x
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}
Arithmetische Folge
a
n
+
1
−
a
n
=
d
f
u
¨
r
a
l
l
e
n
{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n}
a
n
=
1
2
(
a
n
−
1
+
a
n
+
1
)
{\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+a_{n+1})}
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle \,a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
Geometrische Folge
a
n
+
1
a
n
=
q
f
u
¨
r
a
l
l
e
n
,
q
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n,q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
a
n
=
a
n
−
1
⋅
a
n
+
1
{\displaystyle a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}
a
n
=
a
1
⋅
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}
Die Folge
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
Nullfolge , wenn es zu jedem
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
n
0
{\displaystyle n_{0}}
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_{0}}
|
a
n
|
<
ϵ
{\displaystyle \,|a_{n}|<\epsilon }
Eine Folge
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
a
n
−
a
)
{\displaystyle (a_{n}-a)}
Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
Eine Folge heißt beschränkt , wenn es eine Zahl
K
>
0
{\displaystyle K>0}
|
f
n
|
<
K
{\displaystyle |f_{n}|<K}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Hat die Folge
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
lim
n
→
∞
(
a
n
±
b
n
)
=
a
±
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b}
lim
n
→
∞
(
a
n
⋅
b
n
)
=
a
⋅
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b}
lim
n
→
∞
a
n
b
n
=
a
b
b
≠
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b\not =0}
[Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog] Sei
f
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.}
Voraussetzungen:
Es gibt eine Stelle
a
{\displaystyle a}
u
(
a
)
{\displaystyle u(a)}
v
(
a
)
{\displaystyle v(a)}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
a
{\displaystyle a}
Der Grenzwert
lim
x
→
a
u
′
(
x
)
v
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}}
Dann gilt:
lim
x
→
a
u
(
x
)
v
(
x
)
=
lim
x
→
a
u
′
(
x
)
v
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}}
Die Funktion
f
:
X
→
R
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \;}
x
→
p
+
{\displaystyle x\to p+}
L
{\displaystyle L\;}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0\;}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\;}
x
{\displaystyle x\;}
X
{\displaystyle X\;}
f
{\displaystyle f\;}
0
<
x
−
p
<
δ
{\displaystyle 0<x-p<\delta \;}
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \;}
In diesem Falle nennt man den Grenzwert
lim
x
→
p
+
f
(
x
)
:=
L
{\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x):=L}
konvergent . Eine Funktion
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
stetig , wenn der Grenzwert von
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
f
(
x
0
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
0
+
h
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
0
−
h
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{0})=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)}
Epsilon-Delta-Kriterium :
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
stetig in
x
0
∈
D
{\displaystyle x_{0}\in D}
, wenn
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }
Folgenkriterium :
f
:
D
→
R
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
stetig in
x
0
∈
D
{\displaystyle x_{0}\in D}
, wenn für jede Folge
(
x
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}
x
k
∈
D
{\displaystyle x_{k}\in D}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
x
k
)
{\displaystyle f(x_{k})}
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
Zwischenwertsatz Eine im Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
f
{\displaystyle f}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
Spezialfall: Nullstellensatz
Eine in
I
{\displaystyle I}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.
Extremwertsatz Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.
Mittelwertsatz Es sei
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
x
0
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)}
f
′
(
x
0
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}}
gilt.
