Elliptische Integrale

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

$\int R\left(x,{\sqrt {P(x)}}\right)\mathrm {d} x,$

wobei $R$ eine rationale Funktion in zwei Variablen und $P(x)$ ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art: $\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}$

II. Art: $\int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$

III. Art: $\int {\frac {\mathrm {d} x}{(1-nx^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$

Dabei ist der "elliptische Modul" $0<k<1.$ Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter $m=k^{2}$ statt $k$ in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf $m<0$ erweitert.

Vollständige elliptische Integrale

Graph der vollständigen elliptischen Integrale $K(m)$ und $E(m)$

Definition der vollständigen elliptischen Integrale

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze $\pi /2$, spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$, das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell'schen hypergeometrischen Funktion $F_{1}(a;b_{1},b_{2};c;x,y).$

${\begin{aligned}K(k)&:=F({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\E(k)&:=E({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\\Pi (n,k)&:=\Pi ({\tfrac {\pi }{2}},n,k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot F_{1}({\tfrac {1}{2}};1,{\tfrac {1}{2}};1;n,k^{2})\end{aligned}}$

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit den Parametern $k$ und $m$ dargestellt. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution $t=\sin \vartheta$ in die Legendre-Normalform überführen. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter $m=k^{2}$ in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parametern $k$ und $m$

	Konvention mit Parameter $k$	Konvention mit Parameter $m$
I. Art: Jacobi-Form	$K(k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$	$K(m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	$K(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}$	$K(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}$
II. Art: Jacobi-Form	$E(k):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$	$E(m):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$
II. Art: Legendre-Normalform	$E(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta$	$E(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta$
III. Art: Jacobi-Form	$\Pi (n,k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$	$\Pi (n,m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	$\Pi (n,k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$	$\Pi (n,m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}$

Definition der komplementären Integrale und des Nomens

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale $K'$ und $E'$ sind mit der komplementären Variable $k'$ wie im Folgenden dargestellt definiert.

${\begin{aligned}k'&:={\sqrt {1-k^{2}}}\\K'(k)&:=K(k')\\E'(k)&:=E(k')\end{aligned}}$

So ist das Elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße definiert:

$q(\varepsilon )=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(\varepsilon )}{K(\varepsilon )}}{\biggr ]}$

Das Elliptische Nomen stellt die Kernbeziehung zur Jacobischen Thetafunktion her:

$\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon ){\biggr ]}^{1/2}$

$\vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}\,{\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon ){\biggr ]}^{1/2}$

Darstellungsformen

Weitere Integraldarstellungen

Für die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art existieren folgende weitere Integraldarstellungen:

Elliptisches Integral erster Art	Elliptisches Integral zweiter Art
$K(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)[(1-k^{2})x^{2}+1]}}}\,\mathrm {d} x$	$E(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {(1-k^{2})x^{2}+1}}{\sqrt {(x^{2}+1)^{3}}}}\,\mathrm {d} x$
$K(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$	$E(k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x$
$K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$	$E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {2{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x$

Die soeben gezeigten Integraldarstellungen entstehen insbesondere dann, wenn man die genannte standardisierte Legendresche Normalform mit der Arkustangensfunktion $\arctan(x)$ als innere Funktion substituiert und dabei nach dem Muster der infinitesimalanalytischen Kettenregel nachdifferenziert.

Darstellung per MacLaurinscher Reihe

Die vollständigen elliptischen Integrale lassen sich als Potenzreihe beziehungsweise MacLaurinsche Reihe darstellen. Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument $k$ abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Denn die Potenzreihen für die Funktionen $K$ und $E$ konvergieren mit der Konvergenzgeschwindigkeit der Maclaurinschen Reihen für die Funktionen Arkussinus und Areatangens hyperbolicus und können mit Hilfe ihrer genannten Integraldarstellungen hergeleitet werden. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument $k$ in einem bezüglich der Genauigkeit geeignetem Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln. Die Maclaurinsche Reihe des vollständigen elliptischen Integrals erster Art beinhaltet in Abhängigkeit vom Summenindex den Quotienten vom Quadrat des Zentralbinomialkoeffizienten dividiert durch die Sechzehnerpotenz als Vorfaktor zur Potenz des Abszissenwertes potenziert mit dem Doppelten des Summenindex als Summandenfunktion der betroffenen Summenreihe. Und die Maclaurinsche Reihe des vollständigen elliptischen Integrals zweiter Art unterscheidet sich von derjenigen des vollständigen elliptischen Integrals erster Art alleine darin, dass bei der Summandenfunktion der Summenreihe von der Funktion $E$ der negativ geschaltete Vorgänger der Verdopplungsfunktion in Abhängigkeit vom Summenindex steht.

$K(k)={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}k^{2n}{\biggr \}}$

$E(k)={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,k^{2n}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1-\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}{\biggr \}}$

Der Zentralbinomialkoeffizient $\operatorname {CBC} (n)$ ist auf folgende Weise definiert:

$\operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {\Pi (2n)}{\Pi (n)^{2}}}=\prod _{a=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {n}{a}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2n}{a}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}$

Das Kürzel CBC steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient und wurde unter anderem durch die Mathematiker David Kessler and Jeremy Schiff eingeführt. Das Elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße q(k) hat eine MacLaurinsche Reihe, welche an allen Stellen geradzahlige Exponenten und positive Koeffizienten trägt:

$q(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)\,\varepsilon ^{2n}}{16^{n}}}$

Der Konvergenzradius dieser Maclaurin-Reihe ist 1. Hierbei ist Kt(n) (OEIS A005797) eine Zahlenfolge von ausschließlich natürlichen Zahlen Kt(n) ∈ ℕ für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ und sie ist nicht elementar, sondern elliptisch aufgebaut.

Darstellung per unendlichem Produkt

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von $k_{n}$ und $k_{n}'={\sqrt {1-k_{n}^{2}}}$ bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art

	Vollständiges elliptisches Integral I. Art	Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert	$k_{0}:=k$	$k_{0}:=k$
Rekursionsgleichung	$k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}$	$k_{n+1}={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}$
Produktformeln	$K(k)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{n})$	$K'(k_{0})={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}})$

Darstellung per AGM-Algorithmus

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt $a$ den arithmetischen Mittelwert, $b$ den geometrischen Mittelwert und $c$ eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte $a_{0},b_{0},c_{0}$ sind wie angegeben durch das Argument $k$ definiert. Zu beachten ist, dass für $k=1$ das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann $E(1)$ nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu $E(1)=1$ bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention $E(m),\;K(m)$ lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution $m=k^{2}$. In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision ($\approx 16$ dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von $n=4$ Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei $n>4$ sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
$a_{0}:=1$	$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$	$K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}}\equiv {\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}$
$b_{0}:={\sqrt {1-k^{2}}}$	$b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$	$E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right)\cdot K(k)$
$c_{0}:=k$	$c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}$	$\Pi (n,k)={\frac {1}{2}}\cdot \left(2+{\frac {n}{1-n}}\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\right)\cdot K(k)$
$p_{0}:={\sqrt {1-n}}$	$p_{n+1}={\frac {p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}{2p_{n}}}$
$Q_{0}:=1$	$Q_{n+1}={\frac {Q_{n}}{2}}\cdot {\frac {p_{n}^{2}-a_{n}b_{n}}{p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}}$

Durch Substitution gemäß $\alpha _{n}={\sqrt {a_{2n}}}\;,\;\beta _{n}={\sqrt {b_{2n}}}$ findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
$\alpha _{0}:=1$	$\alpha _{n+1}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}$	$K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}^{2}}}$
$\beta _{0}:=\left(1-k^{2}\right)^{1/4}$	$\beta _{n+1}=\left({\frac {\alpha _{n}^{3}\beta _{n}+\beta _{n}^{3}\alpha _{n}}{2}}\right)^{1/4}$	$E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}\left(\alpha _{n}^{4}-\left({\frac {\alpha _{n}^{2}+\beta _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}\right)\right)\cdot K(k)$

Kunde der elliptischen Zahlenfolgen

Der deutsche Mathematiker Adolf Kneser untersuchte in seinem Aufsatz Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen die ganzzahlige Folge des elliptischen Periodenverhältnisses und zeigte, dass die erzeugende Funktion dieser Folge eine elliptische Funktion ist. Auch ein weiterer Mathematiker namens Robert Fricke analysierte in seinem Aufsatz Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen diese ganzzahlige Folge und beschrieb die exakten Rechenmethoden unter Verwendung dieser genannten Folge. Die Knesersche Zahlenfolge Kn(n) kann folgendermaßen erzeugt werden:

${\text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}}{\text{Kn}}(m)$

${\text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2}{2n+1}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2}{2n-2m+1}}{\text{Kn}}(m)$

Mit den großen Rundklammerausdrücken in diesen beiden Formeln werden die Binomialkoeffizienten ausgedrückt.

