Gromoll-Meyer-Sphäre

In der Mathematik ist die Gromoll-Meyer-Sphäre ein Beispiel einer exotischen Sphäre, d. h. einer nicht zur Standard-Differentialstruktur äquivalenten Differentialstruktur auf einer Sphäre. Sie erzeugt die Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären und war das erste Beispiel einer exotischen Sphäre mit einer Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung.

Geschichte

Eine exotische Sphäre ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Einheitssphäre im $\mathbb {R} ^{n}$ ist. John Milnor fand 1956 die ersten Beispiele exotischer Sphären, die er als $S^{3}$-Bündel über $S^{4}$ konstruierte. Er bewies, dass es auf der 7-dimensionalen Sphäre 28 verschiedene Differentialstrukturen gibt und dass die Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären modulo h-Kobordismus isomorph zu

$\mathbb {Z} /28\mathbb {Z}$

ist. Die $S^{3}$-Bündel über $S^{4}$ (sogenannte Milnor-Sphären) entsprechen dabei den 21 Elementen

$\left\{0,1,\ldots ,10,18,\ldots ,28\right\}$,

wobei das Bündel mit Euler-Zahl $1$ und Pontrjagin-Zahl $8k+2$ dem Element

$k\mod 28$

in $\mathbb {Z} /28\mathbb {Z}$ entspricht. Egbert Brieskorn zeigte 1966, dass sich die Milnor-Sphären auch als Verschlingungen von Singularitäten von Hyperflächen im $\mathbb {C} ^{5}$ beschreiben lassen, nämlich als Schnitt der Hyperfläche

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0$

mit einer kleinen Sphäre um den Nullpunkt. Gromoll und Meyer gaben 1974 eine Konstruktion des Erzeugers (d. h. des $k=1$ entsprechenden Elements der Gruppe der Homotopiesphären) als Biquotient der Gruppe

$Sp(2)$

und fanden damit insbesondere das erste Beispiel einer Riemannschen Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung auf einer exotischen Sphäre. Grove und Ziller bewiesen 2000, dass auch die anderen Milnor-Sphären eine Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung haben. Duran, Püttmann und Rigas gaben 2010 eine aus der Gromoll-Meyer-Konstruktion abgeleitete Konstruktion aller exotischen 7-Sphären.

Konstruktion

Es sei $Sp(2)$ die kompakte symplektische Gruppe, d. h. die Gruppe der das kanonische Skalarprodukt auf dem 2-dimensionalen quaternionischen Vektorraum $\mathbb {H} ^{2}$ erhaltenden $\mathbb {H}$-linearen Abbildungen, und es sei $Sp(1)\simeq S^{3}$ die Gruppe der Quaternionen von Norm $1$. Dann wirkt $Sp(1)\times Sp(1)$ auf $Sp(2)$ durch

$(q_{1},q_{2})\circ Q:={\begin{pmatrix}q_{1}&0\\0&q_{1}\end{pmatrix}}Q{\begin{pmatrix}{\overline {q}}_{2}&0\\0&1\end{pmatrix}}$.

Diese Wirkung ist frei mit Quotient $S^{4}$. Insbesondere wirkt die Diagonale

$\Delta =\left\{(q,q)\in Sp(1)\times Sp(1)\right\}$

frei auf $Sp(2)$ und Gromoll und Meyer bewiesen, dass der Quotient $\Delta \backslash Sp(2)$ diffeomorph zur Milnor-Sphäre mit $k=1$ ist.

Aus der O’Neill-Formel folgt, dass $\Delta \backslash Sp(2)$ nichtnegative Schnittkrümmung und positive Ricci-Krümmung hat. Man kann die Metrik so deformieren, dass die Schnittkrümmung fast überall positiv wird.

Literatur

• John Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. In: Ann. of Math. 2. Band 64, 1956, S. 399–405. (pdf)
• Detlef Gromoll, Wolfgang Meyer: An exotic sphere with nonnegative sectional curvature. In: Ann. of Math. 2. Band 100, 1974, S. 401–406. (pdf)
• Karsten Grove, Wolfgang Ziller: Curvature and symmetry of Milnor spheres. In: Ann. of Math. 2. Band 152, no. 1, 2000, S. 331–367. (pdf)
• Carlos Durán, Thomas Püttmann, A. Rigas: An infinite family of Gromoll-Meyer spheres. In: Arch. Math. (Basel). Band 95, no. 3, 2010, S. 269–282. (pdf)

Weblinks

• M. Joachim, D. J. Wraith: Exotic spheres and curvature. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 45, no. 4, 2008, S. 595–616. (pdf)
• Exotic Spheres (Manifold Atlas)