Diskussion:Grenzwert (Folge)

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Gleichmäßige und absolute Konvergenz

Die Artikel Gleichmäßige Konvergenz und Absolute Konvergenz beschäftigen sich tiefergehend mit Aspekten von Konvergenz, sind aber noch nicht in diesen Artikel eingearbeitet. --Abdull 18:15, 28. Jun 2006 (CEST)

Das sind Artikel über Konvergenz spezieller Folgen, nämlich Funktionenfolgen bzw. Reihen. Nicht jeder Spezialfall muss hier verlinkt werden.--Gunther 18:17, 28. Jun 2006 (CEST)

Cauchy-Folge und Grenzwert

Nach der Lektüre von Cauchy-Folge und Grenzwert (Folge) stellt sich mir immer noch die Frage (die sich erstmals im kürzlich begonnen Studium gestellt hat), was diese beiden nun eigentlich unterscheidet. Kann mir das mal bitte jemand erklären.

Salopp ausgedrückt: eine Cauchy-Folge kommt irgendwann nicht mehr über das Epsilon drüber, und eine Folge mit Grenzwert kommt nicht über diesen drüber. Warum brauche ich beides? Hat eine Cauchy-Folge nicht automatisch einen Grenzwert? Und ist eine Folge nicht automatisch cauchy sobald sie einen Grenzwert hat?

Ich habe das jetzt so verstanden, dass Cauchyfolgen nur in Q definiert sind, und der Limes quasi die Verallgemeinerung auf alle Zahlenbereiche (also bis C) ist.

Habe ich das soweit richtig verstanden? --maststef 11:18, 20. Jan. 2008 (CET)

In vollständigen metrischen Räumen (wie z.B. $\mathbb {R}$) sind Cauchyfolgen und konvergente Folgen dasselbe. Das ist genau die Definition von Vollständigkeit: Jede Cauchyfolge konvergiert. Umgekehrt ist jede konvergente Folge automatisch eine Cauchyfolge. (Es gibt allerdings nicht-metrische topologische Räume, in denen sich zwar der Begriff des Grenzwerts aber nicht der der Cauchyfolge definieren lassen.)

Der Unterschied liegt in der Sichtweise. Bei der Definition einer konvergenten Folge kommt der Grenzwert explizit vor. "Eine Folge konvergiert gegen a, wenn ..." Konvergenz bedeutet, dass die Folgenglieder dem Grenzwert schließlich beliebig nahe kommen. Bei der Definition der Cauchyfolge kommt kein Grenzwert vor. Cauchyfolge bedeutet, dass die Folgeglieder schließlich beliebig wenig voneinander abweichen. Die Definition einer Cauchyfolge ist nützlich um Konvergenz nachzuweisen ohne den Grenzwert zu kennen. Darauf beruhen z.B. alle Konvergenzkriterien für Reihen.

Was has das mit Q zu tun? Cauchyfolgen kann man natürlich auch in Q definieren. Aber in Q brauchen sie keinen Grenzwert zu haben. Sie haben einen Grenzwert in R, aber der braucht nicht in Q zu liegen.

--Digamma 14:51, 20. Jan. 2008 (CET)

Grenzwert für Quadratdiagonale

Irgendwie komme ich nicht darauf, wieso bei nebenstehender Illustration der Grenzwert $\lim _{n\to \infty }2n\cdot {\tfrac {1}{n}}$ nicht 2 ist, sondern ${\sqrt {2}}$. Wie kommt das denn zustande? --RokerHRO 13:37, 25. Apr. 2008 (CEST)

Der Grenzwert ist tatsächlich 2, und er entspricht nicht der Länge der Diagonale. --NeoUrfahraner 13:56, 25. Apr. 2008 (CEST)

Und warum? Bzw. warum nicht? Wo ist der Denkfehler? --RokerHRO 14:06, 25. Apr. 2008 (CEST)

Der Denkfehler liegt darin, dass die Länge einer Kurve nicht so einfach zu definieren ist, wie es auf dem ersten Blick aussieht. Die Längen von zwei Streckenzüge in einem "Schlauch" mit Durchmesser Epsilon können auch für kleine Epsilon beliebig weit voneinenader abweichen; diese naive Definition ist daher nicht brauchbar. Man braucht daher eine andere Definition, siehe z.B. Länge (Mathematik)#Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen. Dort wird verlangt, dass die "Ecken" auf der zu messenden Kurve liegen. --NeoUrfahraner 14:32, 25. Apr. 2008 (CEST)

