Benutzer:MovGP0/Mathematik/Metrischer Tensor

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Metrischer Tensor Gradient / Steigung Position $p=\{x,y,z\}$ Gradient ϕ in x-Richtung: $d\Phi _{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}dx$ Zeichen $\partial$ bedeutet, dass ϕ nur in einer von mehreren Dimensionen abgeleitet wird. Pythagoras Distanz s im rechtwinkeligen Koordinatensystem: $ds^{2}=(dx)^{2}+(dy)^{2}$ Vektor s ist Summe aus Vektor x und Vektor y: $d{\vec {s}}=d{\vec {x}}+d{\vec {y}}$ Gradient ϕ in Richtung s ist Summe aus Gradient in Richtung x und Gradient in Richtung y: $d\Phi _{s}=d\Phi _{x}+d\Phi _{y}$ $d\Phi _{s}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}dy$ Position $x=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},\ldots \}$ $d\Phi =\sum _{n}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{n}}}dx^{n}$     (Gl. 1: Gradient)   Koordinatentransformation Transformation von Koordinaten x nach Koordinaten y: ${\frac {\partial \Phi }{\partial y^{n}}}=\sum _{m}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{m}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial y^{n}}}$     (Gl. 2: Koordinatentransformation)   Tensoren $V'^{n}=\sum _{m}{\frac {\partial x'^{n}}{\partial x^{m}}}V^{m}$     (Gl. 3: Vektor-Koordinatentransformation)   Arbeit W (in Richtung x) ist Kraft F (in Richtung x) mal Distanz x: $W={\vec {F}}\cos(\phi ){\vec {x}}$ Tensor kombiniert mehrere Vektoren: $T^{mn}=A^{m}B^{n}$ Koordinatentransformation erfolgt über Transformation der Teilvektoren: $A'^{m}B'^{n}=\sum _{r}{\frac {\partial x'^{m}}{\partial r^{r}}}A^{r}\sum _{s}{\frac {\partial x'^{n}}{\partial x^{s}}}B^{s}$ $T'^{mn}=\sum _{r}\sum _{s}{\frac {\partial x'^{m}}{\partial x^{r}}}{\frac {\partial x'^{n}}{\partial x^{s}}}\underbrace {A^{r}B^{s}} _{T^{rs}}$     (Gl. 4: kontravariante Tensor-Koordinatentransformation)   $T'_{mn}=\sum _{r}\sum _{s}{\frac {\partial x^{r}}{\partial x'^{m}}}{\frac {\partial x^{s}}{\partial x'^{n}}}T_{rs}$     (Gl. 5: kovariante Tensor-Koordinatentransformation)   Kroneker-Delta Pythagoras: $ds^{2}=\left(d{x^{1}}\right)^{2}+\left(d{x^{2}}\right)^{2}+\ldots =\sum _{m}dx^{m}\cdot dx^{m}$ Alternativ: $ds^{2}=\sum _{m}\sum _{n}\delta _{mn}\,dx^{m}\,dx^{n}=\delta _{mn}dx^{m}\cdot dx^{n}$ // Definition: checks if indices are equal let delta i j = if i = j then 1 else 0; Metrischer Tensor Mit $ds^{2}=\delta _{mn}dx^{m}\cdot dx^{n}$ und der Koordinatentransformation $dx^{m}={\frac {\partial x^{m}}{\partial x'^{r}}}dx'^{r}$ erhält man $ds^{2}=\delta _{mn}\left({\frac {\partial x^{m}}{\partial x'^{r}}}dx'^{r}\right)\left({\frac {\partial x^{n}}{\partial x'^{s}}}dx'^{s}\right)$ $ds^{2}=\underbrace {\delta _{mn}\left({\frac {\partial x^{m}}{\partial x'^{r}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial x'^{s}}}\right)} _{\mathbb {g} _{mn}}dx'^{r}\,dx'^{s}=\mathbb {g} _{mn}dx'^{r}dx'^{s}$ Der metrische Tensor projiziert die Vektoren, sodass das Pythagoras-Theorem korrigiert wird. Wenn der Raum flach ist, so gilt $\mathbb {g} _{mn}=\delta _{mn}$.