Primzahltupel

Als Primzahltupel – auch englisch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl $\leq k$ im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz $s$ zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss.^[1]

Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime $k$ -Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form $(p,p+4)$ Primzahlencousins (engl. cousin primes)^[2] und Tupel von zwei Primzahlen der Form $(p,p+6)$ werden auch sexy Primzahlen (englisch sexy primes)^[3] genannt.

Definition

Ist für die Primzahltupel $(p_{1},\dots ,p_{k})$ mit $k$ Elementen die Menge $B$ aller möglichen Konstellationen $b$ (die selbst wieder $k$ -Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen:

Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein:
$\forall i\in \{1,\dots ,k\}:p_{i}\in \mathbb {P}$
Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl $\leq k$ im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl $\leq k$ mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:
$\forall m\in \left\{x\in \mathbb {P} \mid x\leq k\right\}\exists r\in \left\{x\in \mathbb {N} \mid x<m\right\}\forall i\in \{1,\dots ,k\}:p_{i}\not \equiv r\mod m$
Lies: Für alle primen Module $m$ kleiner-gleich $k$ existiert ein Rest $r$ kleiner als $m$ , der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich des Moduls $m$ .
Die Aussagen "[…] zu allen […] nicht […]" und "[…] zu keiner […]" sind äquivalent, siehe Quantor.
Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der $k$ -spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt):
$\max \left(\left\{p_{i}\mid i\in \{1,\dots ,k\}\right\}\right)-\min \left(\left\{p_{i}\mid i\in \{1,\dots ,k\}\right\}\right)=s$
Die Differenzen der Elemente zum ersten Element $p_{1}$ müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:
$\exists b\in B\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}:a_{i}-a_{1}=b_{i}$
Wobei $b_{i}$ für das $i$ -te Element aus dem $k$ -Tupel $b$ steht.

Für vorgegebene, korrekte Konstellationen $b$ ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen $b$ .

Für prime 2-Tupel (also $k=2$ ) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind $s$ und $B$ wohlbekannt. Diese lauten:

s=2

B=\left\{\left(0,2\right)\right\}

Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel $(p_{1},p_{2})$ :

$p_{1},p_{2}\in \mathbb {P}$
$\left(p_{1}\equiv p_{2}\equiv 0\mod 2\right)\vee \left(p_{1}\equiv p_{2}\equiv 1\mod 2\right)$
$\max(p_{1},p_{2})-\min(p_{1},p_{2})=s=2$
$\left(p_{1}-p_{1}=b_{1}=0\right)\wedge \left(p_{2}-p_{1}=b_{2}=2\right)$

Durch die Bedingung 2 wird für jedes $k$ eine endliche Anzahl an primen $k$ -Tupeln ausgeschlossen. Im Falle $k=2$ wird die Konstellation $b_{2}=(0,1)$ bzw. das Primzahltupel $(2,3)$ ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von $s=1$ und da alle prime $k$ -Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich des Moduls $m$ vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation $b$ , welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul $m$ enthalten. Im Falle von $b=(0,1)$ kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation $b$ in der Form $(n+0,n+1)$ für $n\in \mathbb {N}$ darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle $n>2$ entweder $p_{1}$ oder $p_{2}$ größer als und teilbar durch $2$ ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).

Sonderfälle

Für die kleinsten $k$ -Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.

Primzahlzwilling

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).

Primzahldrilling

Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also $k=3$ . 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge. Bei Primzahldrillingen der Form $(p,p+2,p+6)$ bilden die beiden ersten, bei jenen der Form $(p,p+4,p+6)$ die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation $(p,p+2,p+4)$ ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich des Moduls $m=3$ .

Die vier Primzahlen zweier Primzahl-Tripel mit zwei gemeinsamen Primzahlen bilden ein Primzahl-Quadrupel, sind Primzahlvierlinge.

