Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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Diese Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthält multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen und matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unterteilt in diskrete multivariate Verteilungen, absolutstetige multivariate Verteilungen und matrixvariate Verteilungen.

Notation

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Es gelten folgende Konventionen:

  • Ist  , so ist   und   komponentenweise zu verstehen, also   genau dann, wenn   für alle  
  • Ist  , so bezeichnen die Ordnungssymbole die Loewner-Halbordnung, also   genau dann wenn   positiv definit ist und   genau dann, wenn  
  •   bezeichnet den Einsvektor der Länge   und   die  -Einheitsmatrix.

Abkürzend wird verwendet

 , wobei   ist.
 .

für ein  .   bezeichnet hier die Spur der Matrix  .

Diskret Multivariat

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Name Träger Parameter Wahrscheinlichkeitsfunktion Bemerkung
Multinomial-Verteilung, Polynomial-Verteilung  ,     stochastischer Vektor aus     Verallgemeinerung der Binomial-Verteilung,   ist der Multinomialkoeffizient
Negativmultinomial-Verteilung,[1] Negative Multinomial-Verteilung, Negative Polynomial-Verteilung    ,  ,  ,   :  Verallgemeinerung der negativen Binomialverteilung
Multivariate hypergeometrische Verteilung, allgemeine hypergeometrische Verteilung[2]  ,    ,  ,  ,     Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung
Polyhypergeometrische Verteilung[1]  ,    ,  ,  ,     Verallgemeinerung der multivariaten hypergeometrischen Verteilung
Multivariate Poisson-Verteilung[1]    ,     -
Pólya/Eggenberger-Verteilung[1]  ,    ,  ,  ,  ,     -

Absolutstetig Multivariat

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Name Träger Parameter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Bemerkung
Mehrdimensionale Normalverteilung, multivariate Normalverteilung[3]    ,  ,  . :  Verallgemeinerung der Normalverteilung
Dirichlet-Verteilung (der Ordnung  )[4]  ,  ,    ,     -

Matrixvariat

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Name Träger Parameter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Bemerkung
Matrixvariate Normalverteilung (englisch matrix variate normal distribution)[5]    ,  ,  ,  ,     Verallgemeinerung der Normalverteilung
Wishart-Verteilung[5]    ,  , Freiheitsgrad     Hierbei bezeichnet   die Multivariate Gamma-Funktion. Die Wishart-Verteilung ist die matrixvariate Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung.
Matrixvariate Studentsche t-Verteilung (englisch matrix variate t-distribution)[5]    ,  ,  ,  , Freiheitsgrad    
 
Verallgemeinerung der studentschen t-Verteilung
Matrixvariate Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-I distribution)[5]  ,       Verallgemeinerung der Beta-Verteilung
Matrixvariate inverse Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-II distribution)[5]  ,       Verallgemeinerung der inversen Beta-Verteilung

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. a b c d Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 296–300, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
  2. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
  3. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 334, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  4. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 562–563, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  5. a b c d e A.K. Gupta: Matrix variate distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).