Benutzer:Hesmucet/Probeseite

Fries unter der Dachtraufe von St. Martin in Landshut

Abelsche Gruppe

Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:

Funktion Ganze Zahl Rationale Zahl

ist Spezialfall von

Gruppe

In einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt ein Objekt $Q$ injektiv, wenn es zu jedem Monomorphismus $\alpha \colon A\rightarrow B$ und jedem $f\colon A\rightarrow Q$ ein $f^{*}\colon B\rightarrow Q$ gibt, so dass $f^{*}\circ \alpha =f$ ist. Das nebenstehende Diagramm ist kommutativ. Also $Q$ ist injektiv, wenn für alle Monomorphismen $\alpha \colon A\rightarrow B$ die induzierte Abbildung $Mor_{\mathcal {C}}(B,Q)\ni f^{*}\mapsto f^{*}\circ \alpha \in Mor_{\mathcal {C}}(A,Q)$ surjektiv ist.

Der Hom Funktor

Sind $M,N$ Moduln, so ist $\operatorname {Hom} (M,N)$ die Menge der Hmomorphismen $f\colon M\rightarrow N$.

Moduleigenschaften von Hom

• Die Menge $\operatorname {Hom} (M,N)$ wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen $f,g\colon M\rightarrow N$ die Summe folgendermaßen definiert ist: $f+g\colon M\ni m\mapsto f(m)+g(m)\in N$.
• Ist $M$ ein $S-R$ Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring $S$ und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring $R$, so wird $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring $S$, wenn man für $f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ und $s\in S$ definiert: $f\cdot s\colon M\ni m\mapsto f(s\cdot m)\in N$. Ist insbesondere $S$ der Endomorphismenring von $M$, so ist $\operatorname {Hom} (M,N)$ auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring $S$.
• Ist $N$ ein $S-R$ Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring $S$ und auf der rechten Seite über dem Ring $R$ , so wird $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring $S$, wenn man für $f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ und $s\in S$ definiert: $s\cdot f\colon M\ni m\mapsto s\cdot f(m)\in N$.

Der kovariante Funktor Hom

Ist $M$ ein Modul, so ordnet man jedem Modul $N$ die abelsche Gruppe $\operatorname {Hom} (M,N)$ zu. Jedem Homomorphismus $\alpha \colon A\rightarrow B$ wird der Homomorphismus $\operatorname {Hom} (M,\alpha )\colon \operatorname {Hom} (M,A)\ni f\mapsto \alpha \circ f\in \operatorname {Hom} (M,B)$ zugeordnet. Es gilt dann für alle $\alpha \colon A\rightarrow B\,\,,\beta \colon B\rightarrow C$: $\operatorname {Hom} (M,\beta \circ \alpha )=\operatorname {Hom} (M,\alpha )\circ \operatorname {Hom} (M,\beta )$. Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet. $\operatorname {Hom} (M,-)$ ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring $R$ in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist $M$ wie oben ein $S-R$ Bimodul, so ist $\operatorname {Hom} (M,-)$ ein Funktor von der Kategorie der Moduln über $R$ in die Kategorie der Moduln über $S$.

Linksexaktheit von Hom

Für einen Komplex $0\rightarrow A{\overset {\alpha }{\rightarrow }}B{\overset {\beta }{\rightarrow }}C$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $0\rightarrow A{\overset {\alpha }{\rightarrow }}B{\overset {\beta }{\rightarrow }}C$ ist exakt.
• Für alle Moduln $M$ ist $0\rightarrow \operatorname {Hom} (M,A){\overset {\alpha }{\rightarrow }}\operatorname {Hom} (M,B){\overset {\beta }{\rightarrow }}\operatorname {Hom} (M,C)$ exakt.
• Es gibt einen Generator $G$, so dass die Folge $0\rightarrow \operatorname {Hom} (G,A){\overset {\alpha }{\rightarrow }}\operatorname {Hom} (G,B){\overset {\beta }{\rightarrow }}\operatorname {Hom} (G,C)$ exakt ist.

Komplex bedeutet $\beta \circ \alpha =0$.

