Landauverteilung

Die Landauverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung,^[1] die nach Lev Landau benannt ist. Aufgrund ihrer langen Ausläufer sind die Momente der Verteilung (wie der Erwartungswert und die Varianz) nicht definiert. Die Landauverteilung ist ein Spezialfall der Lévy-stabilen Verteilungen.

Definition

Dichte p(x) einer Landauverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standard-Landauverteilung wird durch das komplexe Integral

p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,

definiert, wobei $\log$ den natürlichen Logarithmus bezeichnet und $c$ eine beliebige positive reelle Zahl ist, die keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Für numerische Zwecke ist die folgende, äquivalente Form besser geeignet

p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.

Die Verteilung kann durch den folgenden geschlossenen Ausdruck approximiert werden^[2]^[3]

p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.

Die Landauverteilung ist ein Spezialfall der Lévy-stabilen Verteilungen mit den Parametern $\alpha =1$ und $\beta =1$ .^[4]

Die charakteristische Funktion lautet

\varphi (t;\mu ,c)=\exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|(1+{\tfrac {2i}{\pi }}\operatorname {sgn}(t)\log(|t|)){\Big ]}.

mit reellen Zahlen $\mu$ , $c$ und der Vorzeichenfunktion $\operatorname {sgn}$ . Die Funktion erzeugt eine um $\mu$ verschobene und um $c$ skalierte Landauverteilung.^[5]

Eigenschaften

Wenn $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$ , dann gilt $X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,$ .

Anwendung

Die Landauverteilung beschreibt die Schwankungen des Energieaustritts aus einer dünnen Schicht durch Stoßionisation.

Weblinks

Landauverteilung im Data Analysis BriefBook des COSY-11-Experiments am Forschungszentrum Jülich, Rudolf K. Bock, 7. April 1998

Einzelnachweise

↑ L. Landau: On the energy loss of fast particles by ionization. In: J. Phys. (USSR). 8. Jahrgang, 1944, S. 201.
↑ S. E. Behrens, A.C. Melissinos: Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981).
↑ Interaction of Charged Particles. Archiviert vom Original am 30. Juni 2012; abgerufen am 14. April 2014.
↑ James E. Gentle: Random Number Generation and Monte Carlo Methods (= Statistics and Computing). 2nd Auflage. Springer, New York, NY 2003, ISBN 978-0-387-00178-4, S. 196, doi:10.1007/b97336.
↑ S. Meroli: Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. In: JINST. 6. Jahrgang, 2011, S. 6013, doi:10.1088/1748-0221/6/06/P06013.

[1] L. Landau: On the energy loss of fast particles by ionization. In: J. Phys. (USSR). 8. Jahrgang, 1944, S. 201.

[2] S. E. Behrens, A.C. Melissinos: Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981).

[3] Interaction of Charged Particles. Archiviert vom Original am 30. Juni 2012; abgerufen am 14. April 2014.

[4] James E. Gentle: Random Number Generation and Monte Carlo Methods (= Statistics and Computing). 2nd Auflage. Springer, New York, NY 2003, ISBN 978-0-387-00178-4, S. 196, doi:10.1007/b97336.

[5] S. Meroli: Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. In: JINST. 6. Jahrgang, 2011, S. 6013, doi:10.1088/1748-0221/6/06/P06013.

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