Ausgeführte Rechenbeispiele:

${\text{Kn}}(2)=2\times 6+1\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}13}$

${\text{Kn}}(3)=8\times 20+24\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}184}$

${\text{Kn}}(4)=32\times 70+448\times {\color {cornflowerblue}1}+1\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}2701}$

${\text{Kn}}(5)=128\times 252+7680\times {\color {cornflowerblue}1}+40\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}40456}$

${\text{Kn}}(6)=512\times 924+126720\times {\color {cornflowerblue}1}+1056\times {\color {cornflowerblue}13}+1\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}613720}$

${\text{Kn}}(7)=2048\times 3432+2050048\times {\color {cornflowerblue}1}+23296\times {\color {cornflowerblue}13}+56\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}9391936}$

In der OEIS wurde diese Zahlenfolge nach Kneser mit Code A227503 eingetragen:

Kn(1)	Kn(2)	Kn(3)	Kn(4)	Kn(5)	Kn(6)	Kn(7)	Kn(8)
1	13	184	2701	40456	613720	9391936	144644749

Die Kneser-Folge erscheint in der Taylor-Reihe des Periodenverhältnisses (Halbperiodenverhältnis):

${\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}$

${\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }$

Die Ableitung dieser Gleichung bezüglich $x$ führt zu dieser Gleichung, die die erzeugende Funktion der Kneser-Zahlenfolge zeigt:

${\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}$

${\color {limegreen}{\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{4}}x+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{64}}x^{3}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{1024}}x^{5}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{16384}}x^{7}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{262144}}x^{9}+\ldots }$

Dieses Ergebnis erscheint deswegen, weil die Legendresche Identität $K\,E'+E\,K'-K\,K'={\tfrac {1}{2}}\pi$ im Zähler des Bruchs von der Ableitung bei der Anwendung der Quotientenregel erscheint.

Das elliptische Nomen hat diese bereits genannte Definition:

$q(x)=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(x)}{K(x)}}{\biggr ]}$

Das elliptische Nomen hat eine zu den bereits genannten Definitionen identische Definition über die Zahlenfolge nach Hermann Schwarz:

$q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}$

$q(x)=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}\,x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}$

In der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen OEIS wurde diese Zahlenfolge nach Schellbach und Schwarz mit Code A002103 eingetragen:

Sc(1)	Sc(2)	Sc(3)	Sc(4)	Sc(5)	Sc(6)	Sc(7)	Sc(8)
1	2	15	150	1707	20910	268616	3567400

Die zuletzt genannte Reihenentwicklung wird im nun Folgenden exemplarisch anhand ihrer ersten fünf Summanden dargestellt:

$q(x)=x^{2}{\bigl (}{\color {limegreen}{\frac {\color {navy}1}{2}}+{\frac {\color {navy}2}{32}}x^{2}+{\frac {\color {navy}15}{512}}x^{4}+{\frac {\color {navy}150}{8192}}x^{6}+{\frac {\color {navy}1707}{131072}}x^{8}+\ldots }{\bigr )}^{4}$

Der Mathematiker Karl Heinrich Schellbach entdeckte die ganzzahlige Zahlenfolge, die in der MacLaurinschen Reihe von der vierten Wurzel des Quotienten vom Elliptischen Nomen dividiert durch die quadrierende Funktion vorkommt. Dieser Wissenschaftler hat diese Folge A002103 in seinem Werk „Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen“ im Detail aufgebaut. Speziell auf Seite 60 dieses Werkes ist in seinem Werk eine Syntheseroute dieser Sequenz niedergeschrieben. Auch der schlesisch-deutsche Mathematiker Hermann Amandus Schwarz schrieb in seinem Werk Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen im Kapitel Berechnung der Grösse k auf den Seiten 54 bis 56 diese ganzzahlige Zahlenfolge nieder. Diese Schellbach-Schwarz-Zahlenfolge Sc(n) wurde im 20. Jahrhundert auch von den Mathematikern Karl Theodor Wilhelm Weierstraß und Louis Melville Milne-Thomson analysiert. Die Synthesemethode der Schellbachschen Zahlen erfolgt nach diesem Muster:

${\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)$

Exemplarisch soll im nun Folgenden gezeigt werden, wie die Schellbachschen Zahlen sukzessiv aufgebaut werden. Hierfür werden die Beispiele mit den Zahlen Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 and Sc(6) = 20910 in ihrem Erzeugungsalgorithmus dargestellt:

$\mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}$

$\mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}$

$\mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}$

Herleitung der MacLaurinschen Reihen

Gegeben sind diese MacLaurinschen Reihen:

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}$

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(1-2n)}}\,k^{2n}$

Es gelten diese beiden binomischen Maclaurin-Reihen für |kx| < 1:

${\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}k^{2n}x^{2n}$

${\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}k^{2n}x^{2n}$

Zusätzlich ist jenes Integral für alle Zahlen n ∈ ℕ₀ gültig:

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {\pi }{2}}$

Deswegen gilt für das vollständige elliptische Integral erster Art:

$K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=$ $=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=$ $=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}}}{\biggl [}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}k^{2n}$

Und für das vollständige elliptische Integral zweiter Art gilt:

$E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=$ $=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}(1-2n)}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=$ $=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\biggl [}{\frac {\operatorname {CBC} (n)}{4^{n}}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(1-2n)}}k^{2n}$

Singuläre elliptische Integralwerte

Als Singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum als Elliptic Integral Singular Values werden diejenigen vollständigen elliptischen Integrale bezeichnet, welche als algebraische Kombination von den Gammafunktionswerten rationaler Zahlen dargestellt werden können. Eine solche Darstellung ist dann möglich, wenn der Modulbetrag beziehungsweise Exzentrizitätsbetrag der betroffenen elliptischen Integrale gleich einem elliptischen Lambda-Stern-Wert von einer positiven rationalen Zahl ist. Im nun folgenden sollen genau solche elliptischen Integralidentitäten aufgestellt werden:

Eulersche Betafunktionsidentitäten der Integrale K und E

Elliptischer Modul k	Elliptische Integrale erster Art	Elliptische Integrale zweiter Art
$0$	$K(0)={\tfrac {1}{2}}\pi =K'(1)$	$E(0)={\tfrac {1}{2}}\pi =E'(1)$
$1$	$\lim _{k\to 1}K(k)=+\,\infty$	$E(1)=1$
$\lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\varpi ={\tfrac {1}{4}}\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}$	$E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\varpi +\pi \,\varpi ^{-1}{\bigr )}={\tfrac {1}{8}}\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}+\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}^{-1}$
$\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1$	$K({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}$	$E({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}+{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}^{-1}$
$\lambda ^{*}({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}$	$K{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\,{\bigr )}={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}$	$E{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\,{\bigr )}={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,\beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}+{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {3}{8}}{\bigr )}^{-1}$
$\lambda ^{*}(3)=\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )$	$K{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}$	$E{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{24}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}+1)\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}^{-1}$
$\lambda ^{*}({\tfrac {1}{3}})=\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )$	$K{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}$	$E{\bigl [}\cos({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}={\tfrac {1}{24}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)\beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,\pi \beta {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}^{-1}$

Dabei bezeichnet $\varpi$ die Lemniskatische Konstante und mit $\beta (x)=\Gamma (x)^{2}/\Gamma (2x)$ wird die reduzierte Eulersche Betafunktion dargestellt.

Hier werden mit $K'$, $E'$ und $k'$ wieder die komplementären Größen ausgedrückt.

Und mit dem Ausdruck $\lambda ^{*}(p)$ wird die Elliptische Lambda-Stern-Funktion dargestellt. Diese Funktion erfüllt generell folgendes Kriterium:

$K{\bigl [}{\sqrt {1-\lambda ^{*}(p)^{2}}}{\bigr ]}/K{\bigl [}\lambda ^{*}(p){\bigr ]}={\sqrt {p}}$

Damit zusammenhängend gilt auch:

$q[\lambda ^{*}(p){\bigr ]}=\exp(-\pi {\sqrt {p}})$

$\lambda ^{*}(p)=q^{\langle {-1}\rangle }{\bigl [}\exp(-\pi {\sqrt {p}}){\bigr ]}={\frac {\vartheta _{10}[\exp(-\pi {\sqrt {p}})]^{2}}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi {\sqrt {p}})]^{2}}}$

Nun folgen noch weitere Identitäten:

$K{\bigl [}\lambda ^{*}(5){\bigr ]}=K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=2^{-37/20}5^{-5/8}({\sqrt {5}}+1)^{5/4}\cos({\tfrac {1}{20}}\pi )\beta ({\tfrac {9}{20}})$

$K{\bigl [}\lambda ^{*}(6){\bigr ]}=K{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=2^{-37/12}3^{-3/4}({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)\beta ({\tfrac {11}{24}})$

$K{\bigl [}\lambda ^{*}(7){\bigr ]}=K{\bigl [}{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}=2^{-11/7}7^{-5/4}\cot({\tfrac {1}{7}}\pi )\,\pi ^{-1}\beta ({\tfrac {2}{7}})\beta ({\tfrac {4}{7}})\beta ({\tfrac {5}{14}})$

$K{\bigl [}\lambda ^{*}(15){\bigr ]}=K{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}}){\bigr ]}=2^{-4}3^{-5/4}5^{-5/4}({\sqrt {5}}+1)^{2}\,\pi ^{-1}\beta ({\tfrac {2}{15}})\beta ({\tfrac {8}{15}})\beta ({\tfrac {1}{3}})$

Die genannten Elliptischen Lambda-Stern-Werte kommen auch mit Hilfe des Lösens dieser für alle n ∈ ℕ gültigen Formeln hervor:

${\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr \}}$

$\lambda ^{*}(n)={\biggl [}1-\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{2}\,{\biggr ]}^{1/2}$

Dabei stellt die Amkürzung dn das Delta Amplitudinis aus der Gruppe der Jacobischen Amplitudenfunktionen dar!