Zum Koprodukt

• Ist $q_{i}\colon A_{i}\rightarrow A$ eine Familie von Homomorphismen, so ist für alle Gruppen $B$ die Abbildung $\Phi (B)\colon Hom(A,B)\ni \alpha \mapsto (\alpha \circ q_{i})\in \prod \limits _{i\in I}\operatorname {Hom} (A_{i},B)$ eine natürliche Transformation.

• Es gilt: Die Familie $\{\Phi (B)|B{\text{ abelsche Gruppe }}\}$ ist ein funktorieller Isomorphismus genau dann, wenn $(A,(q_{i}))$ ein Koprodukt der Familie $(A_{i}|i\in I)$ ist.

• Es gibt zu jeder Familie von Gruppen $(A_{i}|i\in I)$ ein zugehöriges Koprodukt. Dies zeigt die folgende Konstruktion. Sei $(A_{i}|i\in I)$ eine Familie von Gruppen.

$\prod \limits _{i\in I}A_{i}:=\{f|f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}A_{i},\ {\text{und }}f(i)\in A_{i}\}$ das mengentheoretische Produkt der Familie $(A_{i}|i\in I)$. Wir bezeichnen $f\colon I\to \bigcup A_{i}$ durch $(f(i)|i\in I)$ oder einfach $(f(i))=(a_{i})$. Dabei steht $a_{i}$ für $f(i)$. Es ist $a_{i}$ die $i$te Komponente von $f$. Dies ist eine analoge Bezeichnung wie bei Folgen, Diese $I-$ Folgen bilden durch die komponentenweise Addition eine abelsche Gruppe. $(f+g)(i):=f(i)+g(i)$.

• Die Abbildung $\pi _{i}\colon \prod A_{i}\ni (a_{i})\mapsto a_{i}\in A_{i}$ heißt $i$te Projektion. Ist $f(i)\neq 0$ nur für endlich viele $i\in I$, so heißt $f$ endlichwertig.

• Satz (Produkt von Gruppen): Es sei $(f_{i}|i\in I)$ eine Familie von Homomorphismen $f_{i}\in Hom(A,A_{i})$. Dann ist die Abbildung:

$f\colon A\ni a\mapsto (I\ni i\mapsto f_{i}(a))\in \prod _{i\in I}A_{i}$ der einzige Homomorphismus, so dass für alle $i\in I$ gilt: $\pi _{i}\circ f=f_{i}$. In der Kategorie der abelschen Gruppen ist $P:=\prod \limits _{i\in I}A_{i}$ ein Produkt der Familie $(A_{i}|i\in I)$.

• Sei $(A_{i}|i\in I)$ eine Familie von Moduln und $(P=\prod \limits _{i\in I}A_{i}|(\pi _{i}i\in I))$ ihr Produkt. Zu jedem $i\in I$ gibt einen eindeutig bestimmten Homomorphismus $q_{i}\colon A_{i}\rightarrow P$ mit $\pi _{j}q_{i}={\begin{cases}0&{\text{ für }}j\neq i\\\mathbf {1} _{A_{i}}{\text{ für }}i=j\end{cases}}$
• Für alle $i\in I$ sind die $q_{i}$ Monomorphismen. Sei $\coprod \limits _{i\in I}A_{i}\colon =\sum \limits _{i\in I}q_{i}(A_{i})\hookrightarrow P$.
• Satz: Es ist $\coprod \limits _{i\in I}A_{i}=\bigoplus \limits _{i\in I}q_{i}(A_{i})$

Projektiver Modul

Für eine Modul $P$ sind folgende Aussagen äquivalent.

• $P$ ist projektiv.
• Zu jedem Epimorphismus $f\colon M\rightarrow P$ gibt es $g\colon P\rightarrow M$, so dass $g\circ f=\mathbf {1} _{P}$ gilt. Das heißt jeder Epimorphimus mit Ziel $P$ ist eine Retraktion.
• Jeder Epimorphismus $f\colon M\rightarrow P$ zerfällt. Das heißt $\operatorname {Kern} (f)$ ist direkter Summand in $M$.
• $P$ ist isomorph zu einem direkten Summanden eines freien Moduls.
• Der Funktor $\operatorname {Hom} (P,-)$ ist exakt.