So wirklich verständlich ist mir das immernoch nicht. Die Ecken liegen doch alle auf der zu messenden Kurve. Oder? --RokerHRO 15:26, 25. Apr. 2008 (CEST)

Jede zweite Ecke liegt nicht auf der Diagonale. --NeoUrfahraner 15:45, 25. Apr. 2008 (CEST)

PS: Wo hast Du diese Problemstellung her? Siehe auch Diskussion:Paradoxon#Abkürzungsparadoxon --NeoUrfahraner 18:46, 25. Apr. 2008 (CEST)

Ach, das kam neulich bei einer Diskussion im Bekanntenkreis auf. Da ich darüber auf die Schnelle nix in der Wikipedia gefunden hatte, hab ich mal eben das Bild gemalt und hier gefragt. :-) --RokerHRO 20:46, 25. Apr. 2008 (CEST)

Ja, das passt mit meiner Erfahrung zusammen. Das Problem ist "uralt", wird aber anscheinend nur mündlich tradiert. Ohne Quellen lässt sich leider kein Wikipedia-Artikel draus machen. Oder lässt es sich als Erklärung der Definition in Länge (Mathematik)#Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen einbauen? --NeoUrfahraner 21:07, 25. Apr. 2008 (CEST)

Kannste gerne machen, wenn das deiner Meinung nach da reinpasst. Ich mach das nicht, da ich die Formel nicht verstanden hab und noch immer nicht weiß, was mit "rektifizierbare Wege" gemeint ist. :-( --RokerHRO 22:28, 25. Apr. 2008 (CEST)

redundanz

hat das ein erstsemester geschrieben? redundanzen und ungenauigkeiten. bitte gruendlich ueberarbeiten.-- 91.15.132.80 18:44, 22. Apr. 2009 (CEST)

Mir sind auch Redundanzen unangenehm aufgefallen. Bspw. wird die Cauchy-Folge mehrfach definiert, stattdessen sollte sie an einer (exponierten) Stelle definiert werden, worauf später wieder Bezug genommen wird. --80.150.16.5 13:18, 25. Apr. 2010 (CEST)

Redundanzen sind nicht per se schlecht. Der "exponierte" Ort für Cauchy-Folgen ist Cauchy-Folge, hier wird die Definition lediglich zuerst für reelle Zahlen und dann für metrische Räume wiederholt. Willst Du zuerst eine allgemeine Definition für metrische Räume und dann darauf aufbauend die reellen Zahlen definieren? Ansonsten: um welche Ungenauigkeiten geht es konkret? --NeoUrfahraner 18:39, 26. Apr. 2010 (CEST)

Allgemeiner Artikel zur Konvergenz

Auf die Gefahr hin, eine alte Diskussion wieder aufzurollen: Ich vermisse einen allgemeinen Artikel zur Konvergenz. So, wie der Grenzwertbegriff jetzt auf verschiedene Artikel aufgeteilt ist, bekommt man den Eindruck, dass es sich um völlig verschiedene Dinge handeln würde. Konvergenz von Folgen, Reihen, Funktionen, Netzen und Filtern sind aber eng verwandt. Es steckt eine gemeinsame Idee dahinter. --Digamma 08:44, 11. Mai 2010 (CEST)

Siehe dazu auch Portal:Mathematik/Qualitätssicherung/Archiv/2010/April#Konvergenz und oben unter "Systematik". Bei allen Mängeln der bisherigen Systematik hat bisher noch niemand einen bessere Lösung gefunden. --NeoUrfahraner 15:17, 11. Mai 2010 (CEST)

