Diskussion:Laplace-Transformation

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Laplace-Transformation“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

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Verschobene Heaviside Funktion

hallo. ich habe leider keine ahnung wie man hier etwas formgerecht editiert. dennoch fehlt meiner meinung nach in der korrespondenztabelle die verschobene heaviside funktion: H(t-a) transformiert e^(-s*a)/s danke m. --(nicht signierter Beitrag von 80.108.7.209 (Diskussion) 19:53, 5. Jan. 2009 (CET))

Formale Definition

Ich habe eine Frage: Wenn s = sigma + i omega mit sigma > 0 dann kann doch die Fouriertransformation mit sigma = 0 kein Sonderfall der Laplacetransformation sein, oder?

Und noch eine: Hat die Funktion exp(-st) mit der f(t) gefaltet wir eigentlich einen Namen / Bezeichnung? --(nicht signierter Beitrag von 88.65.143.218 (Diskussion) 15:37, 28. Okt. 2007 (CET))

---

obenstehender Beitrag ist nicht signiert

Die Laplacetransformierte ist zunächst für alle komplexen $s$ zu betrachten, nicht nur solche mit positivem Realteil. Allerdings muß man für eine vorgegebene Funktion $f$ das komplexe Gebiet für $s$ suchen, in dem das Laplaceintegral konvergiert.

In der Tat ist die Fouriertransformation der Sonderfall $\sigma =0$. Damit das Fourierintegral existiert, muß die vorgegebene Funktion aber deutlich restriktivere Bedingungen erfüllen als nur von exponentieller Ordnung zu sein.

Mich stört das Wort "formal". Die gegebene Definition ist die Definition der Laplacetransformation. Das Wort "formal" hat in der Mathematik eine besondere Nebenbedeutung wie z.B. im Begriff "formale Potenzreihe", bei der die Frage nach Konvergenz gar nicht gestellt wird im Unterschied zu einer "echten" Potenzreihe.

Ich habe jetzt das Wort "formal" herausgenommen und die Bedingung an $\sigma$ gestrichen. Daß $t$ zwischen 0 und $\infty$ variiert, versteht sich anhand der Integrationsgrenzen. Die Notation war an verschiedenen Stellen unsauber, da habe ich ebenfalls etwas aufgeräumt.

--Stefan Neumeier 23:44, 15. Dez. 2007 (CET)

Hallo LutzL, was genau war an der Herleitung bzw wie du sagst "Motivation per Analogie" so falsch? Ich finde diese Art der Herleitung durchaus interessant, da man als Student leider nie gesgat bekommt, woher denn diese Integraltransformation eigentlich kommt. Gruß Krabbenfisch (nicht signierter Beitrag von 192.44.85.23 (Diskussion) 14:51, 26. Jan. 2011 (CET))

Anwendungsgebiete

Ein guter, ausführlicher Artikel. Was noch fehlt ist ein Absatz über Anwendungsgebiete schreiben könnte. Prominent ist sicher die Regelungstechnik. Noch besser: Ein ausführliches Beispiel durchrechnen: PI-Regler mit einfacher Regelstrecke. Aber auch Hinweise, wie komplexere Regler berechnet werden könnten wären interessant.

HannesH 22:42, 17. Okt 2004 (CEST)

Ich habe Einwände gegen die zweimalige Erwähnung der 'theoretischen Elektrotechnik'. Die Laplace-Trafo hat ganz reale praktische Anwendungen in der Regelungstechnik - siehe zB das Buch von Föllinger (der war mal der Papst in D). Wenn ein Student den ersten Abschnitt liest, versteht er den Nutzen der Trafo nicht, obwohl er im Text leicht überlesbar steht: "Bei Existenz der Laplace-Transformation entspricht die Differentiation und Integration im reellen Originalbereich einer einfachen algebraischen Operation im Bildbereich, was die praktische Bedeutung begründet."

Ich schlage ein zusätzliches Diagramm vor, das ähnlich aussieht wie das erste:

Zeitkont. Signale -> Differentiation, Integration -> Zeitbereich

   V   ---------------------------------------     A

Frequenzbereich -> Multiplikation, Algebra -> Lösung

Der Umweg über den Frequenzbereich vereinfacht die Lösung. D. May 2003:F7:AF0D:7700:80F0:8ADB:A58C:26C2 21:58, 15. Mär. 2021 (CET)

Ich hätte da auch mal eine Frage, bezüglich der Anwendung in der Physik. Dort trifft man hin und wieder auf die sogenannte Boreltransformation, welche auf irgendeine Art mit der Laplacetransformation zusammenhängt. Genau das würde ich gerne wissen. --(nicht signierter Beitrag von 141.30.17.189 (Diskussion) 10:36, 26. Jun. 2006 (CEST))

"Da die Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich für s = jω in eine ÜbertragungsBEREICH im Fourier-Bereich übergeht, lassen sich zu guter Letzt auch graphische Darstellungen des..." Soll wohl Übertragungsfunktion heißen. --(nicht signierter Beitrag von 134.130.44.166 (Diskussion) 16:16, 16. Jul. 2007 (CEST))

Einseitig/Zweiseitig

Es fehlt auch noch die Unterscheidung von einseitiger und zweiseitiger LaPlace-Transformation. Man verwendet die einseitige in der Nachrichtentechnik für sogenannte kausale Signale (f(t)=0 für t<0), während die zweiseitige bei nichtkausalen Anwendung findet.

