Riesz-Potential

Das Riesz-Potential in der Mathematik ist ein Potential, das nach dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz benannt ist. In gewisser Weise definiert das Riesz-Potential ein Inverses für eine Potenz des Laplace-Operators im euklidischen Raum und verallgemeinert somit die Riemann-Liouville-Integrale einer Variable auf mehrere Variablen.

Definition

Sei $0<\alpha <n$, dann ist das Riesz-Potential $I_{\alpha }f$ einer lokal integrierbaren Funktion $f$ auf $\mathbf {R} ^{n}$ die Funktion, die definiert ist durch

$\left(I_{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\mathrm {d} y$,

wobei die Konstante gegeben ist durch

$c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}$.

Dieses singuläre Integral ist wohldefiniert, sofern $f$ ausreichend schnell gegen unendlich abfällt, speziell wenn $f\in L^{p}\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ mit $1\leq p<n/\alpha$. Tatsächlich gilt für jedes $1\leq p$, dass die Zerfallsrate von $f$ und die von $I_{\alpha }f$ in folgender Weise miteinander verbunden sind

$\left\|I_{\alpha }f\right\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}}$,

wobei $Rf=DI_{1}f$ die vektorwertige Riesz-Transformation ist. Allgemeiner sind die Operatoren $I_{\alpha }$ für komplexe $\alpha$ wohldefiniert, sofern $0<\operatorname {Re} (\alpha )<n$.

Das Riesz-Potential kann auch allgemeiner im schwachen Sinne als die Faltung

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }$

definiert werden, wobei $K_{\alpha }$ die lokal integrierbare Funktion

$K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}$

beschreibt. Das Riesz-Potential kann daher dann definiert werden, wenn $f$ eine kompakt getragene Distribution ist. In diesem Zusammenhang ist das Riesz-Potential eines positiven Borelmaßes $\mu$ mit kompaktem Träger besonders in der Potentialtheorie von Interesse, da $I_{\alpha }\mu$ außerhalb des Trägers von $\mu$ eine (stetige) subharmonische Funktion ist und auf ganz $\mathbf {R} ^{n}$ unterhalbstetig ist.

Eigenschaften

Die Betrachtung der Fourier-Transformation zeigt, dass das Riesz-Potential ein Fourier-Multiplier ist. Tatsächlich gilt:

${\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\mathrm {~d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }$

und daher, gemäß dem Faltungssatz:

${\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi )$

Die Riesz-Potentiale erfüllen die folgende Halbgruppen-Eigenschaft, beispielsweise für schnell abfallende stetige Funktionen:

$I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }$

vorausgesetzt, dass

$0<\operatorname {Re} (\alpha ),\operatorname {Re} (\beta )<n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n$

Des Weiteren gilt, falls $0<\operatorname {Re} (\alpha )<n-2$:

$\Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }$

Außerdem gilt für diese Klasse von Funktionen:

$\lim \limits _{\alpha \rightarrow 0^{+}}\left(I_{\alpha }f\right)(x)=f(x)$

Siehe auch

• Sobolev-Raum

Literatur

• Riesz, Marcel: L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy. Acta Mathematica 81, Seiten 1–223, 1949
• Landkof, N. S.: Foundations of modern potential theory. Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-3-642-65185-4
• Stein, Elias: Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8