In der Mathematik sind flache Zusammenhänge in Geometrie und Eichtheorie von Bedeutung.
Sei
G
{\displaystyle G}
Lie-Gruppe und
π
:
E
→
M
{\displaystyle \pi :E\rightarrow M}
G
{\displaystyle G}
Prinzipalbündel .
Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang
ω
∈
Ω
1
(
E
,
g
)
{\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}
Krümmungsform verschwindet:
Ω
:=
d
ω
+
1
2
[
ω
,
ω
]
=
0
{\displaystyle \textstyle \Omega :=d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}
Aus dem Satz von Ambrose-Singer folgt, dass ein
G
{\displaystyle G}
flaches Bündel der Form
E
ρ
:=
M
~
×
G
/
∼
{\displaystyle E_{\rho }:={\widetilde {M}}\times G/\sim }
mit
(
γ
x
,
g
)
∼
(
x
,
ρ
(
γ
)
g
)
{\displaystyle (\gamma x,g)\sim (x,\rho (\gamma )g)}
Darstellung
ρ
:
π
1
M
→
G
{\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to G}
ρ
{\displaystyle \rho }
Holonomie-Darstellung des flachen Zusammenhangs.
Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist
A
:=
Ω
1
(
M
,
g
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}:=\Omega ^{1}(M,{\mathfrak {g}})}
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
A
F
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}}
Eichgruppe
G
=
C
∞
(
M
,
G
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}=C^{\infty }(M,G)}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
g
ω
=
g
−
1
ω
g
+
g
−
1
d
g
{\displaystyle g\omega =g^{-1}\omega g+g^{-1}dg}
A
F
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}}
Falls das Bündel (topologisch) trivialisierbar ist, vermittelt die Holonomie-Darstellung eine Bijektion zwischen
A
F
/
G
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}}
und einer Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät
H
o
m
(
π
1
M
,
G
)
/
c
o
n
j
u
g
a
t
i
o
n
{\displaystyle Hom(\pi _{1}M,G)/conjugation}
Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist
M
=
A
F
/
G
{\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}}
Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang
A
∈
M
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}
T
A
M
=
H
1
(
M
,
d
A
)
{\displaystyle T_{A}{\mathcal {M}}=H^{1}(M,d_{A})}
mit
d
A
a
=
d
a
+
[
A
,
a
]
{\displaystyle d_{A}a=da+\left[A,a\right]}
für
A
∈
M
,
a
∈
Ω
∗
(
M
,
g
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}},a\in \Omega ^{*}(M,{\mathfrak {g}})}
Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche
Σ
{\displaystyle \Sigma }
komplexen Mannigfaltigkeit , nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über
Σ
{\displaystyle \Sigma }
[ 1] [ 2]
![{\displaystyle \textstyle \Omega :=d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730969603d23beac96341a7de11d3f43b289d5f0)
![{\displaystyle d_{A}a=da+\left[A,a\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e284dc7cca513608d23d07517b33499519a24ad9)
