Formelsammlung Tensoralgebra

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Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines

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Notation

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  • Operatoren wie   werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
    •  .
      Ausnahme:
      Die imaginäre Einheit   und die #Vektorinvariante   werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
    •  
    •  
  • Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum  .
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
      Ausnahme #Dualer axialer Vektor  
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von   ist ê1,2,3.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in   mit einem Pfeil versehen.
    • Dreiergruppen von Vektoren wie in   oder   bezeichnen eine rechtshändige Basis von  .
    • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B.   ist dual zu  .
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit   bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in   geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge  .
  • Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in   wird über diesen Index summiert:
       .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in   wird über diese summiert:
       .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie   in  , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
       .

Reservierte und besondere Symbole

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Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  #Einheitstensor Einheitstensor
  #Orthogonale Tensoren Orthogonaler Tensor
  #Eigenwerte Eigenwertproblem
  #Kronecker-Delta Kronecker-Delta
  #Permutationssymbol Permutationssymbol
  #Fundamentaltensor 3. Stufe Epsilon-Tensor
  #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix Kreuzprodukt
  #Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt
  #Vektorinvariante Vektorinvariante
  Imaginäre Einheit

Zeichen für Operatoren

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Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt Skalarprodukt
  #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren Kreuzprodukt
  #Skalarprodukt von Tensoren Frobenius-Skalarprodukt
  #Dyadisches Produkt Dyadisches Produkt
  #Skalarkreuzprodukt von Tensoren
  #Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
  #Äußeres Tensorprodukt Äußeres Tensorprodukt
  #Betrag Frobeniusnorm
  Betrag der Zahl x oder des Vektors  , #Determinante des Tensors A Determinante

Tensorfunktionen

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Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  #Spur Spur (Mathematik), Hauptinvariante
  #Zweite Hauptinvariante Hauptinvariante
  #Determinante Determinante, Hauptinvariante
sym #Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
skw, skew #Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
adj #Adjunkte Adjunkte
cof #Kofaktor Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev #Deviator Deviator, Spannungsdeviator
sph #Kugelanteil Kugeltensor
Formelzeichen Abschnitt in der Formelsammlung Wikipedia-Artikel
  #Tensorkomponenten
  #Transposition Transponierte Matrix
  Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
  #Inverse Inverse Matrix
  #Transposition der #Inverse
  #Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix
  #Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix
  #Deviator Deviator, Spannungsdeviator
  #Kugelanteil Kugeltensor
  Tensor n-ter Stufe
  #Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt
Formelzeichen Elemente
  Reelle Zahlen
  Komplexe Zahlen
  Vektoren
  Tensoren zweiter Stufe
  #Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta

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Für Summen gilt dann z. B.

 
 

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol

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Kreuzprodukt:

 
 

Spaltenvektoren und Matrizen

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Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

 

Drei Vektoren   können spaltenweise in einer 3×3-Matrix   arrangiert werden:

 

Die Determinante der Matrix

 

ist

Also gewährleistet  , dass die Vektoren   eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

 

worin   die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich  .

Vektoralgebra

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Basis und Duale Basis

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Basisvektoren  

Duale Basisvektoren  

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

 
 
 

mit dem Spatprodukt

 

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen  :

 

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren   zu sich selbst dual:

 

Berechnung von Vektorkomponenten

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Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren

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Wechsel der Basis bei Vektoren

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Wechsel von

Basis   mit dualer Basis  

nach

Basis   mit dualer Basis  :

 

Matrizengleichung:

 

Dyadisches Produkt

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Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung  

 

Multiplikation mit einem Skalar:

 

Distributivität:

 
 
 

Skalarprodukt:

 

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

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Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird   zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von   dargestellt werden:

  mit Komponenten  .

Die Dyaden   und   bilden Basissysteme von  .

Operatoren

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Transposition

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Abbildung  

 
 
 
 
 
 

Vektortransformation

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Abbildung   oder  

Dyaden:

 
 
 
 

Allgemeine Tensoren:

 
 
 
 

Symbolisch:

 
 

Tensorprodukt

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Abbildung  

 
 
 
 
 

Skalarprodukt von Tensoren

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Abbildung  

Definition über die #Spur:

 
 

Eigenschaften:

 
 
 
 
 

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor

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Abbildung   oder  

Dyaden:

 
 
 
 
 
 

Allgemeine Tensoren:

 
 
 
 
 
 

Symmetrische Tensoren:  

Insbesondere Kugeltensoren:  

Schiefsymmetrische Tensoren:  

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

 

Mehrfach:

 
 

Meistens ist aber:

 
 

Kreuzprodukt von Tensoren

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Abbildung  

 

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe  .

