Benutzer:Googolplexian1221/Kreiszahl

Die Kreiszahl, auch Ludolphsche (Ludolfsche) Zahl oder Archimedes-Konstante, oder einfach Pi, abgekürzt mit dem griechischen Kleinbuchstaben $\pi$ (Pi), ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von ihrer Größe. Die dezimale Darstellung der Kreiszahl beträgt mit den ersten fünfzig Nachkommastellen

$\pi =3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\,41971\,69399\,37510\,\dots$

wobei in der Praxis oft nur zwei Nachkommastellen verwendet werden (3,14), deren Genauigkeit für einfache Anwendungen ausreicht. Dank umfassender Forschung ist seit den 1760er Jahre bekannt, dass $\pi$ eine irrationale Zahl ist, also nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Dies geht einher mit der Vorstellung, dass sich der Kreis, aufgefasst als ein „Vieleck mit unendlich vielen Ecken“, einer einfachen Berechnung entzieht. Eine Konsequenz ist, dass es nicht möglich ist, $\pi$ durch die Angabe eines einfachen Musters der Nachkommastellen geschlossen anzugeben. Es ist lediglich eine zunehmend bessere Annäherung durch Berechnung weiterer Nachkommastellen möglich. Seit dem 8. Juni 2022 sind 100 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.

Die Erforschung der Kreiszahl hat eine sehr lange mathematische Tradition. Erste Berechnungsversuche lassen sich auf das Jahr 250 v. Chr. zurück datieren: Der Mathematiker Archimedes konnte in diesem Zeitraum Pi bis auf zwei Nachkommastellen berechnen. Obwohl die Chinesen Liu Hui bzw. Zu Chongzhi im Zeitraum 300 bis 500 v. Chr. schon 6 bis 7 Nachkommastellen kannten, verblieben die Berechnungen des Archimedes in den westlichen Kulturen lange der Status quo. Erst ab dem 16. Jahrhundert wurden auch in Europa die Forschungen zur Kreiszahl erneut aufgenommen, wobei sich seit dieser Zeit ein gewisser Wettlauf hinsichtlich der Berechnungsgenauigkeit einstellte. Geometrische Verfahren, die auf der Annäherung des Kreises durch Vielecke basierten, wurden zunehmend durch Methoden der Analysis ersetzt. Vornehmlich Berechnungen über unendliche Reihen, die seit Begründung einer rigorosen Trigonometrie zur Verfügung standen, wurden dabei verwendet. Für heutige Berechnungen ist die Anwendung des Chudnovsky-Algorithmus gängige Praxis.

Zu den ältesten Problemen in der Mathematik, zählt seit der Antike (800 v. Chr. bis 600 n. Chr.) die Darstellung der Zahl $\pi$ als exakte Länge auf einer Geraden mithilfe der sogenannten euklidischen Werkzeuge. Dieses Problem steckt auch im prominentesten antiken Rätsel Quadratur des Kreises, denn es benötigt für das gesuchte flächengleiche Quadrat die Seitenlänge ${\sqrt {\pi }}\cdot r$. In wohl zahllosen konstruktiven Versuchen – der Beweis der Unmöglichkeit, wie im Folgenden näher erläutert, war noch nicht erbracht – musste man feststellen: Mit der euklidischen Beschränkung allein mit Zirkel und unmarkiertem Lineal gibt es keine exakte Lösung. Mathematiker und Amateurmathematiker suchten deshalb nach alternativen geometrischen Ansätzen. Sie richteten nun ihr Interesse und ihre Bemühungen insbesondere auf die Verfahren: Näherungskonstruktion, Kurve als zusätzliches Hilfsmittel und (zu einem späteren Zeitpunkt) experimentelle Lösung.

Nicht nur die immer genauere Berechnung der Kreiszahl erfuhr Interesse. Auch wurden Bestrebungen für ein hintergründiges und theoretisches Verständnis für diese Konstante vorangetrieben. Dies vollzog sich parallel zu der Weiterentwicklung der Mathematik im Gesamten. Im Zeitraum 1761 bis 1767 konnte Johann Heinrich Lambert den mathematischen Beweis erbringen, dass $\pi$ eine irrationale Zahl ist. Dieses Ergebnis wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann durch den Beweis verschärft, dass $\pi$ eine transzendente Zahl ist. Damit grenzt sich die Kreiszahl auch von den irrationalen Zahlen ab, die als Lösungen algebraischer Gleichungen „sichtbar“ werden. Damit sind Gleichungen gemeint, die nur aus ganzen Zahlen und einer endlichen Abfolge der vier Grundrechenarten aufgebaut sind (triviale Beispiele wie $0=0$ ausgenommen): Beispielsweise ist ${\sqrt {2}}$ zwar irrational, aber nicht transzendent, da es Lösung der Gleichung $x^{2}-2=0$ ist. Allerdings verbleiben viele Fragen bis heute offen. Es wird zum Beispiel vermutet, dass $\pi$ eine normale Zahl ist, seine Dezimalentwicklung also einem pseudozufälligen Verhalten unterworfen ist. So sollten nicht nur alle Ziffern 0 bis 9 asymptotisch betrachtet gleich häufig auftauchen, sondern langfristig alle Postleitzahlen, Telefonnummern und sogar Texte und Romane (in Zahlen umgewandelt) irgendwo in der Kreiszahl zu finden sein (und dies sogar unendlich oft).

Jule Glühwurm: Die Frage, dass $\pi$ eine normale Zahl ist, mag für Mathematiker ja spannend sein. Als Laie denkt man allerdings vermutlich bei den letzten drei Sätzen eher an Zahlenmystik, da viele Normalverbraucher nicht wissen, wie eine normale Zahl definiert ist und die Kurzerklärung somit zumindestens stark irritierend ist.

Googolplexian: Danke. Tatsächlich wurde diese Eigenschaft, dass man „alle Telefonnummern“ irgendwo in Pi finden kann, in Museen zu dem Thema aufgegriffen. Daher hielt ich es bisher für eine brauchbare Umschreibung der vermuteten Normalität. Wie würde es Dir denn besser gefallen?

Jule Glühwurm: In einem Museum besteht die Möglichkeit, es zu erklären. Hier kannst du die mathematisch-philosophische Denkweise nur in 1-2 Sätzen darlegen. Stelle dir begabte HandwerkerInnen vor, die Romane in den Nachkommastellen von $\pi$ finden sollen. Die sind bestenfalls verwirrt. Ein Handwerker meines Vertrauens sagte: So'n überzogener Scheiß. Ich rechne mit $22/7$, wenn ich $\pi$ brauche und keinen Taschenrechner hab'. Mein Vorschlag: Lass die Romane weg. Beende mit *sondern langfristig alle Postleitzahlen und Telefonnummern*. Ich Frage mich selber auch, warum man 1 Mio Nachkommastellen braucht. Wo ist da die Relevanz? Und hier befinden wir uns immer noch in der Einleitung. Gäbe es einen Unterabschnitt Philosophische Betrachtungen/ mathematische Spielereien, dann würde ich es dort passend finden. Aber dies ist sicher Geschmackssache.

Jule Glühwurm: Habe gerade Eigenschaften gelesen, da passt es doch gut mit den Romanen. Hier in der Einleitung würde ich allerdings noch die Auswirkungen zu einfacher Näherungsbrüche einbringen. Zum Beispiel, dass $22/7$ in der Raumfahrt dazu führen würde, dass man nicht zum Mond, sondern am Mond vorbei fliegen würde. (Habe keine Ahnung, ob das stimmt.) Ich fühle mich leider nicht in der Lage, entsprechendes einzubringen.

Die Kreiszahl tritt nach heutigen Erkenntnissen nicht nur bei Kreisberechnungen in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien enorm an Bedeutung gewonnen. Sie tritt flächendeckend in den Feldern der Analysis, Kombinatorik, Topologie, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Physik auf. Die Querverbindung zur Kreisgeometrie ist dabei teilweise nur noch schwierig nachzuvollziehen.

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Geschichte der Bezeichnung

Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi ($\pi$) erfolgt nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περίμετρος – perímetros, „Umfang“ oder περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“. Das Pi ($\pi$) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit ${\tfrac {\pi }{\delta }}$ das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. ${\tfrac {\pi }{\delta }}=3{,}1415\ldots$. Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory ${\tfrac {\pi }{\rho }}$ für das Verhältnis von Umfang zu Radius.

59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben $\pi$ ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken. Erst im 18. Jahrhundert wurde $\pi$ durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals $\pi$ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor $p$ verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

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Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl $\pi$ zu definieren.

• Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang $U$ zum Durchmesser $d$ des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten bzw. dem Proportionalitätsfaktor $\pi ={\tfrac {U}{d}}$.

• Der zweite geometrische Ansatz (siehe Bild) fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts $A$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) $r$, also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl $\pi$ definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor $\pi ={\tfrac {A}{r^{2}}}$. Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie $\pi :4$ verhält.

• 
  Ein Kreis mit dem Durchmesser $1$ hat den Umfang $\pi$

• 
  Kreis mit Mittelpunkt $M$, Durchmesser $d$ und Radius $r$
• 
  Zweiter geometrischer Ansatz:  $\pi ={\frac {A_{Kreis}}{A_{Quadrat}}}$
• 
  $\pi$ als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus

• In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion $\cos(x)$ über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen. Zuerst wird der Existenzbeweis von Sinus und Kosinus erbracht als eindeutige Lösung eines Anfangswertproblems, womit die Beziehung zum Kreis (über den Satz des Pythagoras und die Additionstheoreme) auf analytische Weise hergestellt ist.

Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, sprich $U:d=A:r^{2}$. Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl $\pi$.

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Eigenschaften

Irrationalität und Transzendenz

Die Kreiszahl $\pi$ ist transzendent und hat damit unendlich viele Nachkommastellen. Darin sind bislang keine vorhersagbaren Muster erkennbar, die Ziffernfolge erscheint chaotisch.

Die Zahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen $p,q\in \mathbb {Z}$, also nicht als Bruch ${\tfrac {p}{q}}$, dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Einen einfachen Irrationalitätsbeweis lieferte im Jahre 1947 der Zahlentheoretiker Ivan Niven.

Tatsächlich ist die Zahl $\pi$ sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das $\pi$ zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzem Zahlen aus $\pi$ erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.

Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, $\pi$ nur mit endlich vielen ganzen Zahlen, Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

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Die ersten 100 Nachkommastellen

Da $\pi$ eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung

$\pi =3{,}14159\;26535\;89793\;23846\;26433\;83279\;50288\;41971\;69399\;37510\;58209\;74944\;59230\;78164\;06286\;20899\;86280\;34825\;34211\;70679\ldots$

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).

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Darstellung zu anderen Zahlenbasen

Die Darstellung zur Basis 2 (Binärsystem) hat die Gestalt

$\pi =11{,}0010\;0100\;0011\;1111\;0110\;1010\;1000\;1000\;1000\;0101\;1010\;0011\;0000\;1000\;1101\;0011\;0001\;0011\;0001\;1001\;1000\;1010\;0010\;1110\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004601).

Petrus3743: Ist von mir bereits vollständig in den Artikel eingearbeitet.

