Satz von Roussarie-Thurston

In der Differentialtopologie ist der Satz von Roussarie-Thurston ein Lehrsatz aus der Theorie der Blätterungen.

Der Satz stammt von Robert Roussarie und William Thurston.

Aussage

Sei ${\mathcal {F}}$ eine straffe Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit $M$ und $S\subset M$ eine inkompressible Fläche. Dann gibt es eine Isotopie, nach der das Bild von $S$ entweder in einem Blatt von ${\mathcal {F}}$ liegt oder die tangentialen Berührpunkte mit Blättern von ${\mathcal {F}}$ Sattelpunkte sind.

Anwendungen

Nach der durch den Satz von Roussarie-Thurston gegebenen Isotopie in eine Fläche mit Sattelsingularitäten sei $I_{p}$ und $I_{n}$ die Anzahl der positiven und negativen Sattelsingularitäten. Dann gelten für die Euler-Charakteristik $\chi (S)$ der Fläche und die Euler-Klasse $e(T{\mathcal {F}})$ des Tangentialbündels der Blätterung die Gleichungen

$I_{p}+I_{n}=-\chi (S)$,

$I_{n}-I_{p}=e(T{\mathcal {F}})\cap \left[S\right]$.

Insbesondere folgt

$\vert e(T{\mathcal {F}})\cap \left[S\right]\vert \leq \Vert \left[S\right]\Vert$,

wobei $\Vert \left[S\right]\Vert$ die Thurston-Norm der Homologieklasse von $S$ bezeichnet.

Für die duale Thurston-Norm der Euler-Klasse einer straffen Blätterung gilt also stets $\Vert e(T{\mathcal {F}})\Vert \leq 1$.

Literatur

• Kapitel 9.5 in A. Candel, L. Conlon: Foliations. II, Graduate Studies in Mathematics 60. Providence, RI: American Mathematical Society (2003)
• Kapitel 5.3 in D. Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds, Oxford Mathematical Monographs; Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press (2007)