Minimale Primzahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine minimale Primzahl eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$ , bei der keine Teilfolge ihrer Ziffern in einer gegebenen Basis eine Primzahl ist, solange man sie nicht miteinander vertauscht.

Beispiele im Dezimalsystem

Die Zahl $109$ ist keine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern die Primzahl $19$ machen kann. Die einzelnen Ziffern der Teilfolgen müssen also in der ursprünglichen Zahl nicht zusammenhängend sein.
Aus der Zahl $409$ kann man folgende Teilfolgen ihrer Ziffern machen: $0,4,9,09,40,49$ . Keine dieser Zahlen ist eine Primzahl, somit ist $409$ eine minimale Primzahl.
Die Zahl $991$ ist eine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern nur die Zahlen $1,9,91$ und $99$ machen kann und keine dieser Zahlen prim ist. Die einzelnen Ziffern der ursprünglichen Zahl dürfen aber nicht vertauscht werden (sonst wäre in diesem Fall die Teilfolge $19$ sehr wohl eine Primzahl).
Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis $10$ (also im Dezimalsystem) sind die folgenden 26 Primzahlen (Folge A071062 in OEIS):

2,3,5,7,11,19,41,61,89,409,449,499,881,991,6\,469,6\,949,9\,001,9\,049,9\,649,9\,949,60\,649,666\,649,946\,669,60\,000\,049,66\,000\,049,66\,600\,049

Beispiele mit Basis b

Folgende Tabelle zeigt die minimalen Primzahlen in der Basis $b$ (wobei aus Ermangelung an weiteren Ziffern $A=10$ und $B=11$ gesetzt wird). Es gibt zur jeweiligen Basis nicht mehr minimale Primzahlen.^[1]^[2]

Basis $b$	minimale Primzahlen zur Basis $b$ , geschrieben zur Basis $b$
12	10, 11
13	2, 10, 111
14	2, 3, 11
15	2, 3, 10, 111, 401, 414, 14.444, 44.441 (insgesamt 8 minimale Primzahlen)
16	2, 3, 5, 11, 4.401, 4.441, 40.041 (insgesamt 7 minimale Primzahlen)
17	2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11.111 (insgesamt 9 minimale Primzahlen)
18	2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4.611, 6.101, 6.441, 60.411, 444.641, 444.444.441 (insgesamt 15 minimale Primzahlen)
19	2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1.011, 1.101 (insgesamt 12 minimale Primzahlen)
10	2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6.469, 6.949, 9.001, 9.049, 9.649, 9.949, 60.649, 666.649, 946.669, 60.000.049, 66.000.049, 66.600.049 (insgesamt 26 minimale Primzahlen)
11	2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 1.1A9, 6.6A9, A.119, A.911, A.AA9, 11.144, 11.191, 11.41A, 11.4A1, 14.11A, 14.4A4, 14.A11, 1A.114, 1A.411, 40.41A, 40.441, 40.4A1, 41.11A, 41.1A1, 44.401, 44.4A1, 44.A01, 6A.609, 6A.669, 6A.696, 6A.906, 6A.966, 90.901, 99.111, A0.111, A0.669, A0.966, A0.999, A0.A09, A4.401, A6.096, A6.966, A6.999, A9.091, A9.699, A9.969, 401.A11, 404.001, 404.111, 440.A41, 4A0.401, 4A4.041, 60A.069, 6A0.096, 6A0.A96, 6A9.099, 6A9.909, 909.991, 999.901, A00.009, A60.609, A66.069, A66.906, A69.006, A90.099, A90.996, A96.006, A96.666, 1.111.14A, 1.111.A14, 1.111.A41, 1.144.441, 1.4A4.444, 1.A44.444, 4.000.111, 4.011.111, 4.1A1.111, 4.411.111, 4.444.41A, 4.A11.111, 4.A40.001, 6.000.A69, 6.000.A96, 6.A00.069, 9.900.991, 9.990.091, A.000.696, A.000.991, A.006.906, A.040.041, A.141.111, A.600.A69, A.906.606, A.909.009, A.990.009, 40.A00.041, 60.A99.999, 99.000.001, A0.004.041, A9.909.006, A9.990.006, A9.990.606, A9.999.966, 400.00A.401, 44A.444.441, 900.000.091, A00.990.001, A44.444.111, A66.666.669, A90.000.606, A99.999.006, A99.999.099, 6.000.00A.999, A.000.144.444, A.900.000.066, A0.000.000.001, A0.014.444.444, 4.000.000.0A0.041, A.000.000.014.444, A.044.444.444.441, A.144.444.444.411, 40.000.000.000.401, A0.000.044.444.441, A00.000.000.444.441, 11.111.111.111.111.111, 14.444.444.444.441.111, 44.444.444.444.444.111, A1.444.444.444.444.444, A9.999.999.999.999.996, 1.444.444.444.444.444.444, 40.000.000.000.000.00A.041, A.999.999.999.999.999.999.999, A44.444.444.444.444.444.444.444.441, 40.000.000.000.000.000.000.000.000.041, 440.000.000.000.000.000.000.000.000.001, 999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.991, 444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.441 (insgesamt 152 minimale Primzahlen)
12	2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4.441, A.0A1, AA.AA1, 44.AAA1, A.AA0.001, AA.000.001 (insgesamt 17 minimale Primzahlen)

Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis 12 (also im Duodezimalsystem) sind die obigen 17 Primzahlen.

Im Dezimalsystem geschrieben lauten sie wie folgt (Folge A110600 in OEIS):

2,3,5,7,11,13,73,97,109,577,1\,489,7\,537,17\,401,226\,201,1\,097\,113,32\,555\,521,388\,177\,921

Beispiel:

Die minimale Primzahl

A41_{12}

ist im Dezimalsystem die Zahl

{\underline {10}}\cdot 12^{2}+{\underline {4}}\cdot 12^{1}+{\underline {1}}\cdot 12^{0}=1440+48+1=1489_{10}

. Aus ihr kann man die Nicht-Primzahlen

1_{12}=1_{10},4_{12}=4_{10},A_{12}=10_{10},41_{12}=49_{10},A1_{12}=121_{10}

und

A4_{12}=124_{10}

machen.

Die Anzahl der minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis $b=2,3,\dotsc$ sind die folgenden:^[3]

2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1.279~1.280,^[4] 50, 3.462~3.463,^[5] 651, 2600~2601,^[6] 1.242, 6.021, 306, 17.597~17.609,^[7] 5.662~5.664,^[8] 17.210~17.215,^[9] 5.783~5.784,^[10] 57.283~57.297,^[11] 220, 79.182~79.206,^[12] 45.205~45.283,^[13] 57.676~57.709,^[14] 56.457~56.490,^[15] 182378~182393,^[16] 6.296~6.297,^[17] …

Beispiel:

An der 14. Stelle obiger Liste steht die Zahl

240

. Es gibt also

240

minimale Primzahlen zur Basis

b=14

.

Die Stellenanzahl der größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis $b=2,3,\dotsc$ sind die folgenden:^[1]^[3]

{\begin{aligned}&2,3,2,5,5,5,9,4,8,45,8,32\,021,86,107,3\,545,\geq 111\,334,33,\geq 110\,986,449,\geq 479\,150,764,800\,874,100,\geq 136\,967,\\&\geq 8\,773,\geq 109\,006,\geq 94\,538,\geq 174\,240,1\,024,\geq 9\,896,\geq 9\,750,\geq 9\,961,\geq 9\,377,\geq 9\,599,\geq 81\,995,\dotsc \end{aligned}}

Beispiel 1:

An der 13. Stelle obiger Liste steht die Zahl

32\,021

. Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis

b=13

hat also

32\,021

Stellen.

Beispiel 2:

An der 26. Stelle obiger Liste steht der Eintrag

\geq 8\,773

. Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis

b=26

hat also

8\,773

Stellen, es gibt aber noch ungelöste Fälle, die mehr Stellen haben.