Basen 3 bis 16 und 60

Die Darstellung zur Basis 3 hat die Gestalt $\pi =10{,}0102\;1101\;2222\;0102\;1100\;2111\;1102\;2122\;2220\;1112\;0121\;2121\;2001\;2110\;0100\;1012\;2202\;2212\;0120\;1211\;1210\;1210\;1120\;0220\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004602) Die Darstellung zur Basis 4 hat die Gestalt $\pi =3{,}0210\;0333\;1222\;2020\;2011\;2203\;0020\;3103\;0103\;0121\;2022\;0232\;0003\;1300\;1303\;1010\;2210\;0021\;0320\;0202\;0221\;2133\;0301\;3100\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004603) Die Darstellung zur Basis 5 hat die Gestalt $\pi =3{,}0323\;2214\;3033\;4324\;1124\;1224\;0414\;0231\;4211\;1430\;2031\;0022\;0034\;4413\;2211\;0104\;0332\;1344\;0043\;2444\;0144\;1042\;3341\;3301\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004604) Die Darstellung zur Basis 6 hat die Gestalt $\pi =3{,}0503\;3005\;1415\;1241\;0523\;4414\;0531\;2532\;1102\;3012\;1444\;2004\;1152\;5255\;3314\;2033\;3131\;1355\;3513\;1233\;4553\;3410\;0151\;5434\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004605) Die Darstellung zur Basis 7 hat die Gestalt $\pi =3{,}0663\;6514\;3203\;6134\;1102\;6340\;2244\;6522\;2664\;3520\;6502\;4015\;5443\;2154\;2643\;1025\;1611\;5456\;5220\;0026\;2243\;6103\;3014\;4323\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004606) Die Darstellung zur Basis 8 hat die Gestalt $\pi =3{,}1103\;7552\;4210\;2643\;0215\;1423\;0630\;5056\;0067\;0163\;2112\;2011\;1602\;1051\;4763\;0720\;0202\;7372\;4616\;6116\;3310\;4505\;1202\;0746\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004607) Die Darstellung zur Basis 9 hat die Gestalt $\pi =3{,}1241\;8812\;4074\;4278\;8645\;1777\;6173\;1035\;8285\;1654\;5353\;4626\;5230\;1126\;3214\;5028\;3864\;0343\;5416\;3303\;0867\;8132\;7871\;5885\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004608) Die Darstellung zur Basis 10 hat die Gestalt $\pi =3{,}1415\;9265\;3589\;7932\;3846\;2643\;3832\;7950\;2884\;1971\;6939\;9375\;1058\;2097\;4944\;5923\;0781\;6406\;2862\;0899\;8628\;0348\;2534\;2117\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A000796) Die Darstellung zur Basis 11 (darin drückt ${\color {red}a}$ den Wert Zehn aus) hat die Gestalt $\pi =3{,}1615\;0702\;865{\color {red}a}\;4852\;3521\;5259\;7775\;2941\;8386\;6884\;8853\;163{\color {red}a}\;1{\color {red}a}54\;2130\;0465\;8065\;2273\;5053\;3715\;2717\;81{\color {red}a}6\;5637\;1578\;1334\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A068436) Die Darstellung zur Basis 12 (darin drückt ${\color {red}a}$ den Wert Zehn aus und ${\color {green}b}$ den Wert Elf) hat die Gestalt (Vorschlag, hierzu siehe in Anmerkung) $\pi =3{,}1848\;0949\;3{\color {green}b}91\;8664\;573{\color {red}a}\;6211\;{\color {green}b}{\color {green}b}15\;1551\;{\color {red}a}057\;2929\;0{\color {red}a}78\;09{\color {red}a}4\;9274\;2140\;{\color {red}a}60{\color {red}a}\;5525\;6{\color {red}a}06\;61{\color {red}a}0\;3753\;{\color {red}a}3{\color {red}a}{\color {red}a}\;5480\;5646\;8801\;81{\color {red}a}3\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A068437) Die Darstellung zur Basis 13 (darin drückt ${\color {red}a}$ den Wert Zehn aus, ${\color {green}b}$ den Wert Elf und ${\color {maroon}c}$ den Wert Zwölf) hat die Gestalt $\pi =3{,}1{\color {red}a}{\color {maroon}c}1\;0490\;52{\color {red}a}2\;{\color {maroon}c}773\;69{\color {maroon}c}0\;{\color {green}b}{\color {green}b}89\;{\color {maroon}c}{\color {maroon}c}98\;8327\;8298\;358{\color {green}b}\;3701\;6030\;6133\;{\color {maroon}c}{\color {red}a}5{\color {red}a}\;{\color {maroon}c}{\color {green}b}{\color {red}a}5\;7614\;{\color {green}b}65{\color {green}b}\;4100\;20{\color {maroon}c}2\;2{\color {green}b}4{\color {maroon}c}\;7145\;7{\color {red}a}95\;5{\color {red}a}5\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A068438) Die Darstellung zur Basis 14 (darin drückt ${\color {red}a}$ den Wert Zehn aus, ${\color {green}b}$ den Wert Elf, ${\color {maroon}c}$ den Wert Zwölf und ${\color {magenta}d}$ den Wert Dreizehn) hat die Gestalt $\pi =3{,}1{\color {magenta}d}{\color {red}a}7\;5{\color {maroon}c}{\color {magenta}d}{\color {red}a}\;8137\;5427\;{\color {red}a}40{\color {red}a}\;{\color {green}b}{\color {maroon}c}{\color {green}b}1\;{\color {green}b}{\color {magenta}d}47\;549{\color {maroon}c}\;89{\color {green}b}{\color {maroon}c}\;{\color {green}b}686\;1{\color {magenta}d}33\;27{\color {maroon}c}7\;40{\color {maroon}c}{\color {red}a}\;{\color {green}b}809\;{\color {red}a}52{\color {magenta}d}\;0{\color {magenta}d}{\color {magenta}d}5\;1718\;7450\;4{\color {red}a}54\;81{\color {maroon}c}{\color {maroon}c}\;9154\;90{\color {green}b}{\color {green}b}\;5\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A068439) Die Darstellung zur Basis 15 (darin drückt ${\color {red}a}$ den Wert Zehn aus, ${\color {green}b}$ den Wert Elf, ${\color {maroon}c}$ den Wert Zwölf, ${\color {magenta}d}$ den Wert Dreizehn und ${\color {indigo}e}$ den Wert Vierzehn) hat die Gestalt $\pi =3{,}21{\color {maroon}c}{\color {magenta}d}\;1{\color {magenta}d}{\color {maroon}c}4\;6{\color {maroon}c}2{\color {green}b}\;7{\color {indigo}e}50\;8484\;773{\color {indigo}e}\;0691\;9{\color {magenta}d}1{\color {indigo}e}\;5096\;3{\color {magenta}d}{\color {green}b}7\;9{\color {maroon}c}69\;739{\color {indigo}e}\;{\color {red}a}373\;1{\color {indigo}e}79\;{\color {maroon}c}{\color {magenta}d}{\color {indigo}e}1\;0{\color {red}a}8{\color {indigo}e}\;{\color {magenta}d}4{\color {maroon}c}6\;30{\color {red}a}8\;3{\color {green}b}9{\color {green}b}\;5{\color {magenta}d}{\color {red}a}4\;64{\color {red}a}9\;152\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A068440) Die Darstellung zur Basis 16 (darin drückt ${\color {red}a}$ den Wert Zehn aus, ${\color {green}b}$ den Wert Elf, ${\color {maroon}c}$ den Wert Zwölf, ${\color {magenta}d}$ den Wert Dreizehn, ${\color {indigo}e}$ den Wert Vierzehn und ${\color {teal}f}$ den Wert Fünfzehn) hat die Gestalt $\pi =3{,}243{\color {teal}f}\;6{\color {red}a}88\;85{\color {red}a}3\;08{\color {magenta}d}3\;1319\;8{\color {red}a}2{\color {indigo}e}\;0370\;7344\;{\color {red}a}409\;3822\;299{\color {teal}f}\;31{\color {magenta}d}0\;082{\color {indigo}e}\;{\color {teal}f}{\color {red}a}98\;{\color {indigo}e}{\color {maroon}c}4{\color {indigo}e}\;6{\color {maroon}c}89\;4528\;21{\color {indigo}e}6\;38{\color {magenta}d}0\;1377\;{\color {green}b}{\color {indigo}e}54\;66{\color {maroon}c}{\color {teal}f}\;34{\color {indigo}e}9\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A062964) Bezüglich Gestalt der Basis 60 siehe OEIS-Folge OEIS:A060707

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da $\pi$ irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch. Der reguläre Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:

$\pi =3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von $\pi$ ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch (Folge A280135 in OEIS):

$\pi =4-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{17-{\frac {1}{294-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}$

Anders als bei der Eulerschen Zahl $e$ konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von $\pi$ keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von $\pi$, bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:

$\pi =3+{\frac {1^{2}}{\scriptstyle 6+{\frac {3^{2}}{6+{\frac {5^{2}}{6+{\frac {7^{2}}{6+{\frac {9^{2}}{6+{\frac {11^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{1+{\frac {1^{2}}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{\scriptstyle 1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Mit Methoden des maschinellen Lernens wurde seit 2019 versucht, Vermutungen über weitere nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen fundamentaler Konstanten, wie etwa $\pi$ aufzustellen. Die Autoren des entsprechenden Papiers nannten diesen Generator die „Ramanujan-Maschine“ (englisch Ramanujan machine). Der Algorithmus generierte zum Beispiel die neue (und insbesondere unbewiesene) Formel

${\cfrac {8}{\pi ^{2}}}=1-{\cfrac {2\cdot 1^{4}-3\cdot 1^{3}}{7-{\cfrac {2\cdot 2^{4}-3\cdot 1^{3}}{19-{\cfrac {2\cdot 3^{4}-3\cdot 3^{3}}{37-{\cfrac {2\cdot 4^{4}-3\cdot 4^{3}}{61-{_{\ddots }}}}}}}}}}$

Im Jahr 2023 gab der Mathematiker Tanguy Rivoal neuartige Polynom-Kettenbruchdarstellungen für die Zahl $e^{\pi }$.

Petrus3743: Die beiden letzten Absätze sind (noch) nicht im Artikel!

Näherungsbrüche der Kreiszahl

Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner Folge A002486 in OEIS) die folgenden:

Lambert publizierte einige Näherungsbrüche der Kreiszahl und sagte voraus, dass ein exakter Bruch, wenn er denn existiere, sehr „groß“ sein (also aus großem Zähler und Nenner bestehen) müsse.

Schritt	Kettenbruch	Näherungsbruch	Dezimaldarstellung (falsche Ziffern in rot)	Absoluter Fehler mittels Umfangsberechnung eines Kreises mit 1000 km Durchmesser
${\frac {m_{0}}{n_{0}}}$	$[3]$	${\frac {3}{1}}$	$3{,}{\color {red}0}$	−141,59 km
${\frac {m_{1}}{n_{1}}}$	$[3;7]$	${\frac {22}{7}}$	$3{,}14{\color {red}2\ldots }$	+1,26 km
${\frac {m_{2}}{n_{2}}}$	$[3;7,15]$	${\frac {333}{106}}$	$3{,}141\;5{\color {red}0\ldots }$	−83,22 m
${\frac {m_{3}}{n_{3}}}$	$[3;7,15,1]$	${\frac {355}{113}}$	$3{,}141\;592\;{\color {red}9\ldots }$	+26,68 cm
${\frac {m_{4}}{n_{4}}}$	$[3;7,15,1,292]$	${\frac {103993}{33102}}$	$3{,}141\;592\;653\;{\color {red}0\ldots }$	−0,58 mm
${\frac {m_{5}}{n_{5}}}$	$[3;7,15,1,292,1]$	${\frac {104348}{33215}}$	$3{,}141\;592\;653\;{\color {red}9\ldots }$	+0,33 mm
$\vdots$
${\frac {m_{10}}{n_{10}}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]$	${\frac {4272943}{1360120}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;{\color {red}3\ldots }$	−0,4 µm (Wellenlänge blauen Lichts)
$\vdots$
${\frac {m_{20}}{n_{20}}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]$	${\frac {21053343141}{6701487259}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;{\color {red}3\ldots }$	−2,6 · 10−16 m (kleiner als ein Proton)

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung $\left({\tfrac {m_{20}}{n_{20}}}\right)$ stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden Kilometer Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Sphärische Geometrie

→ Hauptartikel: Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Normalität

Googolplexian: Der Aspekt ist sicher auch für viele Laien interessant und sollte mMn noch ausgebaut werden.

Es ist noch ungeklärt, ob $\pi$ eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.

Wenn $\pi$ eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von $\pi$ zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von $\pi$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl $\pi$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl $\pi$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als $\pi$ ab.

Feynman-Punkt

Die ersten 1000 Nachkommastellen von Pi enthalten viele doppelte Vorkommen derselben Ziffer (gelb) sowie ein paar dreifache Vorkommen derselben Ziffer (grün). Das frühe Vorkommen eines Sextupels (rot), der Feynman-Punkt, ist eine auffällige Unregelmäßigkeit.

→ Hauptartikel: Feynman-Punkt

Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.

Petrus3743: Servus Googolplexian1221, könntest bitte du den Ausbau des Abschnitts Normalität und das Einfügen des Bildes bezüglich Feynman-Punkt übernehmen?

