Sei der Tensor , dann ergibt sich mit
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die Gleichung:
![{\displaystyle {T'}_{mn}=\left({\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\cancel {\partial x^{s}}}{\partial {x'}^{n}}}\right){\frac {\partial V_{r}}{\cancel {\partial x^{s}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143db4712a5bf8b3b4a4e47dc1e54fb93e1ce7a4)
![{\displaystyle {T'}_{mn}={\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial {x'}^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde3818b914a5a9e5bef9585711f2311cbdeadd7)
Magic??
![{\displaystyle {\frac {\partial {V'}_{m}}{\partial {x'}^{n}}}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{n}}}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}V_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c4b7afccadb36d929c65c73121a18dd88f53ad)
Mit der Kettenregel
![{\displaystyle \partial (A\,B)=A\,\partial B+B\,\partial A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd129928d8b0504538d48c020966f3a4bd066a)
erhält man:
![{\displaystyle {\frac {\partial {V'}_{m}}{\partial {x'}^{n}}}=\underbrace {{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial {x'}^{n}}}} _{{T'}_{mn}}+\underbrace {{\frac {\partial }{\partial {x'}^{n}}}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}} _{\Gamma _{nm}^{r}}V_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8e1709abb24f2036135b17d7b5b8306899906f)
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(Gl. 7: Kovariante Ableitung auf Vektor)
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Das Christoffelsymbol beschreibt die Abweichung die auftritt, wenn man die Ableitung eines Tensors in ein anderes Bezugssystem transformiert.
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(Gl. 7: Kovariante Ableitung auf Tensor)
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Im flachen Raum gilt . Da der Wert konstant ist gilt für die Ableitung:
![{\displaystyle \nabla _{r}g_{mn}=\nabla _{r}\underbrace {\delta _{mn}} _{\text{const.}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc450f1577fe2fdf88c692ece675f9987c9f2c42)
Wenn eine Ableitung in einem Bezugssystem gleich 0 ist, so ist sie in allen Bezugssystemen gleich 0!
Daher gilt für den gekrümmten Raum:
![{\displaystyle \nabla _{r}{g'}_{mn}={\frac {\partial {g'}_{mn}}{\partial x'^{p}}}+\Gamma _{pm}^{r}{g'}_{rn}+\Gamma _{pn}^{r}{g'}_{mr}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc582d81cfce4d366c75b627b57ec4d778d56cc)
Mathematiker-Magic:
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(Gl. 9: Christoffelsymbol als Metrischer Tensor und erste Ableitungen)
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