Wenn eine Primzahl Teil von drei unterschiedlichen Primzahl-Tripeln ist, so sind fünf Primzahlen beteiligt und bilden ein Primzahl-Quintupel.

Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Dreiergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 400.000 ist.^[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf sechs reduziert werden.

Am 24. April 2019 wurde von Peter Kaiser das bisher größte Primzahl-Triplett mit 20.008 Dezimalstellen gefunden. Es lautet $4.111.286.921.397\cdot 2^{66.420}-1+d$ mit $d=0,2,6$ .^[5]^[6]

Es folgt eine Liste der Primzahldrillinge bis $10.000$ (erzeugt mit Matheass 9.0):

p	p+2	p+4	p+6
5	7		11
7		11	13
11	13		17
13		17	19
17	19		23
37		41	43
41	43		47
67		71	73
97		101	103
101	103		107
103		107	109
107	109		113
191	193		197
193		197	199
223		227	229
227	229		233

p	p+2	p+4	p+6
277		281	283
307		311	313
311	313		317
347	349		353
457		461	463
461	463		467
613		617	619
641	643		647
821	823		827
823		827	829
853		857	859
857	859		863
877		881	883
881	883		887
1087		1091	1093
1091	1093		1097

p	p+2	p+4	p+6
1277	1279		1283
1297		1301	1303
1301	1303		1307
1423		1427	1429
1427	1429		1433
1447		1451	1453
1481	1483		1487
1483		1487	1489
1487	1489		1493
1607	1609		1613
1663		1667	1669
1693		1697	1699
1783		1787	1789
1867		1871	1873
1871	1873		1877
1873		1877	1879

p	p+2	p+4	p+6
1993		1997	1999
1997	1999		2003
2081	2083		2087
2083		2087	2089
2137		2141	2143
2237	2239		2243
2267	2269		2273
2377		2381	2383
2657	2659		2663
2683		2687	2689
2687	2689		2693
2707		2711	2713
2797		2801	2803
3163		3167	3169
3251	3253		3257
3253		3257	3259

p	p+2	p+4	p+6
3457		3461	3463
3461	3463		3467
3463		3467	3469
3527	3529		3533
3671	3673		3677
3847		3851	3853
3917	3919		3923
4001	4003		4007
4127	4129		4133
4153		4157	4159
4513		4517	4519
4517	4519		4523
4637	4639		4643
4783		4787	4789
4787	4789		4793
4931	4933		4937

p	p+2	p+4	p+6
4967	4969		4973
5227		5231	5233
5231	5233		5237
5413		5417	5419
5437		5441	5443
5477	5479		5483
5501	5503		5507
5647		5651	5653
5651	5653		5657
5653		5657	5659
5737		5741	5743
6197	6199		6203
6547		6551	6553
6823		6827	6829
6827	6829		6833
7207		7211	7213

p	p+2	p+4	p+6
7753		7757	7759
7873		7877	7879
7877	7879		7883
8087	8089		8093
8231	8233		8237
8287		8291	8293
8291	8293		8297
8537	8539		8543
8623		8627	8629
8861	8863		8867
9007		9011	9013
9277		9281	9283
9337		9341	9343
9431	9433		9437
9433		9437	9439
9461	9463		9467

Primzahlvierling

Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also $k=4$ . 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme $(5,7,11,13)$ lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel sowohl in der Form $(p,p+2,p+6,p+8)$ als auch in der Form $(15n-4,15n-2,15n+2,15n+4)$ schreiben. Die Zahl in der Mitte ( $15n$ ) ist daher immer durch $15$ teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch $60$ teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit $1,3,7$ und $9$ .

Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von $4$ zueinander.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei sich überlappende Primzahl-Tripel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 25 Millionen ist.^[4] Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als $x$ asymptotisch durch die Formel

C_{4}\int _{2}^{x}\!{\frac {\mathrm {d} t}{(\ln t)^{4}}}\qquad {\text{ mit }}\qquad C_{4}={\frac {27}{2}}\prod _{p>4 \atop p\;{\text{prim}}}{\frac {p^{3}(p-4)}{(p-1)^{4}}}=4{,}15118{\text{ }}08632{\text{ }}37415{\text{ }}75716...