Außerdem gelten folgende Identitäten für das vollständige elliptische Integral dritter Art:

$\Pi (0,0)={\frac {\pi }{2}}$

$\lim _{k\rightarrow 1}\Pi (0,k)=\infty$

Spezielle Identitäten

Spezielle Funktionswerte:

${\begin{aligned}F({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nK(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\E({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nE(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\\Pi \left(m,{\frac {n\pi }{2}},m\right)&\equiv {\frac {nE(m)}{m-1}}\;,&n\in \mathbb {N} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Pi (0,m)&\equiv K(m)\\\Pi (n,0)&\equiv {\frac {\pi /2}{\sqrt {1-n}}}\\\Pi (m,m)&\equiv {\frac {E(m)}{1-m}}\\\Pi (k,k)&\equiv {\frac {\pi }{4(1-k)}}+{\tfrac {1}{2}}K(k)\end{aligned}}$

Modultransformationen der vollständigen Integrale

Reflexive Transformationen

Die Transformationen des elliptischen Moduls erfolgen nach den nunfolgenden Mustern:

${\begin{aligned}K(m)&\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\;K\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E(m)&\equiv {\sqrt {1-m}}\;E\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n,m)&\equiv {\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}},{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}$

Bezüglich des standardisierten Legendreschen Moduls beziehungsweise bezüglich der numerischen Exzentrizität ist die soeben gezeigte Transformation imaginär beschaffen. Wenn diese Modultransformation auf sich selbst angewandt wird beziehungsweise zweimal hintereinander durchgeführt wird, dann entsteht wieder der anfängliche Modul. Somit hat diese Modultransformation einen reflexiven Charakter.

Landensche Transformationen

Die Landensche Transformation bringt den ersten Tochtermodul in Bezug auf den gegebenen Muttermodul hervor. Der erste Tochtermodul ist das tangentielle Gegenstück vom Pythagoräischen Gegenstück vom Muttermodul. Somit geht der erste Tochtermodul ebenso als Quadrat von der Tangens-Hyperbolicus-Halbierung vom Muttermodul hervor. Wenn zwei elliptische Module zueinander Pythagoräische Gegenstücke sind, dann ergeben die Quadrate der betroffenen Module miteinander addiert den Wert Eins. Wenn zwei elliptische Module zueinander tangentielle Gegenstücke sind, dann ergeben die Nachfolger der betroffenen Module miteinander multipliziert den Wert Zwei. Das Elliptische Nomen vom Landenschen Tochtermodul ist das Quadrat des elliptischen Nomens vom gegebenen Muttermodul. Denn das reelle Halbperiodenverhältnis verdoppelt sich bei der Landenschen Modultransformation:

$2\,{\frac {K({\color {blue}{\sqrt {1-k^{2}}}})}{K({\color {blueviolet}k})}}={\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}]}{K[{\color {green}(1-{\sqrt {1-k^{2}}})(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}}]}}={\frac {K({\sqrt {1-{\color {green}t}^{2}}})}{K({\color {green}t})}}$

Der Landensche Tochtermodul der Legendreschen Form wird exakt so hervorgerufen:

${\color {green}t=(1-{\sqrt {1-k^{2}}})(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k){\bigr ]}^{2}=\tanh {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (k){\bigr ]}^{2}}$

Elliptisches Nomen vom Landenschen Tochtermodul:

$q({\color {blueviolet}k})^{2}=q{\biggl (}{\color {green}{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}}{\biggr )}=q{\biggl (}{\frac {1-{\color {blue}k'}}{1+{\color {blue}k'}}}{\biggr )}$

Für die Integrale K und E selbst gelten analog diese Formeln:

${\begin{aligned}K(k)&\equiv {\frac {1}{1+k}}\;K\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)&K'(k)&\equiv {\frac {2}{1+k}}\;K'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\\K(k)&\equiv {\frac {2}{1+k'}}\;K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\quad {\text{(Landen-Transformation)}}&K'(k)&\equiv {\frac {1}{1+k'}}\;K'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\\E(k)&\equiv {\frac {1+k}{2}}\;E\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\frac {k'^{2}}{2}}\;K\left(k\right)&E'(k)&\equiv (1+k)\;E'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-k\;K'\left(k\right)\\E(k)&\equiv (1+k')\;E\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)-k'\;K(k)&E'(k)&\equiv {\frac {1+k'}{2}}\;E'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)+{\frac {k^{2}}{2}}\;K'(k)\end{aligned}}$

Exemplarisch sollen im Folgenden drei Beispiele mit der Landen-Transformation behandelt werden:

Landensche Modultransformationen

Muttermodul	Tangens-Hyperbolicus-Halbierung	Gegenstück-Rechenverfahren	Periodenverhältnis	Nomenfunktion
${\color {blueviolet}k={\tfrac {3}{5}}}$	$\tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{9}}}$	$K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\color {Gray}{\tfrac {10}{9}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{9}}})$	${\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})}}={\frac {K({\tfrac {4}{9}}{\sqrt {5}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{9}}})}}$	$q({\tfrac {3}{5}})^{2}=q({\tfrac {1}{9}})$
${\color {blueviolet}k={\tfrac {8}{17}}}$	$\tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {8}{17}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{16}}}$	$K({\color {blueviolet}{\tfrac {8}{17}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {15}{17}}})={\color {Gray}{\tfrac {17}{16}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{16}}})$	${\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {15}{17}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {8}{17}}})}}={\frac {K({\tfrac {1}{16}}{\sqrt {255}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{16}}})}}$	$q({\tfrac {8}{17}})^{2}=q({\tfrac {1}{16}})$
${\color {blueviolet}k={\tfrac {5}{13}}}$	$\tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {5}{13}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{25}}}$	$K({\color {blueviolet}{\tfrac {5}{13}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {12}{13}}})={\color {Gray}{\tfrac {26}{25}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{25}}})$	${\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {12}{13}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {5}{13}}})}}={\frac {K({\tfrac {4}{25}}{\sqrt {39}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{25}}})}}$	$q({\tfrac {5}{13}})^{2}=q({\tfrac {1}{25}})$
${\color {blueviolet}k={\tfrac {12}{37}}}$	$\tanh[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} ({\color {blueviolet}{\tfrac {12}{37}}})]^{2}={\color {green}{\tfrac {1}{36}}}$	$K({\color {blueviolet}{\tfrac {12}{37}}})=K'({\color {blue}{\tfrac {35}{37}}})={\color {Gray}{\tfrac {37}{36}}}K({\color {green}{\tfrac {1}{36}}})$	${\frac {2K({\color {blue}{\tfrac {35}{37}}})}{K({\color {blueviolet}{\tfrac {12}{37}}})}}={\frac {K({\tfrac {1}{36}}{\sqrt {1295}})}{K({\color {green}{\tfrac {1}{36}}})}}$	$q({\tfrac {12}{37}})^{2}=q({\tfrac {1}{36}})$

Der ${\color {blue}{\text{Komplementärmodul}}}$ ist das Pythagoräische Gegenstück zum ${\color {blueviolet}{\text{Muttermodul}}}$:

${\color {blue}{k'}}={\sqrt {1-{\color {blueviolet}{k}}^{2}}}$

Der ${\color {green}{\text{Tochtermodul}}}$ ist das tangentielle Gegenstück zum ${\color {blue}{\text{Komplementärmodul}}}$:

${\color {green}{t}}={\frac {1-{\color {blue}{k'}}}{1-{\color {blue}{k'}}}}$

Der ${\color {Gray}{\text{K-Quotient}}}$ $K({\color {blueviolet}{k}})/K({\color {green}{t}})$ ist mit dem Nachfolger vom ${\color {green}{\text{Tochtermodul}}}$ identisch.

Transformationen höheren Grades

Mit dem Sinus Amplitudinis und dem Delta Amplitudinis können folgende Modultransformationen durchgeführt werden:

$K(k)\equiv {\frac {3\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}{2-\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}}\;K{\bigl \{}k^{3}\operatorname {sn} [K(k)/3;k]^{4}{\bigr \}}$

$K(k)\equiv {\frac {5}{1+2\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]+2\operatorname {dn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]}}\;K{\bigl \{}k^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{4}{\bigr \}}$

$K(k)\equiv {\frac {7}{1+2\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{7}}K(k);k]+2\operatorname {dn} [{\tfrac {4}{7}}K(k);k]+2\operatorname {dn} [{\tfrac {6}{7}}K(k);k]}}\;K{\bigl \{}k^{7}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{7}}K(k);k]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(k);k]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(k);k]^{4}{\bigr \}}$

Hierbei löst der Jacobische Sinus-Amplitudinis-Ausdruck $\operatorname {sn} [K(k)/3;k]$ für x die Gleichung $k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0$ auf.

Insgesamt gilt für alle Werte n ∈ ℕ und 0 ≤ k ≤ 1 folgende Formel:

$K(k)\equiv n{\biggl \{}\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1}K{\biggl \{}k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2a-1}{n}}K(k);k{\bigr ]}^{2}{\biggr \}}$

Hierbei ist sn der Sinus Amplitudinis und dn das Delta amplitudinis.