Die zweiseitige hat die untere Integrationsgrenze bei $-\infty$, die einseitige eigentlich bei -0, damit ein eventueller Dirac-Impuls bei 0 berücksichtigt wird. --(nicht signierter Beitrag von 80.171.3.151 (Diskussion) 06:17, 1. Feb. 2005 (CET))

Korrekt, in dem Artikel fehlt jeder Hinweis auf die zweiseitige Laplace-Transformation, die eigentlich der allgemeine Fall ist. Schade. Wenn man den Artikel schon dahingehend verändert, dann richtig. Denn bei der zweiseitigen Laplace-trafo darf man auch noch schön Konvergenzbereiche betrachten. Ich habe nicht die Motivation und Zeit mich damit auseinander zu setzen. Vielleicht gibt es ja einen eifrigen Mathematiker hier? :) --ThiloSchulz 15:07, 14. Dez. 2006 (CET)

Das mit der fehlenden Motivation, den bereits sehr ausführlichen Artikel zu überarbeiten, ist eine Sache. Andererseits vermute ich, daß viele Wikipedianer, die sich in diesem Bereich beteiligen, Ingenieure (oder wie ich angehende Ingenieure) sind, die die Laplace-Transformation zur Analyse entweder von Regelkreisen oder aber von transienten Vorgängen in elektrischen Netzwerken nutzen und meist von der zweiseitigen L-Transformation noch nie etwas gehört haben. Also bräuchten wir, wie du bereits angemerkt hast, tatsächlich einen Mathematiker :-) Verwandte Baustellen dürften die Anwendungen sein (vielleicht den Abschnitt "Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen" in "Anwendungen" umbenennen, oder besser in "Wichtige Anwendungen", um auszudrücken, daß die genannten Anwendungen keinesfalls vollständig sein können, und dort das eine oder andere Beispiel mit aufnehmen?) sowie auf die enge Verwandtschaft zwischen Laplace- und Fouriertransformation eingehen (die sich ja beispielsweise im Differentiations- oder Integrationssatz deutlich zeigt, wenn man für das allg. $s$ mal ein $j\omega$ einsetzt). Hier wäre aber zu diskutieren, ob dies in den vorliegenden Artikel oder eher in den zur Fouriertransformation oder Übertragungsfunktion gehört. --Labi 16:56, 14. Dez. 2006 (CET)

Nun - bei mir wurde die zweiseitige Laplace-transformation im Rahmen der Vorlesung "Systemtheorie I" gleichberechtigt neben der einseitigen behandelt. Ich fühle mich jedoch nicht kompetent genug das hier ausführlich zu überarbeiten. --ThiloSchulz 18:29, 16. Dez. 2006 (CET)

Einsortierung

Wie sollte man die folgenden Zeilen einsortieren? Eigentlich sind das ja Erweiterungen des Dämpfungssatzes und keine Korrespondenzen und gehören eigentlich nich in die Tabelle.

Originalfunktion f(t)	Bildfunktion F(s)
$f(t)\cdot \sin(at)\,$	${\frac {1}{2i}}\cdot (F(s+ia)-F(s-ia))$
$f(t)\cdot \cos(at)\,$	${\frac {1}{2}}\cdot (F(s+ia)+F(s-ia))$
$f(t)\cdot \sinh(at)\,$	${\frac {1}{2}}\cdot (F(s+a)-F(s-a))$
$f(t)\cdot \cosh(at)\,$	${\frac {1}{2}}\cdot (F(s+a)+F(s-a))$

Shadowdancer 23:21, 13. Jun 2005 (CEST)

Erweiterung der Korrespondenztabellen

Ich habe die Korrespondenztabellen korrigiert, erweitert und strukturiert. Zudem wurden ein Literaturverzeichnis und Web-Links angefügt. Als nächstes beabsichtige ich, die Laplace-Transformierte als analytische Funktion zu behandeln.

Endziel sollte sein, dass die deutschsprachige Version ebensogut sein soll wie die englische Version. Die Korrespondenztabellen sind bereits besser. Für Anregungen bin ich dankbar.

