Diskussion:Orthogonale Matrix

Nichtquadratischen, orthogonale Matrizen

Es gibt hier einen Widerspruch zur englischen Version des Artikels. Dort wird explizit gefordert, dass orthogonale Matrizen immer quadratisch sein müssen, mit allen Schlussfolgerungen, die hier nur für quadratische orthogonale Matrizen erwähnt werden. Allerdings werden dort dann die nicht-quadratischen Matrizen mit orthonormierten Spaltenvektoren als orthonormale Matrizen bezeichnet, was nicht gerade ein gängiger Begriff ist.

Kann jemand, der hier sattelfest ist, bitte kurz dazu Stellung nehmen?

Ich denke, es besteht auf jeden Fall Klärungsbedarf - evtl. mit Hinweis oder Korrektur im Artikel - denn wie ich gerade sehe, wird im Artikel Unitäre_Matrix auch explizit nur von quadratischen Matrizen gesprochen, genauso wie im Artikel Orthogonalität#Orthogonale_Matrizen.

Ausserdem wäre es dann vielleicht günstig, die Definition in diesem Artikel sowie in Orthogonalität#Orthogonale_Matrizen einheitlich zu schreiben, je nachdem was nun stimmt.

Also entweder $A^{T}\cdot A=I$ falls quadratische Form nicht vorausgesetzt oder $A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}=I$ falls vorausgesetzt. (ganz abgesehen davon, dass man sich auf eine gemeinsame Bezeichnung für die Einheitsmatrix I oder E einigen könnte ;)

Und abschließend: Müssten bei quadratischen orthogonalen Matrizen nicht sowohl Spalten- wie Zeilenvektoren orthogonal sein? (Folgt aus der Eigenschaft, dass dann auch $A^{T}$ orthogonal ist.) Das sollte man evtl. noch explizit erwähnen - zumal in Orthogonalität#Orthogonale_Matrizen trotz Beschränkung auf quadratische Matrizen nur von orthogonalen Spaltenvektoren die Rede ist. Finde ich verwirrend.

--(Tobi)134.109.148.27 04:50, 21. Mär 2006 (CET)

Ich halte diese Definition bei nichtquadratischen Matrizen für nutzlos und habe diese Aussage vorsichtig in den Artikel eingebaut. -- Wegner8 08:32, 22. Mär 2006 (CET)

Ich habe die Definition für orthogonale, nichtquadratische Matrizen entfernt, womit sie letzmalig in der Version 14906528 vom 22. März 2006, 12:02 erscheinen. Ich habe eine entsprechende Definition in keinem Lehrbuch gefunden. Sollte jemand eine Anwendung mit entsprechenden Matrizen kennen, so möge er sie aufführen. Dann kann man auch diese Definition wieder aufnehmen. Allgemein dient Wikipedia nicht der Theoriefindung. --Squizzz 16:43, 22. Mär 2006 (CET)

Sieht jetzt gut aus. Ich habe noch zwei kleine Typos korrigiert und mir erlaubt, das A^T*A=I um ein =A*A^T zu ergänzen. Außerdem wird offenbar überall sonst I anstatt E für die Einheitsmatrix verwendet (z.B. im Artikel Unitäre Matrix und eben in Einheitsmatrix), also habe ich es auch hier zu I abgeändert. Was mich noch ein wenig irritiert, ist der Satz "Es wäre treffend, eine solche Matrix als orthonormale Matrix zu bezeichnen. Doch wird diese Bezeichnung kaum verwendet." Der Gedanke ist wohl (verständlicherweise), dass dies eine treffendere Bezeichnung anstatt "orthogonale Matrix" wäre. Allerdings gibt es wohl im Englischen tatsächlich den Begriff en:Orthonormal matrix als Bezeichnung für eben jene strittigen rechteckigen Matrizen mit orthonormalen Spaltenvektoren. Hmm, ok, einem Google-Check nach ist der englische Begriff zwar durchaus geläufig - aber auf den ersten Blick scheint er manchmal als Synonym für "orthogonal matrix" und manchmal eben als Verallgemeinerung dieser auf rechteckige Matrizen verwendet zu werden. Was solls. Wollte aber mal darauf hinweisen. ;) --(Tobi)134.109.148.27 19:55, 22. Mär 2006 (CET)

Könnte man nicht doch ein Wort zu diesen rechteckigen Matrizen im Text verlieren (so wie in der englischen Version)? Es gibt eine thin Variante von SVD bei dem die linksseitige Matrix nicht quatratisch sein muss. Diese Matrix wird in mancher Literatur als (Spalten)-Orthogonal bezeichnet (http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c2-6.pdf). Ich weiß nicht, ob die Definition gebräuchlich ist, aber diese Eigenschaft wird in mancher Literatur (z.B. http://www.pnas.org/cgi/reprint/99/9/6163.pdf#search=%22Reverse%20engineering%20gene%20networks%20using%20singular%22) ausgenutzt, so dass ich denke, dass ein kleiner Hinweis wie in der englischen Version dieses Artikels nicht schaden könnte. Sba 16:36, 6. Okt 2006 (CEST)