Die größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis $b=2,3,\dotsc$ sind die folgenden, wenn man sie im Dezimalsystem schreibt:

{\begin{aligned}&3,13,5,3\,121,5\,209,2\,801,76\,695\,841,811,66\,600\,049,29\,156\,193\,474\,041\,220\,857\,161\,146\,715\,104\,735\,751\,776\,055\,777,388\,177\,921,13^{32\,020}\cdot 8+183,\\&105\,424\,857\,819\,287\,798\,806\,418\,819\,113\,233\,738\,918\,727\,566\,030\,978\,473\,259\,776\,662\,287\,591\,943\,095\,417\,282\,958\,456\,246\,916\,612\,161,\\&436\,635\,814\,641\,280\,043\,127\,962\,407\,363\,407\,208\,906\,111\,673\,434\,962\,498\,607\,709\,751\,248\,805\,460\,292\,422\,544\,779\,495\,998\,033\,626\,489\,944\,124\,062\,146\,459\,306\,989\,397\,233,\\&16^{3\,544}\cdot 9+145,\geq (17^{111\,333}\cdot 73-9)/16,249\,069\,897\,374\,447\,078\,426\,903\,207\,266\,791\,381\,270\,529,\geq (19^{110\,984}\cdot 904-1)/3,\\&(20^{449}\cdot 16-2\,809)/19,\geq (21^{479\,149}\cdot 51-1\,243)/4,22^{763}\cdot 20+7\,041,(23^{800\,873}\cdot 106-7)/11,\\&973\,767\,003\,942\,195\,520\,947\,294\,504\,280\,890\,002\,680\,537\,875\,404\,412\,883\,659\,428\,819\,153\,939\,518\,991\,719\,953\,852\,457\,999\,342\,229\,586\,282\,557\,076\,411\,687\,300\,474\,817\,686\,178\,175\,693\,329,\\&\geq (25^{136\,966}\cdot 37+63)/4,\geq (26^{8773}\cdot 22+53)/25,\geq 27^{109\,005}\cdot 10+697,\geq (28^{94\,536}\cdot 6\,092-143)/9,\geq 29^{174\,239}\cdot 24+13\,361,30^{1\,023}\cdot 12+1,\\&\geq (31^{9\,894}\cdot 4\,187-5)/6,\geq (32^{9\,749}\cdot 898-309)/31,\geq (33^{9\,961}\cdot 21+7\,723)/32,\geq 34^{9\,375}\cdot 1\,048+27,\geq (35^{9\,597}\cdot 13\,456-9)/17,\geq (36^{81\,995}\cdot 5+821)/7,\dotsc \end{aligned}}

Beispiel:

An der 12. Stelle obiger Liste steht die Zahl

388\,177\,921

. Tatsächlich ist die größte minimale Primzahl zur Basis

12

die Zahl

AA\,000\,001_{12}={\underline {10}}\cdot 12^{7}+{\underline {10}}\cdot 12^{6}+{\underline {1}}\cdot 12^{0}=388\,177\,921_{10}

.

Verallgemeinerungen

Es gibt genau 32 zusammengesetzte Zahlen im Dezimalsystem, die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen keine weiteren zusammengesetzten Zahlen ergeben:

4,6,8,9,10,12,15,20,21,22,25,27,30,32,33,35,50,51,52,55,57,70,72,75,77,111,117,171,371,711,713,731

(Folge A071070 in OEIS)

Beispiel:

Aus der Zahl

731

kann man die Zahlen

1,3,7,31,71

und

73

machen, die alle nicht zusammengesetzt sind. Diese Zahlen sind somit das genaue Gegenteil der minimalen Primzahlen.