Danke für die prompte Antwort. Ich sehe, ich bin nicht der einzige, der Unbehagen äußert. Wenn auch die Gründe unterschiedlich sind. Ich lass es mir noch einmal durch den Kopf gehen. Ich dachte an einen Übersichtsartikel Konvergenz (Mathematik), in dem die Grundzüge der Konvergenz einer Zahlenfolge und des Grenzwerts einer Funktion für x gegen x_0 und für x gegen unendlich erklärt sind. Für mich gehört das zu sehr zusammen, so dass ich es nicht für sinnvoll halte, die beiden Konvergenzbegriffe völlig getrennt zu betrachten. Außerdem halte ich den Begriff "Konvergenz" für grundlegender als den des Grenzwerts. Ich würde ein Lehrbuchkapitel eher mit "Konvergenz" überschreiben als mit "Grenzwert". Bzw. in einem Kapitel "Grenzwert" würde ich vielleicht unterbringen, wie man Grenzwerte berechnet, nicht aber Konvergenzkriterien. --Digamma 17:15, 11. Mai 2010 (CEST)

Es gibt derzeit einen Abschnitt Mathematik in der BKL Konvergenz, den kann man evtl. als Startpunkt für einen Übersichtsartikel Konvergenz (Mathematik) nehmen. Dann fangen die Systematik-Probleme allerdings erst richtig an. Didaktisch wird üblicherweise zuerst die Konvergenz/der Grenzwert einer Folge behandelt. Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle ist zunächst etwas anderes und eher mit Stetigkeit verknüpft. Beides ist noch auf Schulniveau abhandelbar. Erst wenn man Filter einführt, kann man die beiden Konvergenzbegriffe vereinigen - das ist aber dann schon Uni-Niveau. Das ist so in etwa die Problematik, die eine einfache Systematik erschwert. Dazu kommen noch unzählige Spezialfälle wie Konvergenzkriterien für Reihen und Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen allgemein und in der Stochastik speziell, die sowieso eigene Artikel erfordern. Inwiefern "Konvergenz" grundlegender ist als "Grenzwert" ist mir nicht klar; Konvergenz ist doch als Existenz eines Grenzwerts definiert, also auf dem Grenzwertbegriff aufbauend. Ein Artikel "Grenzwertberechnung" (oder so ähnlich) auf Schulniveau fehlt allerdings tatsächlich, der könnte durchaus sinnvoll sein. --NeoUrfahraner 17:40, 11. Mai 2010 (CEST)

Auf den Begriff "Konvergenz" statt "Grenzwert" möchte ich mich nicht festlegen. Das ist Geschmackssache. Die Existenz eines Grenzwerts ist eine Eigenschaft der Folge, die mit Konvergenz bezeichnet wird. Die Existenz ist das eigentlich interessante (in meinen Augen), nicht die Berechnung. Aber wie gesagt, das ist mir nicht so wichtig. Ich habe mir gerade den englischen Artikel en:Limit (mathematics) angeschaut. So in etwa stelle ich mir den Übersöichtsartikel vor. Allerdings (vgl. die Diskussion oben) mit der Konvergenz von Folgen an erster Stelle und dem Grenzwert einer Funktion an einer Stelle danach. --Digamma 19:24, 11. Mai 2010 (CEST)

Ja, das wäre im Prinzip eine Erweiterung des derzeitigen Abschnittes in Konvergenz. Auch in der englischen Version gibt es ja en:imit_of_a_function und en:Limit_of_a_sequence, die Details bleiben also in eigenen Artikel. Der Abschnitt "Convergence and fixed point" sollte zweckmäßigerweise auf Konvergenzgeschwindigkeit verweisen. Mit so einer "Portalseite" für Konvergenz kann ich mich durchaus anfreunden. --NeoUrfahraner 19:40, 11. Mai 2010 (CEST)

Der Abschnitt "Convergence and fixed point" ist bei en:Limit (mathematics) fehl am Platz. Das ist ein sehr spezieller Aspekt, der auf eine Spezialseite gehört. Ansonsten: Ich halte so eine Übersichtsseite für sehr wünschenswert. Ich fürchte aber, dass ich in nächster Zeit nicht die Zeit finde, sie zu erstellen. --Digamma 14:09, 13. Mai 2010 (CEST)

Ein allgemeiner Artikel zur Konvergenz von Folgen, Funktionen und Fix-Punkt-Iterationen in C würde ich befürworten. Allerdings aber echt hierauf fokusiert. Bitte nicht zu allgemein Stachastische Prozesse, Netze und Filter umfassend. Je allgemeiner man wird, desto weniger erkennt man die Vorgänge. Erst wenn diese klar sind, kann man verallgemeinern. --Skraemer 15:40, 13. Mai 2010 (CEST)