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gebräuchlichkeit der orthonormalen Zeilen

Finde ich schon gebräuchlich, da das ja für jede orthogonale Matrix gilt. Wenn ihre Zeilen paarweise orthogonal sind und die Transponierte ortonormal ist, dann müssen ja schliesslich auch die Spalten paarweise ortonormal sein. Klingt superlogisch und wird auch in meinem buch behauptet (Multiple View Geometrie in Computer Vision, Hartley Zissermann). Definiert wird sie allerdings (richtigerweise) über die orthonormalen Spalten. Es gilt aber auch das jede Matrix die ortonormale Zeilen aufweisst eine Ortonormale Matrix ist. Ich würde den Satz einfach weglassen und vileicht sogar noch dazu schreiben dass die zeilen sowiso auch ortonormal sind. (nicht signierter Beitrag von 85.125.180.70 (Diskussion) 22:53, 21. Mai 2007‎ (CEST))

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Formulierung

Zitat: Zur Lösung eines quadratischen linearen Gleichungssystems muss also nur die Koeffizientenmatrix transponiert und anschließend eine Matrizenmultiplikation durchgeführt werden. ---

So wie dieser Satz da steht gilt er doch nicht. Er bezieht sich doch darauf, wenn die Koeffizientenmatrix orthogonal ist, oder nicht?--Dark-Immortal 15:46, 24. Jul. 2008 (CEST)

"Damit ist der Betrag der Determinante einer orthogonalen Matrix Eins, für jeden Eigenwert $\lambda \in \mathbb {C}$ von $Q$ gilt also $\left|\lambda \ \right|=1$." -- Das sieht für mich danach aus, als ob aus der Tatsache, dass die Determinante 1 ist, direkt folgen würde, dass die Beträge der Eigenwerte 1 sind. ${\begin{pmatrix}1/2&0\\0&2\end{pmatrix}}$ wäre aber ein einfaches Gegenbeispiel. Ich vermute also, dass die Folgerung noch auf den Satz vorher bezogen ist. Ich hoffe, ich habe jetzt nichts total falsch verstanden, aber ich nehme an, diese Formulierung sollte man noch anpassen. -- Lykos42 19:52, 29. Jul. 2009 (CEST)

Reelle und komplexe orthogonale Matrizen haben tatsächlich komplexe Eigenwerte der Form $e^{ix}$ mit $x\in \mathbb {R}$. In einigen traditionelleren Büchern, die sich hauptsächlich mit relleen Matrizen befassen, bevorzugte man eine relle Normalform, wo man eine "Diagonale" hat, die teilweise sogenannte 2x2-Drehkästchen enthält, die etwa in der Form${\begin{pmatrix}s\cdot {\rm {sin}}x&s\cdot {\rm {cos}}x\\{\rm {cos}}x&-{\rm {sin}}x\end{pmatrix}}$ mit $x\in \mathbb {R}$ und $s\in \{\pm 1\}$ vorliegen. Dahinter steckt die Eigenschaft der rellen Zahlen, daß jedes Polynom sich in Primpolynome faktorisieren läßt, die höchstens den Grad zwei haben. Diese Idee mit den Drehkästchen ist also grundsätzlich für beliebige reelle Matrizen verallgemeinerbar, aber hier haben wir für die einzelnen Drehkästchen die Determinante vom Betrag +1 oder -1 und noch eine Regel, wie die beiden Zeilen oder die beiden Spalten zusammenhängen, bis auf das Vorzeichen. Die Spiegelung bringt die negative Determinante, die reine Drehung ohne Spiegelung Determinante 1. Vielleicht läßt sich das für die Verbesserung des Artikels verwenden?--Bk1 168 20:37, 5. Mai 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 06:22, 17. Apr. 2014 (CEST)

Beschränkung auf reelle Zahlen

Vielleicht sollte man die Beschränkung auf reelle Matrizen ein wenig überdenken. Es ist tatsächlich so, daß die gängige Verallgemeinerung für komplexe Matrizen neben der Transponierung noch eine komplexe Konjugierung verwendet. Aber man betrachtet natürlich auch orthogonale Matrizengruppen über endlichen Körpern, ich meine, daß das schon fast eine der "Familien" endlicher einfacher Gruppen war, vielleicht wenn man noch das Zentrum rausfaktorisiert. Im englischsprachigen Schwesterprojekt sind die endlichen orthogonalen Matrizengruppen tatsächlich schon berücksichtigt: Orthogonal group over finite fields--Bk1 168 20:48, 5. Mai 2010 (CEST)

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Unverständlich

Eine orthogonale Matrix erhält sowohl die euklidische als auch die Frobeniusnorm einer Matrix, sowie ihre Kondition in den beiden Normen.