Es gibt im Dezimalsystem genau 146 Primzahlen $p\equiv 1{\pmod {4}}$ (also der Form $p=4k+1$ mit $k\in \mathbb {N}$ ), die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form $p\equiv 1{\pmod {4}}$ ergeben:

{\begin{aligned}&5,13,17,29,37,41,61,73,89,97,101,109,149,181,233,277,281,349,409,433,449,\\&677,701,709,769,821,877,881,1\,669,2\,221,3\,001,3\,121,3\,169,3\,221,3\,301,3\,833,\\&4\,969,4\,993,6\,469,6\,833,6\,949,7\,121,7\,477,7\,949,9\,001,9\,049,9\,221,9\,649,9\,833,\dotsc ,\\&8\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,833\end{aligned}}

(Folge A111055 in OEIS)

Beispiel:

Aus der Primzahl

3\,169

kann man die Zahlen

1,3,6,9,16,19,31,36,39,69,169,316,319

und

369

machen, die alle keine Primzahlen der Form

p\equiv 1{\pmod {4}}

sind.

Es gibt im Dezimalsystem genau 113 Primzahlen $p\equiv 3{\pmod {4}}$ (also der Form $p=4k+3$ mit $k\in \mathbb {N}$ ), die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form $p\equiv 3{\pmod {4}}$ ergeben (Folge A111056 in OEIS):

{\begin{aligned}&3,7,11,19,59,251,491,499,691,991,2\,099,2\,699,2\,999,4\,051,4\,451,4\,651,5\,051,5\,651,5\,851,6\,299,6\,451,6\,551,6\,899,8\,291,8\,699,8\,951,\\&8\,999,9\,551,9\,851,22\,091,22\,291,66\,851,80\,051,80\,651,84\,551,85\,451,86\,851,88\,651,92\,899,98\,299,98\,899,\dotsc ,(10^{19\,153}\cdot 2+691)/9\end{aligned}}

Beispiel:

Aus der Primzahl

4051

kann man die Zahlen

0,1,4,5,01,05,40,41,45,51,051,401,405

und

451

machen, die allesamt keine Primzahlen der Form

p\equiv 3{\pmod {4}}

sind.

Die Anzahl der minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis $b=2,3,\ldots$ sind die folgenden:^[18]

3,4,9,10,19,18,26,28,32,32,46,43,52,54,60,60,95,77,87,90,94,97,137,117,111,115,131,123,207,147,160,163,201,169,216,\dotsc

Die Stellenanzahl der größten minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis $b=2,3,\dotsc$ sind die folgenden:^[18]

4,3,3,3,4,3,3,2,3,3,4,3,3,2,3,3,4,3,3,2,3,3,4,2,3,2,3,3,4,3,3,2,3,2,4,\dotsc

Die größten minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis sind die folgenden, wenn man sie im Dezimalsystem schreibt:^[18]

{\begin{aligned}&15,9,21,27,475,49,477,70,731,123,8797,169,1\,529,208,2\,899,291,99\,491,361,5\,423,418,9\,275,\\&529,30\,995,598,15\,645,644,18\,511,843,795\,037,961,23\,779,1054,34\,311,1\,116,56\,129,\dotsc \end{aligned}}

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Curtis Bright: Minimale Primzahlen und ungelöste Fälle („Familien“) mit Basen von 2 bis 30. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright, Jeffrey Shallit, Raymond Devillers: Minimal Elements for the Prime Numbers. (PDF). In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, Université libre de Bruxelles, 7. Dezember 2016, abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ ^a ^b Curtis Bright, Raymond Devillers, Jeffrey Shallit: Minimal Elements for the Prime Numbers. (PDF) In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, 11. Juni 2015, S. 15, abgerufen am 9. Juni 2024.
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=17$ gibt es 1.279 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: F1{9}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=19$ gibt es 3.462 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: EE1{6}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=21$ gibt es 2.600 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: G{0}FK. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=25$ gibt es 17.597 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 12 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=26$ gibt es 5.662 bekannte minimale Primzahlen und zwei ungelöste Fälle: {A}6F und {I}GL. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=27$ gibt es 17.210 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 5 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=28$ gibt es 5.783 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{A}F. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ Curtis Bright: Für die Basis $b=29$ gibt es 57.283 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 14 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b=31$ gibt es 79.182 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 24 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b=32$ gibt es 45.205 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 78 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b=33$ gibt es 57.676 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b=34$ gibt es 56.457 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b=35$ gibt es 182.378 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 15 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
↑ RaymondDevillers: Für die Basis $b=36$ gibt es 6.296 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{L}Z. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
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Weblinks

