Satz von Roussarie-Thurston

Lehrsatz aus der Theorie der Blätterungen

In der Differentialtopologie ist der Satz von Roussarie-Thurston ein Lehrsatz aus der Theorie der Blätterungen.

Der Satz stammt von Robert Roussarie[1] und William Thurston.[2][3]

Sei   eine straffe Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit   und   eine inkompressible Fläche. Dann gibt es eine Isotopie, nach der das Bild von   entweder in einem Blatt von   liegt oder die tangentialen Berührpunkte mit Blättern von   Sattelpunkte sind.

Anwendungen

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Nach der durch den Satz von Roussarie-Thurston gegebenen Isotopie in eine Fläche mit Sattelsingularitäten sei   und   die Anzahl der positiven und negativen Sattelsingularitäten. Dann gelten für die Euler-Charakteristik   der Fläche und die Euler-Klasse   des Tangentialbündels der Blätterung die Gleichungen

 ,
 .

Insbesondere folgt

 ,

wobei   die Thurston-Norm der Homologieklasse von   bezeichnet.

Für die duale Thurston-Norm der Euler-Klasse einer straffen Blätterung gilt also stets  .

Literatur

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  • Kapitel 9.5 in A. Candel, L. Conlon: Foliations. II, Graduate Studies in Mathematics 60. Providence, RI: American Mathematical Society (2003)
  • Kapitel 5.3 in D. Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds, Oxford Mathematical Monographs; Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press (2007)

Einzelnachweise

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  1. Roussarie, Plongements dans les variétés feuilletées et classification des feuilletages sans holonomie, IHES Pub. Math., Band 43, 1973, S. 101–142.
  2. Thurston, Foliations of three-manifolds which are circle bundles, Dissertation, University of California, Berkeley 1972.
  3. Thurston, A norm for the homology of three-manifolds, Memoirs Am. Math. Soc., Band 59, 1986, S. 99–130.