Walter 8.2.2006 --(falsch signierter Beitrag von 84.72.31.69 (Diskussion) 10:17, 8. Feb. 2006 (CET))

• In der Korrespondenztabelle ist unüblich, daß der Einheitssprung am Anfang mit "u" und später mit "Sigma" bezeichnet wird. Außerdem gilt der Verschiebungssatz nur für a > 0.
• Bei den "Allgemeinen Eigenschaften" müßte "n-te Potenz" und "Gedämpfte Potenzfunktion" jeweils eine Zeile nach unten verschoben werden.
• In der Zeile "Potenzreihe" fehlt der Faktor u(t-t_0), außerdem gilt die Korrespondenz nur für Re(s) > r, wobei r der Konvergenzradius ist (falls er überhaupt existiert).
• Außerdem muß es im Abschnitt "Existenz" "Re(s) > s_0" heißen, d.h. das Gleichheitszeichen dort ist falsch ! --(nicht signierter Beitrag von 139.30.30.193 (Diskussion) 14:59, 22. Jan. 2008 (CET))

Existenz

Ich finde es ja nett, dass alle so euphorisch über die Laplace-Transformation sind. Aber könnte mal jemand was über die Existenzbedingungen schreiben? Für welche Funktionen existiert das Laplace-Integral, einseitig wie zweiseitig. Welches ist der gesichterte Definitionsbereich der Laplace-Transformierten? Für welche Funktionen existiert darüberhinaus auch das Integral der Rücktransformation? Reicht der Definitionsbereich der Laplace-Transformierten dafür aus?--LutzL 10:03, 22. Feb 2006 (CET)

Ich habe den logischen Fehler der falschen Kontraposition ausgebügelt. Wenn man „aus A folgt B“ hat, dann gilt nicht zugleich „aus Nicht-A folgt Nicht-B“. Die ersten beiden Beispielfunktionen führen nicht deswegen zu divergenten Laplace-Integralen, weil eine der beiden Bedingungen verletzt worden wäre. Nein – die Laplace-Integrale sind einfach divergent. Deshalb habe ich das dritte Beispiel mit der reziproken Wurzelfunktion angefügt. Man hätte auch die sog. Delta-Funktion als ein solches Beispiel anfügen können, welches die Bedingungen beide verletzt und „trotzdem“ eine Laplace-Transformierte besitzt – aber da sind ist der Einwand, dass diese Delta-Funktion gar keine Funktion ist, völlig berechtigt.

In diesem Sinne habe ich den Absatz umformuliert.

An der Angabe der Konvergenzabszisse mit Gleichheitszeichen (also $\mathrm {Re} \ s\geq s_{0}$ statt meiner Meinung nach korrektem $\mathrm {Re} \ s>s_{0}$) habe ich erstmal nichts gedreht, weil es hierzu schon mal eine Diskussion gab, die ich noch lesen möchte.

Ich warte erstmal die Sichtung ab. Pardon für die vielen Änderungen, ich bin mit der Vorschaufunktion bei nichtgesichteten Artikeln nicht zurechtgekommen. --Stefan Neumeier 14:07, 28. Mai 2008 (CEST)

Hallo - Eine Frage dazu - wieso sollte die inverse Wurzelfunktion das 2te Kriterium verletzen? ab Re(s0)>=0 konvergiert das ganze doch von T aus ins unendliche gegen 0 - ist somit sicherlich <M2 ? - Kann sein dass ich was übersehen hab, wundert mich trotzdem. Schon mal vielen Dank Ingmar (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 89.54.49.204 (Diskussion • Beiträge) 19:40, 11. Nov. 2008)

Ja, vielen Dank für Deinen Hinweis! :-) Mir ist jetzt beim erneuten Lesen und nachfolgender Recherche aufgefallen, dass die Definition der exponentiellen Ordnung nicht einheitlich ist. Ich habe den Existenz-Absatz jetzt umgearbeitet.

Weil die Funktion $1/{\sqrt {t}}$ in der Nähe von 0 unbeschränkt wächst, ist sie nicht von exponentieller Ordnung im strengen Sinn, wohl aber im schwächeren (und durchaus ebenfalls gebräuchlichen) Sinn, wie jetzt im Artikel angegeben. Die zugehörige Konvergenzabszisse $s_{0}$ ist gleich 0. (Das Gleichheitszeichen bei $s\geq s_{0}$ kann richtig sein, muss aber nicht.) --Stefan Neumeier 00:17, 12. Nov. 2008 (CET)

Ich komme mir vor wie im Selbstgespräch. Nach zwölf Jahren… Ich habe bei $1/t$ und bei $1/{\sqrt {t}}$ dieses „stückweise stetig auf $[0,\infty [$“ rausgeschmissen. An der Stelle $0$ sind die beiden Funktionen schlicht nicht definiert. Auf dem Definitionsbereich $]0,\infty [$ sind $1/t$ und $1/{\sqrt {t}}$ aber wunderbar stetig. Die trennende Tatsache ist die Existenz des uneigentlichen Integrals $\int _{0}^{T}|f(t)|\mathrm {d} t$, weshalb es für $1/{\sqrt {t}}$ doch noch eine L-Transformierte gibt. Dass es für $1/t$ keine L-Transformierte gibt, muss gesondert am Laplace-Integral $\int _{0}^{\infty }t^{-1}e^{-st}\mathrm {d} t$ nachgewiesen werden. --Stefan Neumeier (Diskussion) 00:46, 13. Dez. 2020 (CET)