(Folge A061642 in OEIS) gegeben.

Der bisher größte bekannte Primzahlvierling hat $10132$ Dezimalstellen, wurde am 27. Februar 2019 von Peter Kaiser gefunden und ist gegeben durch $667.674.063.382.677\cdot 2^{33608}-1+d$ mit $d=0,2,6,8$ .^[5]^[6]

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlvierlinge bis $170.000$ :

	p	p+2	p+6	p+8
n	15n-4	15n-2	15n+2	15n+4
-	5	7	11	13
1	11	13	17	19
7	101	103	107	109
13	191	193	197	199
55	821	823	827	829
99	1481	1483	1487	1489
125	1871	1873	1877	1879
139	2081	2083	2087	2089
217	3251	3253	3257	3259
231	3461	3463	3467	3469
377	5651	5653	5657	5659
629	9431	9433	9437	9439
867	13001	13003	13007	13009
1043	15641	15643	15647	15649
1049	15731	15733	15737	15739
1071	16061	16063	16067	16069

	p	p+2	p+6	p+8
n	15n-4	15n-2	15n+2	15n+4
1203	18041	18043	18047	18049
1261	18911	18913	18917	18919
1295	19421	19423	19427	19429
1401	21011	21013	21017	21019
1485	22271	22273	22277	22279
1687	25301	25303	25307	25309
2115	31721	31723	31727	31729
2323	34841	34843	34847	34849
2919	43781	43783	43787	43789
3423	51341	51343	51347	51349
3689	55331	55333	55337	55339
4199	62981	62983	62987	62989
4481	67211	67213	67217	67219
4633	69491	69493	69497	69499
4815	72221	72223	72227	72229
5151	77261	77263	77267	77269

	p	p+2	p+6	p+8
n	15n-4	15n-2	15n+2	15n+4
5313	79691	79693	79697	79699
5403	81041	81043	81047	81049
5515	82721	82723	82727	82729
5921	88811	88813	88817	88819
6523	97841	97843	97847	97849
6609	99131	99133	99137	99139
6741	101111	101113	101117	101119
7323	109841	109843	109847	109849
7769	116531	116533	116537	116539
7953	119291	119293	119297	119299
8147	122201	122203	122207	122209
9031	135461	135463	135467	135469
9611	144161	144163	144167	144169
10485	157271	157273	157277	157279
11047	165701	165703	165707	165709
11123	166841	166843	166847	166849

Die ersten Zahlen dieser Primzahlvierlinge lauten $5,11,101,191,821,1481,1871,2081,\ldots$ (Folge A007530 in OEIS)

Primzahlfünfling

Primzahlfünflinge sind Elemente primer 5-Tupel, es gilt also $k=5$ . 5-Tupel werden auch Quintupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlfünflingen auch prime Quintupel oder Primzahl-Quintupel genannt werden. Für Primzahlfünflinge existieren zwei Konstellationen. Es lässt sich jeder Primzahlfünfling entweder in der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ oder in der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ schreiben.

Die Zahlen enden im Dezimalsystem (bis auf das erste Quintupel $(5,7,11,13,17)$ ) immer mit $7,1,3,7$ und $9$ oder $1,3,7,9$ und $3$ .

Alle primen Quintupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von $4$ zueinander.

Alle primen Quintupel enthalten drei sich überlappende Primzahl-Tripel.

Alle primen Quintupel enthalten ein primes-Quadrupel.

