Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus

trigonometrische Funktionen

Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Graph des Tangens hyperbolicus
Graph des Kotangens hyperbolicus

Schreibweisen

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Tangens hyperbolicus:  
Kotangens hyperbolicus:  

Definitionen

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Hierbei bezeichnen   und   den Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

Eigenschaften

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  Tangens hyperbolicus Kotangens hyperbolicus
Definitionsbereich     ;  
Wertebereich     ;  
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend   streng monoton fallend
  streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten  
 
 
 
Nullstellen   keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine  
Extrema keine keine
Wendepunkte   keine

Spezielle Werte

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Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h., es gibt zwei  , sodass

 .

Sie liegen bei   (Folge A085984 in OEIS)

Umkehrfunktionen

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Der Tangens hyperbolicus ist eine Bijektion  . Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens hyperbolicus. Sie ist für Zahlen aus dem Intervall   definiert und nimmt jede reelle Zahl als Wert an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

 

Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:

 

Ableitungen

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Die  -te Ableitung ist gegeben durch

 

mit den Euler-Zahlen An,k. Die Formel für die n-te Ableitung kann hergeleitet werden[1].

Wichtige Hinweise:

Der Sekans hyperbolicus ist das pythagoräische Gegenstück zum Tangens hyperbolicus:

 

Der Betrag des Kosekans hyperbolicus ist der pythagoräische Vorgänger des Kotangens hyperbolicus:

 

Additionstheorem

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Es gilt das Additionstheorem

 

analog dazu:

 

Integrale

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Stammfunktionen der Hyperbelfunktionen

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Die Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus ist der natürliche Logarithmus aus dem Kosinus hyperbolicus. Für den Kotangens hyperbolicus kann nur eine Stammfunktion mit einer Polstelle beim Wert   angegeben werden:

 
 

Der Geschwindigkeit im freien Fall bezüglich der Zeit wird durch die Funktion des Tangens hyperbolicus beschrieben. Die Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus beschreibt im freien Fall eines Objektes den Zeit-Ort-Verlauf. Denn der Weg ist grundsätzlich das Integral der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit. Und diese Ursprungsstammfunktion des Tangens hyperbolicus ist der Logarithmus naturalis aus dem Kosinus hyperbolicus. Dementsprechend wird die Beschleunigung im freien Fall bezüglich der Zeit durch das Quadrat des Sekans hyperbolicus beschrieben. Denn die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit. Und das Quadrat des Sekans hyperbolicus ist die Ableitung des Tangens hyperbolicus. Durch Involvierung des Widerstandsbeiwertes ergibt sich diese Differentialgleichung, die auf nachfolgende Weise gelöst wird:

 
 
 
 

Tangens hyperbolicus cardinalis

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Wenn der Tangens hyperbolicus durch die identische Funktion geteilt wird, dann wird der Tangens hyperbolicus cardinalis   gebildet. Das Integral von Null bis Unendlich von dieser Funktion divergiert ins Unendliche. Aber das Integral vom Quadrat des Tangens hyperbolicus cardinalis konvergiert und nimmt einen konkreten Wert an. Das Integral vom Kubus des Tangens hyperbolicus cardinalis konvergiert ebenso:

 
 

Weitere Darstellungen

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Summenreihen für tanh und coth

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Diese Funktion wird Langevin-Funktion genannt.

Deswegen[2][3][4] gilt beispielsweise diese unendliche Summe:

 

Die Taylorreihe des Tangens hyperbolicus lautet:

 

Hierbei steht B für die Bernoulli-Zahlen und λ(n) für die Dirichletsche Lambdafunktion. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π/2.

Die Taylorreihe der Differenz von Kotangens hyperbolicus und Kehrwertfunktion lautet:

 

Dabei steht ζ(n) für die Riemannsche Zetafunktion. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π.

Kettenbruchdarstellung

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Johann Heinrich Lambert zeigte folgende Formel:

 

Numerische Berechnung

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Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel

 

berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion   zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

  • Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
  • Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.

Fall 1:   ist eine große positive Zahl mit  :

 ,
wobei   die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.

Fall 2:   ist eine kleine negative Zahl mit  :

 

Fall 3:   ist nahe an 0, z. B. für  :

 
  lässt sich hier über die Taylorreihe   sehr genau berechnen.

