Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder -Funktion in der Mathematik die holomorphe[1] komplexe Funktion
- , mit
gemeint. Heute heißt diese genauer riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonhard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.
Einige Werte sind[2]
Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.
Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:
- Airysche Zeta-Funktion
- Artin-Mazursche Zeta-Funktion
- Dedekindsche Zeta-Funktion
- Epsteinsche Zeta-Funktion
- Hasse-Weil-Zetafunktion
- Hurwitzsche Zeta-Funktion
- Igusa-Zetafuntkion
- Ihara-Zetafunktion
- Jacobische Zetafunktion
- Lefschetzsche Zeta-Funktion
- Lerchsche Zeta-Funktion
- Ninitsche Zeta-Funktion
- Ruelle-Zetafunktion oder Dynamische Zetafunktion
- Selbergsche Zeta-Funktion
- Weierstraßsche Zeta-Funktion
- Primzetafunktion
Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die dirichletschen L-Funktionen, die dirichletsche Eta-Funktion und die dirichletsche Beta-Funktion .
Literatur
Bearbeiten- Pierre Cartier: An introduction to Zeta Functions, in M. Waldschmidt u. a. (Hrsg.), From Number Theory to Physics, Springer 1992, S. 1–63
- Anton Deitmar: A panorama of Zeta functions, in E. Kähler, Mathematical Works, De Gruyter 2003, Arxiv
- Mircea Mustaţă: Zeta functions in algebraic geometry, Vorlesung 2011 (PDF)
- Bernhard Schiekel: Zetafunktionen in der Physik – eine Einführung doi:10.18725/OPARU-4418.
- Alan David Thomas: Zeta-Functions: an introduction to algebraic geometry, Pitman 1977