Ob es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Selbst wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist noch nicht bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt. Ebenso reicht es nicht aus, wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahldrillinge gibt.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlfünflinge bis $200.000$ :

p	p+2	p+4	p+6	p+8	p+10	p+12
5	7		11	13		17
7		11	13		17	19
11	13		17	19		23
97		101	103		107	109
101	103		107	109		113
1481	1483		1487	1489		1493
1867		1871	1873		1877	1879
3457		3461	3463		3467	3469
5647		5651	5653		5657	5659
15727		15731	15733		15737	15739
16057		16061	16063		16067	16069
16061	16063		16067	16069		16073
19417		19421	19423		19427	19429

p	p+2	p+4	p+6	p+8	p+10	p+12
19421	19423		19427	19429		19433
21011	21013		21017	21019		21023
22271	22273		22277	22279		22283
43777		43781	43783		43787	43789
43781	43783		43787	43789		43793
55331	55333		55337	55339		55343
79687		79691	79693		79697	79699
88807		88811	88813		88817	88819
101107		101111	101113		101117	101119
144161	144163		144167	144169		144173
165701	165703		165707	165709		165713
166841	166843		166847	166849		166853
195731	195733		195737	195739		195743

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ lauten $5,11,101,1481,16061,19421,21011,\ldots$ (Folge A022006 in OEIS)

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ lauten $7,97,1867,3457,5647,15727,16057,\ldots$ (Folge A022007 in OEIS)

Primzahlsechsling

Primzahlsechslinge sind Elemente primer 6-Tupel, es gilt also $k=6$ . 6-Tupel werden auch Sextupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlsechslingen auch prime Sextupel oder Primzahl-Sextupel genannt werden. Für Primzahlsechslinge existiert nur eine korrekte Konstellation. Es lässt sich jeder Primzahlsechsling sowohl in der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)$ als auch in der Form $(15n-8,15n-4,15n-2,15n+2,15n+4,15n+8)$ schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch $15$ teilbar und die Summe der Primzahlen des Sextupels ist immer durch $90$ teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit $7,1,3,7,9$ und $3$ .

Alle primen Sextupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von $4$ zueinander.

Alle primen Sextupel enthalten vier Primzahl-Tripel mit je zwei unterschiedlichen Konstellationen.

Alle primen Sextupel enthalten ein Primzahl-Quadrupel in der Mitte.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Primzahl-Quintupel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlsechslinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsechslinge bis $3.000.000$ :

	p	p+4	p+6	p+10	p+12	p+16
n	15n-8	15n-4	15n-2	15n+2	15n+4	15n+8
1	7	11	13	17	19	23
7	97	101	103	107	109	113
1071	16057	16061	16063	16067	16069	16073
1295	19417	19421	19423	19427	19429	19433
2919	43777	43781	43783	43787	43789	43793
72751	1091257	1091261	1091263	1091267	1091269	1091273
107723	1615837	1615841	1615843	1615847	1615849	1615853
130291	1954357	1954361	1954363	1954367	1954369	1954373
188181	2822707	2822711	2822713	2822717	2822719	2822723
189329	2839927	2839931	2839933	2839937	2839939	2839943

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsechslinge lauten $7,97,16057,19417,43777,1091257,\ldots$ (Folge A022008 in OEIS)

Primzahlsiebenling

Primzahlsiebenlinge sind Elemente primer 7-Tupel, es gilt also $k=7$ . 7-Tupel werden auch Septupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlsiebenlinge auch die Bezeichnungen prime Septupel oder Primzahl-Septupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahsiebenling in einer der zwei folgenden Konstellationen schreiben:

(p,\ p+2,\ p+6,\ p+\ \ 8,\ p+12,\ p+18,\ p+20)

(p,\ p+2,\ p+8,\ p+12,\ p+14,\ p+18,\ p+20)

Alle primen Septupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Alle primen Septupel enthalten drei Primzahl-Tripel.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+8,p+12,p+14,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+8,p+12,p+14,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ am Ende.

Alle primen Septupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.

