Benutzer:Filomusa/Cardanische Formeln

Einleitung

ToDo: Anpassen an evtl. neuere, verbesserte historische Erkenntnisse.

Führendes Dokument ist jetzt der Artikel selbst. Hier sind nur noch Gliederung und Überlegungen enthalten, die noch ausreifen müssen.

Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades

…

Formulierung als Aufgabe der modernen Algebra

…

Vollführt man diese Substitution für $n=2$, substituiert man also für ein quadratisches Polynom $f(X)=a_{0}X^{2}+a_{1}X+a_{2}$ die Unbestimmte durch $Z:=X-{\frac {a_{1}}{2a_{0}}}$, so erhält man $\textstyle f(Z)=a_{0}\left(X^{2}-2X{\frac {a_{1}}{2a_{0}}}+\left({\frac {a_{1}}{2a_{0}}}\right)^{2}\right)+a_{1}X-{\frac {a_{1}^{2}}{2a_{0}}}+a_{2}=a_{0}X^{2}-{\cancel {a_{1}X}}+{\frac {a_{1}^{2}}{4a_{0}}}+{\cancel {a_{1}X}}-{\frac {a_{1}^{2}}{2a_{0}}}+a_{2}=a_{0}X^{2}-\left({\frac {a_{1}^{2}}{4a_{0}}}-a_{2}\right)$. Also gelangt man zur bekannten quadratischen Auflösungsformel $\textstyle f(Z)=0\Rightarrow X=\pm {\frac {1}{a_{0}}}{\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4a_{0}}}-a_{2}}}\Leftrightarrow Z=-{\frac {a_{1}}{2a_{0}}}\pm {\frac {1}{a_{0}}}{\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4a_{0}}}-a_{2}}}=-{\frac {a_{1}}{2a_{0}}}\pm {\frac {1}{\sqrt {a_{0}}}}{\sqrt {\left({\frac {a_{1}}{2a_{0}}}\right)^{2}-{\frac {a_{2}}{a_{0}}}}}$. Geht man durch den Übergang $a_{i}\rightsquigarrow {\frac {a_{i}}{a_{0}}}$ zum normierten Polynom über, so erhält man die bekannte Form …

…

Bestimmung der Diskriminante

Alternative Rechnung

Mögliche Ergänzung zur Anmerkung am Ende: Die Diskriminante ist ein symmetrisches homogenes Polynom vom Grad $2n(n-1)$, wie man in der Definition ablesen kann: <Dreiecksdarstellung des Differenzenprodukts>.

Der Partialgrad (in nur einer Variable also) beträgt $2(n-1)$. Genauer, das gemäß lexigraphischer Ordnung Monom höchster vorkommender Ordnung hat die Ordnung $\left[2(n-1),2(n-2),2(n-3),\dots ,2,0\right]$.

Also hat das darstellende Polynom den Totalgrad $2(n-1)$, ist isobar vom Gewicht $2n(n-1)$. (?)

Da nun bei der Darstellung des symmetrischen Polynoms der Diskriminante mit Hilfe der elementarsymmetrischen Polynome eine Polynom vom Grad $2(n-1)$, nämlich mit führendem Monom $\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\cdots \sigma _{n-1}^{2}\sigma _{n}^{0}$, auftaucht, wie der Beweis des Hauptsatzes über die elmentarsymmetrischen Funktionen lehrt, wird der Faktor ${\frac {1}{a_{0}}}$ in die $2(n-1)$-te Potenz erhoben. Zu seiner Tilgung dient der Normierungsfaktor, denn von der Diskriminante postuliert man, dass sie ganzzahlig in den Koeffizienten (also den elementarsymmetrischen Funktionen) darstellbar sei. Das Gewicht des führenden Monoms ist tatsächlich $2\sum _{i=1}^{n-1}i=2n(n-1)$, entspricht also tatsächlich dem homogenitätsgrad der Diskriminante.

Die cardanische Formel

Explizite Berechnung der Diskriminante

Als Tabelle darstellen? Hm, jetzt wohl nicht mehr nötig nach dieser Vereinfachung der Darstellung. Wie sonst sollte es eine Tabelle sein?

schon veröffentlicht.

Einzelfallbetrachtung

Diskriminante positiv (casus irreducibilis)

Trigonometrische Lösung nach Vieta

Möglicherweise Darstellung noch verbessern, vgl. Krull.

Galoistheoretischer Hintergrund der Cardanischen Formel

Die allgemeine Gleichung

Es bezeichne $k$ einen Körper, $\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n},X,\xi _{1},\dots ,\xi _{n}$ Unbestimmte. $s_{1}:=s_{1}^{(n)},\dots ,s_{i}:=s_{i}^{(n)},\dots ,s_{n}:=s_{n}^{(n)}$ bezeichnen die homogenen elementarsymmetrischen Polynome in $n$ Unbestimmten, wobei $s_{i}$ wie üblich den Homogenitätsgrad $i$ in den Unbestimmten habe.

1. Man betrachte das normierte Polynom $F(X):=X^{n}-\kappa _{1}X^{n-1}+\dots (-1)^{n-1}\,\kappa _{n-1}X+(-1)^{n}\,\kappa _{n}$ über dem Körper $K':=k(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})$ der rationalen Funktionen in den Unbestimmten $\kappa _{i}$. Die Nullstellen in seinem Zerfällungskörper $L'$ mögen mit $x_{0},\dots ,x_{n-1}$ bezeichnet sein, so dass $s_{i}(x_{0},\dots ,x_{n-1})=\kappa _{i}$ und $L=K[x_{i}]$.
2. Das Polynom $G(X):=\prod _{i}(X-\xi _{i})=\sum _{i}(-1)^{i}\,s_{i}(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})\;X^{i}$ über $K:=k\left((s_{1}\left((\xi _{i})_{i}\right),\dots ,s_{n}\left((\xi _{i})_{i}\right)\right)$ besitzt paarweise verschiedene Nullstellen, ist also separabel, und die Galoisgruppe $G(L/K)$ seines Zerfällungskörpers $L=k(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})$ der rationalen Funktionen in den $n$ Unbestimmten $\xi _{i}$ ist – bezogen auf den Grundkörper $K$ – die symmetrische Gruppe $S_{n}$ aller Permutationen der Wurzeln $\xi _{i}$.

Gemäß Galoistheorie gilt also $L^{S_{n}}=K$, in Worten: Jede unter der Operation von $S_{n}$ fixe rationale Funktion, das heißt jede symmetrische rationale Funktion liegt in $K$, das heißt, sie ist rational durch die elementarsymmetrischen Funktionen darstellbar. Diese Darstellung ist sogar eindeutig, denn verschwindet die symmetrische Funktion $f(s_{i})$, so verschwindet (nach Einsetzen der Nullstellen $x_{i}$ für die Unbestimmten $\xi _{i}$) auch $f(\kappa _{i})$, und mithin verschwindet $f$ identisch (das heißt, es ist das Nullpolynom). So erscheint der Hauptsatz über die elementarsymmetrischen Funktionen als Folge der Galoistheorie.

