Die Idelegruppe und die Idelklassengruppe stellen in der Mathematik zentrale Objekte der Klassenkörpertheorie dar.

In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde in 1936 und 1941 von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley veröffentlichten Arbeiten unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt.

Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von (Langlands-Programm). Genauer operiert die absolute Galoisgruppe auf der algebraischen De-Rham-Kohomologie von Shimura-Varietäten mit Werten in der Idelgruppe. Diese Darstellungen sind Hodge-Tate mit Gewichten (1,2).

Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Notation: Im Folgenden ist ein globaler Körper. Das bedeutet, dass entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass eine endliche Körpererweiterung ist. Im Folgenden bezeichnet eine Stelle von Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als oder notiert werden und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als notiert werden. Im Folgenden bezeichne die endliche Menge der unendlichen Stellen von Wir schreiben für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält. Sei die Vervollständigung von nach einer Stelle Bei einer diskreten Bewertung bezeichne mit den zugehörigen diskreten Bewertungsring von und mit das maximale Ideal von Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante Die Bewertung wird dem Betrag zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:

Umgekehrt wird dem Betrag die Bewertung zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: für alle Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.

Definition der Idelegruppe eines globalen Körpers K

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Topologie auf der Einheitengruppe eines topologischen Rings

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Sei   ein topologischer Ring. Dann bildet   mit der Teilraumtopologie im Allgemeinen keine topologische Gruppe. Wir installieren deshalb auf   die folgende, gröbere Topologie, was bedeutet, dass weniger Mengen offen sind: Betrachte die Inklusionsabbildung

 

Wir installieren auf   die Topologie, die von der entsprechenden Teilraumtopologie auf   erzeugt wird. Das heißt, wir installieren auf   die Teilraumtopologie der Produkttopologie. Eine Menge   ist per Definition genau dann offen in der neuen Topologie, wenn   in der Teilraumtopologie offen ist. Mit dieser Topologie wird   eine topologische Gruppe und die Inklusionsabbildung   wird stetig. Es ist die gröbste Topologie, welche aus der Topologie von   entsteht und die   zu einer topologischen Gruppe macht.

Beweis: Man nehme den topologischen Ring   Dann ist die Inversionsabbildung nicht stetig. Dies kann an folgendem Beispiel eingesehen werden: Betrachte die Folge

 

Diese Folge konvergiert in der  -Topologie gegen das Einsadel, denn für eine gegebene Umgebung   der   können wir annehmen, dass   die folgende Form hat:

 

Weiterhin gilt, dass   für alle   und daher   für alle   Es folgt, dass   für alle   groß genug. Das Bild dieser Folge unter der Inversionsabbildung konvergiert nicht mehr in der Teilraumtopologie von   (vgl. das Lemma über den Unterschied zwischen der restringierten und unrestringierten Produkttopologie). In dieser neuen Topologie konvergiert weder die Folge noch ihre Inverse. Dieses Beispiel zeigt insbesondere, dass die beiden Topologien verschieden sind. Wir installieren also auf den Einheiten die oben beschriebene Topologie. Mit dieser Topologie wird   eine topologische Gruppe. Es bleibt die Stetigkeit der Inversionsabbildung zu zeigen. Sei   eine beliebige, offen Menge in der oben definierten Topologie, d. h.   ist offen. Zu zeigen ist, dass   offen ist, d. h. zu zeigen ist, dass   offen ist. Dies ist nach Voraussetzung der Fall.

Die Idelegruppe eines globalen Körpers K

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Sei   ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings ist die sogenannte Idelegruppe von  , welche im Folgenden mit

 

bezeichnet wird. Definiere weiterhin

 

Wir installieren auf der Idelegruppe die Topologie, die wir im Abschnitt zuvor definiert haben. Dadurch wird die Idelegruppe eine topologische Gruppe.

Die Idelegruppe als restringiertes Produkt

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Sei   ein globaler Körper. Es gilt:

 

wobei die Gleichheit im Sinne topologischer Ringe zu verstehen ist. Das restringierte Produkt trägt die restringierte Produkttopologie, welche erzeugt wird von den restringierten offenen Rechtecken. Diese haben die folgende Gestalt:

 

wobei   eine endliche Teilmenge aller Stellen ist und   beliebige, offene Mengen sind.

