Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie werden gewisse „sich sehr schnell verengende Enden“ als Spitzen bezeichnet.

Mannigfaltigkeit mit einer Spitze

Definition

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Eine Spitze ist ein Ende   einer Riemannschen Mannigfaltigkeit  , dessen Umgebung sich als verzerrtes Produkt

 

parametrisieren lässt mit

 .

Hierbei ist   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension   und   ist der Parameter des zweiten Faktors in  .

Die Mannigfaltigkeit   wird als Querschnitt der Spitze (engl.: cusp cross section) bezeichnet.

Beispiele

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Spitzen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten

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Die Spitzen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit   sind isometrisch zu einer Untermannigfaltigkeit der Form

 ,

wobei   ein Horoball um einen Punkt im Unendlichen   und   eine diskrete Gruppe von parabolischen Isometrien mit Fixpunkt   ist.

Damit es sich um eine Spitze im Sinne obiger Definition handelt, muss

  sein.

In der Hyperbolischen Geometrie (und allgemeiner der Theorie lokal symmetrischer Räume  ) bezeichnet man einen Randpunkt im Unendlichen   oft auch dann als Spitze, wenn es eine nicht-triviale diskrete Gruppe parabolischer Isometrien   mit   als gemeinsamem Fixpunkt gibt. Man verlangt also nicht, dass   ist.

Zu einer in diesem Sinne definierten Spitze kann man ebenfalls den Quotienten   betrachten, der ein Ende der Mannigfaltigkeit   ist. Wenn   ist, dann hat dieses Ende unendliches Volumen und ist nicht von der oben definierten Form. Man spricht dann von einer Rang- -Spitze.

Aus dem Lemma von Margulis folgt, dass der dünne Teil   einer orientierbaren hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit   entweder eine Spitze vom Rang   oder   oder eine Tubenumgebungen einer geschlossenen Geodäten ist. Die Spitzen vom Rang 1 sind homöomorph zu   mit  , die Spitzen vom Rang 2 sind homöomorph zu   für den Torus  .

Literatur

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Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8

Siehe auch

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