Also ist die Abbildung $k[\kappa _{i}]\to k[s_{i}],\,f(\kappa _{i})\mapsto f(s_{i})$ ein Isomorphismus von Polynomringen; der sich zu einem Isomorphismus $K'{\stackrel {\simeq }{\longrightarrow }}K$ ihrer Quotientenkörper fortsetzt und zu einem Isomorphismus auch der Zerfällungskörper $L'{\stackrel {\simeq }{\longrightarrow }}L$, wobei (nach Anfügen einer geeigneten Permutation aus $G(L/K$) angenommen werden darf, dass $x_{i}\mapsto \xi _{i}$. So erhält man die Isomorphie $G(L'/K')=G(L/K)=S_{n}$, und damit die Aussage, dass die allgemeine Gleichung $F(X)=0$ separabel ist und die symmetrische Gruppe als Galoisgruppe besitzt.

Jede Permutation $\tau \in S_{n}$ liefert einen Turm von Zwischenköpern der Erweiterung $L/K$, bestehend aus den Quotientenkörpern $Z_{(\tau ,j)}:=K'(\xi _{\tau (1)},\dots ,\xi _{\tau (j)})$ der Polynomalgebren $K'[\xi _{\tau (1)},\dots ,\xi _{\tau (j)}]$ für $j=1,\dots n$. Jede Permutation $\sigma \in S_{n}$ induziert einen Isomorphismus $Z_{(\tau ,j)}{\stackrel {\simeq }{\longrightarrow }}Z_{(\sigma \tau ,j)}$.

Aus der Perspektive muss zunächst der betrachtete Grundkörper $K$ festgelegt werden, der als Fixkörper fungiert. Bei beliebigem Grundkörper gilt, dass die Galoisgruppe einer Gleichung $0=f(X)\in K[X]$ gleich der Galoisgruppe $G(L/K)$ ist, wobei $L$ den (bis auf Isomorphie eindeutig besimmten) Zerfällungskörper des Polynoms $f(X)$ über $K$ bezeichnet, also einen minimalen Erweiterungskörper, der alle Nullstellen des Polynoms $f$ enthält.

Die Galoisgruppe der generischen Gleichung in einer Unbestimmten vom Grade $n$ ist gerade die Symmetrische Gruppe gleicher Ordnung $G(L/K)=S_{n}$.

Im konkreten Falle ist die Galoisgruppe eines gegebenen Polynoms einer Untergruppe. Triviales Beispiel: Die Galoisgruppe von $X^{2}-1$ ist trivial, denn die Nullstellen liegen bereits im Grundkörper, da dieser Fixkörper der Automorphismen ist, kann die Galoisgruppe sie nicht permutieren.

Die Wahl des Primkörpers mit Charakteristik Null, also des Körpers $\mathbb {Q}$ kommt der historischen Sichtweise am nächsten.

Gemäß vdW Algebra I, §64, Seite 192 ff. 
Gemäß Krull, §27, 28,

Bezug zur Lagrangeschen Resolvente

Für die Nullstellen $z_{0}=u_{0}+v_{0},z_{1}=u_{0}\varepsilon +v_{0}\varepsilon ^{2},z_{3}=u_{0}\varepsilon ^{2}+v_{0}\varepsilon$ gemäß den Cardanischen Formeln (FormCard.2) errechnet man (indem man erneut $1+\varepsilon +\varepsilon ^{2}=0$ für $\varepsilon \in \{\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\}$ benutzt und zwecks Lesbarkeit $u:=u_{0},v:=v_{0}$ setzt):

${\begin{aligned}\Lambda _{1}(z_{0},z_{1},z_{3}):=z_{0}+\varepsilon z_{1}+\varepsilon ^{2}z_{2}&=3u\\\Lambda _{2}(z_{0},z_{1},z_{3}):=z_{0}+\varepsilon ^{2}z_{1}+\varepsilon z_{2}&=3v\end{aligned}}$		(L-Res.1)

Dabei sind $\Lambda _{i}(Z_{0},Z_{1},Z_{2})=Z_{0}\varepsilon _{i}^{0}+Z_{1}\varepsilon _{i}^{1}+Z_{2}\varepsilon _{i}^{2}$ zwei Polynome über $K[\varepsilon ]=K[{\sqrt {-3}}]$..

Diese Polynome zeichnet aus, dass die Anwendung eines Zyklus (einer geraden Permutation) $\pi =(0,1,2)$ aus der alternierenden Gruppe $A_{3}$ auf die Wurzeln $z_{0},z_{1},z_{2}$ der Multiplikation mit einer dritten Einheitswurzel gleichkommt:

$\Lambda _{1}^{\pi }(z_{0},z_{1},z_{2})=\Lambda _{1}(z_{\pi (0)},z_{\pi (1)},z_{\pi (2)})=z_{\pi (0)}+\varepsilon z_{\pi (1)}+\varepsilon ^{2}z_{\pi (2)}=\varepsilon ^{j_{\pi }}\Lambda _{1}(z_{0},z_{1},z_{2})$.

Dies bedeutet gerade, dass $\Lambda _{i}$ eine Kubikwurzel eines Elements $\lambda _{i}\in K[\varepsilon ]=K[{\sqrt {-3}}]$ ist, also der reinen Gleichung $0=X^{3}-\lambda _{i}=(X-{\sqrt[{3}]{\lambda _{i}}})(X-\varepsilon {\sqrt[{3}]{\lambda _{i}}})(X-\varepsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{\lambda _{i}}})$ mit $\lambda _{i}\in K[\varepsilon ]=K[{\sqrt {-3}}]$ genügt.

Herleitung/Beleuchtung der Cardanischen Formel aus Sicht der Galoistheorie

Als Grundkörper sei $K=\mathbb {Q}$ zugrunde gelegt. Der Zerfällungskörper $L:=\operatorname {Zerf} (F_{r},\mathbb {Q} )$ des allgemeinen, reduzierten Polynoms $F_{r}(Z)$ über $K$ hat den Grad $3!=3\cdot 2=6$. Jeder Zwischenkörper ist also über $\mathbb {Q}$ primzyklisch vom Grade $2$ oder $3$, und gleiches gilt für $L$ über jedem Zwischenkörper.

