Sexy Primzahl

In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen, deren Differenz $6$ beträgt, als sexy Primzahlen. Zum Beispiel sind die Zahlen $5$ und $11$ sexy Primzahlen, weil die eine um $6$ kleiner (bzw. um $6$ größer) ist als die andere. Wenn $p$ und $p+6$ sexy Primzahlen sind und $p+2$ oder $p+4$ ebenfalls, dann sind die beiden sexy Primzahlen Teil eines Primzahldrillings.

Der Begriff sexy Primzahlen stammt von sex – dem lateinischen Wort für sechs.

Typen von sexy Primzahl-Gruppen

Sexy Primzahlzwillinge

Sexy Primzahlzwillinge haben die Form $(p,p+6)$. Es folgt eine Liste der Sexy Primzahlen bis $2.000$ (erzeugt mit Matheass 9.0):

p (p+6) 5 11 7 13 11 17 13 19 17 23 23 29 31 37 37 43 41 47 47 53 53 59 61 67 67 73 73 79 83 89 97 103

p (p+6) 101 107 103 109 107 113 131 137 151 157 157 163 167 173 173 179 191 197 193 199 223 229 227 233 233 239 251 257 257 263 263 269

p (p+6) 271 277 277 283 307 313 311 317 331 337 347 353 353 359 367 373 373 379 383 389 433 439 443 449 457 463 461 467 503 509 541 547

p (p+6) 557 563 563 569 571 577 587 593 593 599 601 607 607 613 613 619 641 647 647 653 653 659 677 683 727 733 733 739 751 757 821 827

p (p+6) 823 829 853 859 857 863 877 883 881 887 941 947 947 953 971 977 977 983 991 997 1013 1019 1033 1039 1063 1069 1087 1093 1091 1097 1097 1103

p (p+6) 1103 1109 1117 1123 1123 1129 1181 1187 1187 1193 1217 1223 1223 1229 1231 1237 1277 1283 1283 1289 1291 1297 1297 1303 1301 1307 1321 1327 1361 1367 1367 1373

p (p+6) 1423 1429 1427 1433 1433 1439 1447 1453 1453 1459 1481 1487 1483 1489 1487 1493 1493 1499 1543 1549 1553 1559 1601 1607 1607 1613 1613 1619 1621 1627 1657 1663

p (p+6) 1663 1669 1693 1699 1741 1747 1747 1753 1753 1759 1777 1783 1783 1789 1861 1867 1867 1873 1871 1877 1873 1879 1901 1907 1907 1913 1973 1979 1987 1993 1993 1999

(Folge A023201 in OEIS) und (Folge A046117 in OEIS)

Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov das momentan größte sexy Primzahlpaar mit 51934 Stellen. Das Paar (p, p+6) lautet wie folgt:

${\begin{array}{rcl}p&=&11922002779\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-5\\p+6&=&11922002779\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1\end{array}}$

Die Zahl p ist allerdings noch nicht sicher als Primzahl identifiziert worden, sie ist momentan nur eine PRP-Zahl, also eine Zahl, die nur mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist.

Sexy Primzahldrillinge

Sexy Primzahlen können zu einer größeren Konstellation erweitert werden. Tripel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12)$ heißen sexy Primzahldrillinge, wenn p+18 eine zusammengesetzte Zahl, also keine Primzahl, ist. Die sexy Primzahldrillinge unter 1000 lauten:

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983). (Folge A046118 in OEIS), (Folge A046119 in OEIS) und (Folge A046120 in OEIS).

Am 16. April 2022 entdeckte Serge Batalov den momentan größten sexy Primzahldrilling mit 15004 Stellen. Der Primzahldrilling $(p,p+6,p+12)$ lautet wie folgt:

${\begin{array}{rcl}p&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+1\\p+6&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+7\\p+12&=&2494779036241\cdot 2^{49800}+13\end{array}}$

Die beiden Zahlen p+6 und p+12 sind allerdings noch nicht sicher als Primzahl identifiziert worden, sie sind momentan nur PRP-Zahlen, also Zahlen, die nur mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit Primzahlen sind.

Sexy Primzahlvierlinge

Quadrupel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12,p+18)$ heißen sexy Primzahlvierlinge. Die erste Primzahl p muss in ihrer Dezimaldarstellung mit der Ziffer 1 enden (außer dem ersten Vierling mit p=5). Die sexy Primzahlvierlinge unter 1000 lauten:

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).

(Folge A023271 in OEIS), (Folge A046122 in OEIS), (Folge A046123 in OEIS) und (Folge A046124 in OEIS).

Im November 2005 entdeckte Jens Kruse Andersen den damals größten sexy Primzahlvierling mit über 1000 Stellen (nämlich 1002 Stellen). Vom Primzahlvierling (p, p+6, p+12, p+18) lautet die erste Primzahl p

$p=411784973\cdot 2347\#+3301$

Dabei ist 2347# = 2 · 3 · 5 · … · 2347 eine Primfakultät, d. h. das Produkt aller Primzahlen ≤ 2347.

Im Oktober 2019 entdeckten Gerd Lamprecht und Norman Luhn den momentan größten sexy Primzahlvierling mit 3025 Stellen. Vom Primzahlvierling (p, p+6, p+12, p+18) lautet die erste Primzahl p

$p={\frac {121152729080\cdot 7019\#}{1729}}+1$

Sexy Primzahlfünflinge

Quintupel von Primzahlen der Form $(p,p+6,p+12,p+18,p+24)$ heißen sexy Primzahlfünflinge. Allerdings muss in einer arithmetischen Folge von fünf Zahlen, die alle eine Differenz von 6 haben, eine Zahl durch 5 teilbar sein. Somit ist der einzige sexy Primzahlfünfling (5, 11, 17, 23, 29).

Eine längere sexy Primzahlfolge kann es daher auch nicht geben.

Zusammenfassung

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)	Primzahlzwilling
(p, p+4)	Primzahlencousin
(p, p+6)	Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)	Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)	Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)	Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)	Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)	Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)	Sexy Primzahlfünfling

Weblinks

• Wolfram MathWorld, Sexy Primes. Abgerufen am 30. November 2015. 
• James Grime: Sexy Primes (and the only sexy prime quintuplet). In: Numberphile. Brady Haran; abgerufen im 1. Januar 1 

V – D

Primzahl­mengen