Ob es unendlich viele Primzahlsiebenlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsiebenlinge bis $10.000.000$ :

p	p+2	p+6	p+8	p+12	p+14	p+18	p+20
11	13	17	19	23		29	31
5639	5641		5647	5651	5653	5657	5659
88799	88801		88807	88811	88813	88817	88819
165701	165703	165707	165709	165713		165719	165721
284729	284731		284737	284741	284743	284747	284749
626609	626611		626617	626621	626623	626627	626629
855719	855721		855727	855731	855733	855737	855739
1068701	1068703	1068707	1068709	1068713		1068719	1068721
1146779	1146781		1146787	1146791	1146793	1146797	1146799
6560999	6561001		6561007	6561011	6561013	6561017	6561019
7540439	7540441		7540447	7540451	7540453	7540457	7540459
8573429	8573431		8573437	8573441	8573443	8573447	8573449

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 1. Konstellation lauten $11,165701,1068701,11900501,15760091,\ldots$ (Folge A022009 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 2. Konstellation lauten $5639,88799,284729,626609,855719,\ldots$ (Folge A022010 in OEIS)

Primzahlachtling

Primzahlachtlinge sind Elemente primer 8-Tupel, es gilt also $k=8$ . 8-Tupel werden auch Oktupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlachtlinge auch die Bezeichnungen prime Oktupel oder Primzahl-Oktupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahlachtling in einer der drei folgenden Konstellationen schreiben:

{\begin{aligned}(p,&\quad p+2,&p+6,&\quad p+8,&p+12,&\quad p+18,&p+20,&\quad p+26)\\(p,&\quad p+2,&p+6,&\quad p+12,&p+14,&\quad p+20,&p+24,&\quad p+26)\\(p,&\quad p+6,&p+8,&\quad p+14,&p+18,&\quad p+20,&p+24,&\quad p+26)\end{aligned}}

Alle primen Oktupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Alle primen Oktupel enthalten drei Primzahl-Tripel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+12,p+14,p+20,p+24,p+26)$ enthalten kein Primzahl-Quadrupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+6,p+8,p+14,p+18,p+20,p+24,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+12,p+14,p+20,p+24,p+26)$ enthalten kein Primzahl-Quintupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+6,p+8,p+14,p+18,p+20,p+24,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ am Ende.

Alle primen Oktupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Septupel der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20)$ zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+12,p+14,p+20,p+24,p+26)$ enthalten kein Primzahl-Septupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+6,p+8,p+14,p+18,p+20,p+24,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Septupel der Form $(p,p+2,p+8,p+12,p+14,p+18,p+20)$ am Ende.

Ob es unendlich viele Primzahlachtlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlachtlinge bis $100.000.000$ :

p	p+2	p+6	p+8	p+12	p+14	p+18	p+20	p+24	p+26
11	13	17	19	23		29	31		37
17	19	23		29	31		37	41	43
1277	1279	1283		1289	1291		1297	1301	1303
88793		88799	88801		88807	88811	88813	88817	88819
113147	113149	113153		113159	113161		113167	113171	113173
284723		284729	284731		284737	284741	284743	284747	284749
855713		855719	855721		855727	855731	855733	855737	855739
1146773		1146779	1146781		1146787	1146791	1146793	1146797	1146799
2580647	2580649	2580653		2580659	2580661		2580667	2580671	2580673
6560993		6560999	6561001		6561007	6561011	6561013	6561017	6561019
15760091	15760093	15760097	15760099	15760103		15760109	15760111		15760117
20737877	20737879	20737883		20737889	20737891		20737897	20737901	20737903
25658441	25658443	25658447	25658449	25658453		25658459	25658461		25658467
58208387	58208389	58208393		58208399	58208401		58208407	58208411	58208413
69156533		69156539	69156541		69156547	69156551	69156553	69156557	69156559
73373537	73373539	73373543		73373549	73373551		73373557	73373561	73373563
74266253		74266259	74266261		74266267	74266271	74266273	74266277	74266279
76170527	76170529	76170533		76170539	76170541		76170547	76170551	76170553
93625991	93625993	93625997	93625999	93626003		93626009	93626011		93626017