Angelpunkt des Problems der kubischen Gleichung und insbesondere des Casus irreducibilis ist die Aussage der Kummer-Theorie: Enthält der Grundkörper die $n$-ten Einheitswurzeln, so sind es genau die zyklische Erweiterungen vom Grade $n$, die sich durch reine Radikale vom Grade $n$ (also Wurzeln reiner Gleichungen $X^{n}-a$) erzeugen lassen: Zyklisch Erweiterungen vom Grade $n$ und Radikalerweiterung vom Grade $n$ sind dann äquivalente Begriffe. Im kubischen Falle muss der Grundkörper also die dritten Einheitswurzeln enthalten, um diese Voraussetzungen zu erfüllen, die ihrerseits dem quadratischen ganzzahligen Polynom $X^{2}+X+1={\frac {X^{3}-1}{X-1}}$ genügen, also quadratisch über $\mathbb {Q}$ sind: Über $\mathbb {Q}$ genügt die Adjunktion der Quadratwurzel ${\sqrt {-3}}$, um die dritten Einheitswurzeln zu erhalten. Die (primitive) zweite Einheitswurzel $-1$ ist in jedem Körper enthalten. Deshalb sind quadratische Gleichungen stets mit Quadratwurzeln lösbar, und insbesondere können reelle Lösungen mit Hilfe reellwertiger Radikale angegeben werden. Ein primitives Element einer (zyklischen) Erweiterung vom Grade $3$ ist jedoch nur dann (?) (gibt vdW Seite 194 Antwort?) durch Radikale darstellbar, wenn der Grundkörper die dritten Einheitswurzeln enthält. Enthält er sie nicht, so können selbst reelle Lösungen nur mit Hilfe komplexwertiger Radikale angegeben werden, wie der Casus irreducibilis zeigt.

Wichtig hierfür ist folgende Aussage: Enthält der Grundkörper $K$ nicht die $q$-ten Einheitswurzeln, so ist ein Element $a\in K$ entweder eine $q$-te Potenz oder aber das Polynom $X^{q}-a$ ist irreduzibel. Im zweiten Falle sind also alle seine Wurzeln $\zeta _{q}^{i}{\sqrt[{q}]{a}}$ in einem Zerfällungskörper $L$ schon über $K$ konjugiert. Entweder ist also $K[{\sqrt[{q}]{a}}]=K$ oder $[L:K]=q$, wobei $L=K[\zeta _{q}^{i}{\sqrt[{q}]{a}},i=0,\dots ,q-1]$.

Hintergrund: Klassische Sicht

Kummer-Theorie betrachtet und kennzeichnet den Zusammenhang zwischen zyklischen Körpererweiterungen einerseits und reinen (binomischen) Gleichungen $X^{n}-a$ andererseits. Sie kommt zum Ergebnis, dass die zyklischen Erweiterungen vom Grade $n$ genau die Zerfällungskörper der binomischen Polynome $f(X)=X^{n}-a\in K[X]$ sind, wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, d. h, wenn in ihm also $X^{n}-1$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Dass der Zerfällungskörper von $X^{n}-a$ zyklisch von der Ordnung $n$ ist leicht gezeigt: Die Automorphismen der Galoisgruppe sind festgelegt durch das Bild einer fest gewählten Wurzel ${\sqrt[{n}]{a}}$ des Polynoms $f(X)$, welches die Gestalt $\zeta ^{i}{\sqrt[{n}]{a}}$ mit einem geeigneten $i,\;0\leq in$ besitzt. Daher ist die Galoisgruppe einer Untergruppe der Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln. Ist das Polynom irreduzibel über $K$, so sind alle Wurzeln $\{\zeta ^{i}{\sqrt[{n}]{a}},\,i=0,\dots ,n-1\}$ über $K$ konjugiert, so dass die Galoisgruppe isomorph zu Gruppe dieser Einheitswurzeln ist.

Ist $L/K$ zyklisch vom Grade $n$ mit Galoisgruppe $G=\{\sigma ^{0},\sigma ,\sigma ^{2},\dots ,\sigma ^{n-1}\}$ und $\beta \in L$ und enthält $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln $\zeta ,\dots ,\zeta ^{n}=1$, so gilt für die Lagrangesche Resolvente

$\Lambda (\zeta ,\beta ):=\sum _{i=0}^{n-1}\zeta ^{i}\sigma ^{i}(\beta )=\sum _{i=1}^{n}\zeta ^{i}\sigma ^{i}(\beta )=\zeta \,\sigma \left(\Lambda (\zeta ,\beta )\right)$,

woraus $\zeta ^{i}\,\sigma ^{i}\left(\Lambda (\zeta ,\beta )\right)=\Lambda (\zeta ,\beta )$ folgt. Mithin gilt $\sigma ^{i}\left(\Lambda (\zeta ,\beta )\right)=\Lambda (\zeta ,\beta )$ nur für $n|i$, also liegt $\Lambda (\zeta ,\beta )\in L\backslash K$, wenn $\beta$ so gewählt wird, dass $\Lambda (\zeta ,\beta )\neq 0$. (Beachte: Dies ist mögich, weil die Automorphismen $\sigma ^{i}$ nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind linear unabhängig sind.) Darüber hinaus folgt $\sigma \left(\Lambda (\zeta ,\beta )^{n}\right)={\frac {\Lambda (\zeta ,\beta )^{n}}{\zeta ^{n}}}=\Lambda (\zeta ,\beta )^{n}$, also $\Lambda (\zeta ,\beta )^{n}\in K$. Die Lagrangesche Resolvente zeigt also, dass $L/K$ eine Radikalerweiterung ist.

Anwendung auf den kubischen reduzierten Fall

So ist Körpererweiterung $K_{2}=\mathbb {Q} [{\sqrt {\Delta }}]$, die durch Adjunktion des Differenzenproduktes $(z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2})={\sqrt {\Delta }}={\sqrt {-4p^{3}-27q^{2}}}$ entsteht, quadratisch.

Im Casus irreducibilis ist $\Delta >0$, das heißt $-4p^{3}>27q^{2}\geq 0$ oder äquivalent $\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<-\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}$, also muss $p$ negativ sein und betragsmäßig hinreichend groß. Der quadratische Erweiterungskörper $K_{2}$ ist dann formal reell, da einbettbar in $\mathbb {R}$.

Die Erweiterung $K_{1}=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ ist ebenfalls quadratisch, nicht jedoch formal reell, und enthält die dritten Einheitswurzeln ${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&:=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {-3}}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2\pi }{3}}}\\\varepsilon _{2}&:=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-3}}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {4\pi }{3}}}=\varepsilon _{1}^{2}\\\end{aligned}}$

Idee: Translationssatz verwenden: Es ist doch $K_{1}\cap K_{2}=\mathbb {Q}$, also sind doch $G(K_{i}/\mathbb {Q} )\simeq G(L/K_{i})$, da ja $L=K_{1}K_{2}$.

