Einbettungssatz von Arens-Eells

mathematischer Satz

Der Einbettungssatz von Arens-Eells (englisch Arens-Eells embedding theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den mathematischen Teilgebieten Analysis, Funktionalanalysis und Topologie einzuordnen ist. Er geht zurück auf die beiden Mathematiker Richard Friederich Arens und James Eells und behandelt die Frage der Einbettbarkeit beliebiger metrischer Räume in komplexe normierte Räume und insbesondere in komplexe Banachräume.[1][2]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Sei   ein metrischer Raum, versehen mit einer Metrik
    .
Dann gilt:
  ist isometrisch einbettbar in einen normierten  -Vektorraum  , wobei der unter dieser isometrischen Einbettung entstehende Bildraum von   in dem umfassenden Vektorraum   bezüglich der Normtopologie ein abgeschlossener topologischer Teilraum ist.

Beweis- und Konstruktionsskizze

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Gemäß der Darstellung von Väth kann man den Beweis führen wie folgt:[1]

Die Konstruktion der isometrischen Einbettung   beginnt damit, dass   zunächst isometrisch zu einem (nicht notwendig abgeschlossenen) Teilraum eines komplexen Banachraums   angelegt wird. In diesem wird dann der zu konstruierende normierte Vektorraum   als  -lineare Hülle   des Bildraums   definiert. Von diesem wird schließlich gezeigt, dass er darin bezüglich der von   geerbten Normtopologie abgeschlossen ist.

Die Konstruktion von   beginnt dabei mit dem Mengensystem   aller nichtleeren endlichen Teilmengen von  .

Dann setzt man

 

als den Funktionenraum aller beschränkten komplexwertigen Funktionen  .

  ist versehen mit der Supremumsnorm

  ,

wobei im Körper   wie stets der komplexe Betrag

 

zugrunde gelegt wird.

In   wird nun ein Element   fixiert.

Mit diesem definiert man unter Zuhilfenahme der zu der gegebenen Metrik   gehörenden Abstandsfunktion   eine Abbildung

   ,

indem man die Setzung

 

macht, wobei für   wegen der Endlichkeit von   stets

 

gilt.

Hier ist zu berücksichtigen, dass die Abstandsfunktion lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante   ist,[3] also immer

 

und damit jedes   beschränkte Funktion.

Die auf diesem Wege gewonnene Abbildung   erweist sich dann als Isometrie zwischen   und dem Bildraum   mit den gewünschten Eigenschaften.

Korollar

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Als direkte Folgerung der Herleitung des Satzes ergibt sich, dass jeder metrische Raum   eine metrische Vervollständigung   besitzt. Diese kann konstruiert werden als abgeschlossene Hülle   innerhalb   .[4]

Anmerkung

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  • Direkt verwandt mit dem Satz von Arens-Eells ist der Satz von Kunugui, welcher von Kinjirô Kunugui im Jahre 1935 veröffentlicht wurde und der auf den gleichen Ideen beruht, jedoch etwas schwächer ist. Gleichartige bzw. verwandte Sätze wurden von Kazimierz Kuratowski (ebenfalls in 1935), Menahem Wojdysławski (in 1939) und Victor Klee (in 1951) geliefert.
  • Im Falle, dass   unter der Metrik   vollständig ist, ergibt sich die Abgeschlossenheit des Bildraums   unmittelbar aus der Vollständigkeit.[1]
  • In ihrer Veröffentlichung von 1956 haben Arens und Eells über den oben formulierten Satz hinaus, jedoch mit Hilfe eines ähnlichen Beweisansatzes gezeigt, dass sogar jeder uniforme Raum, dessen Struktur durch Pseudometriken mit gewissen Trennungseigenschaften festgelegt ist, abgeschlossen in einen hausdorffschen topologischen Vektorraum eingebettet werden kann.

Literatur

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  • Richard F. Arens, James Eells, Jr.: On embedding uniform and topological spaces. In: Pacific J. Math. Band 6, 1956, S. 397–403 (online, MR0081458).
  • V. L. Klee, Jr.: Some characterizations of compactness. In: The American Mathematical Monthly. Band 58, 1951, S. 389–393, JSTOR:2306551 (MR0042682).
  • Casimir Kuratowski: Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-séparables. In: Fund. Math. Band 25, 1935, S. 534–545.
  • M. Wojdysławski: Rétractes absolus et hyperespaces des continus. In: Fund. Math. Band 32, 1939, S. 184–192.
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
  • Martin Väth: Topological Analysis. From the Basics to the Triple Degree for Nonlinear Fredholm Inclusions (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 16). Verlag Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2012, ISBN 978-3-11-027722-7 (MR2961860).
  • James H. Wells, Lynn R. Williams: Embeddings and Extensions in Analysis (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 84). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1975, ISBN 3-540-07067-2 (MR0461107).

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. a b c Väth: Topological Analysis. 2012, S. 89 ff.
  2. Wells, Williams: Embeddings and Extensions in Analysis. 1975, S. 1.
  3. Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 78 (MR0423277).
  4. Väth: Topological Analysis. 2012, S. 91.