Bockstein-Folge

Konstruktion in der Kohomologietheorie

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Bockstein-Folge ein Hilfsmittel zum Vergleich von Kohomologiegruppen mit unterschiedlichen Koeffizienten, sie ist nach Meir Bockstein benannt.

Konstruktion

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Homologie

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Sei

 

eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen und   ein topologischer Raum. Aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen

 

erhält man mittels des Schlangenlemmas eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen

 ,

die sogenannte Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz. Der verbindende Homomorphismus   heißt Bockstein-Homomorphismus.

Kohomologie

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  liefert auch eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

 

und wieder mit dem Schlangenlemma eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen

 ,

die ebenfalls als Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz bezeichnet wird und der verbindende Homomorphismus   als Bockstein-Homomorphismus.

Beispiele

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  • Die kurze exakte Sequenz   gibt die Bockstein-Homomorphismen
  und  .
  • Der zur kurzen exakten Sequenz   assoziierte Bockstein-Homomorphismus
 
ist von Bedeutung für die Konstruktion der Steenrod-Algebra.
  • Die zu den kurzen exakten Sequenzen   und   assoziierten Bockstein-Homomorphismen
  und  
sind von Bedeutung in der Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen und in der Deligne-Kohomologie.

Literatur

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  • Bockstein, M. (1942). Universal systems of ∇-homology rings. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 37: 243–245. MR0008701.
  • Bockstein, M. (1943). A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 38: 187–189. MR0009115.
  • Bockstein, M. (1958). Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d'homologie. 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique》 247: 396–398. MR0103918.