Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

Definition

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Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang

 

ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel  .

Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch

 ,

wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.

Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch

 

Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch

 

wobei die Krümmung   definiert ist durch

 

Die allgemeine Chern-Simons-Form   ist definiert, so dass

 

wobei   durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.

Falls   eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt   und das Integral von   über die Mannigfaltigkeit   ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante

 .

Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome

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Sei   eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra   und   ein invariantes Polynom.

Jedem invarianten Polynom   entspricht eine Chern-Simons-Form von  -Prinzipalbündeln wie folgt.

Sei   ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe  . Man wähle eine Zusammenhangsform   und bezeichne mit   ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form   definiert durch

 

mit  .

Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu  .

Es gilt die Gleichung

 ,

im Fall flacher Bündel also  .

Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse   einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls  , dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse   in reeller Kohomologie. Die Form   ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von  . Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von  , welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in   passt in die Bockstein-Folge

 ,

wo sie auf die charakteristische Klasse   abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.

Siehe auch

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  • Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.