Analytizität

Den erstmalig in der Version vom 15:46, 22. Jan. 2008, erscheinenden und seitdem nicht mehr veränderten Satz

Ein Beispiel für eine Bildfunktion, bei der eine solche Fortsetzung nicht möglich ist, ist $(1/s)G(e^{-s})$, wobei G(z) eine analytische Funktion mit der natürlichen Grenze |z| = 1 ist.

halte ich für arg unkonkret und mangels Quellenangabe auch eher handgemacht.

Wie sieht ein mögliches Urbild von so einem $(1/s)G(e^{-s})$ aus?

Leider kenne ich die analytischen Feinheiten der Laplacetransformation nicht gut genug, um dieses "Beispiel" dreist herauszunehmen. Aber der Laplace-Faktor $e^{-ts}$ kann kaum Funktionen mit "natürlichen Grenzen" erzeugen, oder? --Stefan Neumeier 00:46, 25. Mai 2008 (CEST)

Nach einigen Tagen dämmert es mir endlich. Die alte Formulierung verdunkelt eine einfache Erfahrung in der Funktionentheorie: Es gibt ein größtes Analytizitätsgebiet, und es gibt Konvergenzgebiete von Integraldarstellungen. Diese Konvergenzgebiete sind im allgemeinen nur echte Teilmengen dieses Analytizitätsgebiets. Für eine holomorphe Funktion kann es mehrere Integraldarstellungen geben, die aber nur auf Teilgebieten konvergent sind; diese Teilgebiete können sich sogar überlappen (das ist auch ein typisches Phänomen bei Laurentreihen). Wenn also eine Laplacetransformierte nach links fortgesetzt wird, heißt das nur, dass die Integraldarstellung als Laplaceintegral nicht mehr gültig ist. Nichts weiter. In diesem Sinn habe ich jetzt im Artikel die Änderung vorgenommen. --Stefan Neumeier 13:31, 28. Mai 2008 (CEST)

Ergänzung: Das Phänomen, dass eine analytische Funktion nicht fortsetzbar sein kann, deren Definitionsbereich also eine „natürliche“ Begrenzung hat, wird beschrieben in http://en.wikipedia.org/wiki/Lacunary_function --Stefan Neumeier 19:25, 11. Sep. 2008 (CEST)

Grösse der Datei > 75000 KB

Mein Rechner weist, bedingt durch die zahlkreichen Formeln, für die Dateigrösse > 77000 KB aus. Sollte das nicht in geeigneter Form an den Beginn des Textes gestellt werden?--Zaungast 19:00, 6. Apr 2006 (CEST)

Fehler bei der Korrespondenz der Exponentialfunktion?

Unter der Gefahr mich hier peinlich zu machen, aber ist die Korrespondenz richtig? Ich habe grade die Sprungantwort für ein PT1 Glied nachgerechnet, und mit der wiki Korrespondenz wird 1/(s+1/T) zu e^(t/T), während der Herr Föllinger von e^-(t/T) spricht.

Nachtrag: Ich habe das entsprechende Integral einmal nachgerechnet und kam zu dem Schluss, dass die Bildfunktion 1/(s+a) lauten muss. Ich werde dies nun im Artikel korrigieren.

Michael Steinberg, 10. Juli 2006 --(falsch signierter Beitrag von 139.174.241.124 (Diskussion) 22:08, 10. Jul. 2006 (CEST))

Ursprung/Bezeichnung

Der Artikel verbindet die Transformation mit Laplace, ohne den Grund dafür zu nennen (ja, ich weiß, dass die übliche Bezeichnung ist). Meines Wissens wurde die Laplace-Trasformation erst von Oliver Heaviside im Detail ausgearbeitet. Weiß jemand Genaueres? -- ZZ 12:53, 16. Nov. 2006 (CET)

Fehler in der Korrespondenztabelle

In "Korrespondenztabelle, Allgemeine Eigenschaften" muss unter "Verschiebung im Originalbereich" f(t-a) ersetzt werden durch

f(t-a) u(t-a) mit u(t)=0 für t<0, u(t)=1 für t≥0,

Dies verifiziert man leicht am Beispiel f(t)=t, s.a. englische Seite.

Im übrigen schlage ich folgende Änderungen vor:

1. Die betrachteten Funktionen auf "kausale" einzuschränken (f(t)=0 für t<0) macht keinen Sinn für die einseitigen Laplace Transformationen, bei denen negative Argumente nie betrachtet werden. Vorschlag: "kausal" überall kontextrichtig entfernen.

