Fries unter der Dachtraufe von St. Martin in Landshut
Fries unter der Dachtraufe von St. Martin in Landshut
Abelsche Gruppe

Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:

ist Spezialfall von

In einer Kategorie heißt ein Objekt injektiv, wenn es zu jedem Monomorphismus und jedem ein gibt, so dass ist. Das nebenstehende Diagramm ist kommutativ. Also ist injektiv, wenn für alle Monomorphismen die induzierte Abbildung surjektiv ist.


Der Hom Funktor

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Sind   Moduln, so ist   die Menge der Hmomorphismen  .

Moduleigenschaften von Hom

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  • Die Menge   wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen   die Summe folgendermaßen definiert ist:  .
  • Ist   ein   Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring   und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring  , so wird   auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring  , wenn man für   und   definiert:  . Ist insbesondere   der Endomorphismenring von  , so ist   auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring  .
  • Ist   ein   Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring   und auf der rechten Seite über dem Ring   , so wird   auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring  , wenn man für   und   definiert:  .

Der kovariante Funktor Hom

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Ist   ein Modul, so ordnet man jedem Modul   die abelsche Gruppe   zu. Jedem Homomorphismus   wird der Homomorphismus   zugeordnet. Es gilt dann für alle  :  . Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet.   ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring   in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist   wie oben ein   Bimodul, so ist   ein Funktor von der Kategorie der Moduln über   in die Kategorie der Moduln über  .

Linksexaktheit von Hom

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Für einen Komplex   sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  •   ist exakt.
  • Für alle Moduln   ist   exakt.
  • Es gibt einen Generator  , so dass die Folge   exakt ist.

Komplex bedeutet  .

Zum Koprodukt

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  • Ist   eine Familie von Homomorphismen, so ist für alle Gruppen   die Abbildung   eine natürliche Transformation.
  • Es gilt: Die Familie   ist ein funktorieller Isomorphismus genau dann, wenn   ein Koprodukt der Familie   ist.
  • Es gibt zu jeder Familie von Gruppen   ein zugehöriges Koprodukt. Dies zeigt die folgende Konstruktion. Sei   eine Familie von Gruppen.
  das mengentheoretische Produkt der Familie  . Wir bezeichnen   durch   oder einfach  . Dabei steht   für  . Es ist   die  te Komponente von  . Dies ist eine analoge Bezeichnung wie bei Folgen, Diese   Folgen bilden durch die komponentenweise Addition eine abelsche Gruppe.  .
  • Die Abbildung   heißt  te Projektion. Ist   nur für endlich viele  , so heißt   endlichwertig.
  • Satz (Produkt von Gruppen): Es sei   eine Familie von Homomorphismen  . Dann ist die Abbildung:
  der einzige Homomorphismus, so dass für alle   gilt:  . In der Kategorie der abelschen Gruppen ist   ein Produkt der Familie  .
  • Sei   eine Familie von Moduln und   ihr Produkt. Zu jedem   gibt einen eindeutig bestimmten Homomorphismus   mit  
  • Für alle   sind die   Monomorphismen. Sei  .
  • Satz: Es ist  

Projektiver Modul

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Für eine Modul   sind folgende Aussagen äquivalent.

  •   ist projektiv.
  • Zu jedem Epimorphismus   gibt es  , so dass   gilt. Das heißt jeder Epimorphimus mit Ziel   ist eine Retraktion.
  • Jeder Epimorphismus   zerfällt. Das heißt   ist direkter Summand in  .
  •   ist isomorph zu einem direkten Summanden eines freien Moduls.
  • Der Funktor   ist exakt.

Zur Selbstabbildung

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Eine Selbstabbildung   heißt auch eine einstellige Verknüpfung auf  .