Die allgemeine Gleichung $F_{r}(z)=0$ (bzw. ihr Zerfällungskörper) besitzt über $K_{2}$ als Galoisgruppe die Faktorgruppe $S_{3}/A_{3}$: Es handelt sich um die Symmetrische oder Permutationsgruppe (von drei Elementen) $S_{3}$ fakturiert nach ihrem Normalteiler $A_{3}$, der alternierenden Gruppe, die aus den geraden Permutationen besteht, so dass das Differenzenprodukt unter seinen Permutationen nicht das Vorzeichen wechselt. Er enthält drei Elemente, ist abelsch und also zyklisch.

Diese Behauptung durch KRULL explizit darstellen.

Um also (inbesondere im Casus irreducibilis) die Wurzeln von $F_{r}$ aus Zerfällungsköprer $L$ dazustellen, müssen zunächst die dritten Einheitswurzeln adjungiert werden, das heißt, es muss zum Erweiterungskörper $K_{1}K_{2}$ übergegangen werden.

Bezeichnen $s_{i}(Z_{0},Z_{1},Z_{2})$ die drei elementarsymmetrischen Polynome in drei Variablen vom jeweiligen Gewicht $i\,(i=1,2,3)$, so wurde oben bereits begründet:

${\begin{alignedat}{2}s_{1}(z_{0},z_{1},z_{2})=z_{0}+z_{1}+z_{2}&=&0\\s_{2}(z_{0},z_{1},z_{2})&=&p\\s_{3}(z_{0},z_{1},z_{2})&=&-q\end{alignedat}}$

Mit Hilfe der dritten Einheitswurzeln $1=\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$ und bildet man nun die Lagrangeschen Resolventen (moderne Schreibweise?)

${\begin{aligned}\Lambda (1,z_{0})&:=z_{0}+z_{1}+z_{2}=s_{1}(z_{0},z_{1},z_{2})=0\\\Lambda (\varepsilon _{1},z_{0})&:=z_{0}+\varepsilon _{1}z_{1}+\varepsilon _{2}z_{2}\\\Lambda (\varepsilon _{2},z_{0})&:=z_{0}+\varepsilon _{2}z_{1}+\varepsilon _{1}z_{2}\end{aligned}}$

Die Galoistheorie (und insbesondere die Kummer-Theorie reiner zyklischen Gleichungen) lehrt, dass sich die dritten Potenzen dieser Größen im Körper $L[{\sqrt {-3}}]$ liegen, denn $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [\varepsilon _{i}]$ für $i=1,2$. (IST DAS KORREKT? Oder muss es $K_{1}$ anstelle von $L$ heißen?)

Eine Rechnung ergibt tatsächlich:

${\begin{aligned}\Lambda (1,z_{1})&:=z_{0}+z_{1}+z_{2}=\sigma _{1}(z_{i})=0\\\Lambda (\varepsilon _{1},z_{0})^{3}&:=\underbrace {(z_{0}^{3}+z_{1}^{3}+z_{2}^{3})} _{=p_{3}(z_{0},z_{1},z_{3})}+6\underbrace {z_{0}z_{1}z_{2}} _{=-q}+3\left(\varepsilon _{1}\left(z_{0}^{2}z_{1}+z_{1}^{2}z_{2}+z_{2}^{2}z_{0}\right)+\varepsilon _{2}\left(z_{0}z_{1}^{2}+z_{1}z_{2}^{2}+z_{2}z_{0}^{2}\right)\right)\\&=p_{3}(\mathbf {z} )-6q+{\frac {3}{2}}\left(\sum z_{0}^{2}z_{1}+{\sqrt {-3}}{\sqrt {\Delta }}\right)\\&{\stackrel {!}{=}}\\&=-{\frac {27}{2}}q+{\frac {3}{2}}{\sqrt {-3}}{\sqrt {\Delta }}\\\end{aligned}}$

Das Gleichheitszeichen bei (!) erklärt sich durch

$0=s_{1}^{3}=p_{3}(\mathbf {z} )+3\sum z_{0}^{2}z_{1}-6q$

und

$0={\frac {9}{2}}s_{1}s_{2}=-{\frac {9}{2}}\sum z_{0}^{2}z_{1}-{\frac {27}{2}}s_{3}(\mathbf {z} )=-{\frac {9}{2}}\sum z_{0}^{2}z_{1}+{\frac {27}{2}}q$

also

$p_{3}(\mathbf {z} )-{\frac {3}{2}}\sum z_{0}^{2}z_{1}-6q=-{\frac {27}{2}}q$

Analog gilt:

${\begin{aligned}\Lambda (\varepsilon _{2},z_{0})^{3}&:=-{\frac {27}{2}}q-{\frac {3}{2}}{\sqrt {-3}}{\sqrt {\Delta }}\end{aligned}}$

Dabei gilt für das Produkt $\Lambda (\varepsilon _{1},z_{0})\cdot \Lambda (\varepsilon _{2},z_{0})=\dots =s_{1}^{2}-3s_{2}=-3p$ Die Kubikwurzeln sind also nicht unabhängig wählbar und es gilt:

$3z_{i}=\sum _{i}\varepsilon _{1}^{-i}\cdot \Lambda (\varepsilon _{1},z_{1})$ für $i=0,1,2$.

Hintergrund: Kohomologische Perspektive

→ Hauptartikel: Satz 90 aus Hilberts Zahlbericht, Theorie Kummerscher Erweiterungen und Galoiskohomologie

Siehe auch: Brauergruppe  und Kohomologie und Kozykelbedingung

Es sei $L$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe von Körperautomorphismen auf $L$.

Für ein $\lambda \in L^{*}$ erfüllt die Abbildung $f_{\lambda }\colon G\to L^{*},\sigma \mapsto \lambda ^{1-\sigma }:={\frac {\lambda }{\sigma (\lambda )}}$ das Postulat eines verschränkten Homomorphismus für eine Abbildung $f\colon G\to L^{*},\sigma \mapsto f(\sigma )$, welches da lautet $f(\sigma \tau )=f(\sigma )\cdot \sigma \left(f(\tau )\right)$. Die Bedingung eines verschränkten Homomorphismus heißt auch Noethersche Gleichung oder Noethersche Bedingung.(Mutmßlich Verweis auf ihre Arbeit von 1933) Diese Bedingung ordnet sicht heutzutage in die Kohomologietheorie ein.