 
 

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

 

Mit #Einheitstensor:

 

Mehrfachprodukte:

 
 

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

 

Skalarkreuzprodukt von Tensoren

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Abbildung  

 
 

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

 

Allgemein:

 
 
 

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

 

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

 

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren

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Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung  

 
 
 

Äußeres Tensorprodukt

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Abbildung  

 
 

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

 

Grundlegende Eigenschaften:

 
 
 

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

 
 

#Hauptinvarianten:

 
 
 

Weitere Eigenschaften:

 
 
 
 
 

Aber meistens:

 

.

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren

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Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

 

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

 
 

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

 

Tensorkomponenten

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Wechsel der Basis

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Die Komponenten   ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor  :

 

Allgemein:

 

Basiswechsel mit  :

 

Bilinearform und Identität von Tensoren

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Definition für einen Tensor A:

 

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

 

Kofaktor

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Definition

 

#Invarianten:

Wenn λ1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ1λ2, λ2λ3, λ3λ1.

#Hauptinvarianten:

 
 
 

#Betrag:

 

Weitere Eigenschaften:

 
 
 
 
 
 
 

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

 
 

Kreuzprodukt und Kofaktor:

 

Adjunkte

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Definition:

 

#Hauptinvarianten:

 
 
 

#Betrag:

 

Weitere Eigenschaften:

 
 
 
 
 
 
 
 

Definition

 

Die Inverse ist nur definiert, wenn  

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor  :

 
 

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also  , dann gilt:

 

Satz von Cayley-Hamilton:

 

worin   die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

 

Inverse eines Tensorprodukts:

 
 

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

 

Invertierungsformeln:

 
 
 

Eigensystem

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Eigenwertproblem

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mit Eigenwert   und Eigenvektor  . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte

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Charakteristische Gleichung

 

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

 
 
 

Eigenvektoren

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Eigenvektoren   sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung:  

Tensor  :

 

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem  :

 

Geometrische Vielfachheit 1:

 
 

Geometrische Vielfachheit 2:

 

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} zyklisch vertauscht werden.

Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten   der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren   des (komplexen) Tensors   gilt mit dessen Eigenwerten   und den Eigenwerten   der Hauptuntermatrizen von  :[1]

 

Eigensystem symmetrischer Tensoren

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Sei   symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten   und Eigenvektoren   des symmetrischen Tensors A:

 

bzw.

 

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren

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Sei   schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von A ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante   ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren

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Sei   und   eine Basis und   die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte

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Der Tensor

 

hat die Eigenwerte

 

und Eigenvektoren

 

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren

 

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

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Der Tensor

 

hat die Eigenwerte

 

und Eigenvektoren

 

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren

 

Invarianten

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Eigenwerte des Tensors

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Die #Eigenwerte   sind Invarianten.

Hauptinvarianten

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#Spur: I1(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante: I2(A)
#Determinante: I3(A), det(A), │A

Charakteristisches Polynom

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Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:

 

Spezialfall:

 

Satz von Cayley-Hamilton:

 

Abbildung  

 

mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.

 

Linearität:  

 
 
 
 

In Komponenten:

 
 
 

Zweite Hauptinvariante

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Abbildung  

 

mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.

 
 
 
 
 
 

In Komponenten:

 
 
 

Determinante

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Abbildung  

 

mit #Eigenwerten λ1,2,3 von A.

 

Determinantenproduktsatz:

 
 
 

Multiplikation mit Skalaren  :

 
 

In Komponenten:

 
 
 

Zusammenhang mit den anderen Hauptinvarianten:

 

Zusammenhang mit dem Spatprodukt:

 

Zusammenhang mit #Äußeres Tensorprodukt:

 
 

Zusammenhang mit dem #Kofaktor:

 

Abbildung  

 
 
 
 
 

Falls  :

 

Falls  :

 

Dualer axialer Vektor

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Für #Schiefsymmetrische Tensoren   gibt es einen dualen axialen Vektor   für den gilt:

  für alle  

Der duale axiale Vektor ist proportional zur #Vektorinvariante:

 