2. Im Abschnitt "Wichtige Eigenschaften der Laplace-Transformation" sollte nicht der Inhalt von "Korrespondenztabelle, Allgemeine Eigenschaften" vorweggenommen werden. Vorschlag: den Integrationssatz für allgemeine n>0 in der Korrespondenztabelle aufnehmen und en Text nach "Wichtige Eigenschaften der Laplace-Transformation" bis vor "Grenzwertsätze" ersatzlos streichen.

Wenn sich kein Widerspruch erhebt, bin ich gerne bereit, die Änderungen Ende September 2007 vorzunehmen.

Peterd19 24.8.2007 --(falsch signierter Beitrag von Peterd19 (Diskussion | Beiträge) 14:17, 24. Aug. 2007 (CEST))

Stimmt das so?

"Bei vielen Anfangs- und Randwertproblemen spielt der Zeitbereich die Rolle des reellen Originalbereiches und der Frequenzbereich oder Spektralbereich diejenige des komplexen Bildbereiches."

Meiner Meinung müsste das heißen:

"Bei vielen Anfangs- und Randwertproblemen spielt der Zeitbereich die Rolle des reellen Bildbereiches und der Frequenzbereich oder Spektralbereich diejenige des komplexen Bildbereiches."

Grüße Stefan W. --(nicht signierter Beitrag von 79.218.222.24 (Diskussion) 15:54, 30. Nov. 2008 (CET))

Das läuft auf die Frage hinaus, was man unter einem Bildbereich versteht. Hier handelt es sich um die Obermenge der Definitionsmenge der laplacetransformierten Funktion. Die Originalfunktion ist auf einer Teilmenge des Originalbereichs (vulgo: Zeitbereichs) definiert. Das entspricht dem üblichen Sprachgebrauch bei Ingenieurens. Ansonsten bedeutet Bildbereich ganz was anderes: Eine Funktion bildet jedes Element ihrer Definitionsmenge auf ein Element des Bildbereichs ab. --Stefan Neumeier 22:21, 1. Dez. 2008 (CET)

Notation

die notation ist dürftig: L[f(t)] macht nicht viel sinn, eher macht es sinn zu schreiben (Lf)(t) oder L[f](t) oder (L[f])(t). die laplacetranformation ordnet funktionen funktionen zu, die man natuerlich auswerten kann. sie ordnet nicht zahlen f(t) zahlen zu. 3 notationen die sinn machen, eine die keinen sinn macht. 91.15.141.67 00:16, 4. Dez. 2009 (CET)

Wie macht man Sinn? Indem man Wirtschaftsweiser wird? (OK, lahm.) Das Problem ist ein weiterreichendes. Da hat sich die Ingnieurskultur schon Jahrzehnte vom mathematischen Mainstream getrennt und bezeichnet nun Folgen als x[n], schreibt also die Faltung als x[n]*y[n], und schreibt bei Fourier- und Laplace-Transformationen f(t) als Bezeichnung der Funktion, was mathematisch am ehesten noch als Verknüpfung von f mit der identischen Funktion auf der Zeitachse zu verstehen wäre und damit redundant ist. Andererseits kann man dann L[t*f(t)] schreiben (diesmal Multiplikation) und jeder weiss, was gemeint ist. Es müssen beide Notationen irgendwie erhalten bleiben, da auf WP keine Revolutionen in der Außenwelt angezettelt werden sollen.--LutzL 11:07, 4. Dez. 2009 (CET)

Definition

In der Folge von Termen

$F(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f\right\}(\omega )={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(\mathrm {i} \omega )=F(\mathrm {i} \omega )$

müssen zwei verschiedene Bezeichner für F() verwendet werden, denn dort steht ja

$F(\omega )=F(\mathrm {i} \omega )$

und das kann doch nicht sein. --Reseka 23:26, 25. Feb. 2010 (CET)

Die Lücke zwischen Studium und Gegenwart wird bei mir zwar immer größer, doch ich versuch mich mal an einer Erklärung.

$F(\omega )$ Darstellung als Fourier

$F(s)$ Darstellung als Laplace mit s = iω

Nach meinem Verständnis unterscheidet sich somit die Darstellung bei Fourier und dem allgemeineren Laplace. Statt F(s) mit s = iω schreibt man wohl gerne verkürzt F(iω) -- Biezl ✉ 11:15, 13. Mär. 2010 (CET)

Ich meine einfach das formale Problem, dass zwei gleiche Funktionsbezeichner (F) mit unterschiedlichen Argumenten niemals gleich sein können (z.B. besteht bei $F(x)=3^{x}$ als „3-Hoch-Funktion“ sicher die Gleichung $3^{\omega }=3^{\mathrm {i} \omega }$ nicht). Es sollte also etwa so aussehen: $F(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f\right\}(\omega )={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(\mathrm {i} \omega )=G(\mathrm {i} \omega )$. --Reseka 11:43, 13. Mär. 2010 (CET)