Umgekehrt muss es zu einem verschränkten Homomorphismus (1-Kyzykel) $f\colon G\to L^{*}$ nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind ein $y\in L$ geben mit $0\neq \lambda :=\sum _{\tau \in G}f(\tau )\tau (y)$, und damit gilt für jedes $\sigma \in G$ wie gewünscht:

$\lambda =\sum _{\tau \in G}f(\tau )\tau (y)=\sum _{\tau \in G}f(\sigma \tau )\cdot \sigma \tau (y)=f(\sigma )\sum _{\tau \in G}\sigma \left(f(\tau )\right)\cdot \sigma \tau (y)=f(\sigma )\sigma \left(\sum _{\tau \in G}f(\tau )\tau (y)\right)=f(\sigma )\sigma (\lambda )$

Ist nun $K$ der Fixpunktkörper $L^{G}$ von $L$ unter $G$ und hat $f$ nur Werte in $K^{*}$, so ist $f\colon G\to K^{*}$ ein Charakter (Homomorphismus einer Gruppe in die Einheitengruppe eines Körpers), und es gilt: Jeder Charakter $\chi \colon G\to K^{*}$ hat die Gestalt $\chi (\sigma )=\lambda ^{1-\sigma }:={\frac {\lambda }{\sigma {\lambda }}}$ mit einem geeigneten $\lambda \in L$. Dabei liegt $\lambda ^{e}\in K$, wenn $\sigma ^{e}=1$ für jedes $\sigma \in G$ gilt, denn dann ist $\lambda ^{e}=\sigma (\lambda ^{e})\chi (\sigma ^{e})=\sigma (\lambda ^{e})$ für jeden Automorphismus $\sigma$, mithin $\lambda ^{e}\in L^{G}=K$.

Für die Norm $N_{L/K}$ und einen verschränkten Homomorphismus $f$ gilt folglich $N_{L/K}\circ f(\sigma )=N\left({\frac {\lambda }{\sigma (\lambda )}}\right)=1$, da die Norm multiplikativ ist und Konjugierte dieselbe Norm haben.

Hilberts Satz 90 behauptet die Umkehrung für zyklische Gruppen $G=\langle \sigma \rangle$: Jedes Element $y\in L$ mit $N(y)=1$ hat die Gestalt $y={\frac {\lambda }{\sigma {\lambda }}}$ mit einem $\lambda \in L^{*}$. Denn die Abbildung $f\colon G\to L,\,f(\sigma ^{k})=\prod _{i=0}^{k-1}\sigma ^{i}(y)$, die zunächst in Abhängigkeit von $k\geq 1$ definiert wird, ist (nach Voraussetzung) wohldefiniert (das heißt, sie hängt nur von $\sigma ^{k}$ ab) und ist, wie eine einfache Rechnung zeigt, ein verschränkter Homomorphismus, so dass mit einem geeigneten $\lambda \in L$ wie behauptet gilt:

$y=f(\sigma ^{1})={\frac {\lambda }{\sigma (\lambda )}}$

Im klassischen Falle, der oben betrachtet wurde, war $G$ zyklisch von der Ordnung $n$ und $K$ enthält die $n$-ten Einheitswurzeln. Die Langrangesche Resolvente liefert für einen Charakter $f=\chi \colon G\to K^{*},\sigma ^{i}\mapsto \zeta ^{i}$, das geeignete $\lambda \in L$ mit $\chi _{\lambda }(\sigma ^{i})={\frac {\Lambda (\zeta ,\beta )}{\sigma ^{i}\left(\Lambda (\zeta ,\beta )\right)}}=\zeta ^{i}$, das heißt: $\chi =\chi _{\lambda }$, und dieses ist eine reine Wurzel: $\lambda ^{n}\in K$.

Die Rolle der Kummer-Theorie

Durch Adjunktion der dritten Einheitswurzeln wird $L/K_{1}{\stackrel {\text{def}}{\;=\;}}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ zu einer Kummer-Erweiterung.

Gibt es eine Anwendung der Kummer-Theorie, eine Konkretisierung anhand der Lösungen oder anhand einer Normalbasis? Will fragen: Lässt sich die Galoisgruppe als Faktorgruppe von Untergruppen von $L^{*}$ konkretisieren?

Unvermeidbarkeit imaginärer Zahlen im Casus irreducibilis

nach vdW Seite 194 (?).

Für die Lösungsfindung der allgemeinen Gleichung $f(X)=\sum _{i=0}^{n}=a_{0}\,X^{n}+a_{1}\,X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\,X+a_{n}=0$ (mit $a_{0}\neq 0$) gilt:

Der lineare Fall

Der Fall $n=1$ ist trivial: Die Lösung liegt (aufgrund der Körperaxiome) im Koeffizientenkörper.

Der quadratische Fall

Im Falle $n=2$ liefert bekanntlich die Mitternachtsformel die Lösung: Es genügt, die Quadratwurzel der Diskriminante zu adjungieren. Die Lösungen befinden sich also in einer quadratischen Erweiterung (oder schon im Grundkörper). Imaginäre Zahlen kommen genau dann ins Spiel, wenn die Diskriminante negativ ist, das heißt, wenn die Lösungen imaginär sind.

Lange hegte man daher die Erwartung, dass es für Gleichungen höheren Grades in entsprechender Weise genügen müsste, höhere Radikale ${\sqrt[{m}]{\cdot }}$ (mit $m\leq n$) zu adjungieren, mit anderen Worten: Die Lösungen müssten auf reine Gleichungen zurückführbar und daher mit verschachtelten Radikalen darstellbar sein. Zwar zeigte schon der quadratische Fall, dass es unlösbare Gleichungen gibt, also solche mit „Lösungen“, die als „imaginär“ galten, weil sie der Anschauung entzogen. Doch zumindest die reellen Lösungen, mit denen man eine reale Vorstellung verband, sollten mit diesem Lösungsansatz auffindbar und durch reelle Radikale darstellbar sein. Man hielt also die reinen Gleichungen als eine Art „Normalform“, auf die allgemeine Gleichungen stets zurückführbar sein müssten. Doch es ist gerade dieser Lösungsansatz, der bei $3\leq n\leq 4$ bewirkt, dass immer imaginäre Zahlen ins Spiel kommen, gleich, ob die Lösungen tatsächlich nicht verschwindende Imaginärteile besitzen oder nicht. Für $n\geq 5$ scheitert dieser Lösungsansatz. Algebraische Zahlen sind also im Allgemeinen nicht als Radikale darstellbar.