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[5] Curtis Bright: Für die Basis $b=19$ gibt es 3.462 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: EE1{6}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[6] Curtis Bright: Für die Basis $b=21$ gibt es 2.600 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: G{0}FK. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[7] Curtis Bright: Für die Basis $b=25$ gibt es 17.597 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 12 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[8] Curtis Bright: Für die Basis $b=26$ gibt es 5.662 bekannte minimale Primzahlen und zwei ungelöste Fälle: {A}6F und {I}GL. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[9] Curtis Bright: Für die Basis $b=27$ gibt es 17.210 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 5 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[10] Curtis Bright: Für die Basis $b=28$ gibt es 5.783 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{A}F. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[11] Curtis Bright: Für die Basis $b=29$ gibt es 57.283 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 14 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[12] RaymondDevillers: Für die Basis $b=31$ gibt es 79.182 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 24 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[13] RaymondDevillers: Für die Basis $b=32$ gibt es 45.205 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 78 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[14] RaymondDevillers: Für die Basis $b=33$ gibt es 57.676 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[15] RaymondDevillers: Für die Basis $b=34$ gibt es 56.457 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

[16] RaymondDevillers: Für die Basis $b=35$ gibt es 182.378 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 15 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).

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[Waterloo20-18] Curtis Bright, Raymond Devillers, Jeffrey Shallit: Minimal Elements for the Prime Numbers. In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, 11. Juni 2015, S. 20, abgerufen am 9. Juni 2024.

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formelbasiert	Carol ((2ⁿ − 1)² − 2) \| Doppelte Mersenne (2^{2^p − 1} − 1) \| Fakultät (n! ± 1) \| Fermat (2^2ⁿ + 1) \| Kubisch (x³ − y³)/(x − y) \| Kynea ((2ⁿ + 1)² − 2) \| Leyland (x^y + y^x) \| Mersenne (2^p − 1) \| Mills (A^3ⁿ) \| Pierpont (2^u⋅3^v + 1) \| Primorial (p_n# ± 1) \| Proth (k⋅2ⁿ + 1) \| Pythagoreisch (4n + 1) \| Quartisch (x⁴ + y⁴) \| Thabit (3⋅2ⁿ − 1) \| Wagstaff ((2^p + 1)/3) \| Williams ((b-1)⋅bⁿ − 1) \| Woodall (n⋅2ⁿ − 1)
Primzahlfolgen	Bell \| Fibonacci \| Lucas \| Motzkin \| Pell \| Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär \| Fortunate \| Gut \| Glücklich \| Higgs \| Hochkototient \| Isoliert \| Pillai \| Ramanujan \| Regulär \| Stark \| Stern \| Wall–Sun–Sun \| Wieferich \| Wilson
basisabhängig	Belphegor \| Champernowne \| Dihedral \| Einzigartig \| Fröhlich \| Keith \| Lange \| Minimal \| Mirp \| Permutierbar \| Primeval \| Palindrom \| Repunit-Primzahl ((10ⁿ − 1)/9) \| Schwach \| Smarandache–Wellin \| Strobogrammatisch \| Tetradisch \| Trunkierbar \| Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) \| Chen \| Cousin (p, p + 4) \| Cunningham (p, 2p ± 1, …) \| Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) \| Konstellation \| Sexy (p, p + 6) \| Sichere (p, (p − 1)/2) \| Sophie Germain (p, 2p + 1) \| Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) \| Zwilling (p, p + 2) \| Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) \| Gigantisch (10.000+ Stellen) \| Mega (1.000.000+ Stellen) \| Beva (1.000.000.000+ Stellen)