Für die genannte Transformation dritten Grades sollen zwei zueinander verwandte Beispiele im nun Folgenden dargestellt werden:

$({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})^{2}x^{4}-2({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})^{2}x^{3}+2x-1=0$ $x=\operatorname {sn} [K(k)/3;k](k={\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})={\color {RoyalBlue}{\tfrac {2}{3}}}$ $K({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})\equiv {\frac {3\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}{2-\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}}\;K{\bigl \{}k^{3}\operatorname {sn} [K(k)/3;k]^{4}{\bigr \}}(k={\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})={\tfrac {3}{2}}K{\bigl [}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})^{3}({\color {RoyalBlue}{\tfrac {2}{3}}})^{4}{\bigr ]}={\tfrac {3}{2}}K({\tfrac {1}{16}}{\sqrt {6}})$

$({\tfrac {5}{16}}{\sqrt {10}})^{2}x^{4}-2({\tfrac {5}{16}}{\sqrt {10}})^{2}x^{3}+2x-1=0$ $x=\operatorname {sn} [K(k)/3;k](k={\tfrac {5}{16}}{\sqrt {10}})={\color {RoyalBlue}{\tfrac {4}{5}}}$ $K({\tfrac {5}{16}}{\sqrt {10}})\equiv {\frac {3\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}{2-\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}}\;K{\bigl \{}k^{3}\operatorname {sn} [K(k)/3;k]^{4}{\bigr \}}(k={\tfrac {5}{16}}{\sqrt {10}})=2K{\bigl [}({\tfrac {5}{16}}{\sqrt {10}})^{3}({\color {RoyalBlue}{\tfrac {4}{5}}})^{4}{\bigr ]}=2K({\tfrac {1}{8}}{\sqrt {10}})$

Durch Gegenüberstellung in X-förmigem Muster werden zueinander Pythagoräisch komplementäre elliptische Module auf beiden Seiten der Gleichungswaage sichtbar:

$K({\color {limegreen}{\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}}})={\tfrac {3}{2}}K({\color {navy}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {6}}})$ $K({\color {navy}{\tfrac {5}{16}}{\sqrt {10}}})=2K({\color {limegreen}{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {10}}})$

Hierbei sind gleichgefärbte Module zueinander Pythagoräisch komplementär.

Ableitungen der vollständigen Integrale

Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art werden so abgeleitet:

${\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}K(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-(1-k^{2})\cdot K(k)}{k\cdot (1-k^{2})}}&{\frac {{\text{d}}K(m)}{{\text{d}}m}}&={\frac {E(m)-(1-m)\cdot K(m)}{2m\cdot (1-m)}}\\{\frac {{\text{d}}E(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-K(k)}{k}}&{\frac {{\text{d}}E(m)}{{\text{d}}m}}&={\frac {E(m)-K(m)}{2m}}\\{\frac {{\text{d}}\Pi (n,m)}{{\text{d}}n}}&={\frac {1}{2(m-n)(n-1)}}\left(E(m)+{\frac {m-n}{n}}K(m)+{\frac {n^{2}-m}{n}}\Pi (n,m)\right)&{\frac {{\text{d}}\Pi (n,m)}{{\text{d}}m}}&={\frac {1}{2(n-m)}}\left({\frac {E(m)}{m-1}}+\Pi (n,m)\right)\end{aligned}}$

Herleitung der Ableitungen

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals erster Art:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}{\frac {k^{2}(1-k^{2})x^{2}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\left(1-k^{2}x^{2}\right)^{2}-\left(1-k^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right)-k^{2}\left(1-2x^{2}+k^{2}x^{4}\right)}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {k(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{k(1-k^{2})}}E(k)-{\frac {1}{k}}K(k)-\left[{\frac {kx{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right]_{x=0}^{x=1}={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}\end{aligned}}$

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals zweiter Art:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k{\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-K(k)}{k}}\end{aligned}}$

Stammfunktionen

Stammfunktionen der m-Form

Stammfunktionen für das vollständige elliptische Integral erster, zweiter und dritter Art nach $m$:

${\begin{aligned}\int K(m)\,\mathrm {d} m&=2(m-1)K(m)+2E(m)\\\int E(m)\,\mathrm {d} m&={\tfrac {2}{3}}(m-1)K(m)+{\tfrac {2}{3}}(m+1)E(m)\\\int \Pi (n,m)\,\mathrm {d} m&=-2K(m)+2E(m)+2(m-n)\Pi (n,m)\end{aligned}}$

Stammfunktionen der Legendreschen k-Form

Die Ursprungsstammfunktion für die Produkte der Integrale K und E mit der identischen Funktion können direkt mit den soeben genannten Integralen dargestellt werden:

$\int _{0}^{x}k\,K(k)\,\mathrm {d} k=E(x)-(1-x^{2})K(x)$

$\int _{0}^{x}k\,E(k)\,\mathrm {d} k={\frac {1}{3}}{\bigl [}(1+x^{2})E(x)-(1-x^{2})K(x){\bigr ]}$

Auch eine solche direkte Darstellungsmöglichkeit ergibt sich für folgende Funktionen:

$\int _{0}^{x}{\frac {1}{k^{2}}}{\bigl [}K(k)-{\frac {\pi }{2}}{\bigr ]}\mathrm {d} k={\frac {1}{2x}}{\bigl [}\pi -2E(x){\bigr ]}$

$\int _{0}^{x}{\frac {1}{k^{2}}}{\bigl [}{\frac {\pi }{2}}-E(k){\bigr ]}\mathrm {d} k={\frac {1}{2x}}{\bigl [}4E(x)-2(1-x^{2})K(x)-\pi {\bigr ]}$

Die Stammfunktionen vom K-Integral und E-Integral in der k-Form direkt können nicht mit den vollständigen elliptischen Integralen alleine dargestellt werden, sondern benötigen Integralfunktionsdarstellungen. Die Ursprungsstammfunktionen für die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art nach $k$ werden im nun Folgenden zusammen mit jeweiligen Beispielen präsentiert:

$\int _{0}^{x}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z$ $\int _{0}^{1}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(z)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z={\biggl [}2\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}=2\operatorname {Ti} _{2}(1)=2G$ $\int _{0}^{x}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z$ $\int _{0}^{1}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(z)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z={\biggl [}\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}+{\frac {1}{2}}z{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}=\operatorname {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=G+{\frac {1}{2}}$

Dabei ist G die Catalansche Konstante und mit Ti₂(x) wird das Arkustangensintegral zum Ausdruck gebracht.

Wenn jetzt als innere Funktion in die K-Funktion und E-Funktion die quadrierende Funktion eingesetzt wird, dann entstehen folgende Stammfunktionen und Integrale, welche als lemniskatisch beschaffene Integralfunktionen mit Hilfe des sogenannten Arkussinus Lemniscatus dargestellt werden können:

$\int _{0}^{x}K(r^{2})\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{1}{\frac {2\operatorname {arcsl} (xz)}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z$ $\int _{0}^{1}K(r^{2})\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{1}{\frac {2\operatorname {arcsl} (z)}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z={\biggl [}\operatorname {arcsl} (z)^{2}{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}={\frac {\varpi ^{2}}{4}}$ $\int _{0}^{x}E(r^{2})\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {4\operatorname {arcsl} (xz)}{3{\sqrt {1-z^{4}}}}}+{\frac {2xz{\sqrt {1-x^{4}z^{4}}}}{3{\sqrt {1-z^{4}}}}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z$ $\int _{0}^{1}E(r^{2})\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {4\operatorname {arcsl} (z)}{3{\sqrt {1-z^{4}}}}}+{\frac {2}{3}}z{\biggr ]}\,\mathrm {d} z={\biggl [}{\frac {2}{3}}\operatorname {arcsl} (z)^{2}+{\frac {1}{3}}z^{2}{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}={\frac {\varpi ^{2}}{6}}+{\frac {1}{3}}$

Mit dem Kürzel $\varpi$ wird hierbei die Lemniskatische Konstante dargestellt.

Auch dann, wenn sich die vollständigen elliptischen Integrale im Nenner befinden, können unter anderem Stammfunktionen aufgestellt werden, welche als elementare Kombination der nicht elementaren elliptischen Integrale dargestellt werden können. Adolf Kneser und Robert Fricke analysierten folgende Funktion mit ihrer zugehörigen Ursprungsstammfunktion:

$\int _{0}^{x}{\frac {\pi ^{2}}{8k(1-k^{2})K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\,\mathrm {d} k={\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}$

Die Richtigkeit dieser Formel geht direkt aus der Legendreschen Identität bei Anwendung der infinitesimalanalytischen Quotientenregel hervor.

Die genannte Legendresche Identität wird in diesem Artikel weiter unten bewiesen werden!

$\int _{0}^{1}{\frac {\pi ^{2}}{8k(1-k^{2})K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\,\mathrm {d} k=\ln(2)$

$\int _{0}^{1/{\sqrt {2}}}{\frac {\pi ^{2}}{8k(1-k^{2})K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\,\mathrm {d} k={\frac {5}{4}}\ln(2)-{\frac {\pi }{4}}$

Die nun genannte Formel für die Ursprungsstammfunktion hat für alle reellen Werte $-1<x<1$ Gültigkeit.

Basierend auf der genannten erzeugenden Funktion der Kneserschen Zahlenfolge kann durch Bildung der Ursprungsstammfunktion eine Reihenentwicklung für den Periodenverhältnis aufgestellt werden:

${\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}\,x^{2n-1}$

${\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}$

Mit Hilfe einer Aperyschen Zahlenfolge des folgenden Muster kann die Knesersche Folge alternativ erzeugt werden:

${\text{Kn}}(n+1)=2^{4n+1}-{\tfrac {1}{8}}{\text{Ap}}(n+2)-\sum _{m=1}^{n}{\text{Kn}}(m){\text{Ap}}(n+2-m)$

${\text{Ap}}(n)=\sum _{a=0}^{n-1}\operatorname {CBC} (a)^{2}\operatorname {CBC} (n-1-a)^{2}$

Diese Funktion mit dem Quadrat des K-Integrals im Nenner behandelte Robert Fricke in seinem berühmten Werk Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen und leitete diese Formel mit der Legendreschen Identität her. Adolf Kneser erforschte diese Funktion ebenso und stellte zu dieser Funktion in seinem Werk Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen die zugehörige MacLaurinsche Reihenentwicklung auf, welche die Koeffizienten der Zahlenfolge (OEIS A227503) enthalten.