Zur Selbstabbildung

Eine Selbstabbildung $\alpha \colon A\rightarrow A$ heißt auch eine einstellige Verknüpfung auf $A$.

Beispiele

1. Die Identität einer Menge $A$ ist eine Selbstabbildung.$id_{A}\colon A\ni a\mapsto a\in A$.
2. Das wichtigste Beispiel einer Menge mit Selbstabbildung ist Zählen. Jeder natürlichen Zahl wird ihr Nachfolger zugeordnet. $1+\colon \mathbb {N} \ni n\mapsto 1+n\in \mathbb {N}$.
3. Ist eine Zahl $n$ im Dezimalsystem dargestellt, so kann man ihr ihre Quersumme $q(n)$ zuordnen. So ist etwa $q(12345)=15,q(15)=6$. Allgemein $q\colon \mathbb {N} \ni \sum \limits _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\mapsto \sum \limits _{i=0}^{k}a_{i}\in \mathbb {N}$. Es ist $n$ genau dann durch drei teilbar, wenn $q(n)$ durch drei teilbar ist.
4. Es sei $\mathbb {Q} ^{+}$ die Menge der positiven rationalen Zahlen und $\alpha \colon \mathbb {Q} ^{+}\ni x\mapsto {\frac {1+x}{x}}\in \mathbb {Q} ^{+}$ eine Selbstabbildung. Wendet man $\alpha$ wiederholt an und geht zum Beispiel von $x=1$ aus, so erhält man die Folge $1\mapsto 2\mapsto {\frac {3}{2}}\mapsto {\frac {5}{3}}\mapsto {\frac {8}{5}}\mapsto \dots$. In der Folge dieser Brüche sind Zähler und Nenner aufeinander folgende Fibonacci Zahlen . In $\mathbb {R}$ hat diese Folge den Grenzwert $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$. Dies ist die Zahl des goldenen Schnittes.

Abelsche Gruppe

Zu Funktor Hom

Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von $\mathbb {Z}$. Da es zu jedem $a\in A$ einen eindeutig bestimmten Homomorphismus $\Phi _{a}\colon \mathbb {Z} \to A$ mit $\Phi _{a}(1)=a$ gibt, ist die Zuordnung $\Phi (A)\colon A\ni a\mapsto \Phi _{a}\in \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,A)$ eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen

$\{\Phi (A)|A{\text{ abelsche Gruppe }}\}$

hat die folgende Eigenschaft: Für alle $A,B\in {\cal {A}}$ und alle Homomorphismen $f\colon A\to B$ ist $\Phi (B)\circ f=Hom(\mathbb {Z} ,f)\circ \Phi (A)$. Außerdem ist für alle $A\in {\cal {A}}$ die Abbildung $\Phi (A)$ ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist: $\Psi (A)\colon \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,A)\ni \alpha \to \alpha (1)\in A$. Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle $A,B\in {\cal {A}}$ und alle $f\colon A\to B$ mit Isomorphismen $\Phi (A),\Phi (B)$.

Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)

Das heißt unter anderem $f\colon A\to B$ ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn $\operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,f)$ dies ist.

Kopiertes

$\Phi _{a}(z)=a\cdot z=\left\{{\begin{matrix}\underbrace {a+a+\ldots +a} _{z\ \mathrm {mal} }&{\text{falls }}&z\geq 0,\\-(a\cdot |z|)&{\text{ falls }}&z<0,\\\end{matrix}}\right.$

• 1. Zu dem Wikipedia Artikel über Induktion <2024-02-05 Mo>

1. Zu dem Wikipedia Artikel über Induktion

Im Artikel von Wikipedia Vollständige Induktion

In diesem Artikel wird ein ziemlicher Verhau über die vollständige Induktion erzählt