Beweis: Wir führen den Beweis für   Die anderen beiden Aussagen folgen analog. Zuerst überlegen wir uns die Mengengleichheit. Betrachte dazu folgende Gleichungskette:

 

Beim Übergang von Zeile 2 zu 3 ist zu beachten, dass sowohl   als auch   in   sein sollen, also   für fast alle   und   für fast alle   also insgesamt   für fast alle   Als Nächstes überlegen wir uns, dass die beiden Topologien übereinstimmen. Offensichtlich ist jedes restringierte offene Rechteck auch offen in der Topologie der Idelegruppe. Andererseits sei   offen in der Topologie der Idelegruppe, d. h.   ist offen. Es folgt, dass für jedes   ein restringiertes offenes Rechteck existiert, welches   enthält und in   liegt. Also ist   als Vereinigung restringierter offener Rechtecke darstellbar, also offen in der restringierten Produkttopologie.

Weitere Definitionen

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Unter Verwendung der bisherigen Notation, definiere

 

und   als die entsprechende Einheitengruppe. Es gilt dann

 

Die Idelegruppe I(L) bei einer Körpererweiterung L/K

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Alternative Beschreibung der Idelegruppe im Fall L/K

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Sei   ein globaler Körper und sei   eine endliche Körpererweiterung. Dann ist   wieder ein globaler Körper und die Idelegruppe   ist definiert. Definiere

 

Beachte, dass beide Produkte endlich sind. Es gilt dann:

 

Einbettung der Idelegruppe von K in die Idelegruppe von L

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Es gibt eine kanonische Einbettung der Idelegruppe von   in die Idelegruppe von   Dem Idel   wird das Idel   mit   für   zugeordnet. Deshalb kann   als Untergruppe von   aufgefasst werden. Ein Element   liegt also genau dann in der Untergruppe   wenn seine Komponenten   erfüllen für   und wenn weiterhin gilt, dass   für   und   für die gleiche Stelle   von  

Die Idelegruppe einer K-Algebra A

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Sei   eine endlichdimensionale  -Algebra, wobei   ein globaler Körper ist. Betrachte die Einheitengruppe von   Die Abbildung   ist im Allgemeinen nicht stetig in der Teilraumtopologie. Somit bilden die Einheiten keine topologische Gruppe. Wir statten   deswegen mit der Topologie aus, die wir in dem Abschnitt über die Einheiten auf topologischen Ringen definiert haben. Mit dieser Topologie versehen, nennen wir die Einheitengruppe von   die Idelegruppe   von   Die Elemente der Gruppe werden die Idele von   genannt.

Sei   eine endliche Teilmenge von   welche eine  -Basis von   enthält. Sei wieder   der  -Modul, der von   in   erzeugt wird. Wie bereits bei der Betrachtung des Adelerings, existiert eine endliche Teilmenge   der Stellenmenge, welche   enthält, so dass für alle   gilt, dass   ein kompakter Unterring von   ist und die Einheiten enthält. Weiterhin gilt für jedes   dass   eine offene Teilmenge von   ist und dass die Abbildung   stetig auf   ist. Es folgt, dass die Abbildung   die Gruppe   homöomorph auf ihr Bild unter dieser Abbildung in   abbildet. Für   sind   diejenigen Elemente von   welche unter der obigen Abbildung auf   abgebildet werden. Somit ist   eine offene und kompakte Untergruppe von   Der Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 71ff.

Diese Betrachtungen lassen sich insbesondere auf die Endomorphismenalgebren von Vektorräumen anwenden. Sei   ein endlichdimensionaler  -Vektorraum, wobei   ein globaler Körper ist. Sei   Dies ist eine  -Algebra. Es gilt:   wobei eine lineare Abbildung genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante von   verschieden ist. Wenn   ein topologischer Körper ist, dann ist   eine offene Teilmenge von   denn   Da   abgeschlossen ist und   stetig ist, ist   offen. Mit   kann man dann wie oben die Idele von   betrachten.

Alternative Charakterisierung der Idelegruppe: Sei die Situation wie zuvor: Sei   eine endliche Teilmenge der Stellenmenge welche   enthält. Dann ist

 

eine offene Untergruppe von   wobei   als Vereinigung der   geschrieben werden kann, und wobei   alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft. Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 72.

Im Spezialfall   erhält man Folgendes. Für jede endliche Teilmenge der Stellenmenge von   welche   enthält, ist die Gruppe

 

eine offene Untergruppe von   Es gilt weiterhin, dass   die Vereinigung aller dieser Untergruppen   ist.