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 1. Konstellation lauten $11,15760091,25658441,93625991,182403491,\ldots$ (Folge A022011 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 2. Konstellation lauten $17,1277,113147,2580647,20737877,\ldots$ (Folge A022012 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 3. Konstellation lauten $88793,284723,855713,1146773,6560993,\ldots$ (Folge A022013 in OEIS)

Konstellationen

Im Folgenden steht $n\#$ für die Primfakultät, also für das Produkt aller Primzahlen $\leq n$ . Formal: $n\#=\prod _{p\in [1,n]\cap \mathbb {P} }p$

Bei den Primzahlachtlingen (also bei $k=8$ ) haben zwei der drei aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) je einen sehr großen 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

u = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

v = 85942978608490853163266464829675186732716531436220205198524648761309585030760262728948076619827920

Bei den Primzahlneunlingen (also bei $k=9$ ) habei alle vier aktuellen Rekordzahlen (die Startwerte der Primzahltupel) einen sehr großen 93-, 98-, 105- bzw. 103-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

wi = 182075127245948453356763852678412657384571384320476086323955359028566228121357180020362596219

x₁ = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

x₂ = 290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889

x₃ = 6981459541055817191260362842479625063402912945070015867718881817316331990854697141515826226327285164890

Bei den Primzahlzehnlingen (also bei $k=10$ ) haben beide aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 105- bzw. 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

y₁ = 290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889

y₂ = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

Bei den Primzahlelf- und Primzahlzwölflingen (also bei $k=11$ und $k=12$ ) hat die aktuelle Rekordzahl (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 92-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

z = 13243795731372733191902494675154142263612189966992593522251560981597803197621024152571147501