Der kubische Fall

Im Falle $n=3$ erzwingt dieser Lösungsansatz, dass durch die Adjunktion von Wurzelausdrücken ${\sqrt[{m}]{\cdot }}$ (wobei $m\leq n$) imaginäre Zahlen ins Spiel kommen und dies ungeachtet der Frage, ob die Lösungen der ursprünglichen allgemeinen Gleichung reell sind oder nicht. Die Beschränkung auf diese „radikale“ Darstellung der Lösungen erzwingt also gegebenenfalls einen „Umweg“ über imaginäre Zahlen. Mit anderen Worten: Um die Lösungen aus dem Zerfällungskörper mit Radikalen darzustellen, muss in jedem Falle ein Körper herangezogen werden, der imaginäre Zahlen enthält (also nicht formal reell ist und keine Anordnung besitzt) und daher ggf. den Zerfällungskörper echt umfasst. Immerhin ist eine Zurückführung auf reine Gleichungen mit imaginären Koeffizienten möglich, wenn dies dem 16. Jahrhundert auch unvorstellbar blieb. Eine Rückführung auf reelle reine Gleichungen ist nicht möglich, daher der Begriff "Casus irreducibilis".

Der biquadratische (quartische) Fall

Es gilt dasselbe wie im kubischen Falle.

Höhergradige Fälle

Für $n>4$ zeigte 1824 Niels Henrik Abel den Satz von Abel-Ruffini, nach dem dieser Lösungsansatz bei $n\geq 5$ scheitert: Die Adjunktion von Radikalen genügt also im Allgemeinen nicht, um Lösungen darzustellen, und die Erwartung, dass reine Gleichungen im Allgemeinen die Rolle einer „Normalform“ spielen, wurde enttäuscht.

Für Einzelheiten des Beweises sei verwiesen auf Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. Seite 194. 

Historische Bedeutung

Fußnote oder Anmerkung

Das Ausgangspolynom kann sowohl im Falle $\Delta <0$ als auch im Falle $\Delta >0$ irreduzibel über seinem Koeffizientenkörper sein, wie das Beispiel des über $\mathbb {Q}$ irreduziblen Polynoms $x^{3}+x+1$ zeigt. Der Begriff „casus irreducibilis“ zielte im 16. Jahrhundert nicht auf das Polynom, sondern auf den Fall, in welchem es nicht möglich ist, reelle Nullstellen unmittelbar als reellwertige Radikale darzustellen: Obgleich es drei reelle Wurzeln (Nullstellen) gibt, sind diese „nicht auf reelle Wurzelausdrücke (Radikale) zurückführbar“. Stattdessen führt der Lösungsweg über einen „Umweg“, nämlich über die Summe zweier komplexwertiger Radikale. Tatsächlich ist dieser Weg unvermeidbar, wenn man eine Lösung mit Radikalen sucht (siehe B. L. van der Waerden: Algebra I, Seite 194). In der Literatur wird hierin das Verdienst Cardanos erblickt, dass er entdeckt hat, wie sich mit diesen zu seiner Zeit noch nicht akzeptierten komplexwertigen Radikalen eine korrekte Lösung errechnen lässt, und auf diese Weise den Verdacht genährt hat, dass mit der Existenz komplexer Zahlen „zu rechnen“ ist. – Die sogenannte trigonometrische oder goniometrische Lösung hingegen „bleibt“ im Reellen, nutzt jedoch Winkelfunktionen anstelle der Radikale. – Wie noch heute die Doppelbedeutung des Begriffes Wurzel, gab man sich lange der Hoffnung hin, dass die „Wurzeln“ der allgemeinen Gleichung $n$-ten Grades letztlich auf die Wurzeln der reinen oder binomischen Gleichung $n$-ten Grades (nämlich $X^{n}-q=0$), also auf die Radikale (Wurzeln) ${\sqrt[{n}]{q}}$ und einfache Rechenoperationen und Verschachtelungen unter ihnen, zurückführbar seien – lässt doch die allgemeine quadratische Gleichung dies vermuten. Modern ausgedrückt: Die Nullstellen sind in einer Körpererweiterung zu finden, die durch nötigenfalls stufenweise Adjunktion von Radikalen entsteht. (Schon das Symbol ${\sqrt {\cdot }}$ ist ein stilisiertes r für lat. „radix“, Wurzel.) Der casus irreducibilis enttäuschte diese Erwartung, und die trigonometrische Lösung zeigt, dass sich neben den „reinen Wurzeln“ noch andere Nullstellen empfehlen, um die allgemeine Gleichung zu lösen, nämlich diejenigen der Winkeldreiteilungsgleichung.

Alternative Erläuterung in der soeben gemachten Anmerkung

Die Tatsache, dass Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung $Q(X)=X^{2}+pX+q{\stackrel {!}{=}}0$ auf die Lösung reiner oder binomischer Gleichungen $X^{2}-d=0$ zurückführbar ist, hatte die Hoffnung genährt, dass dies auch im Falle allgemeiner Gleichungen höheren Grades so sein dürfte, wobei natürlich, solange die komplexen Zahlen nicht vertrauenswürdig erschienen, die Positivität $d\geq 0$ vorausgesetzt werden musste und solche reinen Wurzeln als reell angenommen wurden. Diese Sichtweise spiegelt sich auch in der Doppelbedeutung des Begriffs Wurzel wider: Einerseits wurde es als Synonym für die Nullstelle von Polynom verwendet, das heißt für die Lösungen polynomialer Gleichungen, andererseits bedeutet es speziell die Lösungen reiner Gleichungen, also Radikale. Wenn Nullstellen allgemeiner Gleichungen stets auf Nullstellen reiner Gleichungen zurückführbar wären Wurzeln (Nullstellen) tatsächlich stets mit Wurzeln (Radikalen) darstellbar. Körpertheoretisch ausgedrückt: Zerfällungskörper entstünden stets durch Adjunktion der Nullstellen reiner Gleichungen, nämlich Radikalen. Natürlich ging man dabei davon aus, dass man zur Auffindung reeller Nullstellen den Körper der reellen Zahlen nicht verlassen müsse: Das Verständnis der reellen Zahlen war noch intuitiv, die Existenz von Quadratwurzeln negativer Zahlen und irreelle Wurzeln überhaupt erschien fragwürdig. So zeigte der casus irreducibilis auf, dass manche kubische Gleichungen sich nicht reine Gleichungen mit positivem $d$ zurückführen ließen -- sondern auf dubiose reine Gleichungen mit negativem $d$. Zugleich sieht die Literatur Cardanos Verdient darin, dass er den Verdacht genährt hat, dass mit der Existenz komplexer Zahlen doch „zu rechnen“ sei. – Die trigonometrische Lösung des casus irreducibiis zeigte, dass sich neben den „reinen kubischen Gleichungen“ andersartige Gleichungen mit reellen Lösungen empfehlen, auf welche die kubische Gleichung zurückgeführt werden kann, nämlich die Gleichung der Winkeldreiteilungsgleichung.