Spur und Norm

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Die Spur kann nicht ohne weiteres auf die Idelegruppe übertragen werden, die Norm allerdings schon. Sei dazu   Dann ist   also haben wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus

 

Da   und somit invertierbar ist, so ist auch   invertierbar, da   Es gilt also, dass   Folglich liefert die Einschränkung der Normabbildung die folgende Abbildung:

 

Diese ist stetig und erfüllt ebenfalls die Eigenschaften der Norm aus dem Lemma über die Eigenschaften von Spur und Norm.

Eigenschaften

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K* ist eine diskrete Untergruppe von I(K)

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Die Einheiten des globalen Körpers   können diagonal in die Idelegruppe eingebettet werden:

 

Da   für alle   gilt, folgt die Wohldefiniertheit und Injektivität dieser Abbildung wie beim entsprechenden Satz über den Adelering.

Weiterhin gilt, dass die Untergruppe   diskret (und damit insbesondere abgeschlossen) in   ist. Diese Tatsache folgt analog wie bei dem entsprechenden Satz über den Adelering.

Insbesondere ist   eine diskrete Untergruppe von  

Die Idelklassengruppe

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In der algebraischen Zahlentheorie wird für einen gegebenen Zahlkörper   die Idealklassengruppe betrachtet. Analog dazu definiert man den Begriff der Idelklassengruppe wie folgt.

In Analogie zum Begriff des Hauptideals werden die Elemente von   in   als Hauptidele von   bezeichnet. Der Quotient, also die Faktorgruppe   wird die Idelklassengruppe von   genannt. Diese steht in Zusammenhang mit der Idealklassengruppe (vgl. den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe) und ist Hauptgegenstand bei den Betrachtungen in der Klassenkörpertheorie.

Da   abgeschlossen in   ist, folgt, dass   eine lokalkompakte, hausdorffsche, topologische Gruppe ist.

Für eine endliche Körpererweiterung   globaler Körper induziert die Einbettung   eine injektive Abbildung auf den Idelklassengruppen:

 

Die Wohldefiniertheit der Abbildung folgt, da die Injektion   offensichtlich   auf eine Untergruppe von   abbildet. Die Injektivität wird in Neukirch (2007), S. 388 gezeigt.

Die Idelegruppe ist eine lokalkompakte, topologische Gruppe

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Für jede Teilmenge   der Stellenmenge von   ist   mit der Topologie der Idelegruppe eine lokalkompakte topologische Gruppe. Mit der Teilraumtopologie wird   im Allgemeinen keine topologische Gruppe, da die Inversionsabbildung nicht stetig ist.

Dieser Satz folgt aus der Lokalkompaktheit des Adelerings, der Konstruktion der Ideletopologie und der Darstellung der Idelegruppe als restringiertes Produkt.

Da die Idelegruppe mit der Multiplikation eine lokalkompakte Gruppe bilden, existiert ein Haarmaß   auf dieser Gruppe. Dieses kann so normalisiert werden, dass   Dies ist die Normalisierung an den endlichen Stellen. Hierbei bezeichnet   die Menge der endlichen Idele, also die Einheitengruppe der Menge der endlichen Adele. An den unendlichen wird das multiplikative Lebesgue-Maß   genommen.

Eine Einsumgebungsbasis der Idelegruppe ist durch eine Einsumgebungsbasis von   gegeben. Alternativ bilden auch alle Mengen der folgenden Form eine Einsumgebungsbasis:

 

wobei   eine Umgebung der   in   ist und   für fast alle  

Betrag auf I(K) und die Menge der 1-Idele von K

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Sei   ein globaler Körper. Auf der Idelegruppe installieren wir einen Betrag wie folgt: Für ein gegebenes Idel   definiere:

 

Da   ist dieses Produkt endlich und damit wohldefiniert. Die Definition des Betrages lässt sich auf den Adelering ausdehnen, wenn wir unendliche Produkte zulassen, wobei die Konvergenz in   betrachtet wird. Diese Produkte werden alle   so dass der ausgedehnte Betrag auf   verschwindet. Im Folgenden bezeichne   die Betragsabbildung auf   bzw.  