Grenzwertkriterium

Grenzwertkriterium leitet auf diese Seite weiter. Es ist hier aber nichts über das Grenzwertkriterium zu finden. Es wäre angebracht diese Information einzufügen oder für das Grenzwertkriterium eine eigene Seite zu schaffen. Marvin Rabe (Diskussion) 17:47, 14. Dez. 2016 (CET)

In der englischen Wikipedia gibt es dazu eine eigene Seite: en:Limit comparison test

Für andere Konvergenzkriterien gibt es auch separate Seiten hier in der deutschen Wikipedia. Nur für dieses nicht. Marvin Rabe (Diskussion) 17:56, 14. Dez. 2016 (CET)

Grenzwertkriterium ist im deutschen ein generischer Begriff und bezieht sich nicht (alleine) auf ein spezielles Kriterium, d.h. sofern nicht eine Übersichts- bzw. Sammelartikel für Grenzwertkriterien existiert, ist eine Verlinkung auf diesen Artikel durchaus angemessen. Allerdings gibt es so einen Übersichtsartikel in der Tat, nämlich Konvergenzkriterium. Ich ändere die Weiterleitung mal dementsprechend ab.--Kmhkmh (Diskussion) 21:32, 14. Dez. 2016 (CET)

Auf der Seite Konvergenzkriterium steht "Grenzwertkriterium" als eigenständiges Kriterium. Ebenfalls finde ich in der Literatur (z.B. in Grundwissen Mathematikstudium von Tilo Arens) das Grenzwertkriterium wie im oben genannten englischen Artikel beschrieben. --Marvin Rabe (Diskussion) 17:34, 15. Dez. 2016 (CET)

Es wurde mit dieser Bearbeitung eingefügt. Mir geht es aber genauso wie Kmhkmh: Ich würde den Namen "Grenzwertkriterium" spontan auch als Oberbegriff verwenden. Den Namen "Grenzwertkriterium" für das im verlinkten engl. Artikel genannte Konvergenzkriterium für Reihen habe ich noch nie gehört. (Allerdings kannte ich auch bisher dieses Kriterium nicht.) Macht wohl eine genauere Recherche nötig. --Digamma (Diskussion) 19:52, 15. Dez. 2016 (CET)

PS: Eine alte Version von Grenzwertkriterium enthält tatsächlich eine Formulierung des genannten Kriteriums für Reihen. Ich setze die Weiterleitung auf diese alte Artikelversion zurück und versuche, sie etwas zu überarbeiten. --Digamma (Diskussion) 20:03, 15. Dez. 2016 (CET)

Der ursprüngliche Artikel wurde von einen Gegelegenheitseditor aus mir unerfindlichen Gründen in eine Weiterleitung umgewandelt (siehe [1]). In diesem Fall ist die Revertierung die beste Option.--Kmhkmh (Diskussion) 20:20, 15. Dez. 2016 (CET)

Also ich kannte das bisher nur als generischen Begriff und englische Terminologie unterscheidet sich doch deutlich, wenn es allerdings das bei Arens so steht, dann wird das wohl seine Richtigkeit haben. Inzwischen habe ich eine entsprechende Verwendung auch in einigen Uniskripten gesehen (siehe z.B. Statz 16,33 in [2], sowie Satz 10.2 hier).

Ich würde allerdings die Weiterleitung zunächst so belassen, bis ein eigenständiger Artikel angelegt ist. Eventuell muss sich dann noch Gedanken über die Verwenwendung einer BKS-Vorlage machen.--Kmhkmh (Diskussion) 20:15, 15. Dez. 2016 (CET)

Komisch irgendwie scheint Google (Books) zu spinnen, der anfangs bei mir fast fast nichts gefunden. Nachdem ich aber in einenglischen Artikel gelesen habe, dass der limit comparison test angeblich in fast jedem (englischen) Analysis/Calculus-Lehrbuch steht, bin ich misstrauisch geworden. Und siehe da nach erneuten googlen findet sich nicht nur die obigen Skripte sondern diverse Lehrbücher wie z.B. den Heuser.--Kmhkmh (Diskussion) 21:04, 15. Dez. 2016 (CET)

