Novikov-Vermutung

In der Mathematik ist die Novikov-Vermutung eine für zahlreiche Gruppen $\pi$ bewiesene, aber im Allgemeinen offene Vermutung über die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe $\pi$ .

Sie hat zahlreiche Anwendungen in der Chirurgietheorie bei der Klassifikation der Differentialstrukturen zu einem gegebenen Homotopietyp.

Sie macht eine Aussage über die Homotopieinvarianz gewisser Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen. Rationale Pontrjaginklassen sind Invarianten differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, die nach einem Satz von Novikov invariant unter Homöomorphismen, aber im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen sind. Für die aus den Pontrjaginklassen gebildete L-Klasse ist $\langle L(M),\left[M\right]\rangle$ nach dem Signatursatz von Hirzebruch die homotopieinvariante Signatur. Die Novikov-Vermutung gibt (in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe) weitere homotopieinvariante Kombinationen. Es wird vermutet, dass sich alle homotopieinvarianten Kombinationen rationaler Pontrjaginklassen aus den in der Novikov-Vermutung betrachteten höheren Signaturen ergeben.

Sie würde aus der Baum-Connes-Vermutung oder auch der Borel-Vermutung folgen.

Formulierung der Vermutung

Sei $M$ eine geschlossene, orientierbare, $n$ -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, $\pi :=\pi _{1}M$ ihre Fundamentalgruppe und $f\colon M\to B\pi$ deren klassifizierende Abbildung. Zu jeder Kohomologieklasse $\alpha \in H^{*}(B\pi ;\mathbb {Q} )$ definiert man eine höhere Signatur $\sigma _{\alpha }(M)$ durch

\sigma _{\alpha }(M):=\langle L(M)\cup f^{*}\alpha ,\left[M\right]\rangle

,

wobei $L(M)$ die L-Klasse von $M$ , $\cup$ das Cup-Produkt, $\left[M\right]$ die Fundamentalklasse und $\langle .,.\rangle$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Die Novikov-Vermutung besagt, dass für jedes gegebene $\alpha \in H^{*}(B\pi ;\mathbb {Q} )$ die höhere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe $\pi$ ist, d. h. homotopieäquivalente, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben höheren Signaturen.

Bewiesene Fälle

Man sagt, dass die Novikov-Vermutung für eine Gruppe $\pi$ bewiesen ist, wenn sie für alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe $\pi$ bewiesen wurde.

Novikov bewies seine Vermutung für abelsche Gruppen.
Kasparow bewies mittels KK-Theorie die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung besitzen, insbesondere also diskrete Untergruppen einer Lie-Gruppe mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten.^[1]
Connes und Moscovici bewiesen die Novikov-Vermutung für Gromov-hyperbolische Gruppen.^[2] Die im Beweis verwendete Surjektivität des Homomorphismus von beschränkter Kohomologie in die Gruppenkohomologie wurde von Mineyev bewiesen.^[3]
Higson und Kasparow bewiesen die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien des Hilbertraums besitzen, insbesondere für mittelbare Gruppen.^[4]
Yu bewies die Novikov-Vermutung für Gruppen endlicher asymptotischer Dimension^[5] und allgemeiner für Gruppen, die grob in den Hilbertraum eingebettet werden können.^[6] Letzteres trifft auf alle linearen Gruppen^[7] und auf Untergruppen von $Out(F_{n})$ ^[8] zu.
Hamenstädt bewies, dass Abbildungsklassengruppen exakt („boundary amenable“) sind, woraus für diese und alle ihre Untergruppen die Novikov-Vermutung folgt.^[9]

Literatur

S. P. Novikov: Analogues hermitiens de la K-théorie. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, S. 39–45. Gauthier-Villars, Paris (1971)
S. Ferry, A. Ranicki, J. Rosenberg: A history and survey of the Novikov conjecture. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 226, S. 7–66. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995).
M. Kreck, W. Lück: The Novikov conjecture, Geometry and Algebra, Oberwolfach Seminars, vol. 33. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)
J. Rosenberg: Novikov's conjecture, "Open Problems in Mathematics", J. F. Nash, Jr., and M. Th. Rassias, eds, Springer, 2016, S. 377–402
G. Yu: The Novikov conjecture, Russian Mathematical Surveys 2019

Weblinks

S. P. Novikov: Novikov conjecture (Scholarpedia)
Novikov Conjecture (Manifold Atlas)

Einzelnachweise

↑ G. Kasparov: Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture. Invent. Math. 91 (1988), no. 1, 147–201.
↑ A. Connes, H. Moscovici: Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups. Topology 29 (1990), no. 3, 345–388.
↑ I. Mineyev: Straightening and bounded cohomology of hyperbolic groups. GAFA, Geom. Funct. Anal. 11(2001), 807–839.
↑ N. Higson, G. Kasparov: E-theory and KK-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Invent. Math. 144 (2001), no. 1, 23–74.
↑ G. Yu: The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension. Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 2, 325–355.
↑ G. Yu: The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Invent. Math. 139(1), 201–240 (2000).
↑ E. Guentner, N. Higson, S. Weinberger: The Novikov Conjecture for Linear Groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. No. 101 (2005), 243–268.
↑ M. Bestvina, K. Bromberg, K. Fujiwara: Constructing group actions on quasi-trees and applications to mapping class groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 122 (2015), 1–64.
↑ U. Hamenstädt: Geometry of the mapping class groups. I. Boundary amenability. Invent. Math. 175 (2009), no. 3, 545–609.

[1] G. Kasparov: Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture. Invent. Math. 91 (1988), no. 1, 147–201.

[2] A. Connes, H. Moscovici: Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups. Topology 29 (1990), no. 3, 345–388.

[3] I. Mineyev: Straightening and bounded cohomology of hyperbolic groups. GAFA, Geom. Funct. Anal. 11(2001), 807–839.

[4] N. Higson, G. Kasparov: E-theory and KK-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Invent. Math. 144 (2001), no. 1, 23–74.

[5] G. Yu: The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension. Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 2, 325–355.

[6] G. Yu: The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Invent. Math. 139(1), 201–240 (2000).

[7] E. Guentner, N. Higson, S. Weinberger: The Novikov Conjecture for Linear Groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. No. 101 (2005), 243–268.

[8] M. Bestvina, K. Bromberg, K. Fujiwara: Constructing group actions on quasi-trees and applications to mapping class groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 122 (2015), 1–64.

[9] U. Hamenstädt: Geometry of the mapping class groups. I. Boundary amenability. Invent. Math. 175 (2009), no. 3, 545–609.

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