Gumbel-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung
(Weitergeleitet von Fisher-Tippett-Verteilung)

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.[1]

Definition

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Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße   genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter   und Lageparameter  , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

 

und damit die Verteilungsfunktion

 

besitzt.

Standard-Fall

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Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter   und   gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.[2] Damit ergibt sich die Dichte

 

und die Verteilungsfunktion

 

Durch die affin-linearen Transformationen   mit   erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

  •  ,
  •  ,
  •   und
  •  

Eigenschaften

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Erwartungswert

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Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

 .

Dabei ist   die Euler-Mascheroni-Konstante.

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

 .

Standardabweichung

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Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

 .

Anwendung

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Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

Beziehung zu anderen Verteilungen

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Beziehung zur Extremwertverteilung

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Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern   und   ist eine Extremwertverteilung vom Typ I[1] und ergibt sich als Spezialfall für   aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

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Einzelnachweise

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  1. a b P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Exponentialverteilung, doppelte, S. 111-112.
  2. Hans-Otto Georgii: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. De Gruyter, Berlin / Boston 2015, ISBN 978-3-11-035969-5, S. 166, doi:10.1515/9783110359701.