Entwicklung von Berechnungsverfahren

Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an $\pi$ phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Erste Näherungen

Berechnungen und Schätzungen in den vorchristlichen Kulturen

Die Kreiszahl und einige ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, der altägyptische Papyrus Rhind aus der Mitte der 16. Jahrhundert v. Chr., nennt den Wert  $\left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}=3{,}16049\ldots$, was vom tatsächlichen Wert nur um rund 0,60 % abweicht. Dieser Wert wurde gefunden (siehe Bild), als die Annäherung des Flächeninhalts eines Kreises über ein unregelmäßiges Achteck zu einem Quadrat (rot) mit nahezu gleichem Flächeninhalt führte. Bei einem Kreis mit Durchmesser $d=2$ ist der Flächeninhalt des Quadrats

$\left({\frac {8}{9}}\cdot 2\right)^{2}={\frac {256}{81}}=3{,}16049\ldots =\pi +0,0189\ldots$.

Die Babylonier benutzten ca. 1900-1600 v. Chr. die wahrscheinlich älteste $\pi$-Näherung:

$3+{\frac {1}{8}}=3{,}125=\pi -0,0165\ldots$

oder einfach nur $3$, solange dessen Abweichung von gut $4,5\%$ nicht ins Gewicht fiel. Den Wert $3$ nutzte man auch im alten China, und er findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

– Jeremia: Bibel, 1. Buch der Könige, Kapitel 7 Ausstattung des Tempels, Vers 23, König Salomo, Hiram aus Tyrus formte das Meer, ein Wasserbecken aus Bronze.

Die Inder nahmen um 800 v. Chr. für die Kreiszahl den Wert aus der Baudhayana-Sulbasutra. Die Sulbasutras (Schnurregeln) enthalten alle eine Methode zur Quadratur des Kreises. Bei einem Kreis (siehe Bild) mit Durchmesser $d=2$ ist der Flächeninhalt des Quadrats (rot)

$\left({\frac {13}{15}}\cdot 2\right)^{2}={\frac {676}{225}}=3{,}00{\overline {4}}=\pi -0,1371\ldots$.

Petrus3743: Dieser Abschitt wurde direkt im Artikel verbessert.

Archimedes von Syrakus

Die Frage, ob die Kreiszahl rational ist

Archimedes, gemalt von Giuseppe Nogari vor 1766

Die Flächensumme der Möndchen des Hippokrates (dunkelgrau) entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks.

Für den griechischen Mathematiker Archimedes und viele nach ihm war unklar, ob die Berechnung von $\pi$ nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob $\pi$ also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sich als rationale Zahl darstellen lassen, sogar von Kreisteilen eingeschlossene wie die Möndchen des Hippokrates. Ein Beispiel für eine rationale Darstellbarkeit von Kreisausschnitten, weshalb es lange für möglich gehalten wurde, dass auch die Kreiszahl selbst rational ist.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Annäherung durch Vielecke

Annäherung an einen Kreis durch Um- und Einbeschreiben von Fünfecken, Sechsecken und Achtecken

Archimedes gelang es um 250 v. Chr., die Kreiszahl mathematisch einzugrenzen, d. h. eine Ober- und Unterschranke anzugeben. Hierzu näherte er sich wie auch andere Mathematiker mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis an, um Näherungswerte für $\pi$ zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als $3+{\tfrac {10}{70}}$ sein müsse, jedoch größer als $3+{\tfrac {10}{71}}$:

$3{,}1408450\approx 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}\approx 3{,}1428571$

Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

$3+{\frac {9552}{67441}}<\pi <3+{\frac {10835}{62351}}\qquad (3{,}1416349<\pi <3{,}1737743)$

Wilbur Knorr korrigierte zu:

$3+{\frac {8915}{62991}}<\pi <3+{\frac {9552}{67441}}\qquad (3{,}1415281<\pi <3{,}1416349)$

In den westlichen Kulturen stellten diese Berechnungen von Archimedes über eine sehr lange Zeit – wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen auch – den Status quo in Bezug auf die Genauigkeit der Kenntnis von $\pi$ dar. Erst im 16. Jahrhundert erwachte das Interesse wieder.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist nahezu gleich mit dem im Artikel. im Artikel wurde das 96-Eck aufgenommen und die Position der Bilder angepasst

Praktischer Alltag

Handwerker benutzten in dieser Zeit – und bis vor Rechenschieber und Taschenrechner – die Näherung Archimedes

${\frac {22}{7}}=3{,}142857\ldots =\pi +0,0012\ldots$.

und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber $\pi$ beträgt etwa $0,04\%$. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend. Die Näherung ist anders formuliert Teil der oben beschriebenen Abschätzung $3+{\tfrac {10}{70}}$.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

3. bis 15. Jahrhundert

Fortschritte in der Annäherung an $\pi$ erzielten in der Zeit des 3. bis 15. Jahrhunderts vor allem chinesische und persische Wissenschaftler:

Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken $3{,}141024$ und $3{,}142704$ sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert $3{,}1416$.

Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl $3{,}1415926<\pi <3{,}1415927$. Dieses Intervall war mit seinen 7 genauen Nachkommastellen 800 Jahre lang Weltrekord. Von ihm stammt auch der fast genauso gute Näherungsbruch

${\frac {355}{113}}=3{,}1415929\ldots =\pi +0{,}000000266\ldots$.

Immerhin sind sechs Nachkommastellen gleich mit denen in $\pi$. Es ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von $\pi$, der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt).

Zhao Youqins Algorithmus zur Berechnung von $\pi$, nach dem Quadrat die 2. Iteration zum 16-Eck

Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck und erhielt den Wert $3{,}141592$ auf sechs Dezimalstellen genau. Das nebenstehende Bild zeigt prinzipiell Zhao Youqins Algorithmus zur Berechnung von $\pi .$ Die Ausgangsfigur ist ein von einem Kreis einbeschriebenes Quadrat. Um die Seitenlänge $a$ eines 16384-Ecks zu bestimmen, musste Zhao Youqin, beginnend beim Quadrat, zwölf $(4\cdot 2^{12}=16384)$ Mittelpunktswinkel $\mu$ halbieren (Iterationen). Die Vermutung liegt nahe, dass Zhao Youqin bei der Berechnung den Kreisabschnitt und den Satz des Pythagoras nutzte. Die trigonometrischen Tabellen für Sinus und Kosinus wurden erst etwa 100 Jahre später von Georg von Peuerbach und Regiomontanus erstellt. Aufgrund dessen lässt sich heute die von Zhao Youqin gefundene $\pi$-Näherung $3{,}141592$ einfach überprüfen. Zuerst ist die Seitenlänge $a$ des 16384-Ecks zu bestimmen, anschließend wird der Flächeninhalt des 16384-Eck ermittelt und mit dem Flächeninhalt $A$ des Kreises mit Radius $r\;=1\;({\widehat {=}}\;\pi )$ verglichen.

$a_{16384}=2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)=2\cdot \sin \left({\frac {\frac {360^{\circ }}{16384}}{2}}\right)=0{,}000383495194\ldots$

$A_{16384}={\frac {n\,a^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {16384\cdot 0{,}000383495194^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {180^{\circ }}{16384}}\right)=3{,}141592{\color {red}566}\ldots$.

Die Nachrechnung zeigt ebenfalls: $6$ Nachkommastellen sind gleich denen von $\pi .$

Allen diesen rationalen Näherungswerten für $\pi$ ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von $\pi$ entsprechen, z. B.:

${\frac {22}{7}}=3+{\frac {1}{7}}=[3;7],\quad {\frac {355}{113}}=3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1}}}}}}=[3;7,15,1]$

Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata gibt im Jahre 498 das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser mit

${\frac {62832}{20000}}=3{,}1416=\pi +0{,}00000734\ldots$

an, was nur um rund $0{,}00023\%$ zu hoch liegt.

Um 650 entdeckte der Hindu Brahmagupta, dass von den regelmäßigen Vielecken mit den Seiten 12, 24, 48 und 96 mit einem Durchmesser $d=10$ die Umfänge folgende Werte aufweisen: ${\sqrt {965}},\;{\sqrt {981}},\;{\sqrt {986}}$ und ${\sqrt {987}}.$ Er folgerte daraus, dass durch fortgesetzter Verdoppelung der Seitenzahlen, der Wert des Umfangs nach ${\sqrt {1000}}$ streben könnte. Deshalb fand er den Wert:

${\frac {\sqrt {1000}}{10}}={\sqrt {10}}=3{,}16227\ldots =\pi +0,0206\ldots$.

Dschamschid Masʿud al-Kaschi erbrachte mit seinem im Jahr 1424 abgeschlossenen Werk „Abhandlung über den Kreis“ eine beachtenswerte Leistung. Darin zeigt er u. a. eine Berechnung des Kreisumfangs $2\pi$. Sein Ansatz war ein regelmäßiges Vieleck mit einem Umkreisradius $r=60$ und die Seitenlänge kleiner, als ${\tfrac {8}{60^{4}}}$. So kam er auf das regelmäßige Vieleck mit $3\cdot 2^{28}$ gleich $805306368$ Seiten. Im Sexagesimalsystem ausgedrückt ist dies ein 1,2,8,16,12,48-Eck.

Al-Kaschi führte die Berechnungen mit dem Sexagesimalsystem (zur Basis 60) durch sowie erstmalig in der islamischen Mathematik mit Dezimalbrüchen. Der Zeitaufwand dafür muss – aus heutiger Sicht – extrem hoch gewesen sein, die dafür erforderlichen trigonometrischen Tabellen für Sinus und Kosinus von Georg von Peuerbach (1423–1461) und Regiomontanus erstellt, standen noch nicht zur Verfügung.

Mit den heute vorhandenen Mitteln ist es einfach zuerst die Seitenlänge $a_{Vieleck}$ und dann den doppelten Flächeninhalt $2\cdot A_{Vieleck}$ des Vielecks zu bestimmen. Abschließend wird der doppelte Flächeninhalt des Vielecks mit dem Kreisumfang des Einheitskreises $r\;=1\;({\widehat {=}}\;2\pi )$ verglichen.

${\begin{aligned}a_{Vieleck}\;&=2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)=2\cdot \sin \left({\frac {\frac {360^{\circ }}{3\cdot 2^{28}}}{2}}\right)=7{,}802229756091518279\cdot 10^{-9}\ldots \\2\cdot A_{Vieleck}&={\frac {n\,a^{2}}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {3\cdot 2^{28}\cdot \left(7{,}802229756091518279\cdot 10^{-9}\right)^{2}}{2}}\cdot \cot \left({\frac {180^{\circ }}{3\cdot 2^{28}}}\right)\\&=6{,}2831853071795864{\color {red}13}\ldots .\end{aligned}}$

Die Nachrechnung mit 18 Dezimalstellen der berechneten Seitenlänge $a_{Vieleck}$, liefert sogar $16$ Nachkommastellen gleich denen von $2\pi .$ Der überlieferte Näherungswert $6{,}283185307179586{\color {red}5}$ ($15$ gleiche Nachkommastellen) konnte erst 172 Jahre später von Ludolph van Ceulen (im Folgenden beschrieben) maßgeblich verbessert werden.

• noch in Arbeit: Petrus3743 {erledigt?}

Petrus3743: Ist von mir bereits vollständig in den Artikel eingearbeitet, mit einer kleinen Erweiterung: Kettenbruch bezüglich 355/113

16. bis 19. Jahrhundert

Allgemeiner Verlauf

Googolplexian: Überschrift mMn zu undifferenziert. Allein die Arkustangensreihen haben eine derart wichtige Rolle gespielt, dass sie vermutlich eine eigene Überschrift verdienen.

Petrus3743: Servus Googolplexian, könntest du bitte dies übernehmen? Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich dem im Artikel.

John Wallis

William Jones bezeichnete 1706, wie zuvor William Oughtred 1647, die Kreiszahl mit $\pi$

Leonhard Euler (Pastell von Emanuel Handmann, 1753)

In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von $\pi$ zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen $2^{62}$-Eck fort.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener $2^{n}$-Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für $\pi$ in Form eines unendlichen Produktes ab:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots$

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots$

Der englische Mathematiker John Wallis, der 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt entwickelte, zeigte im gleichen Jahr die Viète-Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}$

Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \dotsb$

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen $\arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}$ auch ein Spezialfall ($\theta =1$) der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der indische Mathematiker Madhava um ca. 1400 fand und auf die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren zurückkam:

$\arctan \theta ={\frac {\theta ^{1}}{1}}-{\frac {\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\theta ^{5}}{5}}-{\frac {\theta ^{7}}{7}}\pm \dotsb$

Sie war in der Folgezeit Grundlage vieler Approximationen von $\pi$, die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.

Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelte Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von $\pi$ bestimmte.