Es gilt nun, dass die Betragsabbildung ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, d. h. die Abbildung   ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Dies kann durch folgende Rechnung eingesehen werden: Seien   und   Dann gilt:

 

wobei beim Übergang von Zeile 3 in Zeile 4 benutzt wurde, dass alle auftretenden Produkte endlich sind. Die Stetigkeit der Abbildung folgt, indem man Folgenstetigkeit zeigt und ausnutzt, dass die Betragsabbildung auf   stetig ist. Dies kann man mit der umgekehrten Dreiecksungleichung einsehen. Aufgrund der restringierten Produkttopologie werden effektiv nur endlich viele Stellen betrachtet und die Behauptung folgt.

Wir definieren nun die Menge der  -Idele   wie folgt:

 

Die Gruppe der  -Idele sind eine Untergruppe von   In der Literatur wird auch   für die Gruppe der  -Idele verwendet. Im Folgenden wird die Notation   verwendet.

Es gilt nun, dass   eine abgeschlossene Teilmenge von   ist, denn  

Die  -Topologie auf   stimmt mit der Teilraumtopologie von   auf   überein. Diese Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 69f.

Allgemeine Produktformel

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Sei   ein globaler Körper. Für den Homomorphismus   von   nach   gilt:   Mit anderen Worten bedeutet das, dass   für alle   Die Produktformel impliziert, dass   ist. Dieser Satz ist in der Literatur als „Artin's product formula“ (Artins Produktformel) bekannt.

Es gibt viele Beweise dieser Aussage. Dieser hier orientiert sich an Neukirch (2007), S. 195. Er findet sich auch in Cassels (1967), S. 61. Die wesentliche Idee des Beweises ist es, die allgemeine Produktformel im algebraischen Zahlkörperfall auf den Spezialfall   zurückzuführen. Der Funktionenkörperfall geht ähnlich.

Sei   beliebig. Zu zeigen ist:

 

Es ist   und damit   für jedes   für welches das zugehörige Primideal   nicht in der Primidealzerlegung des Hauptideals   auftritt. Dies ist für fast alle   so. Es gilt nun:

 

wobei beim Übergang von Zeile 1 in Zeile 2, die allgemein gültige Gleichung   benutzt wurde, wobei   eine Stelle von   und   Stelle von   ist, welche über   liegt. Beim Übergang von Zeile 2 in Zeile 3 wurde eine Eigenschaft der Norm ausgenutzt. Man beachte, dass die Norm in   ist. Wir können daher ohne Einschränkung annehmen, dass   ist. Dann hat   eine eindeutige Primzerlegung:

 

wobei   fast immer   Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Beträge auf   bis auf Äquivalenz genau die  -Beträge und   sind. Es folgt, dass

 

Es gibt noch weitere Beweise der Produktformel, welche in der Literatur zu finden sind.

Charakterisierung von A(End(E))*

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Sei   ein  -dimensionaler  -Vektorraum. Setze   Sei weiterhin   Dann sind folgende Aussagen äquivalent

  •  
  •  
  •   ist ein Automorphismus von  

Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass   Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen   und   Homomorphismen sind von   nach   bzw.   Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 73f.

Insbesondere erhält man für eine endlichdimensionale  -Algebra   und   die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

  •  
  •  
  •   ist ein Automorphismus der additiven Gruppe  

Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass   Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen   und   Homomorphismen sind von   nach   bzw.   Mit diesem Satz ist ein alternativer Beweis der Produktformel möglich, vgl. Weil (1967), S. 75.

K* ist eine diskrete und kokompakte Untergruppe in der Menge der 1-Idele

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Bevor wir den Satz formulieren können, brauchen wir folgende Hilfsaussage:

Lemma: Sei   ein globaler Körper. Es gibt eine Konstante   welche nur vom globalen Körper   abhängt, so dass für alle   mit der Eigenschaft   ein   existiert, sodass   für alle  

Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 66 Lemma.

Korollar: Sei   ein globaler Körper, sei   eine Stelle von   und sei   gegeben für alle Stellen   so dass   für fast alle   gilt. Dann gibt es ein   sodass   für alle  

Beweis: Nach dem Lemma zuvor existiert eine Konstante   die nur von unserem (fixierten) globalen Körper abhängt. Wir bezeichnen mit   uniformisierende Elemente der entsprechenden Ganzzahlringe   Definiere nun das Adel   via   mit   minimal so, dass   für alle   Dann ist   fast immer. Definiere   mit   so dass   Dies geht, weil   für fast alle   ist. Nach dem obigen Lemma existiert ein   sodass   für alle   gilt.

Nun zum eigentlichen Satz:

Satz: Sei   ein globaler Körper.   ist diskret in   und der Quotient   ist kompakt.