In Platons Theaitetos sprechen Sokrates und sein Gesprächspartner, nach dem Platons Werk benannt ist, über die Inkommensurabilität Quadratwurzeln und Kubikwurzeln aus natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N}$, die selbst keine Quadrate bzw. Kubikzahlen sind. Die geometrische Inkommensurabilität bedeutet, dass die Größe nicht als Proportion bzw. als Bruch (also als Element von $\mathbb {Q}$) darstellbar ist, als als Lösung einer ganzzahligen linearen Gleichungen sind. Zahlen mussten einen anschaulichen Bezug zur geometrischen Wirklichkeit haben. Das gilt um so mehr für die Renaissance, die die Welt mit Zahlen zu erfassen suchte (Himmelsharmonien, -sphären etc.)

Bekanntlich können Quadratwurzeln oder Kubikwurzeln beliebig gut durch rationale Zahlen approximiert werden (Dedekindscher Schnitt, Quadratwurzeln sogar konstruktiv durch Kettenbrüche). Wurzeln aus negativen Zahlen jedoch sind lange außerhalb jeder geometrischen Vorstellung geblieben und galten daher als nicht existent oder mindestens als „unwirklich“.

Im Gegensatz zur quadratischen Gleichung, deren Lösung eine weit zurückführende Geschichte besitzt, hat es lange gedauert, bis die Lösung der allgemeinen kubischen Gleichung gefunden wurde. Der Versuch für die Gleichungen höheren Grades („Höhere Gleichungen“) allgemeine Lösungsformeln zu finden, war lange Ausgangspunkt und Untersuchungsgegenstand der Algebra bzw. des „Buchstabenrechnens“. Noch bis in die 1930er Jahre hinein waren die Lehrbücher zur Algebra von dieser Aufgabenstellung geprägt.

Man hoffte, dass sich durch geschickte Rechenkunst auch die Lösungen der höheren Gleichungen finden ließen. Der Erfolg blieb lange aus, bis Cardano die Lösung der kubischen Gleichungen (basierend auf Tartaglia/Ferri) und sogar die Lösung der biquadratischen Gleichung präsentierte. Dabei zeigte sich bereits, dass mit dem Postulat des „anschaulichen Wirklichkeitsbezugs“ von Zahlen unüberwindbare Schwierigkeiten verbunden waren, besonders im casus irreducibilis: Zwar konnte man die reellen Lösungen finden, musste dabei aber gewissermaßen über Glatteis gehen und mit Ausdrücken rechnen, die keinen Wirklichkeitsbezug hatten, sondern – wie er Descartes 1637 es nennen sollte – „eingebildete“ (imaginäre) Zahlen waren. Und so wird in der Literatur Cardanos Verdienst darin erblickt, dass er erste Versuche wagte, mit „unwirklichen“ Ausdrücken formal zu rechnen, ohne sich davon abschrecken zu lassen, dass seine Zeit ihnen keine Bedeutung beimessen konnte. Der Erfolg heiligte gewissermaßen die Mittel: Denn auf diese Weise gelangte er auf elegante Art und Weise zu einem korrekten Ergebnis. Dieses Phänomen, dass die „eingebildeten Ausdrücke“ neue Ergebnisse liefern oder alte Ergebnisse in auffallend eleganter Weise erklären konnten, trat in der Folge häufiger auf und hat die Akzeptanz der imaginären Zahlen befördert und ein neues Zahlenverständnis begründet. Es war mehr und mehr offenkundig geworden, dass die Beschränkung auf reelle Zahlen auch eine Beschränkung des Erkenntnishorizonts bedeutet.

Cardano hatte schon bei einem anderen Problem auf die Tatsache hingewiesen, dass man mit den unwirklich anmutenden Ausdrücken trotzdem formal korrekt rechnen kann: Welches Zahlenpaar $(x,y)$ ergibt in der Summe $x+y$ eine vorgegebene Zahl $p$ und im Produkt $xy$ eine zweite vorgegebenen Zahl $q$, also $x+y=p$ und $xy=q$? Es sind die Lösungen der Gleichung $X^{2}-pX+q=0$, die jedoch nicht für beliebige $p,q$ eine (reelle) Lösung besitzt, wofür Cardano das Beispiel für $p=10,q=40$ wählt. Er hätte sich damit begnügen können – doch er weist darauf hin, dass die beiden Ausdrücke $5\pm {\sqrt {-15}}$, die er (in der Demonstratio, Seite 65) als sophisticata bezeichnet (Capitulum 37), formal diese Bedingungen erfüllen. Nun mag, wer das gelesen hat, sich gefragt haben, wie nützlich denn eine Lösung sei, deren anschaulicher Nutzen unmöglich erscheint, und ob es nicht wahrhaftiger sei festzustellen, dass es eben keine Lösung gibt. Doch der „Casus irreducibilis“ der kubischen Gleichung zeigte, dass man mit diesen sinnlosen Ausdrücken durch formal korrektes Rechnen zu wirklichen (will sagen: reellen und mithin nutzbaren) Ergebnissen gelangen kann. Daher gilt die Lösung der kubischen Gleichung als einer der frühesten Denkanstöße zu erwägen, ob jene „sophistischen“, unwirklichen Ausdrücken nicht doch eine Daseinsberechtigung haben und mit ihnen zu rechnen ist. Erst 1637 hat René Descartes in seiner La Géométrie das Gegensatzpaar reell versus imaginär geprägt und räumte zugleich ein, dass man mit den „eingebildeten“ Größen keine Anschauung verbinden könne. Es dauerte noch bis 1831, als durch Gauß' Arbeit die Vorstellung von der Gaußschen Zahlenebene sich durchsetzte, obgleich es schon vor der Jahrhundertwende Autoren mit diesen Ideen gab (Wessels, Argand). Hamilton gab dem Formalismus 1837 schließlich eine rein arithmetische Gestalt.

Die Lösung der biquadratischen (synonym: quartischen) Gleichung konnte Cardano auf die Lösung einer kubischen Resolvente zurückführen.

Die Lösung der allgemeinen Gleichungen von fünftem Grade ließ sich durch keinen Rechenkniff finden. Schließlich wiesen einige Mathematiker im 19. Jahrhundert (Pierre Wantzel, Niels Henrik Abel, Evariste Galois) nach, dass die Angabe einer allgemeinen Lösung unmöglich ist. Dazu entwickelten sie eine gänzlich neue Perspektive auf das Problem und betrachteten es auf strukturelle Weise. Man darf wohl sagen, dass damit die Entwicklung der Mathematik von einer hoch entwickelten Rechenkunst zur einer Strukturwissenschaft einen enormen Impuls erhalten hat, der im Übergang vom klassischen Verständnis der Algebra (gemäß Lehrbüchern von Heinrich Weber (Mathematiker), Oskar Perron, Eugen Netto, Helmut Hasse, Wolfgang Krull) zur Modernen Algebra nachwirkt. Die Rechenkunst Cardanos erhält durch diesen neuen Problemzugang eine hintergründige Erklärung: Die Lagrange-Resolvente bestimmt eine quadratische Körpererweiterung (durch Adjunktion der Quadratwurzel ${\sqrt {\Delta }}$). Der Zerfällungskörper des reduzierten kubischen Polynoms ist seinerseits über diesem Zwischenkörper eine primzyklische Erweiterung (nämlich kubisch). Die entscheidende Rolle der Diskriminante ${\sqrt {\Delta }}$ besteht darin, dass sie unter allen geraden Permutationen der Wurzeln $z_{i}$ des reduzierten Polynoms unverändert bleibt. (Stimmt so noch nicht ganz.)