„Let $\alpha =2{\sqrt {3}}$. […] Then $\pi =\alpha -{\frac {1}{3}}{\frac {3\alpha }{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\alpha }{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3\alpha }{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {\alpha }{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3\alpha }{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {\alpha }{9^{3}}}$, &c.“

Im selben Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von $\pi$. Die Formel ist über das Additionstheorem des Arkustangens zu gewinnen – oder gleichwertig durch Betrachtung der komplexen Zahl, bestehend aus Potenzen ganzzahliger, so genannter Gaußscher Zahlen, mit ganzzahligen Exponenten

$(5+\mathrm {i} )^{4}\cdot (239-\mathrm {i} )=114244+114244\;\mathrm {i} =(1+\mathrm {i} )\cdot 114244$

und dem Argumentwert; $\arg(1+\mathrm {i} )={\tfrac {\pi }{4}}$.

Im Laufe der Zeit wurden viele Formeln dieser Art gefunden. Eine Formel mit sehr guter Konvergenz der taylorschen Reihen stammt von Carl Størmer (1896):

${\frac {\pi }{4}}=44\,\arctan {\frac {1}{57}}+7\,\arctan {\frac {1}{239}}-12\,\arctan {\frac {1}{682}}+24\,\arctan {\frac {1}{12943}}$,

welche gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl

$(57+\mathrm {i} )^{44}\cdot (239+\mathrm {i} )^{7}\cdot (682-\mathrm {i} )^{12}\cdot (12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n$ mit $n\in \mathbb {Z}$

gleich sind.

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande $\pi$ bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \dotsc$

${\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\dotsb$

${\frac {\pi -3}{4}}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}\mp \dotsb$

Irrationalität

Johann Heinrich Lambert

Googolplexian: TODO: Details zu Lamberts Beweis.

Johann Heinrich Lambert bewies 1761/1767 die Irrationalität der Kreiszahl. Damit stand erstmalig fest, dass eine exakte oder abschließende Berechnung nicht möglich ist.

1770 publizierte Lambert einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\textstyle {\frac {6^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}}$

geschrieben wird. Bei der Berechnung der Kreiszahl liefert er pro Schritt im Mittel etwa 0,76555 Dezimalstellen, im Vergleich zu anderen Kettenbrüchen relativ viel.

Numerische Verfahren ab dem 20. Jahrhundert

Neue Algorithmen

Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von $\pi$ gestatten.

1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!\cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4}\cdot 396^{4n}}}$

Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:

Iterationen	ergibt Ausdruck ($\pi \approx ...$)	entspricht dezimal (falsche Ziffern in rot)
$n=0$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {9\;801}{4\;412}}$	$3{,}141\;592\;{\color {red}7\ldots }$
$n=0\ldots 1$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;510\;613\;731\;736}{1\;130\;173\;253\;125}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;{\color {red}8\ldots }$
$n=0\ldots 2$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;286\;635\;172\;367\;940\;241\;408}{1\;029\;347\;477\;390\;786\;609\;545}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;64{\color {red}9\ldots }$
$n=0\ldots 3$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {17\;252\;765\;328\;978\;109\;815\;564\;789\;153\;792}{7\;766\;473\;062\;254\;307\;011\;793\;347\;201\;855}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\;5{\color {red}5\ldots }$

Es wird also die Quadratwurzel aus 2 mit immer „längeren“ Näherungsbrüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.

Diese hocheffizienten Verfahren wurden erst mit der Entwicklung von Computern mit Langzahlarithmetik interessant, durch die der reine Rechenaufwand immer weniger ins Gewicht fiel, so dass komplizierte Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz praktisch durchführbar wurden.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist nahezu gleich dem im Artikel. Im Artikel ist abschließend eine Formel eingetragen!

Chudnovsky-Algorithmus

→ Hauptartikel: Chudnovsky-Algorithmus

Der 1988 veröffentlichte Chudnovsky-Algorithmus wurde in allen aktuellen Rekordberechnungen eingesetzt. Er wurde aus dem Ramanujan-Ansatz entwickelt, arbeitet jedoch etwa 50 Prozent schneller, und basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{\sqrt {640320^{3}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!\cdot (545140134k+13591409)}{(3k)!\cdot (k!)^{3}\cdot (-640320)^{3k}}}$

Eine technische Implementation beider Iterationsverfahren (Ramanujan und Chudnovsky) bietet die Software y-cruncher.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich dem im Artikel.

BBP-Reihen

→ Hauptartikel: Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für $\pi$:

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{k}}}\left({\dfrac {4}{8k+1}}-{\dfrac {2}{8k+4}}-{\dfrac {1}{8k+5}}-{\dfrac {1}{8k+6}}\right)$

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die $n$-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von $\pi$ zu berechnen, ohne dass zuvor die $n-1$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für $\pi$ weitere BBP-Reihen gefunden:

${\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}$

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich dem im Artikel!

Tröpfelalgorithmus

→ Hauptartikel: Tröpfelalgorithmus

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von $\pi$ fand Stanley Rabinowitz. Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von $\pi$ gefunden worden.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Methode von Gauß, Brent und Salamin

Googolplexian: Ich erinnere mich, dass der Abschnitt auf meinem Mist gewachsen ist. Viiiiel zu unausführlich, da sehr wichtig für die pi-Forschung!!

Kmhkmh: Inbesondere sollte hier auch erklärt oder verlinkt werden, was AGM(...) ist.

Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel (AGM) nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung. Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von $\pi$:

${\frac {1}{\pi }}=\mathrm {AGM} (1,{\sqrt {2}})\int _{0}^{1}{\frac {2\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann

$\pi ={\frac {4\mathrm {AGM} (1,{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}}$,

wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\qquad b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}$

mit zwei initialen Argumenten $a_{0},b_{0}>0$ berechnet und $c_{n}^{2}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}$ gesetzt wird.

Nichtnumerische Berechnungsverfahren

Berechnung mittels Kreisflächen

Petrus3743: Im Artikel ist an dieser Stelle: der Abschnitt Berechnung mittels Flächenformel!

Programm

Viertelkreis, mit Flächenraster 10×10 angenähert, innerhalb 79 Punkte (rot), außerhalb 21 Punkte (blau)

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der $\pi$ näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von $\pi$ hängt von der Gitterweite ab und wird mittels $r$ kontrolliert. Mit $r=10$ erhält man z. B. 3,16 und mit $r=100$ bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon $r=10000$ zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

 r = 10000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = r ^ 2
 for i = 0 to r - 1
   x = i + 0.5
   for j = 0 to r - 1
     y = j + 0.5
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       kreistreffer = kreistreffer + 1
 return 4 * kreistreffer / quadrattreffer

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes $r$ marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Das Konzept ist hier so einfach, dass eventuell eine sprachliche Beschreibung (mit Formeln) ausreicht. Der Begriff Gitterweite erscheint mit etwas problematisch, da man darunter wohl auch den (konstanten) Abstand der Gitterpunkte verstehen kann anstatt Länge und Breite des Gitters. Stattdessen könnte man z.B. schreiben, dass r die Anzahl der Gittepunkte kontrolliert. Ebenso ist die Zeichnung mMn. missverständlich bzw. nicht die beste Illustration, da hier ja Punkte und nicht Kreise gezählt werden und es keine Punkte gibt die sowohl innerhalb als auch außerhalb liegen. Eine mögliche alternative Illustration habe ich gleich mal unterhalb der originalgrafik eingebunden--Kmhkmh (Diskussion) 14:02, 31. Okt. 2023 (CET)

Googolplexian: Danke, gebe dir recht.

Alternatives Programm

Petrus3743: Sollte bezüglich einer evtl. erforderlichen Überarbeitung überprüft werden. Siehe Diskussion alternatives Programm. Gibt es einen Bezug zu Riemannsches Integral? Ein wissenschaftlicher Beleg wäre hilfreich.

Kmhkmh: In der Schule bzw. Schulbüchern wird das manchmal als Streifenmethode (des Archimedes) bezeichnet. Etwas mathematischer ausgedrückt ist es eine (spezielle) Riemann-Summe. Allerdings reicht hier der anschauliche Zusammenhang, dass Integrale Flächen unter Kurven berechnen, was im Falle stetiger Funktionen dem Grenzwert der beschriebenen Rechtecksumme entspricht. Einen eigenen Beleg benötigt das mMn. nicht unbedingt. Den im Moment angegebenen Beleg sollte man allerdings entfernen, das ist ein Schülerreferat zu PI-Berechnungen, das zudem den Inhalt hier auch nicht wirklich belegt.erledigtErledigt Beleg entfernt

Kreisflächen-Integration

Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen
$y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ und $\pi ={\frac {A_{K}}{r^{2}}}$ sowie $\pi =\int _{-1}^{1}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$.

n := 1000000 // Halbe Anzahl der Streifen
s := 0       // Summe der Flächeninhalte

for x := -1 to +1 step 1/n:
    // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.
    // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.
    // Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte.
    // Der Faktor 1/n ist die Breite des Streifens.
    s += 2 * sqrt(1 - x*x) * 1/n

pi := s

Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von $-1$ bis $+1$. Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten $0,0$ hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von $-1$ bis $+1$. Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf. Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich $1/n$. Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu ${\sqrt {1-x^{2}}}$, im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben. Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.

Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1. Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel $A=\pi \cdot r^{2}$ noch durch $r^{2}$ geteilt werden. In diesem Beispiel ist $r=1$, daher ist das im Programmcode weggelassen.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Statistische Bestimmung

Berechnung mit einem Monte-Carlo-Algorithmus

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird

Eine Methode zur Bestimmung von $\pi$ ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist approximiert ${\tfrac {\pi }{4}}$.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von $\pi$ lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:

Googolplexian: Soweit ich mich erinnere, ist Code in Wikipdiaartikeln unrwünscht, sofern ohne Beleg, da TF, bin mir aber gerade nicht ganz sicher. To be discussed.

Code in Wikipedia-Artikeln ist schon möglich und ist auch in diversen Artikeln aus dem Bereich der Informatik und/oder Algorithmik nicht selten. Allerdings gilt als Daumenregel, dass Pseudocode meist gegenüber einer echten Programmiersprache zu bevorzugen ist. Wenn man eine konkrete Programmiersprache zur Darstellung wählt sollte man möglichst auf eine weit verbreitete zurückgreifen. TF liegt nur dann vor, wenn sich ein entsprechendes Code-Beispiel nicht sinngemäß inter Literatur finden lässt bzw. die Implementierung sehr komplex/trickreich ist und sich so nicht in der Literatur bzw. externen Belegen finden lässt. Das ist hier allerdings nicht der Fall, insofern geht das Code-Beispiel mMn. in Ordnung, auch wenn Delphi nicht die beste Sprachwahl sein mag.--Kmhkmh (Diskussion) 09:34, 2. Nov. 2023 (CET)

Petrus3743: Sollte bezüglich einer evtl. erforderlichen Überarbeitung überprüft werden. Siehe Diskussion alternatives Programm

function approximiere_pi(tropfenzahl)

    innerhalb := 0   // Zählt die Tropfen innerhalb des Kreises

    // So oft wiederholen, wie es Tropfen gibt:
    for i := 1 to tropfenzahl do

        // Zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen
        x := random(0.0 ..< 1.0)
        y := random(0.0 ..< 1.0)

        // Wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt …
        if x * x + y * y <= 1.0
            innerhalb++   // Zähler erhöhen

    return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl

Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde. Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden. Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Buffonsches Nadelproblem

→ Hauptartikel: Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem, von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1733 vorgetragen, 1777 veröffentlicht). Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen, aber konstanten Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl $N$ der Nadelwürfe durch die Zahl $P$ der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, nähert sich (stochastisch) mit zunehmender Zahl der Würfe an die Formel

${\frac {N}{P}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {d}{\ell }}$

an, wobei $\ell$ die Länge der Nadeln und $d$ den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für $\pi$. Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von $\pi =3{,}1596\pm 0{,}0518$.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Rekorde der Berechnung von π

Petrus3743: Tabelle ist gleich der im Artikel, es wurden nur 2 Ergänzungen eingearbeitet!