Eine Funktion
f
{\displaystyle f}
differenzierbar an einer Stelle
x
0
{\displaystyle x_{0}}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}
existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Tangentengleichung zu
f
{\displaystyle f}
P
(
x
0
|
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle P(x_{0}|f(x_{0}))}
y
=
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
(
x
0
)
{\displaystyle y=f'(x_{0})\!\,(x-x_{0})+f(x_{0})}
Normale (Senkrechte)
y
=
−
1
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
(
x
0
)
{\displaystyle y={\frac {-1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})+f(x_{0})}
Konstante Funktion
(
a
)
′
=
0
{\displaystyle \left(a\right)'=0}
Faktorregel
(
a
⋅
f
)
′
=
a
⋅
f
′
{\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}
Summenregel
(
g
±
h
)
′
=
g
′
±
h
′
{\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm h'}
Produktregel
(
g
⋅
h
)
′
=
g
′
⋅
h
+
g
⋅
h
′
{\displaystyle (g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'}
Quotientenregel
(
g
h
)
′
=
g
′
⋅
h
−
g
⋅
h
′
h
2
{\displaystyle \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}}
Potenzregel
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}}
Kettenregel
(
g
∘
h
)
′
(
x
)
=
(
g
(
h
(
x
)
)
)
′
=
g
′
(
h
(
x
)
)
⋅
h
′
(
x
)
{\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)}
Ableitung der Potenzfunktion
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}
f
′
(
x
)
=
(
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
)
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}}
Leibnizsche Regel Die Ableitung
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
k
)
g
(
n
−
k
)
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}
Die hier auftretenden Ausdrücke der Form
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
Binomialkoeffizienten .
Formel von Faà di Bruno Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
Betrachtet wird
f
:
x
↦
f
(
x
)
{\displaystyle f\colon x\mapsto f(x)}
Untersuchungsaspekt
Kriterium
Nullstelle
f
(
x
N
)
=
0
{\displaystyle f(x_{N})=0\,}
Extremwert
f
′
(
x
E
)
=
0
und
f
″
(
x
E
)
≠
0
{\displaystyle f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})\neq 0}
Minimum
f
′
(
x
E
)
=
0
und
f
″
(
x
E
)
>
0
{\displaystyle f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})>0}
Maximum
f
′
(
x
E
)
=
0
und
f
″
(
x
E
)
<
0
{\displaystyle f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})<0}
Wendepunkt
f
″
(
x
W
)
=
0
und
f
‴
(
x
W
)
≠
0
{\displaystyle f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0}
Sattelpunkt
f
′
(
x
W
)
=
0
und
f
″
(
x
W
)
=
0
und
f
‴
(
x
W
)
≠
0
{\displaystyle f'(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0}
Verhalten im Unendlichen
lim
x
→
∞
f
(
x
)
und
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)\quad {\text{und}}\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)}
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)\,}
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)
−
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle -f(x)=f(-x)\,}
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend
f
′
(
x
)
≥
0
bzw.
f
′
(
x
)
>
0
{\displaystyle f'(x)\geq 0\quad {\text{bzw.}}\quad f'(x)>0\,}
monoton fallend bzw. streng monoton fallend
f
′
(
x
)
≤
0
und
f
′
(
x
)
<
0
{\displaystyle f'(x)\leq 0\quad {\text{und}}\quad f'(x)<0}
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)
f
″
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f''(x)\geq 0\,}
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)
f
″
(
x
)
≤
0
{\displaystyle f''(x)\leq 0\,}
Periodizität
f
(
x
+
p
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(x+p)=f(x)\,}
Funktionsterm:
f
(
x
)
=
a
z
x
z
+
a
z
−
1
x
z
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
b
n
x
n
+
b
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
=
P
z
(
x
)
Q
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {a_{z}x^{z}+a_{z-1}x^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}}
Einteilung
Ist das Nennerpolynom
Q
n
{\displaystyle Q_{n}}
n = 0 und b0 ≠ 0) und ist
P
z
{\displaystyle P_{z}}
Nullpolynom , so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion .
Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion .
Ist n > 0 und z < n , so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion .
Ist n > 0 und z ≥ n , so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion . Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden. Definitionsbereich
D
=
R
∖
{
x
0
∣
Q
n
(
x
0
)
=
0
}
{\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid Q_{n}(x_{0})=0\rbrace }
Asymptotisches Verhalten: Für
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[falls
z
>
n
{\displaystyle z>n}
sgn
(
a
z
)
⋅
sgn
(
b
n
)
⋅
∞
{\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{z})\cdot \operatorname {sgn}(b_{n})\cdot \infty }
sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
[falls
z
=
n
{\displaystyle z=n}
a
z
b
n
{\displaystyle {\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}}
[falls
z
<
n
{\displaystyle z<n}
Symmetrie
Sind
P
z
{\displaystyle P_{z}}
Q
n
{\displaystyle Q_{n}}
f
{\displaystyle f}
Ist
P
z
{\displaystyle P_{z}}
Q
n
{\displaystyle Q_{n}}
f
{\displaystyle f}
P
z
{\displaystyle P_{z}}
Q
n
{\displaystyle Q_{n}}
Polstellen:
x
p
{\displaystyle x_{p}}
f
{\displaystyle f}
Q
n
(
x
p
)
=
0
und
P
z
(
x
p
)
≠
0.
{\displaystyle Q_{n}(x_{p})=0\quad {\text{und}}\quad P_{z}(x_{p})\neq 0.}
Asymptoten: Mittels Polynomdivision von
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
p
=
g
⋅
q
+
r
{\displaystyle p=g\cdot q+r}
g
{\displaystyle g}
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
q
{\displaystyle q}
f
=
p
q
=
g
+
r
q
{\displaystyle f={\tfrac {p}{q}}=g+{\tfrac {r}{q}}}
g
{\displaystyle g}
[
z
<
n
]
{\displaystyle [z<n]\,}
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(x)=0}
[
z
=
n
]
{\displaystyle [z=n]\,}
g
(
x
)
=
a
z
b
n
{\displaystyle g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}}
[
z
=
n
+
1
]
{\displaystyle [z=n+1]\,}
g
(
x
)
=
m
x
+
c
;
m
≠
0
{\displaystyle g(x)=mx+c\,;m\neq 0}
[
z
>
n
+
1
]
{\displaystyle [z>n+1]\,}
Näherungsfunktion
Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
falls
f
(
x
)
≥
0
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]}
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
falls
f
(
x
)
≤
0
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle -\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]}
Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x}
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0}
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
b
c
f
(
x
)
d
x
,
a
<
b
<
c
{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x,\qquad a<b<c}
∫
a
b
k
⋅
f
(
x
)
d
x
=
k
⋅
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
∫
a
b
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
Integralfunktion
F
a
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{a}(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t}
Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
F
a
(
x
)
′
=
f
(
x
)
{\displaystyle F_{a}(x)'=f(x)\,}
Stammfunktion Jede Funktion
F
{\displaystyle F}
Stammfunktion von
f
{\displaystyle f}
x des Definitionsbereichs gilt
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)\,}
Dies bezeichnet der Ausdruck
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x}
Integration
Ist F irgendeine Stammfunktion von f , so gilt
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}
Die Stammfunktionen von
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
F
(
x
)
=
x
n
+
1
n
+
1
+
c
,
n
≠
−
1
{\displaystyle F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c,\qquad n\not =-1}
Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
Produkt-, Teil- oder partielle Integration
unbestimmt
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}
∫
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
⋅
G
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
⋅
G
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm {d} x}
bestimmt
∫
a
b
f
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
d
x
=
[
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}
Integration durch Substitution
unbestimmt
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
f
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\mathrm {d} t}
bestimmt
∫
a
b
f
(
φ
(
t
)
)
⋅
φ
′
(
t
)
d
t
=
∫
φ
(
a
)
φ
(
b
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\mathrm {d} x}
Spezialfall: lineare Substitution
∫
f
(
m
x
+
n
)
d
x
=
1
m
F
(
m
x
+
n
)
+
C
,
m
≠
0
{\displaystyle \int f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C,\qquad m\neq 0}
∫
a
b
f
(
m
x
+
n
)
d
x
=
1
m
[
F
(
m
x
+
n
)
]
a
b
,
m
≠
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\lbrack F(mx+n)\rbrack _{a}^{b},\qquad m\neq 0}
Spezialfall: logarithmische Integration
∫
f
′
(
x
)
f
(
x
)
d
x
=
ln
|
f
(
x
)
|
+
C
,
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C,\qquad f(x)\neq 0}
Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]
π
⋅
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle \pi \cdot \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x}
Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]
π
⋅
∫
f
(
a
)
f
(
b
)
(
f
−
1
(
y
)
)
2
d
y
{\displaystyle \pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y}
Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden
x
=
a
{\displaystyle x=a}
x
=
b
{\displaystyle x=b}
2
π
⋅
∫
a
b
(
x
⋅
f
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle 2\pi \cdot \int _{a}^{b}(x\cdot f(x))\mathrm {d} x}
M
{\displaystyle M}
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
Erste Regel
M
=
L
⋅
2
π
R
{\displaystyle M=L\cdot 2\pi R}
Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:
bei Rotation um die x-Achse
M
=
2
π
∫
a
b
f
(
x
)
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
.