Wie wärs mit $F_{FT}(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f\right\}(\omega )\Leftrightarrow {\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s=\mathrm {i} \omega )=F_{LT}(s=\mathrm {i} \omega )$ oder so ähnlich. Mathematisch exakte Definitionen liegen mir nicht so. -- Biezl ✉ 12:32, 13. Mär. 2010 (CET)

Tritt in der Funktion F die Variable immer in der Paarung iω so entsteht eine mathematische Zweideutigkeit das sowohl F(ω) als auch F(iω) geschrieben werden kann und die Funktionen identisch sind. Das ganze Problem entsteht letzlich durch die Substitution s=iω

Daraus ergibt sich folgende Überarbeitung:

$F(\omega )=F_{FT}(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f\right\}(\omega )\Leftrightarrow {\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s=\mathrm {i} \omega )=F_{LT}(s=\mathrm {i} \omega )=F(\mathrm {i} \omega )$

-- Biezl ✉ 13:45, 13. Mär. 2010 (CET)

Der Tipp mit dem Index ist gut. Dann geht es aber recht einfach und ich führe es gleich mal aus. --Reseka 19:55, 13. Mär. 2010 (CET)

Dadurch das es jetzt nicht mehr $F_{(}\omega )=F(\mathrm {i} \omega )$ heißt geht zwar die Eindeutigkeit verloren, nämlich das FT und LT exakt die gleiche Formel liefern, dafür gibts aber mehr Klarheit wofür die Definition gut sein soll. Eine kleine Änderung habe ich noch vorgenommen, ansosten geht es von meiner Seite in Ordnung. -- Biezl ✉ 13:35, 14. Mär. 2010 (CET)

Was soll das? Die Laplace- und die Fourier-Transformation sind zwei unterschiedliche Integraltransformationen. Beide liefern nicht die gleichen Formeln! Die eine liefert einen komplexen und die andere einen rein imaginären Parameter. Die LT beschreibt das Verhalten eines Systems in allen Einzelheiten. Die FT gilt nur für den eingeschwungenen Zustand!--JBerger 16:57, 27. Mär. 2010 (CET)

So, wie es Biezl und Reseka ausgearbeitet haben, ist es schon in Ordnung so. Die Integraltransformationen sind nicht so verschieden (dazwischen steht noch die zweiseitige Laplace-Transformation). Welche Systeme („in allen Einzelheiten“ bzw. „eingeschwungener Zustand“) nun von LT und FT beschreiben werden, ist mathematisch irrelevant. Das Problem bei den Übersetzungsformeln, die die beiden Benutzer ausgearbeitet haben, wird eher sein, dass es nur wenige Funktionen gibt, für die die LT und die FT gleichzeitig funktionieren (Spekulation: Wenn FT existiert, dann auch die LT.) --Stefan Neumeier (Diskussion) 00:57, 13. Dez. 2020 (CET)

Laplace-Rücktransformation

Kann man in diesen Abschnitt einen Verweis zum Residuensatz einbringen? Die Rücktransformation per Partialbruchzerlegung basiert darauf.

78.51.111.92 10:19, 5. Aug. 2011 (CEST)

Könnte man diesen Aspekt in das Beispiel in diesem Abschnitt einbauen? --Christian1985 (Diskussion) 10:31, 5. Aug. 2011 (CEST)

Das aktuelle Bsp. im Artikel eignet sich nicht dafür - Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion mittels Residuen ist unter Partialbruchzerlegung beschrieben. Allgemein: Beispielsammlungen sind besser auf wikibooks als wie hier aufgehoben.--wdwd 23:42, 30. Sep. 2011 (CEST)

Zusammenhang zur Z-Transformation

Aus dem Bild geht ja schon hervor das es einen Zusammenhang gibt, es wäre schon wenn wir den auch mathematisch im Artikel herausarbeiten könnten.

Mo Volta (Diskussion) 09:37, 20. Sep. 2013 (CEST)

Allgemeinverständlichkeit mathematischer Beiträge in Wikipedia

Ich möchte einmal den dringenden Wunsch äußern, die Beiträge in Wikipedia allgemeinverständlich zu formulieren. Dies ist ja kein Fachlexikon, sondern eine allgemeine Enzyklopädie. Leider sind gerade die mathematischen Beiträge selbst für interessierte Naturwissenschaftler wie mich oft kaum drei Zeilen weit zu begreifen, da ich als Laie die formalisierte Ausdrucksweise der Mathematik nicht kenne.

Beispiel: Ein Satz wie "Sei $f\colon [0,\infty [\rightarrow \mathbb {C}$ eine Funktion. Die Laplace-Transformation von $f(t)$ ist durch

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t,\qquad s\in \mathbb {C} .$

definiert, insofern das Integral existiert. Es handelt sich um ein (uneigentliches) Parameterintegral mit dem Parameter $s$. Die Exponentialfunktion $\mathrm {e} ^{-st}$ ist der Kern der Laplace-Transformation. Die Funktion $F(s)$ wird Laplace-Transformierte der Funktion $f(t)$ genannt." aus der Definition der Laplace-Transformation ist für einen mathematisch nicht ausgebildeten Leser unmöglich zu begreifen.