Die reellen Nullstellen („Wurzeln“) dieser Polynomfunktion bzw. die reellen (scil.) Lösungen der Gleichung sollten gefunden werden. Lange bestand die Erwartung, dass diese sich durch Radikale beschreiben lassen, also durch die Lösungen von reinen oder binomischen Gleichungen $x^{n}-a=0$. Der traditionelle doppeldeutige Gebrauch des Begriffs „Wurzel“ trägt diese Erwartung in sich: Lösungen allgemeiner Gleichungen hießen Wurzeln, da man erwartete, dass sie sich auf die Nullstellen reiner Gleichungen $x^{n}-a=0$, also auf Wurzelausdrücke (Radikale) ${\sqrt[{n}]{\cdot }}$ zurückführen lassen – modern ausgedrückt: Man erwartete, dass allgemeine Wurzeln in einem Erweiterungskörper liegen, der sich durch schrittweise Adjunktion von Radikalen erlangen lässt. Und natürlich bestand die Erwartung, dass man nur mit reellen Radikalen operieren muss, um reelle Lösungen zu erhalten. Diese Erwartung aber wurde schon im Falle kubischer Gleichungen getäuscht („casus irreducibilis“): Der von Geronimo Cardano gezeigte Lösungsweg führt – zwangsläufig, wie man heute weiß – über Ausdrücke (wie etwa $5\pm {\sqrt {-15}}$), denen seine Zeit zwar keinen „Sinn“ beimessen konnte und die nichtsdestoweniger (bei formaler Rechnung) ein korrektes reelles (also sinnvolles) Ergebnis lieferten. Die Lösung der kubischen Gleichung war deshalb ein früher, wesentlicher Impuls in der historischen Entwicklung zur Akzeptanz „imaginärer“ Zahlen.

Die so genannte trigonometrische Lösung gibt für den casus irreducibilis einen reellen Lösungsweg, der die gesuchte Nullstellen jedoch nicht auf Wurzeln reiner Gleichungen zurückführt, also nicht auf Radikale, sondern auf eine andere kubische Gleichung, deren Lösung dank der Additionstheoreme trigonometrisch angegeben werden können.

Auch für die biquadratische (quartische) Gleichung beschrieb Cardano eine Lösung, in dem er eine kubische Resolvente fand: So konnte er das biquadratische auf das kubische Problem zurückführen.

Beispiel

$F_{r}(Z)=Z(Z^{2}-4)=Z(Z-2)(Z+2)$ mit $q=0,p=-4$. Also ist $\Delta =-4(-4)^{3}=4^{4}=2^{8}$ und $\Delta _{2}=-27\Delta =-3(3\cdot 2^{4})^{2}$, so dass ${\sqrt {\Delta _{2}}}=3\cdot 2^{4}{\sqrt {-3}}$.

Mithin $t_{0,1}=\pm {\frac {16\cdot 3{\sqrt {-3}}}{2}}$.

Also formal gerechnet (a la Cardano): $u_{0}={\sqrt[{3}]{16\cdot 3{\sqrt {-3}}}}$ und $v_{0}={\sqrt[{3}]{-16\cdot 3{\sqrt {-3}}}}{\stackrel {!}{=}}-{\sqrt[{3}]{16\cdot 3{\sqrt {-3}}}}=-u_{0}$, so dass tatsächlich (NB1) $u^{3}+v^{3}=0=-q$ und (NB2) ${\color {red}uv=-{\sqrt[{3}]{-16\cdot 3{\sqrt {-3}}}}{\sqrt[{3}]{-16\cdot 3{\sqrt {-3}}}}=-{\sqrt[{3}]{-16\cdot 3{\sqrt {-3}}\cdot (-16\cdot 3{\sqrt {-3}})}}={\sqrt[{3}]{(-16)(-16)(-27))}}={\sqrt[{3}]{2^{8}\cdot (-3^{3})}}=-3{\sqrt[{3}]{2^{8}}}=\dots ???\dots =-3p}$ erfüllt sind.

$u_{1}=\varepsilon _{1}u_{0}=-\varepsilon _{1}v_{1}$

$v_{1}=\varepsilon _{2}v_{0}=-\varepsilon _{2}u_{0}$

ETC.

Historische Beispiele

im Matthiessen befindet sich viel Historisches, sogar der lateinische Text des Cap XI von Cardano mit den kubischen Formeln, aber auch Cap XXXVII mit den quadratischen ERwäungen. er erwähnt, dass Cardano von den radices fictae und den radices verae spricht. Auch in "Zahlen" (Hirzebruch, Remmert et al.) steht manches, zum Beispiel Rechenbeispiele!

Nun sollen einige Beispiele für beeindruckend frühe Rechnungen mit „eingebildeten“ Zahlen folgen: Siehe dazu Hirzebruch et al.: Zahlen, Kap. 3 § 1, Abschnitte 1 bis 3.

laut Thomas de Padova, Seite 339: $x^{3}-6x+4=0$. Mit Lösung $x=2$.

Die Beispiele ließen sich in die große Tabelle mit den diskriminierenden Fällen anfügen.

Literatur

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• Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen. München 1948, doi:10.1515/9783486775990 (doi:10.1515/9783486775990). 
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  • Deutsche Erstausgabe: Teubner 1959
  • Emil Artin, Arthur N. Milgram: Galois Theory. Lectures delivered at the University of Notre Dame, edited and supplemented with a Section on Applications by Dr. Arthur N. Milgram, Notre Dame, Indiana, 1942 (2. Auflage 1948). Hrsg.: Arthur N. Milgram. Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-62342-4 (projecteuclid.org [PDF; abgerufen am 22. November 2024]). 
  • MathSciNet: MR0009934
• Thomas de Padova: Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand. Carl Hanser Verlag, 2021, ISBN 978-3-446-26932-3. 

Weblinks

• Formeln von Cardano zur Lösung der Gleichung dritten Grades auf mathematik.ch

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