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt. Die Umkehrfunktionen von den unvollständigen elliptischen Integralen erster Art in Legendre-Form sind die Jacobischen Amplitudenfunktionen Sinus Amplitudinis (sn), Cosinus Amplitudinis (cn) und Delta Amplitudinis (dn).

Wenn man von diesen drei Funktionen die Kehrwertfunktionen mit Kürzeln ausdrücken möchte, dann müssen von den soeben gezeigten Funktionskürzeln die beiden Buchstaben jeweils ausgetauscht werden. Wenn eine der drei gezeigten Funktionen als Dividendfunktion durch eine andere von diesen drei Funktionen als Divisorfunktion geteilt wird, dann trägt das zweibuchstabige Kürzel der jeweiligen neuen Funktion an erster Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Dividendfunktion und an zweiter Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Divisorfunktion. Beispielsweise hat der Quotient des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Ampitudinis das Kürzel cd. Denn die Dividendfunktion ist der Cosinus Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel dieser Funktion ist das c. Und die Divisorfunktion ist das Delta Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel jener Funktion ist das d.

Die Jacobischen Amplitudenfunktionen haben genauso wie die trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen Additionstheoreme mit algebraischer Struktur, welche aus den Theoremen der unvollständigen elliptischen Integrale erster Art hervorgehen. Deswegen zählen die sn-Werte, cn-Werte und dn-Werte von den Produkten aus einer rationalen Zahl und dem elliptischen K-Integral des betroffenen Moduls komplett immer zu den algebraischen Zahlen.

Bei den Umkehrfunktionen der unvollständigen elliptischen Integrale zweiter Art ist das jedoch nicht der Fall. Diese inversen elliptischen Integrale zweiter Art haben keine Additionstheoreme mit algebraischer Struktur. Diese Funktionen ordnen die Bogenmaße beziehungsweise Kurvenlängen der Ellipsen den jeweiligen Höhen und Breiten der betroffenen Kurvenpunkte zu.

Unvollständige elliptische Integrale

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale

Graph der elliptischen Integrale erster Art $F(\varphi ,m)$ in Legendre-Form für verschiedene Parameter $m$

Graph der elliptischen Integrale zweiter Art $E(\varphi ,m)$ in Legendre-Form für verschiedene Parameter $m$

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution $t=\sin \vartheta$ in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter $m=k^{2}$ und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale mit Parametern $k$ und $m$

	Konvention mit Parameter $k$	Konvention mit Parameter $m$
I. Art: Jacobi-Form	$F_{J}(x;k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$	$F_{J}(x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	$F(\varphi ;k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}$	$F(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}$
II. Art: Jacobi-Form	$E_{J}(x;k):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$	$E_{J}(x,m):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$
II. Art: Legendre-Normalform	$E(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta$	$E(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta$
III. Art: Jacobi-Form	$\Pi _{J}(n,x;k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$	$\Pi _{J}(n,x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	$\Pi (n,\varphi ;k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$	$\Pi (n,\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}$

Durch innere Substitution mit dem Arkussinus erhält man folgende Identitäten:

$F[\arcsin(r);k]=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {(1-u^{2})(1-k^{2}u^{2})}}}\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {(1-r^{2}y^{2})(1-k^{2}r^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} y$

$E[\arcsin(r);k]=\int _{0}^{r}{\frac {\sqrt {1-k^{2}u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u=\int _{0}^{1}{\frac {r{\sqrt {1-k^{2}r^{2}y^{2}}}}{\sqrt {1-r^{2}y^{2}}}}\,\mathrm {d} y$

Durch innere Substitution mit dem Arkustangens erhält man folgende Identitäten:

$F[\arctan(s);k]=\int _{0}^{s}{\frac {1}{\sqrt {(t^{2}+1)[(1-k^{2})t^{2}+1]}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{\frac {s}{\sqrt {(s^{2}x^{2}+1)[(1-k^{2})s^{2}x^{2}+1]}}}\,\mathrm {d} x$

$E[\arctan(s);k]=\int _{0}^{s}(t^{2}+1)^{-3/2}{\sqrt {(1-k^{2})t^{2}+1}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}s(s^{2}x^{2}+1)^{-3/2}{\sqrt {(1-k^{2})s^{2}x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x$

Additionstheoreme

Mit folgenden Theoremen können die unvollständigen elliptischen Integrale additiv verknüpft werden. Die Legendre-Normalform wird zur Darstellung verwendet.

Elliptische Integrale erster Art:

$F[\arctan(x);k]+F[\arctan(y);k]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right);k\right]$

Elliptische Integrale zweiter Art:

$E[\arctan(x);k]+E[\arctan(y);k]=E\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right);k\right]+$ $+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)$

Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:

$F[\arcsin(x);k]+F[\arcsin(y);k]=2F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {{\sqrt {(1+x)(1+y)}}-{\sqrt {(1-x)(1-y)}}}{{\sqrt {(1+kx)(1+ky)}}+{\sqrt {(1-kx)(1-ky)}}}}{\biggr ]};k{\biggr \}}$

Der nun genannte Quotient kann wahlweise auch mit dem Arithmetischen Mittelungstheorem des Sinus und des Cosinus auf folgende Weise dargestellt werden:

${\frac {{\sqrt {(1+x)(1+y)}}-{\sqrt {(1-x)(1-y)}}}{{\sqrt {(1+kx)(1+ky)}}+{\sqrt {(1-kx)(1-ky)}}}}={\frac {\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(x)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(y){\bigr ]}}{\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(kx)-{\tfrac {1}{2}}\arcsin(ky){\bigr ]}}}$

Modultransformationen der unvollständigen Integrale

Die Landensche Transformation erfolgt grundsätzlich nach folgendem Muster:

$F{\bigl [}\arcsin(x);k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left\{\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right];{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right\}$

$E{\bigl [}\arcsin(x);k{\bigr ]}=(1+{\sqrt {1-k^{2}}})E\left\{\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right];{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right\}-$ $-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\bigl [}\arcsin(x);k{\bigr ]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}$

Insbesondere die analoge vollständige Formel wurde durch die Gebrüder Borwein in ihrem Werk Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity behandelt.

Für alle Werte n ∈ ℕ und |k| ≤ 1 gilt folgende Formel:

${\biggl \{}\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}{\biggr \}}F{\bigl [}\arctan(x);k{\bigr ]}=F{\biggl \langle }\sum _{a=1}^{n}\arctan {\bigl \{}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}x{\bigr \}};k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2a-1}{n}}K(k);k{\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }$

Unvollständige elliptische Integrale als Stammfunktionen

Diese Ableitungsformel dient zur effizienten Integration der Kehrwerte von Quadratwurzeln aus kubischen Polynomen:

${\frac {1}{\sqrt {(ax+b)(cx^{2}+dx+e)}}}=$ $={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{2}ce+b^{2}c^{2}-abcd}}}\,F{\biggl \{}2\arctan {\biggl (}{\frac {\sqrt {ac\,x+bc}}{\sqrt[{4}]{a^{2}ce+b^{2}c^{2}-abcd}}}{\biggr )};\sin {\biggl [}{\frac {1}{2}}\arccos {\biggl (}{\frac {ad-2bc}{2{\sqrt {a^{2}ce+b^{2}c^{2}-abcd}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}$

Folgende Ableitungsformel kann eingesetzt werden, um einige Kehrwerte von Quadratwurzeln aus Polynomen vierten Grades effizient zu integrieren:

${\biggl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {(1-v^{2})(1-w^{2})}}-{\frac {1}{2}}\,v\,w+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}^{1/2}\,{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+2vx+1)(x^{2}+2wx+1)}}}=$ $={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {{\sqrt {1-w^{2}}}(x+v)+{\sqrt {1-v^{2}}}(x+w)}{{\sqrt {1-w^{2}}}{\sqrt {x^{2}+2vx+1}}+{\sqrt {1-v^{2}}}{\sqrt {x^{2}+2wx+1}}}}{\biggr ]};{\frac {v-w}{{\sqrt {(1-v^{2})(1-w^{2})}}-v\,w+1}}{\biggr \}}$

Der auf der rechten Seite des Ausdrucks gezeigte elliptische Modul kann direkt mit dem Arithmetischen Mittelungstheorem des Areatangens Hyperbolicus hervorgerufen werden:

${\frac {v-w}{{\sqrt {(1-v^{2})(1-w^{2})}}-v\,w+1}}=\tanh {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (v)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (w){\bigr ]}$

Auch mit den trigonometrischen Kreisfunktionen kann für den Elliptischen Modul eine direkte Identität gebildet werden:

${\frac {v-w}{{\sqrt {(1-v^{2})(1-w^{2})}}-v\,w+1}}=\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(v)-{\tfrac {1}{2}}\arcsin(w){\bigr ]}\sec {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(v)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(w){\bigr ]}$

Mit der unteren von den beiden eingerahmten Formeln kann durch lineare Verschiebung der inneren Funktion auch dieses Exemplar herausgearbeitet werden:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+x^{3}+1}}}\,\mathrm {d} x=2{\sqrt {\sec {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,K{\biggl \{}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,{\biggr \}}\approx 3{,}90212557565417$

Durch Einsetzen des Cardanoschen Formelanalogon für quartische Gleichungen kann die gezeigte Gleichung vierten Grades unter der Quadratwurzel in zwei quadratische Polynome faktorisiert werden. So kann dann diese Gleichung mit der genannten eingerahmten Formel integriert werden. Das uneigentliche Integral von Minus Unendlich bis Plus Unendlich vom Kehrwert der Quadratwurzel aus einem quartischen Polynom ohne reelle Nullstellen ist komplett immer als Vollständiges elliptisches Integral erster Art K von einem in algebraischer Beziehung zu den Koeffizienten des quartischen Polynoms stehenden Modul darstellbar.

