Die Landauverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung,[1] die nach Lev Landau benannt ist. Aufgrund ihrer langen Ausläufer sind die Momente der Verteilung (wie der Erwartungswert und die Varianz) nicht definiert. Die Landauverteilung ist ein Spezialfall der Lévy-stabilen Verteilungen.

Definition

Bearbeiten
 
Dichte p(x) einer Landauverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standard-Landauverteilung wird durch das komplexe Integral

 

definiert, wobei   den natürlichen Logarithmus bezeichnet und   eine beliebige positive reelle Zahl ist, die keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Für numerische Zwecke ist die folgende, äquivalente Form besser geeignet

 

Die Verteilung kann durch den folgenden geschlossenen Ausdruck approximiert werden[2][3]

 

Die Landauverteilung ist ein Spezialfall der Lévy-stabilen Verteilungen mit den Parametern   und  .[4]

Die charakteristische Funktion lautet

 

mit reellen Zahlen  ,   und der Vorzeichenfunktion  . Die Funktion erzeugt eine um   verschobene und um   skalierte Landauverteilung.[5]

Eigenschaften

Bearbeiten
  • Wenn  , dann gilt  .

Anwendung

Bearbeiten

Die Landauverteilung beschreibt die Schwankungen des Energieaustritts aus einer dünnen Schicht durch Stoßionisation.

Bearbeiten
  • Landauverteilung im Data Analysis BriefBook des COSY-11-Experiments am Forschungszentrum Jülich, Rudolf K. Bock, 7. April 1998

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. L. Landau: On the energy loss of fast particles by ionization. In: J. Phys. (USSR). 8. Jahrgang, 1944, S. 201.
  2. S. E. Behrens, A.C. Melissinos: Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981).
  3. Interaction of Charged Particles. Archiviert vom Original am 30. Juni 2012; abgerufen am 14. April 2014.
  4. James E. Gentle: Random Number Generation and Monte Carlo Methods (= Statistics and Computing). 2nd Auflage. Springer, New York, NY 2003, ISBN 978-0-387-00178-4, S. 196, doi:10.1007/b97336.
  5. S. Meroli: Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. In: JINST. 6. Jahrgang, 2011, S. 6013, doi:10.1088/1748-0221/6/06/P06013.