Den Satz verstehe ich nicht. Um die Norm einer Matrix erhalten zu können, muss die orthogonale Matrix erst einmal etwas mit der andern Matrix tun. Was denn? Wird sie multipliziert? Vermutlich. Aber das müsste man dazuschreiben. Außerdem wird nicht erklärt, was die euklidische Norm einer Matrix sein soll. -- Digamma 14:19, 12. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe das mal präzisiert und es ist die Multiplikation und die euklidische Norm einer Matrix ist die 2-Norm. So in Ordnung? --P. Birken 19:17, 16. Aug. 2010 (CEST)

Die Frobenius-Norm ist doch die 2-Norm, oder stehe ich auf dem Schlauch? -- Digamma 20:26, 16. Aug. 2010 (CEST)

Nein, die 2-Matrixnorm ist die Norm, die als Operatornorm von der 2-Vektornorm induziert wird, also $\|A\|_{2}=\sup _{x}{\frac {\|Ax\|_{2}}{\|x\|_{2}}}$ der Wert ergibt sich dann nach etwas rumrechnen als Spektralradius von A^TA. Die Frobeniusnorm dagegen ist keine Operatornorm, also nicht von einer Vektornorm induziert. Sie ist aber verträglich mit der euklidischen Vektornorm, es gilt nämlich $\|Ax\|_{2}\leq \|A\|_{F}\|x\|_{2}$. Das findet sich wenn ich das richtig sehe, unter Normierter_Raum#Matrixnormen. --P. Birken 20:32, 16. Aug. 2010 (CEST)

Die ist da aufgeführt, allerdings unter dem Namen "Spektralnorm". -- Digamma 22:01, 16. Aug. 2010 (CEST)

Mh, das ist ein Punkt. Ich schau nochmal im Laufe der Woche nochmal genau nach was die Numerikliteratur zur Nomenklatur sagt. --P. Birken 14:50, 21. Aug. 2010 (CEST)

So, hab mal in den einschlägigen Büchern geschaut und es wird durchgängig Spektralnorm verwendet, euklidische Norm taucht nicht auf. Wieder was gelernt :-) Habs mal korrigiert! --P. Birken 22:42, 26. Aug. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 16:33, 26. Mär. 2014 (CET)

Falsches Beispiel

Das Beispiel mit der Drehung um 16,26° ist falsch. Der Cosinus dieses Winkels ist keine rationale Zahl!! Natürlich muß an diese Stelle eine Drehung als Beispiel. Ich würde eine Drehung um 120° vorschlagen, da kann man die Einträge noch mit einfachen Wurzeln schreiben. (nicht signierter Beitrag von Bildungskatastrophe (Diskussion | Beiträge) 01:06, 17. Aug. 2010 (CEST))

Ich habe mal ein „≈“ ergänzt. Es kommt nicht auf den genauen Drehwinkel an. Wir sind nicht im Artikel Drehmatrix sondern in "Orthogonale Matrix". Die angegebene Matrix ist jedenfalls orthogonal. Und zwar genau. -- Digamma 08:34, 17. Aug. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 16:33, 26. Mär. 2014 (CET)

Orthonormal vs. Orthogonal

Ich finde ständig verschiedene Definitionen, ob eine orthogonale Matrix nun längenerhaltend ist oder nicht (aus ihrem Namen geht es ja wohl offensichtlich nicht hervor), also, ob ihre |Determinante| = 1 sein muss. Ich bin mir nicht mal sicher, ob es die Definition einer "orthonormalen" Matrix gibt oder nicht, also ob der Ausdruck überhaupt gebräuchlich ist. Wäre gut, wenn hier ein paar Quellen eingebaut werden könnten. --F GX 12:07, 20. Jul. 2011 (CEST)

Wo findet sich eine Definition, die von orthogonalen Matrizen nicht fordert, dass sie längenerhaltend sind? Die Bezeichnung ist leider etwas kontraintuitiv, aber meines Wissens wird sie einheitlich so gebraucht. -- Digamma 20:43, 20. Jul. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 16:33, 26. Mär. 2014 (CET)

Unitäre Matrix

Hallo,

im Vergleich zu diesem Artikel ist der Artikel Unitäre Matrix recht schlecht. Könnte man nicht einfach vieles aus diesem Artikel mit minimalen Änderungen in den Artikel Unitäre Matrix rüberkopieren. Ich denke insbesondere an den Abschnitt zu den Eigenschaften. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 11:00, 26. Mär. 2014 (CET)

Kann ich machen. Ich möchte aber erst diesen Artikel fertig überarbeiten. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:22, 26. Mär. 2014 (CET)

Vielen Dank für die Mühen.--Christian1985 (Disk) 08:30, 1. Apr. 2014 (CEST)

Wenn es Mühen gewesen wären, hätte ich es nicht gemacht ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:34, 1. Apr. 2014 (CEST)

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Andere Arten von orthogonalen Matrizen außer den drei Aufgeführten?

