Benutzer:Kmhkmh/sandbox20

Ausgangs- oder Referenzdreieck (schwarz) mit zugehörigem Mittendreieck (rot)

Das Mittendreieck ist eines speziellen Dreieck in der Elementargeometrie. Zu einem gegebenen Dreieck erhält man das zugehörige Mittendreieck, indem man die Seitenmitten des gegebenen Dreiecks verbindet, die Eckpunkte des Mittendreiecks sind also die Seitenmitten des Ausgangsdreiecks.

Eigenschaften

$M$: Umkreismittelpunkt von $\triangle ABC$,
$\quad \,$ Höhenschnittpunkt von $\triangle DEF$
$N$: Inkreismittelpunkt von $\triangle ABC$, Nagel-Punkt von $\triangle DEF$
$S$: Schwerpunkt von $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$
$\triangle DEF\cong \triangle ADF\cong \triangle DBE\cong \triangle EFC\sim \triangle ABC$

Für ein Ausgangsdreieck $\triangle ABC$ mit Mittendreieck $\triangle DEF$ (siehe Zeichnung) gilt aufgrund des Satz vom Mittendreieck oder des Strahlensatzes, dass die Seiten des Mittendreiecks halb so lang wie die gegenüberliegenden Seiten des Ausgangsdreiecks sind. Zudem ist das Mittendreieck ähnlich zum Ausgangsdreieck und seine Fläche beträgt ein Viertel der Fläche des Asgangsdreiecks. Aus dem Kongruenzsatz SSS folgt, dass die drei anderen Teildreiecke $\triangle ADF$, $\triangle DBE$ und $\triangle EFC$, die durch das Mittendreieck entstehen, kongruent zu diesem sind. Man erhält das Mittendreieck aus dem Ausgangsdreieck auch durch eine zentrische Streckung mit dem Faktor $-{\tfrac {1}{2}}$ und dem Schwerpunkt des Ausgangsdreiecks als Streckzentrum.

Das Ausgangsdreieck und das Mittendreieck sind orthologische Dreiecke.

Das Mittendreieck ist einzige in das Ausgangsdreieck einbeschriebene Dreieck, bei dem keines der anderen drei dabei enstehenden Teildrecke eine kleinere Fläche besitzt als das einbeschriebene Dreieck.

Eine Reihe der Dreieckszentren des Mittendreiecks entspricht Dreieckszentren des Ausgangsdreiecks. Die folgende Tabelle stellt eine Auswahl dar:

Mittendreieck	Ausgangsdreieck
Inkreismittelpunkt	Spieker-Punkt
Umkreismittelpunkt	Mittelpunkt des Feuerbachkreis
Schwerpunkt	Schwerpunkt
Höhenschnittpunkt	Umkreismittelpunkt
Gergonne-Punkt	Mittenpunkt
Nagel-Punkt	Inkreismittelpunkt
Longchamps-Punkt	Höhenschnittpunkt

Weblinks

Commons: Erster Lemoinescher Kreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: medial triangle. In: MathWorld (englisch).
• Elizabeth Gieseking: Exploration 4: Centers of Medial Triangles (University of Georgia)

Einzelnachweise

Kategorie:Dreiecksgeometrie

Der Nagel-Punkt des Mittendreiecks entspricht dem Inkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks.

• https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GergonneMedial.shtml
• https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2022/01/7.-90-103.pdf
• https://lsgm.uni-leipzig.de/KoSemNet/pdf/graebe-99-1.pdf

asymettrisches polyzentrisches Oval

Ein polyzentrisches Oval ist ein ausschließlich aus Kreisbögen zusammengesetztes Oval. Dabei müssen die Kreisbögen glatt aneinander sitzen,das heißt sie besitzen identische Tangenten an den Nahtstellen.

Sebastiano Serlio

Literatur

• Alexander J. Hahn: Mathematical excursions to the world’s great buildings. Princeton University Press, 2012, S. 36–39, 169–171
• Angelo Alessandro Mazzotti: All Sides to an Oval. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-39374-2, S. 5-18
• Angelo Mazzotti: A Euclidean Approach to Eggs and Polycentric Curves. In: Nexus Network Journal, Band 16, pp. 345-387, doi 10.1007/s00004-014-0189-5
• Santiago Huerta: Oval Domes: History, Geometry, and Mechanics. In: Nexus Network Journal Architecture and Mathematics, Band 9, Nr. 2, 2007, ISSN 1590-5896, S. 211-248
• Nigel Pennick: Sacred Architecture of London. Aeon Books, 2012 ISBN 9781904658641, S. 99-103
• Jürgen Renn, Wilhelm Osthues, Hermann Schlimme (Hrsg.): Wissensgeschichte der Architektur - Band III: Vom Mittelalter bis zur Frühen Neuzeit. Max-Planck-Gesellschaf. Berlin 2014, ISBN 978-3-945561-04-1
• Esther Tamborero, Vicenta Calvo Roselló, Vicenta, M. Gómez Collado: Geometrical Analysis of Oval Domes through Architectural and Mathematical Methods. The Case of the Dome of the Camarín of the Virgin of El Puig (Valencia, Spain). In: International Journal of Architectural Heritage, Band 16, 2021, doi 10.1080/15583058.2021.1896820, S. 1-15

Weblinks

• Achim Ilchmann, Angelo Alessandro Mazzotti: Die versteckte Sch¨onheit im Korbschen Oval der Bibliothek zu Wolfenbüttel

• https://www.researchgate.net/publication/274035937_A_Euclidean_Approach_to_Eggs_and_Polycentric_Curves

• https://books.google.de/books?id=nuzyDwAAQBAJ&pg=PA102
• https://books.google.de/books?id=b1AMdNJ-v28C&pg=PA598 (auch korbbogen)
• https://books.google.de/books?id=ahdX2KpUMnsC&pg=PA300
• https://docplayer.org/66764693-11-mathematik-der-400-m-bahn.html
• http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ovāl
• https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-8348-9604-9_11
• https://books.google.de/books?id=e-KrCQAAQBAJ&pg=PA519

• https://www.sueddeutsche.de/wissen/voegel-und-ihre-eier-die-vermessung-des-vogeleis-1.3557490
• https://www.wienerzeitung.at/nachrichten/wissen/natur/899932-Der-Flug-formte-die-Eier.html
• https://www.nationalgeographic.de/wissenschaft/2017/07/ueberraschender-zusammenhang-zwischen-flugfaehigkeit-und-eiform-bei-voegeln
• https://www.spektrum.de/news/raetsel-um-vogeleier-geloest/1470789