$k$	$s$	Konstellation $b$ ^[7]	Kleinstes Primzahltupel^[8]	Größtes bekanntes Primzahltupel (Stand: 29. April 2024)^[6]	Stellen
02	02	(0, 2)	(3, 5)	2996863034895 · 2^1290000 − 1 + d	388342
03	06	(0, 2, 6) (0, 4, 6)	(5, 7, 11) (7, 11, 13)	4111286921397 · 2⁶⁶⁴²⁰ − 1 + d 6521953289619 · 2⁵⁵⁵⁵⁵ − 5 + d	020008 016737
04	08	(0, 2, 6, 8)	(5, 7, 11, 13)	667674063382677 · 2³³⁶⁰⁸ − 1 + d	010132
05	12	(0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12)	(5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19)	585150568069684836 · 7757# : 85085 + 5 + d 566761969187 · 4733#: 2 − 8 + d	003344 002034
06	16	(0, 4, 6, 10, 12, 16)	(7, 11, 13, 17, 19, 23)	2³⁷⁰⁰ + 33888977692820810260792517451 + d	001114
07	20	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)	113225039190926127209 · 2339# : 57057 + 1 + d 4733578067069 · 940# + 626609 + d	001002 000402
08	26	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)	362079385668757696008683096558661746463 · 863# + 114023297140211 + d u · 449# + 226554621544607 + d v · 541# + 301570107719123 + d	000401 000282 000318
09	30	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)	w · 541# + 145933845312371 + d x₁ · 449# + 226554621544607 + d x₂ · 401# + 380284918609483 + d x₃ · 503# + 301713410008249 + d	000312 000282 000269 000312
10	32	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 32)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (9853497737, …)	y₁ · 401# + 380284918609481 + d y₂ · 449# + 226554621544607 + d	000269 000282
11	36	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (1418575498573, …)	*z + 49376500222690335 229# + d** 613176722801194 · 151# + 177321217 + 6 + d	000108 000075
12	42	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42) (0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53) (1418575498567, …)	*z + 27407861785763183 229# + d** 613176722801194 · 151# + 177321217 + d	000108 000075
13	48	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48) (0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48) (0, 2, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36, 46, 48) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48) (0, 6, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 48)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59) (7697168877290909, …) (10527733922579, …) (1707898733581273, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61) (186460616596321, …)	9985637467 · 139# + 3629868888791261 + d 381955327397348 · 79# + 18393209 + d 4135997219394611 · 109# + 117092849 + d 10⁴⁴ + 2004740564798426955633 + d 14815550 · 107# + 4385574275277313 + d 381955327397348 · 79# + 18393211 + d	000066 000046 000061 000045 000050 000046
14	50	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50) (0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61) (79287805466244209, …)	14815550 · 107# + 4385574275277311 + d 381955327397348 · 79# + 18393209 + d	000050 000046
15	56	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56) (0, 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 38, 44, 48, 50, 54, 56)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73) (1158722981124148367, …) (14094050870111867483, …)	107173714602413868775303366934621 + d 10004646546202610858599716515809907 + d 33554294028531569 · 61# + 57800747 + d 2⁹⁹ + 49408572140248891027005 + d	000033 000035 000040 000030
16	60	(0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60)	(47710850533373130107, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)	322255 · 73# + 1354238543317302647 + d 94 · 79# + 1341680294611244014363 + d	000035 000033
17	66	(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66) (0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66) (0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66)	(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79) (734975534793324512717947, …) (1620784518619319025971, …)	100845391935878564991556707107 + d 11413975438568556104209245223 + d 5867208169546174917450987997 + d 3684 · 73# + 880858118723497737821 + d	000030 000029 000028 000033
18	70	(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70) (0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70)	(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (2845372542509911868266807, …)	183837276562811649018077773 + d 5867208169546174917450987997 + d	000027 000028
19	76	(0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 76) (0, 4, 6, 10, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 52, 60, 64, 66, 70, 72, 76) (0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76)	(622803914376064301858782434517, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89) (37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113) (630134041802574490482213901, …)	622803914376064301858782434517 + d 13 + d 248283957683772055928836513597 + d 2406179998282157386567481191 + d	000030 000002 000030 000028
20	80	(0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80)	(14374153072440029138813893241, …) (29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109)	1135540756371356698957890225821 + d 1236637204227022808686214288579 + d	000031 000031
21	84	(0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84) (0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84)	(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113) (622803914376064301858782434517, …)	248283957683772055928836513589 + d 622803914376064301858782434517 + d	000030 000030

Es existiert für jedes beliebig hohe $k$ mindestens eine dazugehörige Konstellation. Solche lassen sich mit Computerhilfe mit einem simplen Brute-Force-Algorithmus finden.^[9] Das Finden von Primzahltupeln zu vorgegebenen Konstellationen ist insbesondere für höhere $k$ mit großem Rechenaufwand verbunden.

Anzahl

Der trivial zu beweisende Satz von Euklid sagt aus, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Die sehr ähnlich erscheinende Fragestellung, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge, -drillinge etc. gibt, konnte jedoch bis heute noch nicht geklärt werden. Bislang konnte lediglich bewiesen werden, dass unendlich viele Primzahlen mit einem Abstand zueinander von maximal $246$ existieren.^[10]

Laut der unbewiesenen ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der primen $k$ -Tupel bis zu einer Grenze asymptotisch zu einer in der Vermutung aufgestellten Formel.