durchgeführt von	Jahr	Dezimalstellen	Methode / Hilfsmittel	Rechenzeit Tag d,  Stunde h
Google LLC	2022	100.000.000.000.000	Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Plouffes und Bellards Formel	157 d
FH Graubünden	2021	62.831.853.071.796		108 d
Timothy Mullican	2020	50.000.000.000.000		303 d
Emma Haruka Iwao / Google LLC	2019	31.415.926.535.897		121 d
Peter Trüb / DECTRIS	2016	22.459.157.718.361	Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Plouffes und Bellards Formel	105 d
Sandon Van Ness (Houkouonchi)	2014	13.300.000.000.000		208 d
Shigeru Kondo, Alexander Yee	2013	12.100.000.000.050		82 d

weitere Berechnungen
durchgeführt von	Jahr	Dezimalstellen	Methode / Hilfsmittel	Rechenzeit Tag d,  Stunde h
Shigeru Kondo, Alexander Yee	2011	10.000.000.000.050	Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Plouffes und Bellards Formel	191 d
Shigeru Kondo, Alexander Yee	2010	5.000.000.000.000		90 d
Fabrice Bellard	2010	2.699.999.990.000	Berechnung: TachusPi Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Bellards Formel	131 d
Daisuke Takahashi	2009	2.576.980.370.000	Berechnung: Gauß-Legendre-Algorithmus
Yasumasa Kanada	2002	1.241.100.000.000	Berechnung: $\pi =48\arctan {\tfrac {1}{49}}+128\arctan {\tfrac {1}{57}}-20\arctan {\tfrac {1}{239}}+48\arctan {\tfrac {1}{110443}}$ Verifikation: $\pi =176\arctan {\tfrac {1}{57}}+28\arctan {\tfrac {1}{239}}-48\arctan {\tfrac {1}{682}}+96\arctan {\tfrac {1}{12943}}$
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
David und Gregory Chudnovsky	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206	HITAC M-280H	< 30 h
Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada	1982	8.388.576	HITAC M-280H	6:52 h
Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada	1982	4.194.288	HITAC M-280H	2:21 h
Yoshiaki Tamura	1982	2.097.144	MELCOM 900II	7:14 h
Jean Guilloud	1981	2.000.050
Kazunori Miyoshi, Yasumasa Kanada	1981	2.000.036	FACOM M-200	137:18 h
Jean Guilloud, Martin Boyer	1973	1.001.250	CDC 7600	23:18 h
Jean Guilloud, M. Dichampt	1967	500.000	CDC 6600	28:10 h
Jean Guilloud, J. Filliatre	1966	250.000	IBM 7030	41:55 h
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265	mit dem Transistoren-Computer IBM 7090	8:43 h
Jean Guilloud	1959	16.167	IBM 704	4:18 h
George E. Felton	1958	10.021	Pegasus	33 h
F. Genuys	1958	10.000	mit dem Magnetkernspeicher-Rechner IBM 704, per Machin-Formel	10 h
George E. Felton	1957	7.480	Pegasus	33 h
S.C. Nicholson, J. Jeenel	1954	3.093	Naval Ordnance Research Calculator	0:13 h
G. Reitwiesner	1949	2.037	mit dem Röhren-Rechner ENIAC	70 h
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120	mechanische Rechenmaschine
William Shanks	1853	(527)	Reihenentwicklung von $\arctan {\tfrac {1}{5}}$ und $\arctan {\tfrac {1}{239}}$. Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von $\pi$ von Hand. Im Jahr 1945 stellte John W. Wrench fest, dass die letzten 180 Stellen falsch waren.
Jurij Vega	1794	126
John Machin	1706	100	Reihenentwicklung ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$
William Jones	1706	100	Reihenentwicklung $\pi =2{\sqrt {3}}\;{\Bigl (}1-{\frac {1}{3}}{\frac {3}{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3}{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {1}{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3}{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {1}{9^{3}}}\mp \ldots {\Bigr )}$
Ludolph van Ceulen	1610	35	262-Eck
Ludolph van Ceulen	1596	20
Dschamschid Masʿud al-Kaschi	ca. 1424	15	3·228-Eck
Zu Chongzhi	ca. 480	6
Liu Hui	nach 263	5	3072-Eck
Archimedes	ca. 250 v. Chr.	2	96-Eck

Geometrische Konstruktionen

Googolplexian: Auch eine immense Baustelle, deren Umfang ich nicht ganz absehen kann. Vielleicht noch mehr Hintergründe zur Unmöglichkeit der Konstruktion mittels Zirkel + Lineal. Gerne noch weitere prominente Verfahren ergänzen.

Petrus3743: Habe ich gerne übernommen {erledigt?}

Kmhkmh: Die Konstruktion von Strecken der Länge Pi ist mMn. in der heutigen Sicht auf Pi (bzw. der Übersicht hier) eher ein ziemliches Randthema, ich würde das daher eher auf die zwei wichtigsten Fälle oder so kürzen und für weitere Konstruktionen oder Details einen eigenen Auslagerungsartikel anlegen und auf diesen dann hier als Hauptartikel verlinken.

Petrus3743: Der Artikel lebt nicht nur von den Abschnitten wie z.B. Eigenschaften, Berechnungsverfahren sowie Formeln und Anwendungen zu deren nachvollziehbaren und gut belegten Beschreibungen (wie vorhanden) es selbstverständlich mathematischer Formeln bedarf. Er benötigt auch konstruktive Anwendungen deren Verdeutlichung durch die Darstellung und deren Beschreibung erfolgt. Ich sehe im Abschnitt Geometrische Konstruktionen keine Unverhältnismäßigkeit bezüglich des Umfangs. Eine Kürzung oder Auslagerung des Abschnittes sehe ich aus enzyklopädischen Gründen nicht zwingend notwendig. Ich würde sie deshalb auch nicht befürworten.

Kmhkmh: Darin liegt ja gerade das Problem, dass diese geometrische Konstruktionen nicht wirklich konstruktive Anwendungen sind. Anders ausgedrückt, wenn jemand eine Strecke der Länge Pi für ein praktisches Problem benötigt wird er (fast) nie zu einer solchen Konstruktion greifen. Oder wenn in man Bücher über Pi schaut, trifft man kaum auf solche Konstruktionen (was man als deutlichen Hinweis für die Gewichtung innerhalb eines enzyklopädisches Artikels zu Pi lesen kann), ebenso wenn man in die Artikel zu Pi in den anderssprachigen Wikipedias anschaut. Oder um mal zu einer groben Analogie zu greifen, man sollte in einem Enzyklopädieartikel zu Deutschland nicht jede Menge Informationen zu einem speziellen Landkreis stecken, diese gehören stattdessen in einen eigenen Artikel zum Landkreis, der dann im Deutschland- oder Bundeslandartikel verlinkt ist. Es stimmt, dass eine Kürzung bzw. Auslagerung nicht zwingend notwendig ist, da letztlich alles enzyklopädische relevante Inhalte sind und es auch Geschmacksache ist, wie bzw. auf welche Artikel man die nun genau in der Wikipedia verteilt. Aber ein guter Übersichtsartikel sollte sich eben nicht in nebenständigen Themen und deren Details verlieren (sondern diese im Zweifelsfall auslagern). Der aktuelle Artikel wurde ja gerade auf lesbar herabgestuft und ein Problem war eine fehlende angemessene Gewichtung von Themen. Hier soll er ja nun wohl auf exzellent getrimmt werden und da spielt eine angemessene Gewichtung eine Rolle.

Petrus3743: Nun, ich meinte zwar mit Anwendung (missverständliche Wortwahl) Basiskonstruktion für Quadratur des Kreises, aber sei es wie es ist. Ich habe schon einmal angemerkt, dass z.B. der engl. Artikel für mich kein Vorbild ist. Er ist m.E. wesentlich mehr für Mathematiker zugänglich als für Techniker und Leser mit weniger mathematischen Kenntnissen. Wenn der englischsprachige Artikel mit einem Umfang 150.097 Bytes vielleicht als Vergleich herangezogen werden kann, möchte ich keine Störenfried bei diesem doch sehr wichtigen Projekt sein und deshalb meine Arbeit darin beenden.

Googolplexian: Es wäre wirklich schade, Dich und Deine Expertise an dieser Stelle einzubüßen, Petrus. Soweit ich Kmhkmh verstehe, geht es ja auch nicht darum, Inhalte zu löschen, sondern ggf. auszulagern. Ich hatte die gleiche Situation auch schon mit dem Artikel Riemannsche Zeta-Funktion: Nach einiger Zeit musste ich einsehen, dass die von manchen Seiten vorgebrachte Kritik sinnvoll war, dass dieser viel zu detailliert und zu lang war, weshalb ich viele Inhalte in Berechnungsverfahren zur Riemannschen Zeta-Funktion, Spezielle Werte der Riemannschen Zeta-Funktion und Liste von Darstellungen für die Riemannsche Zeta-Funktion ausgelagert habe. Das hat den Artikel, retrospektiv in meinen Augen, doch sehr verbessert.

Petrus3743: Danke für deine Worte, aber mein Entschluss ist wohl überlegt. Ich bin überzeugt: Der Artikel erreicht auch ohne mein weiteres Zutun ein Exzellent. Liebe Grüße!

Kmhkmh: In der Tat weder soll hier etwas (aus der Wikipepdia) gelöscht werden noch stört hier jemand. Es geht allein um die angemessene Stoffauswahl und Gewichtung für diesen Übersichtsartikel zu Pi. Generell gab/gibt es auf verschiedenen Projektseiten, die Empfehlung Artikel nicht zu umfangreich werden zu lassen und stattdessen mit Auslagerungen zu arbeiten. Enzyklopädische Artikel sollen zu ihren jeweiligen Thema eine (eher schnelle) Übersicht liefern und wichtigsten Aspekte zusammenfassen. Wenn der Leser dazu eine zweistellige Seitenzahl lesen muss oder er sich gar in Richtung einer kurzen Monographie entwickelt, dann ist der Artikel aus enzyklopädischer Sicht meist nicht gut gelungen. Im Übrigen habe ich nicht vor den Artikel selbst in größerem Ausmaße zu überarbeiten oder ihn auf KALP zu bewerten, sondern ich gebe hier nut mein persönliches Feedback ab, da dieses im Mathepotral nachgefragt wurde.--Kmhkmh (Diskussion) 15:20, 25. Nov. 2023 (CET)

Aufgrund der Transzendenz von $\pi$ – wie eingangs erwähnt – ist es nicht möglich, durch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der exakten Länge von $\pi$ Längeneinheiten zu erstellen. Ob eine Zahl auf diese Art und Weise konstruierbar ist, hängt davon ab, ob sie eine algebraische Zahl ist, sprich ob sie sich als Term schreiben lässt. Es existieren jedoch sowohl eine Reihe von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen, die sehr gute Näherungen liefern, als auch Konstruktionen, die dank eines weiteren Hilfsmittels – zusätzlich zu Zirkel und Lineal – eine exakte Konstruktion ermöglichen. Als ein solches weiteres Hilfsmittel kommen dabei insbesondere als Quadratrizes bezeichnete Kurven zum Einsatz, die z. B. mit Hilfe einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) erzeugt und als Ausdruck u. a. auf Papier Verwendung finden. Zudem gibt es einige spezielle mechanische Zeichengeräte und eventuell eigens angefertigte Kurvenlineale, mit denen sich solche Kurven zeichnen lassen.

Ohne direkten praktischen Nutzen, doch geometrisch anschaulich, lässt sich $\pi$ als Flächeninhalt eines angepassten Sierpinski-Teppiches konstruieren.

Petrus3743: ist dieser Absatz (Sierpinski-Teppich) eine geometrische Konstruktion oder passt er besser in Nichtnumerische Berechnungsverfahren?

Näherungskonstruktionen

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl $\pi$ gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

Konstruktion von C. G. Specht

Kreiszahl π, Annäherungskonstruktion nach C. G. Specht, 1828.
Der Flächeninhalt des ergänzten Dreiecks $AEM$ (hellblau) ist nahezu gleich dem des Kreises.

Im Jahre 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert

$5\cdot {\sqrt {\frac {439}{278}}}=6{,}28318528\ldots$

Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ übereinstimmen:

$3{,}141\;592\;6{\color {red}40\;1\ldots }\;\approx \pi$

Bei einem Kreis mit Radius $r=1$ ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks $AEM$, mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.

Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl $\pi$.

Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:

„Es wird dem Leser leicht sein, die Figur nach der Beschreibung zu entwerfen.“

– A. L. Crelle (HRSG.): 40. Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges (Von Herrn C. G. Specht zu Berlin)

Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.

Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt $A$ und dann ab $A$ eine gerade Linie; dabei ergibt sich $a$. Anschließend wird in $A$ eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt $M$. Es folgen auf der Geraden ab $a$ hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius ${\overline {Aa}}$ jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte $m,p,q$ und $B$. Nach der Dreiteilung der Strecken ${\overline {mp}}$ in $n$ und $o$ sowie ${\overline {qB}}$ in $r$ und $s$, wird nun der Punkt $M$ mit $m$ verbunden. Die dabei entstandene Strecke ${\overline {Mm}}$ auf die Senkrechte ab $A$ abgetragen ergibt $R$. Verbinde auch den Punkt $R$ mit $r$ und übertrage die neue Strecke ${\overline {Rr}}$ ab $A$ auf die Senkrechte; es ergibt sich $C$. Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte $C$ mit $o$ sowie $C$ mit $B$. Beim Übertragen der Strecke ${\overline {AB}}$ auf die Strecke ${\overline {Co}}$ ab $C$ ergibt sich $c$. Abschließend zeichne ab $c$ eine Parallele zur Strecke ${\overline {AB}}$, die ${\overline {CB}}$ in $d$ schneidet. Die somit entstandene Strecke ${\overline {Cd}}$ entspricht annähernd dem Wert $2\pi$.

Die Annäherung an die Kreiszahl $\pi ={\tfrac {U}{d}}$ kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:

Wäre der Durchmesser $d$ eines Kreises $200\;\mathrm {km}$, würde sein angenäherter Umfang $U=d\pi$ nur um ca. $2{,}7\;\mathrm {mm}$ kürzer als sein theoretischer Wert sein.

Konstruktion von Goodhue

Pi-Näherung nach Goodhue, $|{\overline {EF}}|+3=3,14159{\color {red}12}\ldots$

Eine – wegen ihrer offensichtlichen Einfachheit – interessante Konstruktion aus dem Jahr 1974 von einem oder einer nicht näher benannten Goodhue, ist im Anhang des Buches „Die Story“ von Jean-Paul Delahaye zu sehen. Wie schon von Jacob Gelder gezeigt (in Quadratur des Kreises, 1849), wird darin der Näherungswert der Kreiszahl $\pi$ nicht direkt ermittelt. Anstatt dessen wird ein Summand konstruiert, der die Näherung durch Addition mit der Zahl $3$ liefert.

Beschreibung: Es beginnt mit dem Bestimmen der Strecke ${\overline {AB}}$ mit der Länge gleich ${\tfrac {1}{2}}$, anschließend wird um den Punkt $A$ ein Viertelkreis mit dem Radius $|{\overline {AB}}|$ gezogen. Nach dem Errichten einer Senkrechten in $A$ ergibt sich der Schnittpunkt $C$ im Viertelkreis. Es folgt die Konstruktion des Winkels $30^{\circ }$ am Scheitelpunkt $A$ mithilfe eines kurzen Kreisbogens um $B$ mit Schnittpunkt $D$. Nun konstruiert man (z. B. Teilung einer Strecke) den Punkt $E$ mit dem Abstand ${\tfrac {3}{10}}$ zum Punkt $A$. Nach dem Verbinden des Punktes $E$ mit $D$ liefert die abschließende Halbierung von $|{\overline {ED}}|$ die Länge $|{\overline {EF}}|=0{,}1415912\ldots$. Sie ist der gesuchte Summand, der mit $3$ addiert nahezu $\pi$ ergibt. Für den absoluten Fehler $\Delta _{x}$ der Näherung gilt

$\Delta _{x}={\tilde {x}}-x=3{,}14159{\color {red}12}-\pi =-1{,}453\ldots 10^{-6}$.

Fünf Nachkommstellen sind gleich denen von $\pi$.

Tsor: Goodhue = Dale L. Goodhue ? [1]

Konstruktion von H. Pieper

Pi-Näherung nach H. Pieper, $|{\overline {BH}}|+3=3{,}141592{\color {red}92}\ldots$

Im Jahr 1984 veröffentlichte H.Pieper in der „Mathematischen Schülerzeitung“ eine Näherungskonstruktion. Dafür nahm er als Ansatz den sogenannten Zu Chongzhi-Bruch ${\tfrac {355}{113}}\approx \pi$, benannt nach dem chinesischen Mathematiker Zu Chongzhi aus dem im 5. Jahrhundert Diesen Bruch nutzten auch z. B. Jacob de Gelder und S. A. Ramanujan für die Näherung der Quadratur des Kreises. Pieper ermittelt – wie Jacob de Gelder – den Wert nicht direkt, sondern konstruiert ebenfalls einen Summanden, den er zur Zahl $3$ addiert, um die Näherung von $\pi$ zu erhalten.

Beschreibung: Nach der Konstruktion der Streckenlänge $|{\overline {AB}}|=1$ und dem Errichten der Senkrechten in $A$, wird der Viertelkreis um $A$ mit dem Radius $|{\overline {AB}}|$ eingezeichnet; Schnittpunkt ist $C$. Es folgt das Bestimmen (z. B. Teilung einer Strecke) des Punktes $D$ mit dem Abstand ${\tfrac {1}{8}}$ zum Punkt $C$. Nun verbindet man $D$ mit $B$ und halbiert ${\overline {AB}}$ in $E$. Die Länge $|{\overline {BE}}|$ wird auf die Strecke ${\overline {BD}}$ übertragen; sie erzeugt den Schnittpunkt $F$. Wird nun ein Lot vom Punkt $F$ auf ${\overline {AB}}$ mit Fußpunkt $G$ gefällt, so bedarf es schließlich nur noch der Parallelen zu ${\overline {DG}}$ ab Punkt $F$, bis sie ${\overline {AB}}$ in $H$ schneidet. Die Länge $|{\overline {BH}}|={\tfrac {16}{113}}=0{,}14159292\ldots$ ist der gesuchte Summand, der mit $3$ addiert die Näherung von $\pi$ ergibt. Für den absoluten Fehler $\Delta _{x}$ der Näherung gilt

$\Delta _{x}={\tilde {x}}-x=3{,}141592{\color {red}92}-\pi =2{,}667\ldots 10^{-7}$.

Sechs Nachkommstellen sind gleich denen von $\pi$.

Mithilfe der Quadratrix des Hippias

Kreiszahl $\pi$ als exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix $(a=1)$ auf der y-Achse

Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl $\pi$ als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.

Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt $A$ und einer Senkrechten auf diese Gerade durch $A$. Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius ${\overline {AB}}=1$ um $A$ gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte $B,D$ und $E$. Nun konstruiert man das Quadrat $ABCD$ mit der Seitenlänge 1. Es folgt die Festlegung der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der $x$-Achse. Hierfür wird der Bezug der Kurve nicht auf die $x$-Achse, sondern auf die $y$-Achse gewählt. Die Quadratrix (rot) verläuft somit durch $D$ und $E$. Für diese Lage der Quadratrix ($a=1$) gilt die kartesische Gleichung:

$x=y\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot y\right)$

Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite ${\overline {AB}}$ ihres zugehörigen Quadrates im Punkt $F$ und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert ${\tfrac {2}{\pi }}$. Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke ${\overline {AB}}$ ab ${\tfrac {2}{\pi }}$ bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt $G$. Nach der Verlängerung der Strecke ${\overline {BC}}$ über $C$ hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab $A$ durch $G$ bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt $H$. Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke ${\overline {AH}}$ mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass ${\tfrac {2}{\pi }}$ der Strecke ${\overline {AF}}$ entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte

$|AF|:|AB|=|AG|:|AH|$,

umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich

$|AH|={\frac {\frac {1}{1}}{\frac {2}{\pi }}}\cdot 1={\frac {\pi }{2}}$.

Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius ${\overline {AH}}$ um $A$ bis auf die Zahlengerade gezogen; es entsteht der Schnittpunkt ${\tfrac {\pi }{2}}$. Der abschließende Thaleskreis über ${\tfrac {\pi }{2}}$ ab dem Punkt $A$ ergibt somit exakt die Kreiszahl $\pi$.

Mithilfe der archimedischen Spirale

Eine sehr einfache Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ zeigt das folgende Bild, erzeugt mithilfe der archimedischen Spirale.

Wird als Windungsabstand (mit $a=2$) $a\cdot {\tfrac {\pi }{2}}$ gewählt, so schneidet der Graph der Spirale die $y$-Achse in $B$ und liefert somit bereits nach einer Vierteldrehung ${\overline {OB}}=\pi .$

Der auf die $y$-Achse projizierte Halbkreis mit Radius $r=1$ sowie die Strecke ${\overline {OC}}=\pi$ (grüne Linien) dienen lediglich der Verdeutlichung des Ergebnisses.

• 
  Kreiszahl $\pi$ mithilfe der archimedischen Spirale
• 
  Kreiszahl $\pi$ mithilfe der Sinuskurve

Mithilfe der Sinuskurve

Die Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ mithilfe des Graphen der Sinusfunktion $f(x)=\mathrm {sin} (x)$, auch als Sinuskurve bezeichnet, ist eine der einfachsten ihrer Art.

Für eine zeichnerische Konstruktion benötigt man neben Zirkel und Lineal noch ein Hilfsmittel, wie z.B. ein Schablone (z. B. gefertigt auf einer CNC-Maschine oder als 3D-Druck) zum Einzeichnen der Sinuskurve.

Nach dem Eintragen der beiden Koordinatenachsen $x$ und $y$ folgt ein Halbkreis mit dem Radius $r=1$ um den Punkt $O$ und eine Parallele $g$ zur $x$-Achse mit dem Abstand gleich dem Kreisradius. Die Schablone wird nun so auf das Papier gelegt (siehe Bild), dass die Kurvenlinie durch den Punkt $O$ verläuft und dabei auch die Parallele $g$ berührt. Die abschließend eingezeichnete Sinuslinie liefert auf der $x$-Achse die Kreiszahl $\pi$ als Länge, d. h. den halben Umfang des Einheitskreises.

Experimentelle Konstruktion

Kreiszahl $\pi$ als experimentelle Konstruktion

Die folgende Methode nutzt die in der Kreisfläche „versteckte“ Kreiszahl $\pi$, um mit Hilfe experimenteller Physik den Wert von $\pi$ als messbare Größe darzustellen.

Ein Zylinder mit dem Radius $r=1$ und der Gefäßhöhe $h_{GZ}\approx 1{,}5$ wird bis auf die Höhe $h_{Z}=1$ mit Wasser gefüllt. Die so bestimmte Wassermenge wird nun vom Zylinder in einen Quader umgefüllt, der eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge $a=1$ und eine Gefäßhöhe von $h_{GQ}\approx 4$ aufweist.

Wassermenge im Zylinder $V_{Z}$ in Volumeneinheiten [VE]:

$V_{Z}=r^{2}\pi h_{Z}=1^{3}\cdot \pi =3{,}14159\dotso \,\mathrm {[VE]}$

Wasserstand im Quader $h_{\text{Q}}$ in Längeneinheiten [LE]:

$V_{Q}=a^{2}h_{Q}=1^{2}h_{Q}=V_{Z}$, daraus $h_{Q}$

$h_{Q}={\frac {1^{3}\pi }{1^{2}}}=\pi =3{,}14159\dotso \,\mathrm {[LE]}$

Das Ergebnis zeigt: Eine Wassermenge, die in einem Zylinder mit dem Radius $r=1$ den Wasserstand $1\;\mathrm {[LE]}$ hat, liefert – umgefüllt in den Quader $(a=1)$ – den Wasserstand $\pi \,\mathrm {[LE]}$.

Petrus3743: Der Inhalt dieses Abschnitts ist gleich mit dem im Artikel!

Formeln und Anwendungen

Googolplexian: Dieser Abschnitt ist aus meiner Sicht die größte Baustelle. Vieles habe ich im Kopf, aber es wird eine Zeit brauchen, bis ich dazu genug Literatur gewälzt habe für die Belege. Hinweise und Beteiligung hochwillkommen.

Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von $\pi$ als Kreiszahl unmittelbar hervor.