Beweis: Die Diskretheit von   in   impliziert die Diskretheit von   in  

Es bleibt zu zeigen, dass   kompakt ist. Dieser Beweis findet sich unter anderem in Weil (1967), S. 76 oder in Cassels (1967), S. 70. Im Folgenden wird Cassels (1967) Beweisidee wiedergegeben: Es reicht die Existenz einer kompakten Menge   zu zeigen, sodass die natürliche Projektion   surjektiv ist, da die natürliche Projektion eine stetige Abbildung ist. Sei nun   mit der Eigenschaft   gegeben, wobei   die Konstante des eingangs formulierten Lemmas ist. Definiere

 

Offensichtlich ist   kompakt. Sei nun   in   gegeben. Wir zeigen, dass ein   existiert, sodass   Per Definition der Menge der  -Idele gilt, dass

 

und deshalb

 

Es folgt, dass

 

Wegen des vorigen Lemmas existiert ein   so dass   für alle   Es folgt, dass   Damit folgt die Behauptung.

Einige Isomorphismen im Fall K=Q

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Im Fall   gibt es einen kanonischen Isomorphismus   Weiterhin gilt, dass   ein Vertretersystem von   ist. Das bedeutet, dass   Ferner werden durch den Betrag folgende Isomorphismen topologischer Gruppen induziert:

 

Es folgt, dass   ein Vertretersystem von   ist. Dieser Satz ist Teil des Satzes 5.3.3 auf Seite 128 in Deitmar (2010).

Beweis: Definiere die Abbildung   via   Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da   für alle   und somit   gilt. Die Abbildung ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Für die Injektivität sei   Daher existiert ein   so dass   Durch einen Vergleich an der unendlichen Stelle, folgt   und daher   Für die Surjektivität sei   gegeben. Da der Betrag dieses Elements   ist, ist   Es folgt, dass   Also ist   und damit ist die Abbildung surjektiv, denn   für alle   vgl. die Darstellung von   Die weiteren Isomorphismen sind gegeben durch:   via   und   via   Der Nachweis, dass es sich hierbei um Isomorphismen handelt, sei dem Leser zur Übung überlassen.

Zusammenhang zwischen Idealklassengruppe und Idelklassengruppe

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Für einen algebraischen Zahlkörper   definieren wir   Es gilt nun:

 

Hierbei bezeichnet   die Gruppe der gebrochenen Ideale in   mit dem Produkt zweier Ideale als Gruppenverknüpfung. Dadurch wird   eine Gruppe, die sogenannte Idealgruppe von   Wir schreiben   für die Idealklassengruppe des Dedekindrings   also ist   der Ganzzahlring des algebraischen Zahlkörpers   Per Definition gilt nun  

Beweis: Im Folgenden benutzen wir die Tatsachen, dass es für einen algebraischer Zahlkörper   eine eineindeutige Beziehung zwischen den endlichen Stellen von   und dem Primidealen ungleich Null von   gibt:

Sei   eine endliche Stelle von   und sei   ein Repräsentant der Äquivalenzklasse   Definiere

 

Dann ist   ein Primideal in   Die Abbildung   ist eine Bijektion zwischen der Menge aller endlichen Stellen von   und der Menge der Primideale   von   Die Umkehrabbildung ist gegeben durch:

Einen gegebenen Primideal   wird die Bewertung   zugeordnet, welche gegeben ist durch

 

Nun zum eigentlichen Beweis. Die folgende Abbildung ist wohldefiniert:

 

wobei   das zur Stelle   zugehörige Primideal ist. Die Abbildung   ist offensichtlich ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es gilt, dass   Der erste Isomorphismus aus dem Satz folgt nun mit dem Homomorphiesatz.

Jetzt dividieren wir auf beiden Seiten   heraus. Dies ist möglich, da

 

für alle   Man beachte den Missbrauch der Notation: Auf der linken Seite in Zeile 1 steht die Klammer für die zuvor definierte Abbildung. Anschließend wird die Einbettung von   in   benutzt. In Zeile 2 wird die Definition der Abbildungsvorschrift angewendet und schließlich benutzen wir in Zeile 3 die Tatsache, dass der Ganzzahlring   ein Dedekindring ist und somit jedes Ideal, insbesondere das Hauptideal   in Primfaktoren zerlegt werden kann. Die Abbildung   ist also ein  -äquivarianter Gruppenhomomorphismus. Folglich induziert uns die obige Abbildung einen surjektiven Homomorphismus

 

Wir zeigen nun, dass   gilt. Sei   Dann ist   da   für alle   Sei nun umgekehrt   mit   Dann folgt   Es gibt also einen Vertreter für den gilt:   Folglich gilt   und deswegen   Der zweite Isomorphismus aus dem Satz ist damit bewiesen.