Illustrationen

Obwohl die Illustrationen in der Gallerie sonst eigentlich passend sind, erwecken sie aufgrund der verwendeten Ovale zu Beginn des Schlauches den falschen Eindruck eines 3d-Schlauches. Einen solchen 3d-Schlauch anzudeuten ist mMn. nur angemessen, wenn die Illustration für komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene gedacht ist (oder für Folgen im R^n), dann jedoch müsste man auch ein 3d-Koordinatensystem darstellen. Ich würde daher vorschlagen die Illustrationen demnächst durch welche ohne Oval zu ersetzen und/oder durch Darstellungen,die ein 3d-Koordinatensystem verwenden.--Kmhkmh (Diskussion) 17:10, 28. Mär. 2017 (CEST)

Das ist richtig. Wie mir gerade in der Wikipedia:Telefonberatung ein promovierter Physiker, der jahrelang in der Grundlagenforschung tätig war, mitteilte, ist er der Begriff "Schlauch" in einer zweidimensionalen Darstellung nicht passend. In der Mathematik ist der Begriff "Umgebung" statt "Schlauch" üblich. Das ändere ich im Artikel. Auch die in der Darstellung angedeuteten Schlauch ist nicht passend. Hier empfiehlt er auch eine Änderung. Dazu bin ich allerdings nicht in der Lage. Vielleicht bekommt das jemand besser hin. --Berlinschneid (Diskussion) 19:22, 11. Jan. 2024 (CET)

Umgebung ist aber weiblich. Bitte auch noch anpassen! Die Sprechweise "Schlauch" ist natürlich kein Fachbegriff, sondern dient nur der Veranschaulichung. Der Begriff "Umgebung" bezieht sich nur auf die auf der y-Achse aufgetragenen Werte, die Bezeichnung "Schlauch" aber auf die 2-dimensionale Darstellung, bei der nach rechts die Folgenindizes aufgetragen sind. Mir ist diese Bezeichnung schon des öfteren begegnet. --Digamma (Diskussion) 19:28, 11. Jan. 2024 (CET)

Danke für die schnelle Antwort. Im Zweifelsfall muss es dann halt mit Belegen wieder geändert werden. --Berlinschneid (Diskussion) 19:34, 11. Jan. 2024 (CET)

Neuer Abschnitt "Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge"

Die Aussage wird z.B. im Beweis des Zwischenwertsatzes gebraucht; wieder so eine einfache Überlegung, die aber dort nicht hinpasst (weil sie recht allgemein ist und mit stetigen Funktionen nicht notwendigerweise zu tun hat). Der Beweis ist so simpel, dass ich mich den traue. Schöner wäre allerdings, wenn jemand einen direkten Beweis wüsste - oder gar eine (zitierfähige) Quelle.

--Psychironiker (Diskussion) 15:00, 21. Nov. 2017 (CET)

Mal ganz grundsätzlich: Wir schreiben eine Enzyklopädie, kein Lehrbuch. Das heißt, Sätze müssen bei uns nicht vollständig bewiesen werden. Im Gegenteil. Siehe Portal:Mathematik/Mitarbeit#Beweise. --Digamma (Diskussion) 15:31, 21. Nov. 2017 (CET)

Gleichwohl sollte ein Beweis am Ende ein Beweis sein. In der angegebenen Quelle steht, dass die Darstellung von Beweisen unvollständig sein kann ( = Aussagen bleiben als ganze erkennbar unbewiesen), nicht aber, dass (in sich) unvollständige Beweise dargestellt werden sollen ( = eine Argumentation weist unausgewiesene Lücken auf).

Mit etwas Nachdenken finde ich aber auch die dort vorfindliche Formulierung von der "wesentlichen Idee eines Beweises" recht interpretationsbedürftig, denn was an einem Beweis im Sinne des "Unwesentlichen" verzichtbar ist, gehört ohnehin in keine seiner Formulierungen. Eher kann gemeint sein, dass innerhalb eines Beweises vorkommende, aber auch außerhalb desselben formulierbare Schließungen nicht Bestandteil des Beweises sein sollen = auslagerbare, einfache Hilfssätze sollten getrennt bewiesen werden (wenn überhaupt). Bei der daraus folgenden Aussagenhierarchie bleibt die Gretchenfrage, wer nach welchen Kriterien Grenzen zieht, was dann innerhalb einer Enzyklopädie nicht mehr bewiesen zu werden braucht. - Ich versuche das Problem so zu entschärfen, dass ich derlei Hilfssätze nach Möglichkeit in passendere Kontexte verlagere, wenn ich sie denn nirgendwo schon bewiesen finde; so kommt beispielsweise der "Satz zum Grenzwert einer beschränkten konvergenten Folge" zustande.