• Umfang eines Kreises mit Radius $r$: $U=2\pi r$
• Fläche eines Kreises mit Radius $r$: $A=\pi r^{2}$
• Volumen einer Kugel mit Radius $r$: $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
• Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$: $A_{O}=4\pi r^{2}$
• Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $a$: $V=r^{2}\pi a$
• Volumen eines durch die Rotation des Graphen $y=f(x)$ um die $x$-Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen $a$ und $b$: $V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x$

Analysis

Komplexe Analysis

Die Integralformel von Cauchy gehört zu den bedeutendsten Hilfsmitteln bzw. Resultaten der Funktionentheorie. Sie basiert auf der Beobachtung, dass die Funktion $z\mapsto {\tfrac {1}{z}}$ keine holomorphe (d.h. komplex differenzierbare) Stammfunktion in $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ besitzt. Ist also $C$ eine Jordan-Kurve, die den Punkt $z_{0}$ einfach in mathematisch positiver Richtung (d.h. gegen den Uhrzeigersinn) umschließt, gilt

$\oint _{C}{\frac {\mathrm {d} z}{z-z_{0}}}=2\pi i.$

Bemerkenswert ist, dass diese Formel nicht von der genauen Form von $C$ abhängt, es also nicht um einen Kreis handeln muss. Ein möglicher Beweis dieses Ergebnisses verwendet den Satz von Morera, der impliziert, dass das Integral unter Homotopie der Kurve unverändert bleibt, so dass es zu einem Kreis deformiert und dann explizit in Polarkoordinaten integriert werden kann. Es wird in dieser letzten Form die explizite Form der Kreiskoordinaten als Vorteil für eine endgültige Berechnung ausgenutzt - ein Hinweis für die „Natürlichkeit“ des Kreises als Integrationskurve.

In ihrer allgemeinen Form hat die Cauchysche Integralformel die Gestalt

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\mathrm {d} z,$

wobei $f$ eine in einem Gebiet $D$ holomorphe Funktion ist, das den gesamten von $C$ umschlossenen Bereich inklusive $C$ selbst beinhaltet. Dieses Ergebnis lässt sich weiter auf den „weniger lokalen“ Residuensatz verallgemeinern.

Fourier-Analysis

Googolplexian: TBA: Fourier-Reihen, Fourier-Transformation und Verwandte (Mellin, ggf. Laplace, ...), Eigenfunktionen (Gauß, 1/cosh(\pi x), ...), Bedeutung erklären!!!!

Ungleichungen

Sind $z_{1},\dotsc ,z_{m}$ komplexe Zahlen, so existiert stets eine (von diesen Zahlen abhängige) Teilmenge $I\subset \{1,\dotsc ,m\}$ so dass

$\left|\sum _{j\in I}z_{j}\right|\geq {\frac {1}{\pi }}\sum _{j=1}^{m}|z_{j}|.$

Ist $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ auf der abgeschlossenen Einheitskreis­scheibe $\{z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq 1\}$ holomorph, so gilt bereits die Hilbert-Ungleichung

$\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{m}||a_{n}|}{m+n+1}}\leq \pi \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty .$

Der Faktor $\pi$ ist dabei optimal.

Eine Variante der Hilbert-Ungleichung betrifft stetige Funktionen $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$. Es gilt

$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}x^{n}f(x)\mathrm {d} x\right)^{2}\leq \pi \int _{0}^{1}f(x)^{2}\mathrm {d} x.$

Zahlentheorie und Kombinatorik

Googolplexian: TBA: Klassenzahl (auch Minkowski-Schranke), Partitionen, Probabilistische Zahlentheorie

Topologie

Googolplexian: TBA: Euler-Charaktristik

Wahrscheinlichkeitstheorie

Schaubild einiger Gauß-Funktionen. Kumulation um den Erwartungswert sowie deren genaue Position lassen sich mit den Parametern $\mu$ und $\sigma >0$ justieren.

Googolplexian: Belege fehlen noch

In den Bereichen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik wird die Normalverteilung häufig als einfaches Modell für komplexe Phänomene verwendet. So gehen Wissenschaftler im Allgemeinen davon aus, dass der Beobachtungsfehler in vielen Experimenten einer Normalverteilung folgt. Im Rahmen des zentralen Grenzwertsatzes kann zudem bewiesen werden, dass sich die Verteilungensfunktionen sehr häufig wiederholter unabhängiger und identisch verteilter Zufallsexperimente (nach einer gewissen Normierung) einer Normalverteilung annähern, deren Parameter im Wesentlichen vom Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$ der Ursprungsverteilungen abhängen. Ihre Dichtefunktion ist gegeben durch

$\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).$

Der Faktor ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ normalisiert die Fläche unter dieser Dichte zum Wert $1$, womit in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\mathbb {R}$ induziert wird:

${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\mathrm {d} x=1.$

Dies ergibt sich durch einen Variablenwechsel aus der Formel

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}.$

Es existieren auch höherdimensionale Analoga hierzu, die dann mit enstprechenden Potenzen von ${\sqrt {\pi }}$ verbunden sind.

Der zentrale Grenzwertsatz erklärt somit die zentrale Rolle von Normalverteilungen und damit von $\pi$ in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Dieser Satz hängt letztlich mit der spektralen Charakterisierung von $\pi$ als Eigenwert der Heisenbergschen Unschärferelation und der Tatsache zusammen, dass Gleichheit in der Unschärferelation nur für die Gaußsche Funktion gilt. Eine äquivalente Sichtweise hierauf ist die Tatsache, dass $a=\pi$ die einzige Konstante ist, die $x\mapsto e^{-ax^{2}}$ zu seiner eigenen Fourier-Transformierten macht.

Formeln, die π enthalten

Carl Friedrich Gauß

Jean Baptiste Joseph Fourier

Formeln der Analysis

Im Bereich der Analysis spielt $\pi$ ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

• der Integraldarstellung $\pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=2\cdot \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}$, die Karl Weierstraß 1841 nutzte, um $\pi$ zu definieren,
• der unendlichen Reihe: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Euler, siehe Basler Problem und auch Riemannsche Zetafunktion),
• der gaußschen Normalverteilung: $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}$ oder in anderer Darstellung: $\int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-|x|^{2}}\mathrm {d} x=\pi$,
• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große $n$: $n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$,
• der Fourier-Transformation: $F(\omega )={\mathcal {F}}\{f\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t$.
• den Formeln der Funktionentheorie: Wie für alle Teilgebiete der Analysis ist auch für die Funktionentheorie (und darüber hinaus für die gesamte komplexe Analysis) die Kreiszahl von grundlegender Bedeutung. Als herausragende Beispiele sind hier
  • die Euler-Identität $e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$ zu nennen sowie

Darüber hinaus wird die Bedeutung der Kreiszahl ebenfalls augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen, die im Zusammenhang mit dem Satz von Mittag-Leffler stehen. Hier sind vor allem

• die Partialbruchzerlegung des Kotangens:

${\begin{aligned}\pi \cot(\pi z)&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z+n}}\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z-n}}+{\frac {1}{z+n}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\\&=z\cdot \sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\end{aligned}}$

zu erwähnen sowie die daraus – neben weiteren! – zu gewinnenden

Googolplexian: Ich sehe die Erwähnung der Partialbrüche eher skeptisch. Es reicht aus, zu wissen, dass $\pi \mathbb {Z}$ die Nullstellenmeenge des komplexen Sinus ist. Eigentlich handelt es sich dabei also nur um ein Resultat der Funktionentheorie, aufbauend auf diesem Wissen.

• Partialbruchzerlegungen zu Sinus und Kosinus:

${\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\left({\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-{\tfrac {2n-1}{2}})^{2}}}\quad \left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {2n-1}{2}}\colon n\in \mathbb {Z} \right\}\right)\\\end{aligned}}$

Die obige Partialbruchreihe zum Sinus liefert dann durch Einsetzen von $z={\frac {1}{2}}$ die bekannte Reihendarstellung

${\frac {{\pi }^{2}}{8}}=1+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{49}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}$,

die ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

Googolplexian: Für die sogar fett markierte Bezeichnung „eulersche Reihendarstellung“ haben wir keinen Beleg. Handelt es sich um Begriffsbildung? Wenn dann steht sowas im Knopp, der steht in meinem Regal, ich schlage es die Tage nach ....

${\frac {{\pi }^{2}}{6}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

führt, siehe Basler Problem.

Neben diesen von den Partialbruchreihen herrührenden π-Formeln kennt die Funktionentheorie noch eine große Anzahl weiterer davon, die statt der Darstellung mit unendlichen Reihen eine Darstellung mittels unendlicher Produkte aufweisen. Viele von ihnen gehen auf das Werk von Leonhard Euler zurück (s. u.).

Formeln der Zahlentheorie

• Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke $M$ liegen, teilerfremd sind, strebt mit $M\rightarrow \infty$ gegen ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ (Satz von Ernesto Cesàro, 1881).
• Nimmt man eine ganze Zahl z, deren Dezimaldarstellung aus $n$ Fünfen besteht, und berechnet das $10^{n+2}$-Fache des Sinus des z-ten Teils eines Grades, dann strebt das Resultat mit wachsendem $n$ gegen π:

$\lim _{n\to \infty }10^{n+2}\sin {\bigg (}{\frac {1^{\circ }}{\underbrace {55\dots 5} _{n-{\text{mal}}}}}{\bigg )}=\pi$

Formeln der Physik

In der Physik spielt $\pi$ neben

• der Kreisbewegung: $\omega =2\pi f$ (Winkelgeschwindigkeit gleich $2\pi$ mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort $\pi$ über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht; somit also zum Beispiel

• in der Quantenmechanik: $\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$ (Heisenbergsche Unschärferelation),

außerdem

• in der Berechnung der Knicklast $F_{K}={\frac {\pi ^{2}EI}{s^{2}}}$
• und bei der Reibung von Partikeln in Flüssigkeiten (Gesetz von Stokes) $F_{R}=6\,\pi \,\eta \,r\,v$.

Produktformeln von Leonhard Euler

• Wird die Folge der Primzahlen mit ${\bigl (}p_{k}{\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }={\bigl (}2,3,5,\dots {\bigr )}$ bezeichnet, so gilt:

Googolplexian: TODO: Ggf. besseren Beleg einfügen.

unendliches Produkt				endliche Approximation (3 Faktoren)		Abweichung von $\pi$
${\frac {{\pi }^{2}}{6}}$	$=\zeta (2)$	$={\frac {{\pi }^{2}}{2\cdot 3}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{2}}{{p_{k}}^{2}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {9}{8}}\cdot {\frac {25}{24}}$	$\textstyle =:a_{2}$	${\frac {\sqrt[{2}]{a_{2}\cdot 6}}{\pi }}$	$\approx 0{,}974621$
${\frac {{\pi }^{4}}{90}}$	$=\zeta (4)$	$={\frac {{\pi }^{4}}{2\cdot 3^{2}\cdot 5}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{4}}{{p_{k}}^{4}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{4}}{2^{4}-1}}\cdot {\frac {3^{4}}{3^{4}-1}}\cdot {\frac {5^{4}}{5^{4}-1}}={\frac {16}{15}}\cdot {\frac {81}{80}}\cdot {\frac {625}{624}}$	$\textstyle =:a_{4}$	${\frac {\sqrt[{4}]{a_{4}\cdot 90}}{\pi }}$	$\approx 0{,}99986312$
${\frac {{\pi }^{6}}{945}}$	$=\zeta (6)$	$={\frac {{\pi }^{6}}{3^{3}\cdot 5\cdot 7}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{6}}{{p_{k}}^{6}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{6}}{2^{6}-1}}\cdot {\frac {3^{6}}{3^{6}-1}}\cdot {\frac {5^{6}}{5^{6}-1}}={\frac {64}{63}}\cdot {\frac {729}{728}}\cdot {\frac {15625}{15624}}$	$\textstyle =:a_{6}$	${\frac {\sqrt[{6}]{a_{6}\cdot 945}}{\pi }}$	$\approx 0{,}99999844$
${\frac {{\pi }^{8}}{9450}}$	$=\zeta (8)$	$={\frac {{\pi }^{8}}{2\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{8}}{{p_{k}}^{8}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{8}}{2^{8}-1}}\cdot {\frac {3^{8}}{3^{8}-1}}\cdot {\frac {5^{8}}{5^{8}-1}}={\frac {256}{255}}\cdot {\frac {6561}{6560}}\cdot {\frac {390625}{390624}}$	$\textstyle =:a_{8}$	${\frac {\sqrt[{8}]{a_{8}\cdot 9450}}{\pi }}$	$\approx 0{,}99999997755$
	$\vdots$				$\vdots$		$\ddots$

Siehe dazu auch die Artikel über die Zeta-Funktion $\zeta$ und insbesondere den Abschnitt Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen.

Googolplexian: TBA: Beweis des Satzes von Euklid via der Irrationalität von Pi.