Ich verstehe natürlich, dass man als Mathematiker das Bedürfnis hat, formal korrekt zu bleiben, aber im Kontext der Wikipedia wäre aus meiner Sicht weniger eindeutig mehr. (nicht signierter Beitrag von 91.35.218.29 (Diskussion) 23:28, 27. Mär. 2014 (CET))

Also die Laplace-Transformation von einer Funktion f ist eben die Funktion F mit

$F(s):=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t,\qquad s\in \mathbb {C}$.

Ich weiß leider nicht wie man das einfacher aufschreiben kann. Hast Du eine Idee? Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 23:38, 27. Mär. 2014 (CET)

Der Autor des obigen Beitrages, der sich selbst zunächst als "interessierter Naturwissenschaftler", dann aber als "Laie" beschreibt ("Naturwissenschaftlich interessierter Laie" wäre wohl richtig) und eine Folge von fünf Sätzen als "Ein Satz" bezeichnet, ist mit mathematisch präzisen Darstellungen offensichtlich überfordert. Abiturwissen und Interesse am Thema wird man für den zitierten Abschnitt wohl mindestens brauchen. Dennoch sollten wir auf eine solche Präzision keineswegs verzichten, aber vielleicht darauf achten, dass wir zusätzlich auch anschauliche Beschreibungen in Artikel wie diese aufnehmen, damit auch interessierte Leser mit geringeren Vorkenntnissen eine allgemeinverständliche Darstellung vorfinden. Bei der Laplace-Transformation kann ich mir aber derzeit nicht vorstellen, wie eine solche Beschreibung aussehen würde. --Joerg 130 (Diskussion) 09:42, 28. Mär. 2014 (CET)

Beschreibung und Versuch die Motivation dahinter im Abschnitt Allgemeines dazustellen ist nicht ausreichend? - kommt ohne angeblich dramatischer Formeldarstellung aus.--wdwd (Diskussion) 20:04, 28. Mär. 2014 (CET)

Ein Gedankenexperiment: Wollte man den Absatz "Allgemeines" in einfacher Sprache ausdrücken, wie würde dann der Satz: Die Motivation, die Fourier-Transformation weiter zur Laplace-Transformation zu entwickeln, liegt in der beschränkten Klasse von Funktionen, für welche im Rahmen der Fourier-Transformation das Fourier-Integral existiert aussehen?

Wer sich als "interessierter Laie" in die Laplace-Transformation einlesen will, den beschäftigen die Beschränkungen der FT zunächst wohl weniger. Wahrscheinlicher will sie/er z.B. erfahren, was es mit Polen und Nullstellen auf sich hat und warum sich die Elektrotechnik so intensiv damit beschäftigt. Nicht dass das in dem Absatz unerwähnt bliebe: Die Untersuchung der Bildfunktion liefert häufig wesentlich bessere physikalische Einblicke in das Verhalten linearer Systeme gegenüber Studien im Zeitbereich. Vor allem das Resonanzverhalten physikalischer Systeme kann im Frequenzbereich einfacher beschrieben werden.

DSP-Bücher wie Smith oder Lyons zeigen graphische Darstellungen, die die Lage von Polen und Nullstellen in der s-Domäne dem Verhalten im Zeitbereich gegenüberstellen. IMHO als Motivation, sich mit der mit der Mathematik hinter der Transformation zu beschäftigen, sehr viel überzeugender, als die beiden Sätze oben zitierten Sätze. Just my 2 pence, --Burkhard (Diskussion) 09:25, 13. Dez. 2020 (CET)

Hallo, ich denke man kann nicht so pauschal sagen, für welchen Aspekt sich der geneigte Laie interessiert. Ich zum Beispiel interessiere mich nicht für physikalische Fragen, sondern mich trieb die Frage an, was ist die Laplace-Transformation und wie hängt sie mit der Fourier-Transformation zusammen und dafür hatte ich damals unter anderem auch diesen Wikipedia-Artikel gelesen.--Christian1985 (Disk) 15:45, 13. Dez. 2020 (CET)

Fourier/Laplace - Transformation

Einer bis unendlich dauernden Sinuswselle kann eine exakte Frequenz zugeschrieben werden. Dauert die Schwingung aber nur eine oder wenige Perioden, dann hilft nur die Laplace-Trafo. Die Frequenz ist dann nur bis zur klassischen Unschärferelation messbar. Das hat eine ganz praktische Folge: ein kurzes (kurz im Verhältnis zur Periodenlänge) Schallsignal wird vom Ohr nur "unscharf" wahrgenommen (siehe dazu auch Webers "Tonstudiotechnik"]. Ich hatte dazu mal einen Disput mit Stereoplay. --Fachwart (Diskussion) 01:14, 6. Mär. 2022 (CET)