--Psychironiker (Diskussion) 01:55, 25. Nov. 2017 (CET)

Innerhalb einer Enzyklopädie braucht überhaupt nichts bewiesen zu werden (Enzyklopädie ist weder ein Lehrbuch noch ein Beweis-Wiki, dafür gibt separate Projekte. Die primäre Aufgabe von (mathematischen) Enzyklopädieartikeln ist es, mathematische Begriffe bzgl. ihrer Aussage, Bedeutung, Verwendung, Beziehung zu anderen Beriffen und ihrer Geschichte zu erläutern und zwar in einer zusammenfassenden, möglichst übersichtlichen Form (vgl. dazu entsprechende externe mathematische Referenzwerke). Optional kann dabei man kleinere Beweise integrieren oder Beweisskizzen angeben, wo sich das "organisch" ergibt und den Lesefluss und Übersichtlichkeit nicht allzu sehr stört bzw. der Artikel nicht unnötig aufgebläht wird. Zudem können berühmte Beweise auch eigene Artikel erhalten.--Kmhkmh (Diskussion) 02:51, 25. Nov. 2017 (CET)

@Kmhkmh: Seltsamer Kommentar: Ich behauptete nicht, dass irgendetwas in einer Enzyklopädie bewiesen werden müsste - sondern machte mir Gedanken darüber, welche Anforderungen an einen beweisenden Text (hier oder anderswo) sinnvollerweise zu stellen sind. Dass solche Beweise überhaupt in die Wikipedia eingestellt werden, hat sicher damit zu tun, dass in gewissen Fällen ein Beweis, der einen mathematischen Begriff verwendet, dessen Bedeutung und Verwendung oder seine Beziehung zu anderen Begriffen besonders gut erklärt. In anderen Fällen leistet das sicher der Bezug zu einer außermathematischen Anfwendung.

Konkret: Auf Anregung HilbertTraums (siehe diese Diskussion, Abschnitt "Eindeutigkeit des Grenzwertes") verfasste ich den entsprechenden Textabschnitt neu (und löschte den kürzeren vorhergehenden Beweis der Aussage, den ich ebenfalls verfasst hatte). Prospektive Leser(innen) sind wahrscheinlich Schüler(innen) einer ausgehenden Mittelstufe (oder solche Personen, die das einmal waren, in zweiter Linie vielleicht Theolog(innen)en, die sich mit den quinque viae auseinandersetzen). Der jetzt eingestellte Beweis (mit "Epsilontik", aber, HilbertTraums Einwand berücksichtigend, ohne das Zeichen $lim$) trägt einiges zur Vorstellung bei, wie ein Grenzwert "funkioniert"; das kann ich vom vorangehenden (in zwei Zeilen und ohne "Epsilontik") nicht behaupten.

Was "kleinere" Beweise oder "Skizzen" sein sollen oder wann sich etwas "organisch ergibt", ist mindestens so interpretationsbedürftig wie die Rede von "wesentlichen Ideen" eines Beweises. - Noch weniger kann ich den argumentativen Gehalt (stark wertender) Begrifflichkeiten wie "den Lesefluss / die Übersichtlichkeit stören", "den Artikel unnötig (sic!) aufblähen" erkennen. Als ob irgendjemand in einem elektronischen Dokument mit beliebiger Seitenzahl, Such- und Sprungfunktion und vollautomatischer Generierung eines Inhaltsverzeichnisses gezwungen wäre, bestimmte (situativ uninteressante) Textteile zu lesen. Wenn dann tatsächlich eine Mehrheit von Lesern einen Artikel als zu lang empfindet, können sicher Beweise in das entsprechende Archiv verlagert werden. - Jener Begriff scheint mit Bedacht gewählt: Archivierungen geschehen grundsätzlich ex post.

--Psychironiker (Diskussion) 14:49, 25. Nov. 2017 (CET))