1. Das Induktionsprinzip steckt latent bereits in der von Euklid überlieferten pythagoreischen Zahlendefinition: „Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.“[2] Es ist nicht einzusehen, wieso in dieser Auffassung das Induktionsprinzip stecken soll.
2. Seit Richard Dedekind ist die vollständige Induktion folgendermaßen festgelegt: Um zu beweisen, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen

genügt es zu zeigen, dass sie für

1. $n=n_{0}$ gilt und
2. dass aus der Gültigkeit der Aussage für eine Zahl $n\geq n_{0}$

stets auch ihre Gültigkeit für den Nachfolger

$n+1$

Direkte Summe

• Sei $A=A_{1}+A_{2}$ für zwei Untergruppen $A_{1},A_{2}$ und $q_{i}\colon A_{i}\hookrightarrow A$ die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:

1. $A=A_{1}\oplus A_{2}$.
2. Zu je zwei Homomorphismen $f_{i}\colon A_{i}\to B,i\in \{1,2\}$ gibt es genau einen Homomorphismus $f\colon A\to B$ mit $f\circ q_{i}=f_{i}$ für $i\in \{1,2\}$.

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe

Produkt und Koprodukt abelscher Gruppen

Sei $(A_{i}|i\in I)$ eine Familie von Gruppen. $\prod \limits _{i\in I}A_{i}=\{\alpha |\alpha \colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}{\text{ und }}\alpha (i)\in A_{i}\}$ sei das mengentheoretische direkte Produkt der Mengen $(A_{i}|i\in I)$. Für $\alpha \in \prod \limits _{i\in I}A_{i}$ wählen wir die etwas eingängigere Schreibweise $(\alpha (i)|i\in I)=(\alpha (i))$. Im Falle $I=\mathbb {N}$ entspricht dies der Schreibweise für Folgen $(\alpha (n))$. Wie bei Folgen schreiben wir $(\alpha (i))=(a_{i})$. Dabei ist $\alpha (i)=a_{i}\in A_{i}$. Es ist $(a_{i})$ eine andere Darstellung der Funktion $\alpha \colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}A_{i}$ mit $\alpha (i)=a_{i}\in A_{i}$. Ist $I$ die endliche Menge $I_{n}=\{0,\dots ,n-1\}$, so entspricht jedem $\alpha \colon I\to \prod A_{i}$ ein $n$-Tupel $\alpha =(a_{0},\dots ,a_{n-1})$. Die Funktion $\alpha$ wird mit ihrer Wertetabelle identifiziert.

$\prod \limits _{i\in I}A_{i}$ wird zu einer Gruppe aus ${\cal {A}}$ indem man definiert $(\alpha +\beta )(i)\colon =\alpha (i)+\beta (i)$. Es ist $(a_{i})+(b_{i})=(a_{i}+b_{i})$. Die Gruppenoperation ist komponentenweise definiert. Die Abbildungen

$\pi _{k}\colon \prod _{i\in I}A_{i}\ni \alpha \mapsto \alpha (k)\in A_{k}$ heißen Projektionen. $\pi _{k}$ ordnet jedem $(a_{i})$ die $k$-te Komponente zu. Es gilt der folgende

Satz: Es sei $(f_{i}|i\in I)$ eine Familie von Homomorphismen $f_{i}\in Hom(X,A_{i})$. Dann ist die Abbildung:$f\colon X\ni x\mapsto (f_{i}(x))\in \prod _{i\in I}A_{i}$ der einzige Homomorphismus, so dass für alle $i\in I$ gilt: $\pi _{i}\circ f=f_{i}$. Bezeichnen wir mit $P=\prod \limits _{i\in I}A_{i}$ veranschaulicht das folgende Diagramm die Situation.

Universelle Eigenschaft des direkten Produktes

Primäre Gruppen

Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei $p$ eine Primzahl. Die Gruppe $A$ heißt $p$-primär genau dann, wenn es zu jedem $a\in A$ ein $n\in \mathbb {N}$ gibt mit $a\cdot p^{n}=0$. Die Summe aller $p$-primären Untergruppen einer Gruppe $A$ ist $p$-primär. Es ist die größte $p$-primäre Untergruppe von $A$. Sie wird mit $A_{p}$ bezeichnet und heißt $p$-Primärkomponente von $A$. Es gilt:

Ist $A$ eine Torsionsgruppe, so ist $A=\bigoplus \limits _{p{\text{ prim}}}A_{p}$. Es ist $A$ direkte Summe seiner Primärkomponenten.