Weiß jemand, ob es noch weitere Vertreter der Klassifikation "Orthogonale Matrix" außer der Dreh-, Spiegel- und Permutationsmatrix? Falls nicht, könnte man diese Aufzählung als absolut erschöpfend dahingehend auch im Artikel kennzeichnen. (dass Kompositionen aus diesen 3 Typen ebenfalls orthogonal sind, versteht sich) -- Герман (Diskussion) 15:03, 11. Jun. 2014 (CEST)

Ja, jede orthogonale Matrix ist das Produkt aus Dreh- und Spiegelungsmatrizen. An dieser Stelle ist das allerdings noch nicht wirklich einzusehen. Letztlich folgt das aus der orthogonalen Normalform (Abschnitt Diagonalisierbarkeit). Vermutlich könnte man das im Artikel noch klarer herausstellen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:29, 11. Jun. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 09:26, 16. Okt. 2014 (CEST)

Orthogonale Tensoren

Meines Erachtens sind das nichts anderes als orthogonale Abbildungen, nur in der Sprache der Tensoren, und sollten deshalb nicht hier, sondern dort behandelt werden. --Digamma (Diskussion) 18:29, 11. Sep. 2014 (CEST)

Prima Idee und gleich umgesetzt! --Alva2004 (Diskussion) 07:27, 12. Sep. 2014 (CEST)

Ehrlich gesagt wäre ich eher für einen eigenen Artikel Orthogonaler Tensor. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:34, 7. Okt. 2014 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 09:27, 16. Okt. 2014 (CEST)

Eigenschaften, die nicht behandelt werden

Bei den Beispielen fallen mir Eigenschaften auf, die im Text nicht behandelt werden.

Die 2Norm aller Zeilen- und Spaltenvektoren ist bei reellen orthogonalen 2X2 Matrizen in den Beispielen 1. Ist das immer so? Ist diese Bedingung hinreichend (wenn auch die Determinante den Betrag 1 hat)? (Das wäre fast schon ein Sudoku.) Matrizen werden hier "normalisiert" indem man die Determinante auf den Betrag 1 bringt. Dazu wird durch den Betrag eines Spalten, resp. Zeilenvektors dividiert. Es wäre sicher angebracht im Artikel ein Wort darüber zu verlieren, warum das gelingt und in welchen Fällen. --ThvAq (Diskussion) 14:04, 14. Mär. 2020 (CET)

Letztlich scheint das auch zu bedeuten, dass in einer orthogonalen 2x2 Matrix höchstens 2 betragsmässig verschiedene Werte erscheinen können, die sich auf Diagonalen finden lassen. --ThvAq (Diskussion) 15:08, 14. Mär. 2020 (CET)

... und Wurzel aus 1/2 wäre der einzige Betrag zu einer orthogonalen 2x2 Matrix mit lauter betragsmässig gleichen Einträgen. --ThvAq (Diskussion) 15:21, 14. Mär. 2020 (CET)

Zu deinem ersten Punkt: Gleich im Anschluss an die Definition steht:

Werden die Spaltenvektoren der Matrix $Q$ mit $q_{1},\ldots ,q_{n}$ bezeichnet, dann ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, dass das Standardskalarprodukt zweier Spaltenvektoren

$q_{i}^{T}\cdot q_{j}=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{falls}}~i=j\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

ergibt, wobei $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta ist. Die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix bilden damit eine Orthonormalbasis des Koordinatenraums $\mathbb {R} ^{n}$. Dies trifft auch für die Zeilenvektoren einer orthogonalen Matrix zu, ...

Das beinhaltet, dass die Spalten- und Zeilenvektoren normiert sind, also 2-Norm 1 haben. --Digamma (Diskussion) 23:50, 14. Mär. 2020 (CET)

Orthogonale Matrizen, deren Determinante eins ist, entsprechen Drehungen.

Muß das nicht heißen „Produkten von Drehungen“? (Jedenfalls im R^n für n>3.)—Hoegiro (Diskussion) 22:45, 1. Jul. 2021 (CEST)

Die Frage ist wahrscheinlich, was man bei n > 3 unter einer Drehung versteht. --Digamma (Diskussion) 19:49, 2. Jul. 2021 (CEST)