Ableitung des komplett verallgemeinerten Falls

Für den allgemeinsten Fall gelten diese Ableitungsregeln:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F{\bigl [}f(x);g(x){\bigr ]}={\frac {g'(x)}{g(x)[1-g(x)^{2}]}}{\bigl \{}E{\bigl [}f(x);g(x){\bigr ]}-[1-g(x)^{2}]F{\bigl [}f(x);g(x){\bigr ]}{\bigr \}}+{\frac {2f'(x)[1-g(x)^{2}]-g(x)g'(x)\sin[2f(x)]}{2[1-g(x)^{2}]{\sqrt {1-g(x)^{2}\sin[f(x)]^{2}}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}E{\bigl [}f(x);g(x){\bigr ]}={\frac {g'(x)}{g(x)}}{\bigl \{}E{\bigl [}f(x);g(x){\bigr ]}-F{\bigl [}f(x);g(x){\bigr ]}{\bigr \}}+f'(x){\sqrt {1-g(x)^{2}\sin[f(x)]^{2}}}$

Alternative Darstellungen

Symmetrische Carlson-Formen

Die symmetrischen Carlson-Formen sind eine alternative Menge an Funktionen, durch die die klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden erst in den 1960er Jahren erfunden, während die Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber den klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen $R_{F}$, $R_{D}$ und $R_{J}$ ausgerückt werden:

$F(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)$

$E(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{m\sin ^{3}}\varphi \;R_{D}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)$

$\Pi (n,\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1,1-{n\sin ^{2}}\varphi )$

(für $0\leq \varphi \leq 2\pi$ und $0\leq {m\sin ^{2}}\varphi \leq 1$)

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale erhält man durch Einsetzen von φ = π/2:

$K(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)$

$E(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)-{\tfrac {1}{3}}mR_{D}\left(0,1-m,1\right)$

$\Pi (n,m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-m,1,1-n\right)$

Bulirsch-Integrale

Eine alternative Darstellung der unvollständigen elliptischen Integrale sind die Bulirsch-Integrale.

Unvollständige Bulirsch-Integrale

Die unvollständigen Bulirsch-Integrale sind:

$\operatorname {el1} (x,k_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta$

$\operatorname {el2} (x,k_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta$

$\operatorname {el3} (x,k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta$

Eine verallgemeinerte Version wurde 1994 zusammen mit einem effizienten Berechnungsalgorithmus eingeführt:

$\operatorname {el} (x,k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta$ .

Relation zu den Legendre-Normalformen:

${\begin{aligned}F(\varphi ,m)&=\operatorname {el1} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\\\Pi (n,\varphi ,m)&=\operatorname {el3} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\end{aligned}}$

Die Bulirsch-Integrale haben den Vorteil, dass bestimmte in der Praxis vorkommende Kombinationen der Legendre-Elliptischen-Integrale als gemeinsame Funktion dargestellt werden können, und damit numerische Instabilitäten und undefinierte Wertebereiche vermieden werden können:

${\begin{aligned}\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,\Pi (n,\varphi ,m)&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {F(\varphi ,m)-E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)F(\varphi ,m)+E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,\varphi ,m)-F(\varphi ,m)}{n}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}$

Vollständige Bulirsch-Integrale

Die vollständigen Bulirsch-Integrale sind

$\operatorname {cel1} (k_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta$

$\operatorname {cel2} (k_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta$

$\operatorname {cel3} (k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta$

und das verallgemeinerte vollständige Bulirsch-Integral

$\operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta$ .

Es gilt

${\begin{aligned}K(m)&=\operatorname {cel1} ({\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(m)&=\operatorname {cel2} ({\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\\\Pi (n,m)&=\operatorname {cel3} ({\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\end{aligned}}$

Linearkombinationen vollständiger Legendre-Integrale:

${\begin{aligned}\lambda \,K(m)+\mu \,E(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,K(m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {K(m)-E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)K(m)+E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,m)-K(m)}{n}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {cel} (k_{c},1,a,b)&={\frac {a-b}{1-k_{c}^{2}}}\,E(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,k_{c}^{2}}{1-k_{c}^{2}}}\,K(1-k_{c}^{2})\\\operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)&={\frac {a-b}{1-n_{c}}}\,K(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,n_{c}}{1-n_{c}}}\,\Pi (1-n_{c},1-k_{c}^{2})\end{aligned}}$

Numerische Auswertung

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden. Zur numerischen Auswertung der Carlson-Formen existieren zum AGM ähnliche Algorithmen. Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich. Zu den derzeit effizientesten Verfahren gehört die Auswertung mit Hilfe des Bulirsch-Algorithmus.

Wichtige weitere Stammfunktionen

Liste der Ursprungsstammfunktionen

Das unvollständige elliptische Integral erster Art dient ebenso zur Darstellung der Ursprungsstammfunktionen von folgenden Funktionen:

$\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{3}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{{\sqrt {1+x+x^{2}}}+{\sqrt {1-x}}}}{\biggr )};{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}$

$\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{4}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{\sqrt {2}}}F{\biggl [}\arcsin {\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\biggr )};{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggr ]}$

$\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{6}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{3}}}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr )};{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}$

$\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{8}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\biggl [}\arctan {\biggl (}{\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr )};{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\biggr ]}+{\frac {1}{2}}F{\biggl [}\arcsin {\biggl (}{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\biggr )};{\sqrt {2}}-1{\biggr ]}$

Bezug zur Eulerschen Betafunktion

Für alle n ∈ ℕ gilt folgender Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen:

${\frac {2^{2/n}}{2\,n}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{n}}{\bigr )}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{n}}}}\mathrm {d} x$

Die Richtigkeit dieser Formel wird im Artikel Gammafunktion erklärt.

Bei der Berechnung des abgebildeten Integrals für die Werte n = 3, 4, 6 und 8 erhält man folgende Resultate:

${\begin{aligned}{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{6}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{3}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{{\sqrt {1+x+x^{2}}}+{\sqrt {1-x}}}}{\biggr )};{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=\\&={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F{\biggl [}2\arctan {\bigl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\bigr )};{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}={\frac {2}{3{\sqrt[{4}]{3}}}}K{\bigl (}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\frac {2}{\sqrt[{4}]{27}}}K{\bigl (}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}\\{\frac {\sqrt {2}}{8}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{\sqrt {2}}}F{\biggl [}\arcsin {\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\biggr )};{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}K{\bigl (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigr )}\\{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{12}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{6}}{\bigr )}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{6}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{3}}}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr )};{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}K{\bigl (}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}\\{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{16}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{8}}{\bigr )}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{8}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{2}}F{\biggl [}\arctan {\biggl (}{\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr )};{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\biggr ]}+{\frac {1}{2}}F{\biggl [}\arcsin {\biggl (}{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\biggr )};{\sqrt {2}}-1{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=\\&={\frac {1}{2}}K{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2}}}K{\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}\end{aligned}}$

Mit der Berechnung dieser Integrale und der Anwendung der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes lassen sich die Gamma-Funktionswerte ermitteln. Der erste und dritte Gleichungskette von den hier genannten Gleichungsketten stellen äquianharmonische Rechenbeispiele dar. Die Herleitung dieser gezeigten Integrale wurde insbesondere durch den Mathematiker Mark B. Villarino aus der Universität Costa Rica behandelt und in seinem Werk Legendre’s Singular Modulus niedergeschrieben. Die zweite Gleichungskette repräsentiert ein lemniskatisches Rechenbeispiel, nämlich den lemniskatischen Arkussinus und behandelt hierbei seine Identität mit dem Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei als elliptischen Modul. Die vierte Gleichungskette beinhaltet eine Stammfunktion, welche keine Umkehrfunktion einer Jacobi-Funktion darstellt, aber in so wie die vorherigen Gleichungsketten auf den von rationalen Zahlen kommenden elliptischen Lambda-Stern-Werten als Module basiert.

Legendresche Identität

Zwei Standardformeln für die Legendresche Identität

Das vollständige elliptische Integral erster Art (Jacobische Viertelperiode) und das vollständige elliptische Integral zweiter Art von zwei zueinander elliptisch gegenverwandten Modulen stehen in der Beziehung der Legendreschen Identität zueinander.

Für zwei Module, welche zueinander pythagoräische Gegenstücke sind, gilt diese Beziehung:

$K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi$

Beispielsweise gilt:

$K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi$

Und für zwei Module, welche zueinander tangentielle Gegenstücke sind, gilt jene Beziehung:

$(1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi$

Beispielsweise gilt:

${\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi$

Die Legendresche Identität für tangentielle Modulgegenstücke geht direkt dadurch hervor, dass bei der Legendreschen Identität für Pythagoräische Modulgegenstücke genau bei einem der beiden Module die Landensche Modultransformation nach dem oben erklärten Schema durchgeführt wird.

