Primzahlencousin

Mathematischer Ausdruck

In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen, deren Differenz 4 beträgt als Primzahlencousins.[1] Zum Beispiel sind die Zahlen 13 und 17 Primzahlencousins, weil die eine Zahl um 4 kleiner ist als die andere (bzw. die andere um 4 größer ist als die eine).

Primzahlencousins haben die Form . Es folgt eine Liste der Primzahlencousins bis (erzeugt mit Matheass 9.0):

p (p+4)
3 7
7 11
13 17
19 23
37 41
43 47
67 71
79 83
97 101
103 107
p (p+4)
109 113
127 131
163 167
193 197
223 227
229 233
277 281
307 311
313 317
349 353
p (p+4)
379 383
397 401
439 443
457 461
463 467
487 491
499 503
613 617
643 647
673 677
p (p+4)
739 743
757 761
769 773
823 827
853 857
859 863
877 881
883 887
907 911
937 941
p (p+4)
967 971
1009 1013
1087 1091
1093 1097
1213 1217
1279 1283
1297 1301
1303 1307
1423 1427
1429 1433
p (p+4)
1447 1451
1483 1487
1489 1493
1549 1553
1567 1571
1579 1583
1597 1601
1609 1613
1663 1667
1693 1697
p (p+4)
1783 1787
1867 1871
1873 1877
1993 1997
1999 2003
2083 2087
2137 2141
2203 2207
2239 2243
2269 2273
p (p+4)
2293 2297
2347 2351
2377 2381
2389 2393
2437 2441
2473 2477
2539 2543
2617 2621
2659 2663
2683 2687
p (p+4)
2689 2693
2707 2711
2749 2753
2797 2801
2833 2837
2857 2861
2953 2957
3019 3023
3037 3041
3079 3083
p (p+4)
3163 3167
3187 3191
3217 3221
3253 3257
3319 3323
3343 3347
3457 3461
3463 3467
3529 3533
3613 3617
p (p+4)
3673 3677
3697 3701
3793 3797
3847 3851
3877 3881
3907 3911
3919 3923
3943 3947
(Folge A023200 in OEIS) und (Folge A046132 in OEIS)

Eigenschaften

Bearbeiten

Die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlencousins gehört, ist 7. Eine der Zahlen   oder   ist immer durch 3 teilbar, also ist   der einzige Fall, bei dem das Tripel   aus drei Primzahlen besteht.

Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov die momentan größten Primzahlencousins mit 51934 Stellen[2][3]. Das Paar   lautet wie folgt:

 

Die Zahl   ist sicherlich eine Primzahl, für die Zahl   sieht die Situation allerdings etwas anders aus. Es gibt momentan keinen bekannten Primzahltest, der einfach bestimmen könnte, ob   prim ist.   ist eine PRP-Zahl (probable prime), also sehr wahrscheinlich eine Primzahl, weil sie Bedingungen erfüllt, die alle Primzahlen besitzen, die aber die meisten zusammengesetzten Zahlen nicht erfüllen.

Es folgt aus der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung, dass Primzahlencousins dieselbe asymptotische Dichte haben wie Primzahlzwillinge. Eine Analogie zur Brunschen Konstante für Primzahlzwillinge kann auch für Primzahlencousins definiert werden. Sie heißt Brunsche Konstante für Primzahlencousins und ist das Ergebnis der konvergenten Summe[4][5]

 

Dabei wird das erste Primzahlencousin-Paar (3, 7) weggelassen.

Wenn man alle Primzahlencousins bis   einsetzt, so hat Marek Wolf im Jahr 1996 gezeigt, dass gilt:[6]

  (Folge A194098 in OEIS)

Diese Konstante darf nicht mit der Brunschen Konstante für Primzahlvierlinge verwechselt werden, die ebenfalls mit   bezeichnet wird, aber einen anderen Wert ergibt.

Zusammenfassung

Bearbeiten

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2) Primzahlzwilling
(p, p+4) Primzahlencousin
(p, p+6) Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6) Primzahldrilling
(p, p+6, p+12) Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8) Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18) Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12) Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24) Sexy Primzahlfünfling

Literatur

Bearbeiten
  • David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 1-118-04571-8, S. 33.
  • Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser, 2007, ISBN 0-8176-4472-5, S. 206.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Wolfram MathWorld, Cousin Primes. Abgerufen am 1. Dezember 2015.
  2. 29055814795 · (2172486 - 286243) + 286245-3 auf den PrimePages.
  3. 29055814795 · (2172486 - 286243) + 286245+1 auf den PrimePages.
  4. B.Segal: Generalisation du théorème de Brun. Hrsg.: C. R. Acad. Sc. URSS. Christine Steyrer, 1930, ISBN 978-3-902662-18-7, S. 501–507 (russisch).
  5. Zentralblatt MATH Zentralblatt MATH 57.1363.06. Abgerufen am 1. Dezember 2015.
  6. Marek Wolf, On the Twin and Cousin Primes (PostScript file).