Berechnung mit #Fundamentaltensor 3. Stufe  , #Kreuzprodukt von Tensoren oder #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

 
 
 

#Symmetrische Tensoren und #Kugeltensoren haben keinen dualen axialen Vektor:  

Ein #Symmetrischer Anteil oder #Kugelanteil trägt nichts zum dualen axialen Vektor bei:  

Seien x eine beliebige Zahl,   beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Vektorinvariante

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Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

 

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante:  

Die Eigenschaften des dualen axialen Vektors sind hierher übertragbar. Seien x eine beliebige Zahl,   beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Spezielle Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

#Invarianten:

 
 
 
 

#Eigensystem:

 

Dyadentripel

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Gegeben ein beliebiger Tensor 2. Stufe A. Dieser kann immer als Summe dreier Dyaden dargestellt werden:

 

mit Spaltenvektoren  , Zeilenvektoren   und  .

#Hauptinvarianten ( ):

 
 
 

#Betrag:

 

#Dualer axialer Vektor:

 

#Vektorinvariante:

 

#Kofaktor:

 

#Inverse:

 

Einheitstensor

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mit  

Allgemein:

 

#Transposition und #Inverse:

 

Kofaktor:  

Vektortransformation

 

Tensorprodukt

 

Skalarprodukt

 

#Invarianten:

 
 
 
 

#Eigenwerte:

 

Alle Vektoren sind #Eigenvektoren.

Unimodulare Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

Determinantenproduktsatz:

 

Orthogonale Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

#Invarianten (  ist der Drehwinkel):

 
 
 
 

Eigentlich orthogonaler Tensor  , entspricht einer Drehung.

Uneigentlich orthogonaler Tensor  , entspricht einer Drehspiegelung.

Spatprodukt:

 

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

 
 

Gegeben ein Einheitsvektor   und Drehwinkel α. Dann sind die folgenden Tensoren R zueinander gleich, orthogonal und drehen um die Achse   mit Winkel α:

Rodrigues-Formel:

 
 

mit  .

Euler-Rodrigues-Formel:   also  :

 

Formulierung mit Drehvektor:

Drehvektor Orthogonaler Tensor
   →   
   →   
   →   
   →   
   →   
   →   
   →   

Darin ist  

Beispiel für Drehspiegelung:

 

Drehung von Vektorraumbasis   mit Drehachse  :

 
 

mit #Dualer axialer Vektor   und #Vektorinvariante  .

Gegeben Orthonormalbasis  , Drehwinkel   und   ist Drehachse:

 
 : Drehung,  : Drehspiegelung um  

Wenn   ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

#Eigensystem:

 

Drehwinkel:

 

Drehachse   ist #Vektorinvariante:

 
 
 

Positiv definite Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

 
 
 

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A sind größer als null.

Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0:

A·A und A·A

Symmetrische Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

#Betrag:

 

Bei Symmetrischen Tensoren verschwinden ihr #Dualer axialer Vektor und ihre #Vektorinvariante:

 

Bilinearform:

 

Alle #Eigenwerte λ1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren   sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Hauptachsentransformation:

 

Bezüglich der Standardbasis:

 

#Invarianten:

 
 
 
 

Symmetrische und positiv definite Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

Mit den #Eigenwerten  , den #Eigenvektoren   und einer reellwertigen Funktion   eines reellen Argumentes   definiert man über das #Eigensystem symmetrischer Tensoren

 

den Funktionswert des Tensors:

 

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n3 alternative Tensoren.

Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:

Rechter Strecktensor

 

Linker Strecktensor

 

Henky-Dehnung

 

Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe

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Die Tensoren

 

bilden eine Basis im Vektorraum   der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in Voigt'scher Notation dargestellt werden:

 

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss

 

berücksichtigt werden. Siehe auch #Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe.

Schiefsymmetrische Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

#Invarianten:

 
 
 
 

In kartesischen Koordinaten:

 

#Invarianten:

 
 
 
 

Bilinearform:

 
 

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

#Dualer axialer Vektor:

 

mit #Vektorinvariante  . Der zum Eigenwert null gehörende #Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor   denn

 
 
 

Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

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Kreuzproduktmatrix   eines Vektors  :

 

Kofaktor:  

#Invarianten:

 
 
 
 
 

#Eigensystem:

 

Eigenschaften:

 
 
 
 
 
 

Potenzen von  

 
 

Deviatorische Tensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

#Hauptinvarianten:

 
 
 

Bezüglich der Standardbasis:

 
 
 
 
 

Kugeltensoren

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Definition

 

Kofaktor:  

 
 
 
 

Dekompositionen eines Tensors

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Gegeben ein beliebiger Tensor  

Symmetrischer Anteil

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Schiefsymmetrischer Anteil

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Deviator

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Kugelanteil

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Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors

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Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:

 

Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:

 

Polarzerlegung

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Für jeden Tensor F mit #Determinante ≠ 0 gibt es #Orthogonale Tensoren Q und #Symmetrische und positiv definite Tensoren U in eindeutiger Weise, sodass

F = Q·U

Im Fall des Deformationsgradienten ist U der rechte Strecktensor, siehe #Symmetrische und positiv definite Tensoren. Der Anteil U berechnet sich wie dort angegeben aus

 

Dann ist U·U = F·F und

 

Bei det(F)=0 ergeben sich U sowie Q aus der Singulärwertzerlegung von F und U ist nur noch symmetrisch positiv semidefinit.

Projektionen

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Punkt auf Gerade

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Gegeben sei die Gerade durch den Punkt   mit Richtungsvektor   und ein beliebiger anderer Punkt  .

Dann ist

 

Der Punkt   ist die senkrechte Projektion von   auf die Gerade. Der Tensor G extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von   und 1-G den Anteil senkrecht dazu.

Punkt oder Gerade auf Ebene

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Gegeben sei die Ebene durch den Punkt   und zwei die Ebene aufspannende Vektoren   und   sowie ein beliebiger anderer Punkt  . Dann verschwindet die Normale

 

nicht. Dann ist

 

Der Punkt   ist die senkrechte Projektion von   auf die Ebene.[2] Der Tensor P extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und 1-P den Anteil senkrecht dazu.

Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte   und   verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors  .

Falls   und   folgt:

 
 
 
 

Fundamentaltensor 3. Stufe

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Definition:

 

Kreuzprodukt von Vektoren:

 
 

#Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

 

#Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

 

#Kreuzprodukt von Tensoren:

 
 

#Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

 
 

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix:

 

Tensoren vierter Stufe

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Tensoren zweiter Stufe sind ebenfalls Elemente eines Vektorraums   wie im Abschnitt #Tensoren als Elemente eines Vektorraumes dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z. B.:

 

mit Komponenten   und die Tensoren   sowie   bilden eine Basis von  .

Standardbasis in  :

 

Tensortransformation:

 

Tensorprodukt:

 

Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:

 

Transpositionen

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Transposition:

 
 

Spezielle Transposition   vertauscht  -tes mit  -tem Basissystem.

Beispielsweise:

 
 
 

Symmetrische Tensoren vierter Stufe

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Definition:  

Dann gilt:  

Einheitstensor vierter Stufe

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Spezielle Tensoren vierter Stufe

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Für beliebige Tensoren zweiter Stufe A gilt:

 
 
 
 
 

Diese fünf Tensoren sind sämtlich symmetrisch.

Mit beliebigen Tensoren zweiter Stufe A, B und G gilt:

 
 
 
 

In dem in diesen Formeln im Tensor vierter Stufe B durch B und die Transpositionen   durch   ersetzt werden, entstehen die Ergebnisse mit transponiertem G:

 
 
 
 

Invertierungsformel

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Hooke'sches Gesetz

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Mit den Spannungen   und den Dehnungen   im Hooke'schen Gesetz gilt:

 

mit den Lamé-Konstanten   und  . Dieser Elastizitätstensor ist symmetrisch.

Invertierungsformel mit  ,   und  :

 

mit der Querdehnzahl   und dem Elastizitätsmodul  .

Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe

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Aus der Basis   des Vektorraums   der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe, siehe #Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, kann eine Basis des Vektorraums   der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus   können als Voigt'scher Notation in eine 6×6-Matrix einsortiert werden:

 

Die Vektoren und Matrizen in Voigt'scher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Matrizenprodukt in Voigt'scher Notation muss eine Diagonalmatrix

 

mit den Einträgen   zwischengeschaltet werden:

 
 
 

Darin steht [x] für die Voigt-Notation von x.

Einzelnachweise

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  1. P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (englisch).
  2. J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. Bei: arxiv.org. S. 4f.

Literatur

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  • Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
  • Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8.
  • Wolfgang Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Höhere Mechanik. Vektor- und Tensorrechnung, Eine Einführung. 2015 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 3. September 2020]).
  • Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.