• Auf Euler gehen auch die folgenden Produktformeln zurück, welche die Kreiszahl mit der komplexen Gammafunktion und dem komplexen Sinus und Kosinus verbinden:

Die erste der drei folgenden Formeln bezeichnet man auch als eulerschen Ergänzungssatz. Bei den beiden anschließenden Produktformeln für Sinus und Kosinus handelt es sich um absolut konvergente Produkte. Beide Produktformeln ergeben sich aus dem Ergänzungssatz, wobei die Produktformel des Kosinus ihrerseits wegen $\cos(z)={\tfrac {\sin(2z)}{2\sin(z)}}$ eine direkte Anwendung der Produktformel des Sinus ist.

${\begin{aligned}\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)&={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\\sin(\pi z)&=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\cos(\pi z)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2k-1)^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}$

Die Produktformel des Sinus führt dann mit $z=\mathrm {i}$ zu dieser interessanten Beziehung (Folge A156648 in OEIS):

${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}}}\right)&={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}&={\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}&\approx 3{,}6760779103749\\\end{aligned}}$

Rezeption

Petrus3743: Leider ist nicht jeder Eintrag belegbar. {erledigt?}

Kuriosität

Petrus3743: „Den Eintrag Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl...“ habe ich vorerst wegen fehlendem Beleg herausgelassen.

Pi-Bodenmosaik am Eingang des Mathematikgebäudes der TU Berlin

Freunde der Zahl Pi feiern am 14. März (in US-amerikanischer Notation 3/14) den Pi-Tag und am 22. Juli (in US-amerikanischer Notation 7/22) den Pi Approximation Day. Hierzu gibt es eine Resolution (H. Res.224) vom Repräsentantenhaus der USA aus dem Jahr 2009. Im Jahr 1897 sollte im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana Pi Bill die Kreiszahl gesetzlich auf einen der von Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin gefundenen Werte festgelegt werden, der sich auf übernatürliche Eingebungen berief. Aus seinen Arbeiten lassen sich unterschiedliche Werte für die Kreiszahl ableiten, unter anderem 4 oder ¹⁶⁄₅. Nachdem er eine gebührenfreie Nutzung seiner Entdeckungen anbot, verabschiedete das Repräsentantenhaus diesen Gesetzentwurf einstimmig. Als Clarence A. Waldo, Mathematikprofessor der Purdue University, davon zufällig bei einem Besuch des Parlaments erfuhr und Einspruch erhob, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den Entwurf auf unbestimmte Zeit.

Film

Darren Aronofsky führte 1998 die Regie in dem Science-Fiction Thriller Pi. Er handelt von dem mathematischen Genie Maximilian Cohen, gespielt von Sean Gullette. Cohen ist überzeugt, dass mithilfe einer allgemein gültigen Weltformel die Zukunft berechenbar ist. Er ist sich sicher im Steigen und Fallen der Aktienkurse ein immer wiederkehrendes Muster zu erkennen, das sich auch in der unendlich langen Zahl Pi wieder findet. Aktienkurse wären somit vorhersehbar. In der Filmkomödie Nachts im Museum 2 (2009) geht es in der fiktiven Handlung u. a. darum, dass aus dem Naturhistorischen Museum in New York die ägyptischen Exponate – menschliche Gestalten – in die Archive des Smithsonian Museums in Washington, D.C. ausgelagert wurden. Aufgrund der Übersiedlung können die Gestalten nur noch durch Eingabe eines Codes in die goldene Tafel des Pharaos Ahkmenrah zum Leben erweckt werden. Der nach Ahkmenrahs Tod geänderte Code wird von kleinen Wackelkopf-Einsteins als Pi erkannt. Einer von ihnen verrät den Code dem irrtümlich zum Leben erweckten Pharao Kahmunrah, der ältere böse Bruder Ahkmenrahs. Kahmunrah gibt Pi in die goldene Tafel ein und öffnet so das Tor zur Unterwelt... In der Science-Fiction-Serie Raumschiff Enterprise bemächtigt sich in Folge 43, Der Wolf im Schafspelz (orig. Titel Wolf in the Fold), ein fremdes Wesen des Bordcomputers. Der 1. Offizier Spock befiehlt darauf dem Computer, die Zahl Pi bis auf die letzte Nachkommastelle zu berechnen. Durch diese Aufgabe wird der Computer so überfordert, dass das Wesen den Computer wieder verlässt.

Musik

Wie die beiden folgenden Beispiele zeigen, findet Pi auch in der Musik Beachtung. Die progressive Deathcore-Band After the Burial hat auf ihrem Debütalbum Forging a Future Self das Lied Pi (The Mercury God of Infinity) veröffentlicht. Es besteht aus einem Akustikgitarrensolo, auf das ein Breakdown folgt, dessen Rhythmus an die ersten 110 Dezimalstellen der Kreiszahl angelehnt ist. Die britische Sängerin Kate Bush hat ein Lied der Zahl Pi gewidmet. Es ist das zweite Lied im 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial.

Kunst

Pi in der Wiener Opernpassage. Die Zahl steht in der Mitte der Spiegelwand.

Eine bemerkenswerte künstlerische Darstellung der Zahl Pi ist in Wien zu sehen. Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi von Ken Lum erreicht man beispielsweise bei einem Spaziergang ab dem Naschmarkt, weiter in Richtung Karlsplatz und schließlich abwärts in die denkmalgeschützte Fußgängerunterführung unter der Ringstraße, sprich Opernpassage. Zu sehen ist Pi mit 478 Nachkommastellen in der Nähe der U-Bahn-Station-Karlsplatz.

Literatur

Im Roman Der Zauberberg von Thomas Mann schildert der Erzähler im Kapitel Der große Stumpfsinn auf mitleidig-belächelnde Weise, wie die Nebenfigur des Staatsanwalts Paravant den „verzweifelten Bruch“ Pi zu enträtseln versucht. Paravant glaubt, dass die „planende Vorsehung“ ihn dazu bestimmt habe, „das transzendente Ziel in den Bereich irdisch genauer Erfüllung zu reißen“. Er bemüht sich, in seiner Umgebung eine „humane Empfindlichkeit zu wecken für die Schande der Verunreinigung des Menschengeistes durch die heillose Irrationalität dieses mystischen Verhältnisses“, und fragt sich, „ob nicht die Menschheit sich die Lösung des Problems seit Archimedes’ Tagen viel zu schwer gemacht habe, und ob diese Lösung nicht in Wahrheit die kindlich einfachste sei.“ In diesem Zusammenhang erwähnt der Erzähler den historischen Zacharias Dase, der Pi bis auf zweihundert Stellen nach dem Komma berechnet hat. Das Buch Contact von Carl Sagan, veröffentlicht 1981, beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl Pi spielt für die im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.

Petrus3743: Wegen Redundanz entnommen

• 1988 initiierte Larry Shaw den Pi-Tag am 14. März im Exploratorium.

Petrus3743: Konnte keinen Beleg finden, deshalb vorerst entnommen. Hat der Eintrag ausreichende Relevanz?

• In der Folge 28 (2x06) Rückkehr des Thor der Fernsehserie Stargate – Kommando SG-1 ist die Zahl 3,14159 die Lösung eines Rätsels zur Kontaktaufnahme mit freundlichen Aliens.

Pi-Sport

→ Hauptartikel: Pi-Sport

Petrus3743: M.E. sind nicht alle gefundenen Belege wirklich gut. Leider ist nicht jeder Rekord belegbar.

Das Auswendiglernen der Zahl Pi ist die beliebteste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Für das Memorieren werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach den Vorlieben und Begabungen des Gedächtniskünstlers sowie der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen. Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es Merkregeln. Daraus ist ein regelrechter Sport geworden, wie z. B. Pi mit tausenden von Ziffern in einem Team vorzulesen oder sie als Einzelperson aufzuzählen. Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen. Im Pi-Aufzählen lag der inoffizielle Weltrekord im Oktober 2006 bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Der Inder Sharma, Suresh Kumar ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 70.030 Nachkommastellen, die er am 21. Oktober 2015 fehlerfrei in einer Zeit von 17 Stunden 14 min aufsagte. Den deutschen Rekord hält seit dem 10. März 2023 die Frankfurter Gedächtniskünstlerin Susanne Hipp mit 15.637 fehlerfrei aufgezählten Nachkommastellen. Sie brauchte dafür 2 Stunden und 42 Minuten.

Alternative Kreiszahl τ

Der amerikanische Mathematiker Robert Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins The Mathematical Intelligencer vor, für $\pi$, statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend $2\pi$) als grundlegende Konstante zu verwenden. Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor $2$ vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass die neue Konstante im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie $\pi$ einen halben Winkel, und so weniger willkürlich wirkt. Die neu normierte Kreiszahl, für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben $\tau$ (Tau) vorschlugen, würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann $\tau =2\pi =6{,}283185\ldots$, also $\pi ={\tfrac {\tau }{2}}$.

Petrus3743: Der Abschnitt Rezeption ist von mir überarbeitet worden.

Literatur

• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66258-7 (mit CD-ROM, 1. Auflage. 1998 – ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3). 
• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965. 
• Petr Beckmann: A History of π. St. Martin’s Press, New York City 1976, ISBN 0-312-38185-9 (englisch). 
• Ehrhard Behrends (Hrsg.): Π [Pi] und Co. Kaleidoskop der Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2. 
• David Blatner: Π [Pi]. Magie einer Zahl. In: rororo Sachbuch (= rororo. Nr. 61176). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2001, ISBN 3-499-61176-7 (Originaltitel: The Joy of Π [pi]. Übersetzt von Hainer Kober). 
• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. In: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1998, ISBN 0-471-31515-X (englisch). 
• Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann (= rororo-Sachbuch. Nr. 6692). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1974, ISBN 3-499-16692-5. 
• Jean-Paul Delahaye: Π [Pi]. Die Story. Birkhäuser, Basel 1999, ISBN 3-7643-6056-9. 
• Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. berühmte Probleme und neue Lösungen (= dtv-Taschenbuch 4591). 2. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1992, ISBN 3-423-04591-4 (Originaltitel: Mathematics. Übersetzt von Doris Gerstner, Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel). 
• Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 (Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum – Reprint der Ausgabe Berlin 1885). 
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1 (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitet und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67641-4. 
• Stefan Hildebrandt: Analysis 1. 2., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25368-8. 
• Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6. 
• Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. In: Das moderne Sachbuch. 8., überarbeitete Auflage. Band 41. Ullstein, Berlin 1965 (ohne ISBN, früherer Titel: Du und der Zauber der Zahlen). 
• Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston 1987, ISBN 3-7643-1824-4. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964, ISBN 3-540-03138-3. 
• Konrad Knopp: Funktionentheorie II. Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (= Sammlung Göschen. Band 703). 11. Auflage. de Gruyter, Berlin 1965. 
• Karel Markowski: Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen. 1. Auflage. Trigon, Potsdam 2007, ISBN 978-3-9810752-1-2. 
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1982, ISBN 3-411-01613-2. 
• Jakow Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962. 
• Jürgen Petigk: Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann. Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn. Komet, Köln 2007, ISBN 978-3-89836-694-6 (1998 als Mathematik in der Freizeit bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X). 
• Karl Helmut Schmidt: Π [Pi]. Geschichte und Algorithmen einer Zahl. Books on Demand GmbH, Norderstedt, ISBN 3-8311-0809-9 ([2001]). 
• Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1: Grundlagen. R. Oldenbourg Verlag, München 1956. 
• Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990, ISBN 3-406-02535-8 (Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 – Band 1 und ISBN 3-423-04399-7 – Band 1). 
• Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5. 
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 (Auszug (Google))

Weblinks

Commons: Pi – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Googolplexian1221/Kreiszahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Beweis der Irrationalität von $\pi$ in der Formelsammlung Mathematik
• Beweis der Transzendenz von $e$ und $\pi$ im Beweisarchiv.
• Albrecht Beutelspacher (Mathematikum Gießen): Mathematik zum Anfassen – Die Zahl $\pi$. Bayern α.
• Werner Scholz: Die Geschichte der Approximationen der Zahl. TU Wien, 3. November 2001.
• Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl.
• The $\pi$-Search Page. Ziffernfolgen innerhalb von $\pi$ suchen.
• Pibel.de. Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit.
• Aktuelle Weltrangliste der $\pi$-Auswendiglerner. Englisch.
• Monte-Carlo-Methode zur Approximation von π.
• Approximation von π durch Gitterpunkte und Approximation von π durch Rechtecke und Trapeze (interaktive Illustrationen)
• Don Zagier: Zahlentheorie und die Kreiszahl Pi. Gaußvorlesung 2003 in Freiburg (Podcast).

Einzelnachweise

Kategorie:Besondere Zahl