Spezielle Identität für den lemniskatischen Fall

Für den lemniskatischen Fall ist das elliptische Modul beziehungsweise die spezifische Exzentrizität ε gleich der Hälfte der Quadratwurzel aus zwei. Die Legendresche Identität für den lemniskatischen Fall kann so bewiesen werden:

Nach der Kettenregel gelten diese Ableitungen:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}$

Dann ist folgende Formel gültig:

${\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+$

$+\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y$

Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x von der nun gezeigten Funktion entsteht diese Formel:

${\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y$

Wenn der Wert $x=1$ in die zuletzt genannte Integralidentität eingesetzt wird, dann entsteht folgende Identität:

$K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=$

$={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}$

So kommt dann dieser Ausschnitt aus der Legendreschen Identität hervor:

$2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}$

Verallgemeinerung für den Gesamtfall

Nun soll im Folgenden der moduläre Allgemeinfall bewiesen werden. Hierfür werden die Ableitungen der vollständigen elliptischen Integrale hergeleitet. Und im Anschluss wird die Ableitung der Legendreschen Identitätsbilanz ermittelt.

Diese Ableitungen sind gültig:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

Denn die Ableitung der Kreisfunktion ist das negative Produkt aus der identischer Abbildungsfunktion und dem Kehrwert der Kreisfunktion. Die Legendresche Identität beinhaltet Produkte von jeweils zwei vollständigen elliptischen Integralen. Für die Ableitung der Funktionsseite von der Gleichungswaage der Legendreschen Identität wird die Produktregel im nun Folgenden angewendet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

Wenn von diesen drei Gleichungen die beiden oberen Gleichungen addiert werden und die unterste Gleichung subtrahiert wird, dann entsteht dieses Resultat:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0$

Bezüglich ε ergibt die Bilanz konstant den Wert Null.

Für den Modul $\varepsilon =1/{\sqrt {2}}$ gilt das zuvor ermittelte Resultat:

$2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}$

Die Kombination der beiden zuletzt genannten Formeln ruft folgendes Ergebnis hervor:

$K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi$

Denn wenn die Ableitung einer kontinuierlichen Funktion konstant den Wert Null annimmt, dann ist die betroffene Funktion eine konstante Funktion. Das bedeutet, dass diese Funktion für jeden Abszissenwert ε den gleichen Funktionswert ergibt und der zugehörige Funktionsgraph somit eine waagrechte Gerade ist.

Ramanujansche Kreiszahlformeln

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan erforschte sie und schrieb in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1914 exemplarische Resultate dieser Formeln nieder, die zur Ermittlung sehr schnell konvergierender Summenreihen für die Kreiszahl dienen.

Folgende Formel ist für die nachfolgende hypergeometrische Funktion gültig:

$\sum _{m=0}^{\infty }\,{\frac {(4m)!}{256^{m}(m!)^{4}}}\,x^{2m}={}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}$

Dieser Ausdruck löst folgende Differentialgleichung:

${\frac {K'{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}}{8K{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}}}{\biggl \{}2(1+{\sqrt {1+x}})(1+{\sqrt {1-x}})\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}+x{\sqrt {1-x^{2}}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}\,-$ $-\,{\frac {4E{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}K'{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}-\pi }{16K{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(x){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}(2+{\sqrt {1+x}}+{\sqrt {1-x}})\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}={\frac {1}{\pi }}$

Dabei gilt: $K'(\varepsilon )=K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})$

Exemplarisch durch Einsetzen des Wertes $x={\frac {1}{9801}}$ in die soeben genannte Differentialgleichung gilt beispielsweise somit:

${\frac {2206{\sqrt {2}}}{9801}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9801}}{\bigr )}+{\frac {26390{\sqrt {2}}}{96059601}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9801}}{\bigr )}={\frac {1}{\pi }}$

Die hier gezeigte Gleichung führt direkt zur bekanntesten Kreiszahlformel, durch welche Srinivasa Ramanujan Weltruhm erlangte:

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4m)!(1103+26390m)}{9801(m!)^{4}396^{4m}}}$

Exemplarisch durch Einsetzen des Wertes $x={\frac {1}{9}}$ in die soeben genannte Differentialgleichung gilt beispielsweise somit:

${\frac {2{\sqrt {2}}}{9}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9}}{\bigr )}+{\frac {10{\sqrt {2}}}{81}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}{\bigl [}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}{\bigr ]}{\bigl (}x={\frac {1}{9}}{\bigr )}={\frac {1}{\pi }}$

Die hier gezeigte Gleichung führt zu einer weiteren Kreiszahlformel, welche Srinivasa Ramanujan entdeckte:

${\frac {1}{\pi }}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4m)!(1+10m)}{9(m!)^{4}12^{4m}}}$

Die Mathematiker Borwein, Bailey und Beeler schrieben Ramanujans wichtigste Formeln sukzessiv in ihren Werken nieder und erläuterten zusätzlich Ramanujans Recherchen zu den elliptischen Integralen erster und zweiter Art sowie zu den Hypergeometrischen Funktionen und ihren zugehörigen Differentialgleichungen.

In folgender Tabelle werden noch die sich ergebenden Summenformeln für weitere Werte $x$ genannt:

Elliptischer Modul	Kreiszahlformel
$x={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1+8n)}{2{\sqrt {3}}(n!)^{4}48^{2n}}}$
$x={\frac {1}{49}}$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3{\sqrt {3}}(4n)!(3+40n)}{49(n!)^{4}28^{4n}}}$
$x={\frac {1}{99}}$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(19+280n)}{18{\sqrt {11}}(n!)^{4}1584^{2n}}}$

Dieses Verfahren diente ebenso als Grundlage für die sogenannten Chudnovsky-Algorithmen von den Mathematikern David und Gregory Chudnovsky.

Anwendungsbeispiele

Umfang einer Ellipse

Ellipsenumfang und die Integrale E und K

Eine klassische Anwendung ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse. Im Folgenden ist eine Ellipsen-Parameterform ${\boldsymbol {x}}(\psi )$ mit den Halbachsen $a$, $b$ angegeben. Das Ergebnis stellt sich mit dem vollständigen elliptischen Integral II. Art dar. Hierbei ist die Parameter-Konvention $m=k^{2}$ verwendet.

${\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}(\psi )&={\begin{pmatrix}a\cos(\psi )\\b\sin(\psi )\end{pmatrix}}\\U&=\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {x}}}{{\text{d}}\psi }}\right\|\,{\text{d}}\psi =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(\psi )+b^{2}\cos ^{2}(\psi )}}\;{\text{d}}\psi =4b\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-{\frac {b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}(\psi )}}\;{\text{d}}\psi \\&=4b\,E\left({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)=4a\,E\left({\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\,\right)=4(a+b)E{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}-{\frac {8ab}{a+b}}K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}\end{aligned}}$

Die Äquivalenz der beiden Ausdrücke unten links in der Gleichungskette ist ersichtlich, wenn vorher $a$ statt $b$ ausgeklammert wird. Im letzten Ausdruck ist $m>0$ für $a>b$. Außerdem wird bei beiden von diesen E-Ausdrücken die Übereinstimmung dadurch ersichtlich, dass bei beiden Ausdrücken die Landensche Transformation zum selben Resultat führt. Die zugehörige Anwendung des unvollständigen elliptischen Integrals II. Art ergibt sich, indem die obere Integrationsgrenze als Variable $\psi$ wie im Folgenden angesetzt wird. Damit ergibt sich die Bogenlänge $s$ der Ellipse in Abhängigkeit vom Parameter $\psi$.

$s(\psi )=\int _{0}^{\psi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\xi }}\;{\text{d}}\xi =b\cdot E\left(\psi ,\;{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)$

Folgender alternativer Rechenweg führt direkt zum Ausdruck mit dem Landenschen Tochtermodul $(a-b)\div (a+b)$:

${\begin{aligned}&U=\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\text{d}}{{\text{d}}\psi }}{\begin{pmatrix}a\cos(\psi )\\b\sin(\psi )\end{pmatrix}}\right\|\,{\text{d}}\psi =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(\psi )+b^{2}\cos ^{2}(\psi )}}\;{\text{d}}\psi =4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(\psi )+b^{2}\cos ^{2}(\psi )}}\;{\text{d}}\psi =\\&=4\int _{0}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}(\psi )+b^{2}\cos ^{2}(\psi )}}\;{\bigl [}\psi =\arctan(s){\bigr ]}{\text{d}}s=\int _{0}^{\infty }4\,(a^{2}s^{2}+b^{2})^{1/2}(s^{2}+1)^{-3/2}\;{\text{d}}s=\\&={\biggl \{}2(a+b)E{\biggl [}\arctan {\bigl (}{\frac {a}{b}}s{\bigr )}+\arctan(s);{\frac {a-b}{a+b}}{\biggr ]}-{\frac {4ab}{a+b}}F{\biggl [}\arctan {\bigl (}{\frac {a}{b}}s{\bigr )}+\arctan(s);{\frac {a-b}{a+b}}{\biggr ]}-{\frac {2(a^{2}-b^{2})s}{\sqrt {(s^{2}+1)(a^{2}s^{2}+b^{2})}}}{\biggr \}}_{s=0}^{s=\infty }=\\&=4(a+b)E{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}-{\frac {8ab}{a+b}}K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}\end{aligned}}$

In der zweiten Zeile wird über die Kettenregel mit der Arkustangensfunktion substituiert.