{\displaystyle M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.}
bei Rotation um die y-Achse
M
=
2
π
∫
min
(
f
(
a
)
,
f
(
b
)
)
max
(
f
(
a
)
,
f
(
b
)
)
f
−
1
(
y
)
1
+
[
(
f
−
1
(
y
)
)
′
]
2
d
y
.
{\displaystyle M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.}
Zweite Regel
V
=
A
⋅
2
π
R
.
{\displaystyle V=A\cdot 2\pi R.}
Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
x
=
b
{\displaystyle x=b}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
R
{\displaystyle R}
V
=
A
⋅
2
π
1
A
∫
A
y
d
A
=
π
⋅
∫
a
b
(
f
(
x
)
)
2
d
x
{\displaystyle V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x}
mit
y
=
f
(
x
)
2
{\displaystyle y={\tfrac {f(x)}{2}}}
d
A
=
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \mathrm {d} A=f(x)\mathrm {d} x.}
Ist f auf [a,b] stetig, so heißt
m
¯
{\displaystyle {\bar {m}}}
Mittelwert der Funktionswerte von f auf
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
m
¯
=
1
b
−
a
⋅
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\bar {m}}={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:
L
=
∫
a
b
1
+
[
f
′
(
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x}
Zerlegungssummen
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
f
(
x
1
)
+
h
f
(
x
2
)
+
⋯
+
h
f
(
x
n
)
mit
h
=
b
−
a
n
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx hf(x_{1})+hf(x_{2})+\cdots +hf(x_{n})\qquad {\text{mit }}h={\frac {b-a}{n}}}
Keplersche Fassregel
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
1
6
⋅
(
f
(
a
)
+
4
⋅
f
(
a
+
b
2
)
+
f
(
b
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {1}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}
Trapezregel
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
f
(
b
)
+
f
(
a
)
2
⋅
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {f(b)+f(a)}{2}}\cdot (b-a)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
2
n
(
f
(
x
0
)
+
2
f
(
x
1
)
+
⋯
+
2
f
(
x
n
−
1
+
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_{n})\right)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
2
⋅
b
−
a
2
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot {\frac {b-a}{2}}}
Simpsonregel
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
6
⋅
(
f
(
a
)
+
4
f
(
a
+
b
2
)
+
f
(
b
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
6
n
⋅
(
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
2
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
2
f
(
x
4
)
+
⋯
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6n}}\cdot \left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots f(x_{n})\right)}
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle [z<n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17195fdf6e90a2bb05929456876c67052e0f9ff1)
![{\displaystyle [z=n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad8ba51530b70457ae8b25e30623cc433d40943)
![{\displaystyle [z=n+1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7a9034512af49dba989a4c68ba240c9447c72a)
![{\displaystyle [z>n+1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3768bc2bc96258e13be6815eee94eb2987bd1076)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b506c88774f4ab310172759590a01006def54570)
![{\displaystyle -\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e4e09ec4cf8deb90f91d91a7eff037087637e5)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d740fbf93fba8f74edf2079e84b13caa8f896e53)
![{\displaystyle M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812752f64957bfffad25c9c5dffb7a9f4ee05c11)
![{\displaystyle M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dbd3e3c04d90026dc884f4e2fe34a9693b389b)
![{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567dddae40338fb66b3d9285c3f7eca54dc6c40c)