Zusammenfassung

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)	Primzahlzwilling
(p, p+4)	Primzahlencousin
(p, p+6)	Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)	Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)	Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)	Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)	Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)	Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)	Sexy Primzahlfünfling

Literatur

Herschel F. Smith: On a generalization of the prime pair problem. (PDF) In: Math. Tables Aids Comput., 11, 1957, No. 60, S. 249–254
Paul Erdős, Hans Riesel: On admissible constellations of consecutive primes. In: BIT (Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling), 28, 1988, No. 3, S. 391–396

Einzelnachweise

↑ Eric W. Weisstein: Prime Constellation. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
↑ Eric W. Weisstein: Cousin Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
↑ Eric W. Weisstein: Sexy Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.
↑ ^a ^b Bounded gaps between primes. Polymath1Wiki; abgerufen am 13. Juni 2014.
↑ ^a ^b Yates, Caldwell: The Largest Known Primes. primes.utm.edu
↑ ^a ^b ^c Prime k-tuplets. ; abgerufen am 29. April 2024.
↑ Patterns. forbes.googlepages.com; abgerufen am 11. Juni 2014.
↑ Smallest Prime k-tuplets.
↑ T. J. Engelsma: k-tuple permissible patterns Resultate über sehr große Konstellationen
↑ Bounded gaps between primes. PolyMath, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 8. Dezember 2020; abgerufen am 29. Januar 2021.

[1] Eric W. Weisstein: Prime Constellation. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.

[2] Eric W. Weisstein: Cousin Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.

[3] Eric W. Weisstein: Sexy Primes. In: MathWorld (englisch). Abgerufen am 11. Juni 2014.

[BoundedGaps-4] Bounded gaps between primes. Polymath1Wiki; abgerufen am 13. Juni 2014.

[Yates,Caldwell-5] Yates, Caldwell: The Largest Known Primes. primes.utm.edu

[Rekorde-6] Prime k-tuplets. ; abgerufen am 29. April 2024.

[7] Patterns. forbes.googlepages.com; abgerufen am 11. Juni 2014.

[8] Smallest Prime k-tuplets.

[9] T. J. Engelsma: k-tuple permissible patterns Resultate über sehr große Konstellationen

[10] Bounded gaps between primes. PolyMath, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 8. Dezember 2020; abgerufen am 29. Januar 2021.

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formelbasiert	Carol ((2ⁿ − 1)² − 2) \| Doppelte Mersenne (2^{2^p − 1} − 1) \| Fakultät (n! ± 1) \| Fermat (2^2ⁿ + 1) \| Kubisch (x³ − y³)/(x − y) \| Kynea ((2ⁿ + 1)² − 2) \| Leyland (x^y + y^x) \| Mersenne (2^p − 1) \| Mills (A^3ⁿ) \| Pierpont (2^u⋅3^v + 1) \| Primorial (p_n# ± 1) \| Proth (k⋅2ⁿ + 1) \| Pythagoreisch (4n + 1) \| Quartisch (x⁴ + y⁴) \| Thabit (3⋅2ⁿ − 1) \| Wagstaff ((2^p + 1)/3) \| Williams ((b-1)⋅bⁿ − 1) \| Woodall (n⋅2ⁿ − 1)
Primzahlfolgen	Bell \| Fibonacci \| Lucas \| Motzkin \| Pell \| Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär \| Fortunate \| Gut \| Glücklich \| Higgs \| Hochkototient \| Isoliert \| Pillai \| Ramanujan \| Regulär \| Stark \| Stern \| Wall–Sun–Sun \| Wieferich \| Wilson
basisabhängig	Belphegor \| Champernowne \| Dihedral \| Einzigartig \| Fröhlich \| Keith \| Lange \| Minimal \| Mirp \| Permutierbar \| Primeval \| Palindrom \| Repunit-Primzahl ((10ⁿ − 1)/9) \| Schwach \| Smarandache–Wellin \| Strobogrammatisch \| Tetradisch \| Trunkierbar \| Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) \| Chen \| Cousin (p, p + 4) \| Cunningham (p, 2p ± 1, …) \| Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) \| Konstellation \| Sexy (p, p + 6) \| Sichere (p, (p − 1)/2) \| Sophie Germain (p, 2p + 1) \| Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) \| Zwilling (p, p + 2) \| Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) \| Gigantisch (10.000+ Stellen) \| Mega (1.000.000+ Stellen) \| Beva (1.000.000.000+ Stellen)