In der Mathematik stellen die Lie’schen Sätze, benannt nach Sophus Lie, den Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren her.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

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Eine Lie-Gruppe   ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra   kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe   identifiziert werden:

 .

Lie’sche Sätze

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Satz (Dritter Lie’scher Satz, auch Satz von Lie-Cartan): Für jede endlich-dimensionale reelle Lie-Algebra   gibt es eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe  , deren Lie-Algebra   ist.

Satz (Zweiter Lie’scher Satz): Seien   Lie-Gruppen mit Lie-Algebren   und sei   einfach zusammenhängend. Dann gibt es zu jedem Lie-Algebren-Homomorphismus   einen eindeutigen Lie-Gruppen-Homomorphismus   mit  .

Historisches und Anmerkungen

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Der erste Lie’sche Satz ist eine rein lokale Aussage, die die Wirkung einer Lie-Gruppe auf sich selbst in lokalen Koordinaten als Lösung gewisser Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten beschreibt.[1]

Auch der dritte Lie’sche Satz war von Sophus Lie ursprünglich nur in einer lokalen Version bewiesen worden, die hier zitierte globale Form geht auf Élie Cartan zurück.

Im dritten Lie’schen Satz erhält man neben der einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe   noch weitere (nicht einfach zusammenhängende) Lie-Gruppen mit Lie-Algebra   als Faktorgruppe  , wobei   eine diskrete Untergruppe des Zentrums von   ist.

Literatur

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  • Gilmore, Robert: Lie groups, Lie algebras, and some of their applications. Reprint of the 1974 original. Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Malabar, FL, 1994. ISBN 0-89464-759-8
  • Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann: Structure and geometry of Lie groups. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York, 2012. ISBN 978-0-387-84793-1
  • W. Van Est: Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie. Actions Hamiltoniennes des groupes, troisième théorème de Lie, travail en cours, Volume 27, Hermann Paris, 1987.
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Einzelnachweise

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  1. Lie theorem Encyclopedia of Mathematics