Die eingefügte Aussage „Während die Fourier-Transformation nur für unendlich lang anhaltende Vorgänge gültig ist, beschreibt die Laplace-Transformation auch zeitlich begrenzte Vorgänge.“ ist falsch. Gerade die Fourier-Transformation ist in ihrer Grundform (ohne Nutzung von Distributionen) nur für zeitlich „beidseitig begrenzte“ Funktionen anwendbar, da diese quadratisch integrierbar sein müssen. Eine beliebige Schwingung über wenige Perioden kann deshalb problemlos mit der Fourier-Transformation (und natürlich auch der Laplace-Transformation) beschrieben werden. Gerade die Unschärferelation und deren (oben aufgeführte) Konsequenzen werden üblicherweise auf Basis der Fourier-Transformation hergeleitet. Die Fourier-Transformierte einer stationären Sinusschwingung kann allerdings nur mit Hilfe von Distributionen dargestellt werden, die Laplace-Transformierte einer bei t=0 einsetzenden Sinusschwingung benötigt diese nicht. Die Laplace-Transformation ist ja gerade für (sogenannte kausale) Zeitfunktionen gemacht, die auf der positiven Zeitachse nicht begrenzt sind. --Reseka (Diskussion) 21:06, 8. Mär. 2022 (CET)

Unterschied zu Fourier

"Die Laplace-Transformation hat Gemeinsamkeiten mit der Fourier-Transformation,"

Die Fouriertransformation IST eine Laplacetransformation! Und zwar ein Spezialfall der zweiseitigen Laplace-Transformation. Wenn man von Fourier- und Laplacetransformation umgangssprachlich als etwas Verschiedenes spricht, dann meint man die einseitige Laplacetransformtion im Vergleich zur Fouriertransformation. Mathematisch korrekt müsste man aber immer von der einseitigen LPT sprechen.--Plumpaquatsch (Diskussion) 19:29, 29. Jan. 2023 (CET)

Dieser Artikel müsste eigentlich umbenannt werden in „Einseitige Laplacetransformation“--Plumpaquatsch (Diskussion) 21:14, 30. Jan. 2023 (CET)

Eher nicht. a) Bezeichnung Laplace-Transformation ist zu verbreitet. b) Wir nennen die Multiplikation auch nicht wiederholte Addition -- 193.47.104.35 09:58, 1. Feb. 2023 (CET)

Grenzwertsätze

Bin ich die einzige Person die bei den Grenzwertsätzen darüber stolpert, dass s gegen unendlich keine sinnvolle Aussage ist? Was ist damit gemeint? |s|? Re(s)? --138.232.68.221 10:47, 31. Mär. 2023 (CEST)

In der Funktionentheorie gibt es durchaus die Definition des Ausdrucks $\lim _{s\to \infty }f(s)=g$ mit komplexem $s$ und komplexer Funktion $f(s)$ als „Erweiterung des Grenzwertbegriffs“. $s$ sollte sich dann auf einem beliebigen Weg so ändern, dass $|s|$ unendlich wächst. --Reseka (Diskussion) 21:02, 1. Apr. 2023 (CEST)

Laplace: Rücktransformation bei bekannten Pol- und Nullstellen nach Heaviside

Die folgende Abbildung zeigt, wie man nach Heaviside eine Laplace-Transformierte, die als Quotient aus einem Zähler- und einem Nennerpolynom vorliegt, in den Zeitbereich transformiert. Ferner zeigt die Abbildung, wie man die Heaviside-Formel durch Umformung einer Berechnung z.B. in Excel zugänglich machen kann.

In einem Artikel über die Laplace-Transformation sollte m.E. die Heaviside-Formel und der Tipp, wie man sie per Programm berechnen kann, nicht fehlen.

Quellen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside

"Taschenbuch der Mathematik" von L.N. Bronstein und K.A. Semendjajew 6. Auflage Verlag Harry Deutsch Zürich und Frankfurt/M 1966 Seite 395.

Die empfohlene Umformung kann jeder vornehmen, der sich mit der Produktregel auskennt.

--Diho1943 (Diskussion) 14:06, 9. Nov. 2023 (CET)

Linearität vs. Additivität

Bei der Korrespondenztabelle ist der erste Eintrag die Linearität. Da dann aber nur die Additivität erwähnt ist, die Homogenität aber nicht, schlage ich eine Änderung vor. --Sturmklinge (Diskussion) 22:17, 19. Feb. 2024 (CET)

Das ist nicht nötig: In der Formel $a_{1}f_{1}(t)+a_{2}f_{2}(t)$ ist neben der Additivität durch das + auch die Homogenität durch die Faktoren $a_{1}$ bzw. $a_{2}$ abgedeckt. --Reseka (Diskussion) 17:54, 20. Feb. 2024 (CET)