In der Mathematik ist die Lie-Algebra der Prototyp einer (reellen) einfachen Lie-Algebra.

Die ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe . Sie ist die spaltbare reelle Form der komplexen Lie-Algebra .

Die Lie-Gruppe hat vielfältige Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Kommutator-Relationen

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  ist die Lie-Algebra der spurlosen 2×2-Matrizen

 

mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer.

Als Vektorraum wird sie von der Basis

 

aufgespannt:  . Die Struktur als Lie-Algebra wird durch die folgenden Kommutator-Relationen festgelegt:

 

Eigenschaften und Struktur

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Einfachheit

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  ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei   ein nichttriviales Ideal in   und sei   mit  . Wenn  , dann  , damit   und  , also  . Also können wir   oder   annehmen, o. B. d. A.  . Aus   folgt dann   und damit auch  , also wieder  .

Killing-Form

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Die Killing-Form von   lässt sich explizit durch die Formel

 

berechnen, es ist also

 
 .

Isomorphismus sl(2,R)=o(2,1)

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Die adjungierte Darstellung von   auf   erhält die Killing-Form. Weil die Killing-Form Signatur (2,1) hat, realisiert dies eine Abbildung

 

und man kann zeigen, dass   ein Gruppenisomorphismus   ist. Insbesondere ist die Lie-Algebra   isomorph zu  .

Cartan-Involution

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Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe   ist die Spezielle orthogonale Gruppe  , ihre Lie-Algebra   ist die Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen:

 .

Eine Cartan-Involution von   ist gegeben durch

 .

  ist ihr Eigenraum zum Eigenwert  . Man erhält die Cartan-Zerlegung

 ,

wobei   der Eigenraum zum Eigenwert   ist.

Iwasawa-Zerlegung

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Eine Iwasawa-Zerlegung von   ist

 

mit  .

Cartan-Unteralgebren

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  hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

 

und

 .[1]

Wurzelsystem

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Das Wurzelsystem zu   ist

 .

Die dualen Wurzeln sind

 .

Die zugehörigen Wurzelräume sind

 .

Als positive Weyl-Kammer kann man

 

wählen. Dann ist   die (einzige) positive Wurzel und insbesondere eine einfache Wurzel.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe  .

Darstellungen von sl(2,R)

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Jede Darstellung von   entspricht durch Tensorieren mit   einer  -linearen Darstellung von  , man erhält also alle Darstellungen von   als Einschränkungen von Darstellungen der sl(2,C).

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  • Nicolas Perrin: The Lie Algebra   pdf

Einzelnachweise

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  1. Anthony W. Knapp - Lie Groups beyond an Introduction, Chapter VI.6