Skorochod-Integral
Das Skorochod-Integral (auch Hitsuda-Skorochod-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin-Kalküls. Das Integral ist eine Erweiterung des Itō-Integrals bezüglich der brownschen Bewegung für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden und unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der klassischen Divergenz. Das Skorochod-Integral ist der Divergenz-Operator des Malliavin-Kalküls im Falle des weißen Rauschens, d. h. wenn der zugrundeliegende Hilbert-Raum ein σ-endlicher L2-Raum ist, und zugleich der adjungierte Operator des Malliavin-Ableitungsoperators. Bei allgemeinen Hilbert-Räumen spricht man vom Divergenz-Operator, statt vom Skorochod-Integral. Alternativ lässt sich das Skorochod-Integral auch über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung definieren. Das Skorochod-Integral ist kein klassisches Integral, da es viele der üblichen Integral-Eigenschaften nicht mehr besitzt, wenn der Integrand allerdings adaptiert ist, dann stimmt es mit dem Itō-Integral überein.
Um den entsprechenden Kalkül von dem des Ogawa-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom vorwegnehmenden Kalkül oder vorausschauenden Kalkül (englisch anticipating calculus) beim Skorochod-Integral und vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral.
Das Hitsuda-Skorochod-Integral wurde 1972 ([1]) von dem japanischen Mathematiker Masuyuki Hitsuda und unabhängig davon 1975 ([2]) von dem ukrainischen Mathematiker Anatolij Skorochod eingeführt.
Skorochod-Integral
BearbeitenSei
- ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum,
- ein separabler Hilbertraum,
- eine vollständige Orthonormalbasis von ,
- ein isonormaler Gauß-Prozess,
- ,
- der Raum der Folgen mit endlichen Gliedern ungleich Null.
Für ein definiere
- und .
Betrachte nun den Fall des weißen Rauschens , wobei σ-endlich und atomlos auf dem messbaren Raum ist.
Definition über die Malliavin-Ableitung
BearbeitenSei der Malliavin-Ableitungsoperator. Der Divergenz-Operator oder das Skorochod-Integral besitzt als Domäne alle Zufallsvariablen , so dass
für alle gilt, wobei eine Konstante ist, welche von abhängt.
Das Skorochod-Integral ist der unbeschränkte Operator definiert für ein durch
welches für alle gilt.[3]
Die Domäne ist der Malliavin-Sobolew-Raum (oder Watanabe-Sobolew-Raum). Sei ein Prozess, man verwendet für das Skorochod-Integral auch folgende Integral-Notation
Bemerkung
BearbeitenIn Integral-Notation wird die Definition über die Malliavin-Ableitung zu
Das Skorochod-Integral lässt sich auch als Prozess darstellen .[4]
Ist an adaptiert, so stimmt das Integral mit dem Itō-Integral überein.
Definition über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung
BearbeitenSei der -fache symmetrische Tensorproduktraum von ausgestattet mit der Norm . Weiter sei die Wiener-Chaos-Zerlegung, das -te Wiener-Chaos und ein Multiindex mit . Dann ist das multiple stochastische Integral der Ordnung die lineare Isometrie definiert durch
wobei das -te Hermite-Polynom ist. Nach der Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung gilt für einen Prozess die Zerlegung
wobei symmetrisch in den ersten Variablen ist. Sei nun
die vollständige Symmetrisierung von , dann ist das Skorochod-Integral definiert als
und diese Reihe konvergiert genau dann in wenn .[5]
Eigenschaften
Bearbeiten- Sei und so, dass . Weiter sei . Dann gilt und
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Masuyuki Hitsuda: Formula for Brownian partial derivatives. In: Second Japan-USSR Symp. Probab. Th.2. 1972, S. 111–114.
- ↑ Anatolij Wolodymyrowytsch Skorochod: On a generalization of a stochastic integral. In: Th. Probab. Appl. Band 20, 1975, S. 219–233.
- ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 36–37, doi:10.1007/3-540-28329-3.
- ↑ Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.
- ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4–41, doi:10.1007/3-540-28329-3.
- ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 39, doi:10.1007/3-540-28329-3.