Spitze (Differentialgeometrie)

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie werden gewisse „sich sehr schnell verengende Enden“ als Spitzen bezeichnet.

Mannigfaltigkeit mit einer Spitze

Definition

Eine Spitze ist ein Ende $E$ einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $(M,g_{M})$, dessen Umgebung sich als verzerrtes Produkt

$E\cong N\times \left[0,\infty \right)$

parametrisieren lässt mit

$g_{M}=dt^{2}+e^{-2t}g_{N}$.

Hierbei ist $(N,g_{N})$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension $\operatorname {dim} (N)=\operatorname {dim} (M)-1$ und $t\in \left[0,\infty \right)$ ist der Parameter des zweiten Faktors in $N\times \left[0,\infty \right)$.

Die Mannigfaltigkeit $N$ wird als Querschnitt der Spitze (engl.: cusp cross section) bezeichnet.

Beispiele

• Spitzen von $n$-dimensionalen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine $(n-1)$-dimensionale flache Mannigfaltigkeit.
• Spitzen von $2n$-dimensionalen komplex-hyperbolischen Mannigfaltigkeit haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur $(2n-1)$-dimensionalen Heisenberg-Gruppe ist.
• Spitzen von quaternionisch-hyperbolischen Mannigfaltigkeiten haben als Querschnitt eine Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zur quaternionischen Heisenberg-Gruppe ist.
• In einem lokal symmetrischen Raum $\Gamma \backslash G/K$ von endlichem Volumen und $\mathbb {Q}$-Rang $rk_{\mathbb {Q} }(\Gamma )=1$ sind alle Enden Spitzen, ihr Querschnitt kann aus der Langlands-Zerlegung bestimmt werden.

Spitzen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten

Die Spitzen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit $M=\Gamma \backslash H^{n}$ sind isometrisch zu einer Untermannigfaltigkeit der Form

$\Gamma _{c}\backslash H_{c}$,

wobei $H_{c}$ ein Horoball um einen Punkt im Unendlichen $c\in \partial _{\infty }H^{n}$ und $\Gamma _{c}\subset \Gamma$ eine diskrete Gruppe von parabolischen Isometrien mit Fixpunkt $c$ ist.

Damit es sich um eine Spitze im Sinne obiger Definition handelt, muss

$\operatorname {rank} (\Gamma _{c})=\operatorname {dim} (H_{c})=\operatorname {dim} (M)-1$ sein.

In der Hyperbolischen Geometrie (und allgemeiner der Theorie lokal symmetrischer Räume $X$) bezeichnet man einen Randpunkt im Unendlichen $c\in \partial _{\infty }X$ oft auch dann als Spitze, wenn es eine nicht-triviale diskrete Gruppe parabolischer Isometrien $\Gamma _{c}$ mit $c$ als gemeinsamem Fixpunkt gibt. Man verlangt also nicht, dass $\operatorname {rank} (\Gamma _{c})=\operatorname {dim} (M)-1$ ist.

Zu einer in diesem Sinne definierten Spitze kann man ebenfalls den Quotienten $\Gamma _{c}\backslash H_{c}$ betrachten, der ein Ende der Mannigfaltigkeit $\Gamma \backslash X$ ist. Wenn $r:=\operatorname {rank} (\Gamma _{c})<\operatorname {dim} (X)-1$ ist, dann hat dieses Ende unendliches Volumen und ist nicht von der oben definierten Form. Man spricht dann von einer Rang-$r$-Spitze.

Aus dem Lemma von Margulis folgt, dass der dünne Teil $M_{<\epsilon }$ einer orientierbaren hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit $M$ entweder eine Spitze vom Rang $1$ oder $2$ oder eine Tubenumgebungen einer geschlossenen Geodäten ist. Die Spitzen vom Rang 1 sind homöomorph zu $D^{*}\times R_{+}$ mit $D^{*}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon 0<z<1\right\}$, die Spitzen vom Rang 2 sind homöomorph zu $T^{2}\times \mathbb {R} _{+}$ für den Torus $T^{2}$.

Literatur

Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8

Siehe auch

• Spitze (Hyperbolische Geometrie)