Gauss-Kummer-Reihe

Gegeben sind folgende Ausdrücke:

$E(k)={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,k^{2n}{\biggr ]}$ $K(k)={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}{\biggr ]}$ $k^{2}K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {4\,n^{2}\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}$

Durch Linearkombination dieser drei Formeln kann folgende Formel hervorgebracht werden:

$2E(k)-(1-k^{2})K(k)={\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}{\biggr ]}$

Im vorherigen Abschnitt wurde dieses Resultat gezeigt:

$U=4(a+b)E{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}-{\frac {8ab}{a+b}}K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}$

Und durch die Kombination der beiden nun genannten Formeln entsteht diese Formel:

$U=4(a+b)E{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}-{\frac {8ab}{a+b}}K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}=2(a+b){\bigl [}2E(k)-(1-k^{2})K(k){\bigr ]}{\bigl (}k={\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}=$

$=2(a+b)\,{\frac {\pi }{2}}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}{\biggr ]}{\bigl (}k={\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}=\pi \,(a+b){\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}^{2n}{\biggr ]}$

So entsteht folgendes Endresultat:

$U=\pi \,(a+b){\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}^{2n}{\biggr ]}$

Diese Formel wird als Gauss-Kummer-Reihe bezeichnet.

Umfang und Flächeninhalt einer Cassinischen Kurve

Die Cassinischen Kurven gehorchen für den Fall a < c folgender Relation für kartesische Koordinaten:

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}$

Dabei ist a die Brennweite und c ist der Abstand zwischen Brennpunkt und Schnittstelle von Graph und Ordinatenachse.

Für den Umfang der Cassinischen Kurve gilt:

$U=4cK{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}$

Für den Flächeninhalt der Cassinischen Kurve gilt:

$A=2c^{2}E{\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}$

Mathematisches Pendel

Eine klassische Anwendung der elliptischen Integrale ist die exakte Bewegung eines Pendels für den Fall, bei welchem die Aspekte der Reibung und Trägheit außer Acht gelassen werden. Basierend auf der Differentialgleichung des mathematischen Pendels kann folgendes Rechenverfahren durchgeführt werden:

$\alpha =-{\frac {g}{l}}\sin(\varphi )$

$2\alpha \omega =-2\omega {\frac {g}{l}}\sin(\varphi )$

Durch Integration bezüglich der Zeit aus der zuletzt genannten Formel entsteht dann folgender Ausdruck:

$\omega ^{2}=2{\frac {g}{l}}{\bigl [}\cos(\varphi )-\cos(\varphi _{\text{max}}){\bigr ]}$

$\omega ^{2}=4{\frac {g}{l}}{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{2}}\varphi _{\text{max}}{\bigr )}^{2}-\sin {\bigl (}{\frac {1}{2}}\varphi {\bigr )}^{2}{\bigr ]}$

${\frac {1}{\omega }}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{2}}\varphi _{\text{max}}{\bigr )}^{2}-\sin {\bigl (}{\frac {1}{2}}\varphi {\bigr )}^{2}{\bigr ]}^{-1/2}$

Die Schwingungsdauer bei gegebenem Maximalauslenkungswinkel und gegebener Fadenlänge auf folgende Weise berechnet werden kann:

$T(\varphi _{\text{max}})=4\int _{0}^{\varphi _{\text{max}}}{\frac {1}{\omega }}\,\mathrm {d} \varphi$

$T(\varphi _{\text{max}})=4\int _{0}^{\varphi _{\text{max}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {1}{2}}\varphi _{\text{max}}{\bigr )}^{2}-\sin {\bigl (}{\frac {1}{2}}\varphi {\bigr )}^{2}{\bigr ]}^{-1/2}\,\mathrm {d} \varphi$

$T(\varphi _{\max })=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{2}}\varphi _{\max }){\bigr ]}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,\sec({\tfrac {1}{4}}\varphi _{\max })^{2}\,K{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{4}}\varphi _{\max })^{2}{\bigr ]}$

Dabei ist g ≈ 9,81 m/s² die Fallbeschleunigung der Erde.

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung

Eine klassische Problemstellung aus der Elektrostatik ist die Berechnung des elektrischen Skalarpotentials $\varphi _{e}$ bei gegebener räumlicher Ladungsverteilung. Bei einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Legendre-Konvention $K(k)$ angegeben. In der angegebenen Lösung repräsentiert $Q$ die elektrische Gesamtladung, $R$ den Radius des Ringes und $\varepsilon _{0}$ die Vakuum-Permittivität. Weiterhin ist das Skalarpotential mit den Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$ angegeben. Da keine Abhängigkeit bezüglich der Azimut-Koordinate $\varphi$ besteht, ist ersichtlich, dass es sich um eine zylindersymmetrische Problemstellung handelt.

$\varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {Q}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos(\varphi )}}}={\frac {Q}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}-4R\rho \cos(\varphi /2)^{2}}}}=$

$={\biggl \{}-{\frac {Q}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\cdot F{\biggl [}{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\varphi }{2}};{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{\varphi =0}^{\varphi =\pi }={\frac {Q}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\cdot K{\biggl [}{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}$

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Dipolverteilung

Neben der einfachen Ladungsverteilung besteht ebenfalls die Möglichkeit, eine ringförmige Verteilung axial ausgerichteter Dipole zu betrachten. Die Lösung des elektrischen Skalarpotentials ist im Folgenden angegeben. Dabei repräsentiert $p_{z}$ die $z$-Komponente des elektrischen Dipolmoments, $R$ den Radius des Ringes und $\varepsilon _{0}$ die Vakuum-Permittivität. Bei der nun behandelten Landungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 2. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Legendre-Konvention $E(k)$ angegeben.

$\varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {p_{z}\cdot z}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {[\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos(\varphi )]^{3}}}}={\frac {p_{z}\cdot z}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {[(\rho +R)^{2}+z^{2}-4R\rho \cos(\varphi /2)^{2}]^{3}}}}=$

${\biggl \langle }{\frac {p_{z}\cdot z}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{[(\rho -R)^{2}+z^{2}]\cdot [(\rho +R)^{2}+z^{2}]}}{\biggl \{}{\frac {2R\rho \sin(\varphi )}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos(\varphi )}}}-{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\,E{\biggl [}{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\varphi }{2}};{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggr \rangle }_{\varphi =0}^{\varphi =\pi }=$$={\frac {p_{z}\cdot z}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{[(\rho -R)^{2}+z^{2}]\cdot {\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}}\cdot E{\biggl [}{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}$

Magnetisches Vektorpotential eines ringförmigen stromdurchflossenen Leiters

Ein Beispiel aus der Magnetostatik stationärer Ströme stellt die Berechnung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Ringleiters dar. Es bietet sich die Berechnung des magnetischen Vektorpotentials ${\boldsymbol {A}}$ an, aus dem sich in weiterer Betrachtung mit Hilfe der Rotation die magnetische Flussdichte bestimmen lässt. Hier repräsentiert $I$ die elektrische Stromstärke, $R$ den Radius des Ringleiters und $\mu _{0}$ die Vakuum-Permeabilität. Weiterhin ist das magnetische Vektorpotential mit den Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$ und mit dem Einheits-Basisvektor ${\boldsymbol {e}}_{\varphi }$ in azimutaler Richtung angegeben. Die Lösung stellt sich durch eine Kombination von vollständigem elliptischen Integral 1. und 2. Art dar. Das Ergebnis ist hier mit der Legendre-Konvention $K(k)$ und $E(k)$ angegeben. Zur numerischen Auswertung der angegebenen Funktion eignet sich besonders das weiter oben angegebene Bulirsch-Integral $\operatorname {cel} ()$. Der Vorteil ist eine höhere numerische Stabilität in der Umgebung $\rho =0$.

${\boldsymbol {A}}(\rho ,z)={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}IR}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos(\varphi )\;{\text{d}}\varphi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos(\varphi )}}}=$

$={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{\rho }}\left\{{\frac {\rho ^{2}+R^{2}+z^{2}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}K{\biggl [}{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}-{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}E{\biggl [}{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}\right\}$

Siehe auch

• Elliptisches Nomen
• Jacobische elliptische Funktion
• Gammafunktion
• Unvollständige elliptische Integrale

Literatur

• Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. Seite 589 ff.
• Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. 9th printing. New York: Dover, p. 591, 1972.
• Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org.
• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987.
• Harris Hancock: Elliptic Integrals. John Wiley & Sons, 1917.
• P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, 1971.
• Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS, 1997.
• Mümtaz Karataş: A multi foci closed Curve: Cassini Oval, its properties and applications. Naval Postgraduate School, Monterey, Kalifornien, 2013, pp. 231–248
• Kejing He, Xiaoqiang Zhou, Qian Lin: High accuracy complete elliptic integrals for solving the Hertzian elliptical contact problems. In: Computers and Mathematics with Applications. Band 73, Nr. 1, 2017, S. 122–128, doi:10.1016/j.camwa.2016.11.003. 
• Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.
• Peter Borwein, Jonathan Borwein und David Bailey: Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi. Amer. Math. Monthly 96, 201-219, 1989.
• Mark B. Villarino: Legendre’s Singular Modulus. Escuela de Matem ́atica, Universidad de Costa Rica, 11501 San Jos ́e, Costa Rica, 2020.
• Beeler, M. et al. Item 140 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 69, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/pi.html#item140.
• Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
• Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.

Weblinks

• Elliptic Integrals. Bei: dlmf.nist.gov. (NIST Digital Library of Mathematical Functions).
• Eric W. Weisstein: Elliptic Integral. In: MathWorld (englisch).
• math.stackexchange.com