Stabiler Yang-Mills-Zusammenhang

Ein (schwach) stabiler Yang-Mills-Zusammenhang ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie und insbesondere der Yang-Mills-Theorie ein spezieller Yang-Mills-Zusammenhang, um welchen die Yang-Mills-Wirkung positiv oder sogar strikt positiv gekrümmt ist. Yang-Mills-Zusammenhänge sind Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen oder äquivalent lokale Extrema der Krümmung, also kritische Punkte der Yang-Mills-Wirkung, und werden daher festgelegt durch eine verschwindende erste Ableitung einer Variation. (Schwach) stabile Yang-Mills-Zusammenhänge haben darüber hinaus eine positiv oder sogar strikt positiv gekrümmte Umgebung und werden daher festgelegt durch eine positive oder sogar strikt positive zweite Ableitung einer Variation.

Definition

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E)=E\times _{G}{\mathfrak {g}}$ das adjungierte Bündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

Ein Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$, also welcher die Yang-Mills-Gleichungen erfüllt, wird stabil genannt, wenn:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {YM} (\alpha (t))\vert _{t=0}>0$

für jede glatte Familie $\alpha \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $\alpha (0)=A$ gilt. $A$ wird schwach stabil genannt, wenn nur $\geq 0$ gilt. Ein Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Zum Vergleich ist die Bedingung für einen Yang-Mills-Zusammenhang gegeben durch:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YM} (\alpha (t))\vert _{t=0}=0.$

Für einen (schwach) stabilen oder instabilen Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird dessen Krümmung $F_{A}\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ als (schwach) stabiles oder instabiles Yang-Mills-Feld bezeichnet.

Eigenschaften

• Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhang auf $S^{n}$ für $n\geq 5$ sind flach. James Simons präsentierte dieses Resultat ohne schriftliche Publikation in Tokio im September 1977 während eines Symposiums zu „Minimal Submanifolds and Geodesics“.
• Gibt es für eine kompakte $n$-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit von $\mathbb {R} ^{n+1}$ ein $\varepsilon >0$, sodass:

  ${\frac {2}{n-2}}\varepsilon <\lambda _{i}\leq \varepsilon$

an jedem Punkt für alle Hauptkrümmungen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, dann sind alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf dieser flach. Wie sich an der Ungleichung zeigt, ist das Resultat nur für $n\geq 5$ anwendbar, wobei sich das vorherige Resultat als Spezialfall ergibt.

• Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf $S^{4}$ mit Eichgruppe $\operatorname {SU} (2)$, $\operatorname {SU} (3)$ oder $\operatorname {U} (2)$ sind entweder antiselbstdual oder selbstdual.
• Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf einer kompakten orientierbaren homogenen Riemannschen $4$-Mannigfaltigkeit mit Eichgruppe $\operatorname {SU} (2)$ sind entweder antiselbstdual, selbstdual oder reduzieren sich auf ein abelsches Feld.

Yang-Mills-instabile Mannigfaltigkeiten

Eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, für welche für kein Hauptfaserbündel über ihr (mit einer kompakten Lie-Gruppe als Eichgruppe) ein stabiler Yang-Mills-Zusammenhang existiert, wird Yang-Mills-instabil (kurz YM-instabil) genannt. Etwa sind die Sphären $S^{n}$ für $n\geq 5$ alle Yang-Mills-instabil nach dem obigen Resultat von James Simons. Eine Yang-Mills-instabile Mannigfaltigkeit hat immer eine verschwindende zweite Betti-Zahl. Zentral für den Beweis ist dabei, dass der unendliche komplexe projektive Raum $\mathbb {C} P^{\infty }$ sowohl der klassifizierende Raum $\operatorname {BU} (1)$ als auch der Eilenberg-MacLane-Raum $K(\mathbb {Z} ,2)$ ist. Daher werden $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel über einer Yang-Mills-instabilen Mannigfaltigkeit $X$ (aber sogar allgemeiner über jedem CW-Komplex) durch deren zweite Kohomologie (mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen) klassifiziert:

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}\left(X\right)=[X,\operatorname {BU} (1)]=[X,K(\mathbb {Z} ,2)]=H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$

Auf einem nichttrivialem $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel über $X$, welches bei einer nichttrivialen zweiten Kohomologie existiert, ließe sich ein stabiler Yang-Mills-Zusammenhang konstruieren.

Offene Probleme zu Yang-Mills-instabilen Mannigfaltigkeiten sind:

• Ist jede einfach zusammenhängende kompakte einfache Lie-Gruppe immer Yang-Mills-instabil?
• Ist jede Yang-Mills-instabile einfach zusammenhängende kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit immer harmonisch instabil? Da $S^{n}\times S^{1}$ für $n\geq 5$ Yang-Mills-instabil, aber nicht harmonisch instabil ist, kann nicht auf die Bedingung einfach zusammenhängend zu sein verzichtet werden.

Literatur

• Yuan-Jen Chiang: Developments of Harmonic Maps, Wave Maps and Yang-Mills Fields into Biharmonic Maps, Biwave Maps and Bi-Yang-Mills Fields. Birkhäuser, 2013, ISBN 978-3-0348-0533-9 (englisch, springer.com). 

Siehe auch

• Stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar

Weblinks

• stable Yang-Mills connection auf nLab (englisch)