Beispiele

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  1. Die Identität einer Menge   ist eine Selbstabbildung. .
  2. Das wichtigste Beispiel einer Menge mit Selbstabbildung ist Zählen. Jeder natürlichen Zahl wird ihr Nachfolger zugeordnet.  .
  3. Ist eine Zahl   im Dezimalsystem dargestellt, so kann man ihr ihre Quersumme   zuordnen. So ist etwa  . Allgemein  . Es ist   genau dann durch drei teilbar, wenn   durch drei teilbar ist.
  4. Es sei   die Menge der positiven rationalen Zahlen und   eine Selbstabbildung. Wendet man   wiederholt an und geht zum Beispiel von   aus, so erhält man die Folge  . In der Folge dieser Brüche sind Zähler und Nenner aufeinander folgende Fibonacci Zahlen . In   hat diese Folge den Grenzwert  . Dies ist die Zahl des goldenen Schnittes.

Abelsche Gruppe

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Zu Funktor Hom

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Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von  . Da es zu jedem   einen eindeutig bestimmten Homomorphismus   mit   gibt, ist die Zuordnung   eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen

 

hat die folgende Eigenschaft: Für alle   und alle Homomorphismen   ist  . Außerdem ist für alle   die Abbildung   ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist:  . Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle   und alle   mit Isomorphismen  .

 
Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)

Das heißt unter anderem   ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn   dies ist.

Kopiertes

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  • 1. Zu dem Wikipedia Artikel über Induktion <2024-02-05 Mo>

1. Zu dem Wikipedia Artikel über Induktion

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Im Artikel von Wikipedia Vollständige Induktion

In diesem Artikel wird ein ziemlicher Verhau über die vollständige Induktion erzählt

  1. Das Induktionsprinzip steckt latent bereits in der von Euklid überlieferten pythagoreischen Zahlendefinition: „Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.“[2] Es ist nicht einzusehen, wieso in dieser Auffassung das Induktionsprinzip stecken soll.
  2. Seit Richard Dedekind ist die vollständige Induktion folgendermaßen festgelegt: Um zu beweisen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen

genügt es zu zeigen, dass sie für

  1.   gilt und
  2. dass aus der Gültigkeit der Aussage für eine Zahl  

stets auch ihre Gültigkeit für den Nachfolger

 

Direkte Summe

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  • Sei   für zwei Untergruppen   und   die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:
  1.  .
  2. Zu je zwei Homomorphismen   gibt es genau einen Homomorphismus   mit   für  .

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe

Produkt und Koprodukt abelscher Gruppen

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Sei   eine Familie von Gruppen.   sei das mengentheoretische direkte Produkt der Mengen  . Für   wählen wir die etwas eingängigere Schreibweise  . Im Falle   entspricht dies der Schreibweise für Folgen  . Wie bei Folgen schreiben wir  . Dabei ist  . Es ist   eine andere Darstellung der Funktion   mit  . Ist   die endliche Menge  , so entspricht jedem   ein  -Tupel  . Die Funktion   wird mit ihrer Wertetabelle identifiziert.

  wird zu einer Gruppe aus   indem man definiert  . Es ist  . Die Gruppenoperation ist komponentenweise definiert. Die Abbildungen

  heißen Projektionen.   ordnet jedem   die  -te Komponente zu. Es gilt der folgende
Satz: Es sei   eine Familie von Homomorphismen  . Dann ist die Abbildung:  der einzige Homomorphismus, so dass für alle   gilt:  . Bezeichnen wir mit   veranschaulicht das folgende Diagramm die Situation.
 
Universelle Eigenschaft des direkten Produktes

Primäre Gruppen

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Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei   eine Primzahl. Die Gruppe   heißt  -primär genau dann, wenn es zu jedem   ein   gibt mit  . Die Summe aller  -primären Untergruppen einer Gruppe   ist  -primär. Es ist die größte  -primäre Untergruppe von  . Sie wird mit   bezeichnet und heißt  -Primärkomponente von  . Es gilt:

Ist   eine Torsionsgruppe, so ist  . Es ist   direkte Summe seiner Primärkomponenten.