Fox-Wright-Funktion
In der Mathematik ist die Fox-Wright-Funktion, auch bekannt als Fox-Wright-Psi-Funktion (nicht zu verwechseln mit der Wright-Omega-Funktion), eine Verallgemeinerung der Verallgemeinerten Hypergeometrischen Funktion pFq(z) basierend auf den Ideen von Charles Fox (1928) und E. Maitland Wright (1935).
Ideen von Fox und Wright
Bearbeiten- Mit dem Verändern der Normalisierung wird daraus pFq(z) ür A1...p = B1...q = 1.
The Fox-Wright-Funktion ist ein Spezialfall der Fox H-Funktion (Srivastava & Manocha 1984, p. 50): Ein Spezialfall der Fox-Wright-Funktion schein ein Teil der Normalisierung der Konstante der modifizierten halb-normalen Distribution[1] mit den pdf auf gegeben durch , wobei die Fox-Wright-Psi-Funktion ist.
Wright-Funktion
BearbeitenDie ganze Funkt wird oft als die Wright-Funktion bezeichnet.[2] Es ist ein Spezialfall der der Fox-Wright-Funktion. Ihre Reihenentwicklung lautet Diese Funktion wir oft in der Fraktionellen Infinitesimalrechnung und Stabilen Zähl-Distribution genutzt.
Drei Eigenschaften die aus Theorem 1, von Wright (1933)[3] und 18.1(30-32) von Erdelyi, Bateman Project, Vol 3 (1955) (p.212), besagen Gleichung (a) ist eine Rekursionsformel. (b) und (c) liefern zwei Wege, um eine Ableitung zu reduzieren. Und (c) kann aus (a) und (b) abgeleitet werden.
Einen Spezialfall von (a) ist gegeben für . Replizieren mit , so erhalten wir Zwei Notationen, und , werden intensiv in der Literatur genutzt:
M-Wright-Funktion
Bearbeitenist als M-Wright-Funktion bekannt und tritt als Wahrscheinlichkeitsdichte in eine relevante Klasse von selbstähnlichen stochastischen Prozessen ein, die allgemein als zeitfraktionale Diffusionsprozesse bezeichnet werden.
Seine Eigenschaften wurden in Mainardi et al (2010) untersucht.[4]
Durch die Stable-Count-Verteilung. ist mit dem Stabilitätsindex von Lévy verbunden .
Ihre asymptotische Form von für ist gegeben durch wobei
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- C. Fox: The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series. In: Proc. London Math. Soc. 27. Jahrgang, Nr. 1, 1928, S. 389–400, doi:10.1112/plms/s2-27.1.389.
- E. M. Wright: The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function. In: J. London Math. Soc. 10. Jahrgang, Nr. 4, 1935, S. 286–293, doi:10.1112/jlms/s1-10.40.286.
- E. M. Wright: The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function. In: Proc. London Math. Soc. 46. Jahrgang, Nr. 2, 1940, S. 389–408, doi:10.1112/plms/s2-46.1.389.
- E. M. Wright: Erratum to "The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function". In: J. London Math. Soc. 27. Jahrgang, 1952, S. 254, doi:10.1112/plms/s2-54.3.254-s.
- H. M. Srivastava, H. L. Manocha: A treatise on generating functions. 1984, ISBN 0-470-20010-3 (englisch).
- A. R. Miller, I.S. Moskowitz: Reduction of a Class of Fox–Wright Psi Functions for Certain Rational Parameters. In: Computers Math. Applic. 30. Jahrgang, Nr. 11, 1995, S. 73–82, doi:10.1016/0898-1221(95)00165-u.
- Jingchao Sun, Maiying Kong, Subhadip Pal: The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme. In: Communications in Statistics - Theory and Methods. 52. Jahrgang, Nr. 5, 22. Juni 2021, ISSN 0361-0926, S. 1591–1613, doi:10.1080/03610926.2021.1934700 (tandfonline.com).
Weblinks
BearbeitenEinzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Jingchao Sun, Maiying Kong, Subhadip Pal: The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme. In: Communications in Statistics - Theory and Methods. 52. Jahrgang, Nr. 5, 22. Juni 2021, ISSN 0361-0926, S. 1591–1613, doi:10.1080/03610926.2021.1934700 (tandfonline.com).
- ↑ Eric W. Weisstein: Wright Function. In: From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Abgerufen am 3. Dezember 2022.
- ↑ E. Wright: On the Coefficients of Power Series Having Exponential Singularities. In: Journal of the London Mathematical Society (= Second Series). 1933, S. 71–79, doi:10.1112/JLMS/S1-8.1.71 (englisch, semanticscholar.org).
- ↑ Francesco Mainardi, Antonio Mura, Gianni Pagnini: The M-Wright function in time-fractional diffusion processes: a tutorial survey. In: -. 17. April 2010, arxiv:1004.2950.