Fall 4: Alle übrigen  :

 

Differentialgleichung

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  löst folgende Differentialgleichungen:

  oder
 

mit   und  

Komplexe Argumente

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Reihenentwicklungen

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Lambertsche Summenreihe

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Die Lambertschen Reihen beinhalten als Reihensummanden die rationalen Brüche aus den Potenzen mit exponentiellem Wuchs in Relation zum Summenindex. Die Lambertsche L-Funktion ist wie folgt[5] definiert:

 

Diese Kürzel wurden verwendet, damit diese Lambertsche Funktion nicht mit der Langevinschen Funktion in diesem Artikel weiter oben verwechselt wird.

Für die Hyperbelfunktionen gelten wie oben genannt diese beiden Formeln:

 
 

Die Summenreihen des Kotangens hyperbolicus und des Tangens hyperbolicus ergeben die Lambertschen L-Funktionswerte:

 

Mit Hilfe der dritten binomischen Formel lässt sich folgende weitere Formel hervorbringen:

 
 

Die Erdős-Borwein-Konstante entsteht aus folgender Summe mit dem Kotangens hyperbolicus:

 

Dabei hat die Erdös-Borwein-Konstante diese ersten dezimalen Nachkommastellen:

  (Folge A065442 in OEIS)

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen ergibt die genannte Konstante.

Elliptische Produktreihe

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Wenn Produktreihen aus dem Tangens hyperbolicus mit linearem Verlauf des inneren Eintrags bezüglich des Summenindex aufgestellt werden, dann entstehen elliptische Funktionswerte. Im Folgenden wird eine für alle elliptischen Moduln beziehungsweise numerischen Exzentrizitäten   gültige Formel aufgestellt, die in Abhängigkeit vom Modul   ein algebraisches Resultat ergibt:

 

Denn die Jacobischen Thetafunktionen   und   haben folgende Produktreihen:

 
 

Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson schrieben diese Produktidentitäten in ihrem gemeinsamen Werk[6][7][8] A Course in Modern Analysis nieder. Das Elliptische Nomen   hat diese Definition:

 

Diese Formel wurde bei der zuvor genannten Gleichungskette hervorgebracht:

 

Nun werden einige Werte in diese Gleichungen eingesetzt:

Modulwerte   Resultierende Tangens-hyperbolicus-Gleichungen
   
   
   
   
   

Mit den Werten der elliptischen Lambda-Stern-Funktion können weitere Werte über genau diese Formel ermittelt werden. Die Werte der Hermiteschen elliptischen Psifunktion erscheinen als Resultate:

Modulwerte   Resultierende Tangens-hyperbolicus-Gleichungen
   
   
   
   
   
   
   
   

Anwendungen in der Physik

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  • Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form   mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit  , die für   erreicht wird, und es gilt:
    • beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner als die Grenzgeschwindigkeit:   mit  
    • beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer als die Grenzgeschwindigkeit:   mit  
  • Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik: Ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen  , wobei   die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.
 
  • Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: Die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch  , wobei   eine charakteristische Zeitskala ist und   der Grenzwert des Hubble-Parameters für   ist (  ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters,   der Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf:  .
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Einzelnachweise

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  1. Grzegorz Rzadkowski: Derivatives and Eulerian Numbers. In: The American Mathematical Monthly. Band 115, Nr. 5, Mai 2008, ISSN 0002-9890, S. 458–460, doi:10.1080/00029890.2008.11920551 (tandfonline.com [abgerufen am 17. Oktober 2023]).
  2. Maple bugs: Thomas Richard: Hurrah, Maple quality improves! – Example 4. Abgerufen am 3. Januar 2023 (amerikanisches Englisch).
  3. complex analysis – A curious integral. Abgerufen am 3. Januar 2023 (englisch).
  4. sequences and series – What are the exact limits of validity of the Abel-Plana summation formula? Abgerufen am 3. Januar 2023 (englisch).
  5. Eric W. Weisstein: Reciprocal Fibonacci Constant. In: MathWorld (englisch).
  6. Eric W. Weisstein: Jacobi Theta Functions. In: MathWorld (englisch).
  7. http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
  8. DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results. Abgerufen am 13. August 2022.