALSE
> is.integer(double(0))
[1] FALSE
> is.logical(logical(0))
[1] TRUE

-- HilberTraum (Diskussion) 00:14, 31. Aug. 2013 (CEST)

Fundamentalgruppe und Basispunkt

Im Artikel steht:

• Die Fundamentalgruppe ist ein Funktor $\mathbf {Top} \to \mathbf {Grp}$

Das ist, glaube ich, nicht ganz richtig, denn wenn ein topologischer Raum nicht wegzusammenhängend ist, hängt die Fundamentalgruppe im Allgemeinen von der Wahl des Basispunktes ab (das steht auch so im Artikel dazu), ohne Angabe eines Basispunktes kann man nur ein Fundamentalgruppoid betrachten. Man könnte sich natürlich auf wegzusammenhänge Räume einschränkend, aber es ist wohl üblicher und weniger restriktiv, die Fundamentalgruppe als einen Funktor von $\mathbf {Top_{*}}$, der Kategorie der punktierten topologischen Räume anzusehen. Ich kenne mich aber mit algebraischer Topologie kaum aus, deswegen zögere ich noch das zu ändern, vielleicht kann ja jemand, der sich besser auskennt das bestätigen.--Letkhfan (Diskussion) 20:41, 22. Apr. 2016 (CEST)

Ich hab mal punktiert. --Chricho ¹ ² ³ 20:51, 22. Apr. 2016 (CEST)

Unterkategorie

Hallo, die Definition, dass die Unterkategorie D von C voll sei, wenn die Morphismenmengen von D gleich denen von C sind, lasst sich klarer formulieren. Es lässt sonst die Fehlinterpretation zu, dass D genau dann eine volle Unterkategorie von C ist, wenn D gleich C. Ich schlage folgende Formulierung vor:"Eine Unterkategorie D von C heißt voll, wenn zu je zwei Objekten A,B aus Ob(D) gilt, dass Mor_D(A,B) = Mor_C(A,B)." Da ich aber kein Experte für Kategorientheorie oder auch nur Mathematik i.A. bin ändere ich das nicht selber, bzw. erst wenn mir da jemand zustimmt. Viele Grüße (nicht signierter Beitrag von 131.220.221.142 (Diskussion) 14:28, 19. Okt. 2016 (CEST))

Kofunktor != Kontravariant

Ich hab gesehen, dass der Artikel den Begriff kontravarianter Funktor und Kofunktor gleichsetzt. Kofunktor als Begriff hab ich tatsächlich schon gesehen, aber nicht als kontravarianter Funktor.

Wenn man sich kovariante Funktoren, kontravariante und Kofunktoren anschaut, sieht man evtl. wo das "Ko" herkommt und hingeht:

Alle drei haben dieselbe Operation auf Objekten:

$F:Cat(C,D)$

Aber unterscheiden sich in ihrer Aktion auf Pfeile:

Ein kovariante Funktor liftet einen Pfeil C(x,y) in die Kategorie D.

$F:Cat^{Cat}(C(x,y),D(Fx,Fy))$

Ein kontravariante Funktor liftet den Pfeil C(y,x) in die Kategorie D, und dreht in dabei um.

$F:Cat^{Cat}(C(y,x),D(Fx,Fy))$

Ein Kofunktor extrahiert einen Pfeil aus der Kategorie D zurück in die Kategorie C.

$F:Cat^{Cat}(D(Fx,Fy),C(x,y))$

Ein Kofunctor besteht also aus einem Mapping auf Objekten der Kategorie $C$ nach $D$ und einem gegen-gerichteten Mapping auf den Pfeilen von $D(Fx,Fy)$ zu $C(x,y)$. Siehe https://ncatlab.org/nlab/show/cofunctor, aber Achtung: Sie benutzt eine kompliziertere Schreibweise, wo dieser Zusammenhang mit Gleichungen mittels 'dom' und 'cod' dargestellt wird; nur im Commuting Diagram auf der Seite kann man die einfachere Darstellung erkennen.

Naja, zu viel Informationen für diesen Artikel! Ich wollte nur anmerken Kofunktor != Kontravariant. --Alfredbutterbrot (Diskussion) 18:31, 2. Sep. 2021 (CEST)

Disjunktheit der Pfeilmengen

Ich denke, es ist ein wenig allgemeiner und praktischer (und in praktischen Formalisierungen, etwa Leans mathlib, bevorzugt), wenn die Disjunktheit der Hom-Mengen (bzw. -Klassen) nicht gefordert wird und man stattdessen (was aber eigentlich auch nicht unbedingt nötig ist) die entsprechende Frage für unsinnig erklärt: Die verschiedenen Hom-Mengen haben à priori sowas von gar nichts miteinander zu tun, dass sich die Frage, ob sie gemeinsame Elemente haben, gar nicht erst stellt. (Was dann dazu führt, dass man bei der konkreten Konstruktion von Kategorien doch wieder tatsächlich nicht-disjunkte Hom-Mengen verwenden kann, und nicht mit sinnlosen Anhängseln operieren muss, die die Disjunktheit sicherstellen.) Man spricht eben niemals von "einem beliebigen Pfeil", den man dann danach befragen kann, von wo nach wo er geht, sondern immer nur von Pfeilen von A nach B.

Klar ist natürlich: mit genügend philosophischem Commitment sind beide Sichten identisch. Die Sicht, die von vornherein trennt (also so, dass man nicht mal sinnvoll von "Disjunktheit" sprechen kann!), kommt aber mit weniger Annahmen aus. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:37, 2. Mai 2022 (CEST)