Position
Gradient ϕ in x-Richtung:
![{\displaystyle d\Phi _{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e161a234667845a84387f5c07005b43597fd10)
Zeichen bedeutet, dass ϕ nur in einer von mehreren Dimensionen abgeleitet wird.
Distanz s im rechtwinkeligen Koordinatensystem:
![{\displaystyle ds^{2}=(dx)^{2}+(dy)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b40d49f3e0a20cdd2ac84072a6d3d79a63b34db)
Vektor s ist Summe aus Vektor x und Vektor y:
![{\displaystyle d{\vec {s}}=d{\vec {x}}+d{\vec {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f617d477f1b780002694628340d03486fcfca6)
Gradient ϕ in Richtung s ist Summe aus Gradient in Richtung x und Gradient in Richtung y:
![{\displaystyle d\Phi _{s}=d\Phi _{x}+d\Phi _{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35558e6e345515bdc3fce9ac5e57ec5fce135fde)
![{\displaystyle d\Phi _{s}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ec0e9621396a42f31c6b41b2049f30c79d15d9)
Position
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(Gl. 1: Gradient)
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Transformation von Koordinaten x nach Koordinaten y:
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(Gl. 2: Koordinatentransformation)
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(Gl. 3: Vektor-Koordinatentransformation)
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Arbeit W (in Richtung x) ist Kraft F (in Richtung x) mal Distanz x:
![{\displaystyle W={\vec {F}}\cos(\phi ){\vec {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a3257f33be0df63778b696f04a1bc2656172b4)
Tensor kombiniert mehrere Vektoren:
![{\displaystyle T^{mn}=A^{m}B^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf96432b11586fca9bc7630064bcedbb8edc280)
Koordinatentransformation erfolgt über Transformation der Teilvektoren:
![{\displaystyle A'^{m}B'^{n}=\sum _{r}{\frac {\partial x'^{m}}{\partial r^{r}}}A^{r}\sum _{s}{\frac {\partial x'^{n}}{\partial x^{s}}}B^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abf9cf2a953afbbebe4c2520878ed9c837634d2)
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(Gl. 4: kontravariante Tensor-Koordinatentransformation)
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(Gl. 5: kovariante Tensor-Koordinatentransformation)
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Pythagoras:
![{\displaystyle ds^{2}=\left(d{x^{1}}\right)^{2}+\left(d{x^{2}}\right)^{2}+\ldots =\sum _{m}dx^{m}\cdot dx^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734a1a1359b96dd96d73b2b560f45047c39cec2a)
Alternativ:
![{\displaystyle ds^{2}=\sum _{m}\sum _{n}\delta _{mn}\,dx^{m}\,dx^{n}=\delta _{mn}dx^{m}\cdot dx^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf660e406071728af79e85d6f67039ab00b0cade)
// Definition: checks if indices are equal
let delta i j =
if i = j then 1 else 0;
Mit
![{\displaystyle ds^{2}=\delta _{mn}dx^{m}\cdot dx^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070cdcca89813bc386fbf8752a4dce58b8d6aa38)
und der Koordinatentransformation
![{\displaystyle dx^{m}={\frac {\partial x^{m}}{\partial x'^{r}}}dx'^{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1275e26e2b42aa71ef7f78822f3ffcd790ccc7)
erhält man
![{\displaystyle ds^{2}=\delta _{mn}\left({\frac {\partial x^{m}}{\partial x'^{r}}}dx'^{r}\right)\left({\frac {\partial x^{n}}{\partial x'^{s}}}dx'^{s}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b94bfc270721b35fe9ea450ec77b681e436ad57)
![{\displaystyle ds^{2}=\underbrace {\delta _{mn}\left({\frac {\partial x^{m}}{\partial x'^{r}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial x'^{s}}}\right)} _{\mathbb {g} _{mn}}dx'^{r}\,dx'^{s}=\mathbb {g} _{mn}dx'^{r}dx'^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9a7063a2f3f9853806379b4d81feac2e5a7ce7)
- Der metrische Tensor projiziert die Vektoren, sodass das Pythagoras-Theorem korrigiert wird.
- Wenn der Raum flach ist, so gilt
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