Um den letzten Isomorphismus aus dem Satz zu zeigen, bemerken wir, dass die Abbdilung   einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

 

induziert. Es gilt, dass   Damit ist der Satz gezeigt.

Bemerkung: Die Abbildung   ist stetig im folgenden Sinne: Auf   haben wir die gewöhnliche Ideletopologie. Auf   installieren wir die diskrete Topologie. Die Stetigkeit folgt, wenn wir zeigen können, dass   offen ist für jedes   Nun ist   offen, wobei   sodass  

Zerlegung von I(K) und C(K)

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Sei   ein globaler Körper. Falls   Charakteristik   hat, dann ist   Falls   Charakteristik   hat, dann ist   wobei   eine abgeschlossene Untergruppe von   ist, welche isomorph zu   ist. Weiterhin gilt:

 

wobei   falls   oder   falls   ist.

Beweis: Sei die Charakteristik von   gleich   Für jede Stelle   von   gilt, dass die Charakteristik von   gleich   ist, so dass   für jedes   in der Untergruppe von   ist, welche von   erzeugt wird. Folglich gilt dies auch für jedes   wobei   Das ist gleichbedeutend damit, dass das Bild des Homomorphismus   eine diskrete Untergruppe von   ist, welche in   liegt. Da diese nicht trivial, d. h.   ist, ist sie von einem   erzeugt, für ein   Wähle   so dass   Dann ist   das direkte Produkt von   und der Untergruppe, welche von   erzeugt wird, diskret ist und damit isomorph   ist.

Ist die Charakteristik von   gleich   so schreibe   für das Idel   für das   an den endlichen Stellen von   gilt und   an allen unendlichen Stellen von   gilt. Hierbei ist   Dann ist die Abbildung   ein Isomorphismus von   in eine abgeschlossene Untergruppe   von   und es gilt   Der Isomorphismus ist gegeben durch Multiplikation:

 

Offensichtlich ist   ein Homomorphismus. Zur Injektivität: Sei   Da   für   folgt   für   Weiterhin existiert ein   so dass   für   Daraus folgt, dass   für   Da zusätzlich noch   ist, folgt, dass   ist, wobei   die Anzahl der unendlichen Stellen von   ist. Es folgt   und damit die Injektivität. Für die Surjektivität sei   gegeben. Wir definieren   und weiterhin definieren wir   für   und   für   Definiere   Es gilt nun, dass   Es folgt die Surjektivität.

Die 2. Aussage folgt mit einer ähnlichen Betrachtung.

Charakterisierung der Idelegruppe

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Sei   ein algebraischer Zahlkörper. Es existiert eine endliche Stellenmenge   von   sodass gilt:

 

Beweis: Wir benutzen als Voraussetzung, dass die Klassenzahl endlich ist. Seien   Ideale, die die   Klassen in   repräsentieren. Diese setzen sich aus endlich vielen Primidealen   zusammen. Sei nun   eine endliche Primstellenmenge, die zu dieser Primideale gehörende Stellen und die unendlichen Stellen enthält. Es ist zu beachten, dass wir die eineindeutige Identifikation zwischen Primstellen und Stellen des Körpers ausnutzen. Dann erfüllt   die Behauptung aus dem Satz. Um dies einzusehen, benutzen wir den folgenden Isomorphismus

 

welcher durch die Abbildung   induziert wird.

Wir zeigen im Folgenden die Behauptung des Satzes nur an den endlichen Stellen, da sie an den unendlichen Stellen klar ist.

Die Inklusion „ “ ist klar.

Sei nun   so gehört das zugeordnete Ideal   einer Klasse   an, d. h.   mit einem Hauptideal   Das Idel   wird unter unserer Abbildung   auf das Ideal   abgebildet. Das bedeutet, dass   Da die in   auftretenden Primideale in   liegen, ist   für alle   (hier werden wieder Primideale und Stellen miteinander identifiziert), d. h.   für alle   Daher ist   also  

In Weil (1967), S. 77 wird obiges Theorem für einen beliebigen globalen Körper   gezeigt.

Literatur

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